3Konu 3 / 62
Temel Kavramlar

Sayılarda Temel Kavramlar:Tek-Çift, Ardışık ve Asal Sayılar

İşlem önceliği ve işaret kurallarından başlayıp tek ve çift sayılar, “her zaman” sorularında karşı örnek, işaret incelemesi, ardışık sayıların toplamı, faktöriyel, asal sayılar ve tanımlı işlemlerle TYT’nin temel sayı sorularını çözüyoruz.

9 ve 11. sınıf
TYT sıklığı
40 dk

Görsel anlatımla başla16 adım · sıfırdan başlar · az yazı, bol 3B

LevhaSayılarda Temel KavramlarSayılarda Temel Kavramlar

Sayı doğrusunda her sayının üstüne o kadar küp, ikişerli sütunlarla dizilir. Çift sayılarda (mavi) bütün küpler eşleşir, tek sayılarda (turuncu) en üstte bir küp açıkta kalır. $0$ ’da hiç küp yok, açıkta kalan da yok: $0$ çifttir. TYT’nin “her zaman tek mi?” sorularının hepsi bu açıktaki küpe bakar.

Isınma

Başlamadan: işlem, tek-çift, ardışık

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

2 + 3 \cdot 4 - 6 : 2

işleminin sonucu kaçtır?

Açıklama

Önce çarpma ve bölme: $3 \cdot 4 = 12$ , $6 : 2 = 3$ . Sonra soldan sağa: $2 + 12 - 3 = 11$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Aşağıdakilerden hangisi çift sayıdır?

Açıklama

$0 = 2 \cdot 0$ ; sıfır ikiye tam bölünür, çift sayıdır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Ardışık üç tam sayının toplamı

48

ise en büyüğü kaçtır?

Açıklama

Ortadakini $x$ al: $(x - 1) + x + (x + 1) = 3x = 48$ , $x = 16$ . En büyüğü $17$ .

Temel

Sayılar, işlem önceliği ve tek-çift

1. Rakam Sayıyı Yazar, Küme Sayıyı Sınıflar

Rakamlar $0$ ’dan $9$ ’a on semboldür; sayılar bu rakamlarla yazılır. Basamak ve çözümleme Sayı Basamakları sayfasında.

Kümelerin ilişkisi ve irrasyonel sayılar Sayılar ve Bölünebilme sayfasında. TYT “doğal sayı” dediğinde $0$ dahildir, “pozitif tam sayı” dediğinde değildir.

2. İşlem Önceliği ve İşaret Kuralları

Sayı doğrusundaki ok $3$ ’ü gösteriyor. $-1$ ile çarpınca ok $0$ çevresinde yarım tur döner ve $-3$ ’e varır. Bir kez daha çarpınca tur tamamlanır, ok yine $3$ ’ü gösterir: $(-1) \cdot (-3) = 3$ .

-1

ile çarpmak yarım tur döndürür; iki yarım tur başa getirir:

(-) \cdot (-) = (+)

Örnek

kolay

Önce üs, sonra çarpma ve bölme

$(-2)^3 - 3^2 : (-1) \cdot 2 + (-4) \cdot (-5)$ işleminin sonucu kaçtır?

Üsler: $(-2)^3 = -8$ (tek kuvvet işareti korur), $3^2 = 9$ .

Çarpma ve bölme, soldan sağa: $9 : (-1) \cdot 2 = -9 \cdot 2 = -18$ ve $(-4) \cdot (-5) = 20$ .

Toplama ve çıkarma: $-8 - (-18) + 20 = -8 + 18 + 20$ .

Sonuç

$30$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

-3^2 + (-2)^2

kaçtır?

Açıklama

$-3^2 = -9$ ve $(-2)^2 = 4$ ; toplam $-9 + 4 = -5$ .

3. Tek ve Çift: Ya Eşleşir Ya Bir Tane Artar

Yedi küplük ve beş küplük iki yığın yan yana gelir; ikisinde de birer küp açıkta. Birleşince bu iki küp eşleşir; $12$ küplük yığında açık küp kalmaz ve yığın turuncudan (tek) maviye (çift) döner.

7 + 5 = 12

: açıktaki iki nokta birbirini bulur. Tek + tek = çift.

Kural

Toplama, çarpma ve kuvvet

Sayılar	Toplam ve fark	Çarpım
tek, tek	çift	tek
tek, çift	tek	çift
çift, çift	çift	çift

Çarpımda bir çift çarpan yeter: sonuç çifttir. $n$ pozitif tam sayıysa $a^n$ , $a$ ile aynı tek-çiftliktedir.

$3 \times 4$ ’lük küp ızgarasında bir kenar çift: sütunlar ikişer kenetlenir, çarpım çift. $3 \times 5$ ’te iki kenar da tek; köşede bir küp açıkta kalır, çarpım tek.

Örnek

kolay

Tabloyla tek mi, çift mi?

$a$ tek, $b$ çift tam sayıdır. Buna göre

I. $a + 2b$
II. $a \cdot b + b$
III. $a^3 + b^2$

ifadelerinden hangileri tektir?

I: $2b$ çift; tek + çift = tek.

II: $a \cdot b$ çift (çift çarpan var), $b$ çift; çift + çift = çift.

III: $a^3$ , $a$ gibi tek; $b^2$ , $b$ gibi çift; tek + çift = tek.

Sonuç

I ve III

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

a

tek tam sayı ise aşağıdakilerden hangisi her zaman çifttir?

Açıklama

$3a$ tek çarpı tek, yani tek; tek + $1$ çifttir.

Orta

Her zaman sorusu, işaret incelemesi, ardışık sayılar ve faktöriyel

1. “Her Zaman” Sorusu: Ya Kanıtla Ya Karşı Örnek Bul

ÖSYM bir koşul verir ve “hangileri her zaman tektir?” diye sorar. İki aracın var: kuralla kanıt ve küçük sayılarla karşı örnek.

Aşağıdaki örneğin üç ifadesi birer lamba; zarlar koşulu sağlayan küçük üçlüleri sırayla gösterir. İfade çift çıkınca lamba yanar. $(1, 2, 2)$ üçlüsünde II ve III söner: bir kez sönen lamba “her zaman” değildir.

Örnek

orta

Kanıt ve karşı örnek

$a$ , $b$ ve $c$ pozitif tam sayılardır. $a + b$ tek ve $a \cdot (b + c)$ çift olduğuna göre

I. $a \cdot b$
II. $a + c$
III. $b \cdot c + a$

ifadelerinden hangileri her zaman çifttir?

Koşulu çevir: $a + b$ tek, yani $a$ ile $b$ ’den biri tek, öteki çift.

I: çarpımda bir çift çarpan var; $a \cdot b$ her zaman çift.

Karşı örnek: $a = 2$ , $b = 1$ , $c = 1$ koşulları sağlar ( $a + b = 3$ , $a(b + c) = 4$ ). Bu üçlüde $a + c = 3$ ve $b \cdot c + a = 3$ tek; II ve III elenir.

Sonuç

Yalnız I

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

x

y

tam sayılar ve

x \cdot y

tek ise aşağıdakilerden hangisi her zaman çifttir?

Açıklama

$x \cdot y$ tekse $x$ de $y$ de tektir; tek + tek = çift.

2. Pozitif mi, Negatif mi: Negatifleri Say

Örnek

orta

Üç sayının işareti

$a$ , $b$ ve $c$ sıfırdan farklı gerçek sayılardır. $a \cdot b < 0$ , $\dfrac{b}{c} > 0$ ve $a > b$ olduğuna göre $\dfrac{a^2 \cdot c}{b^3}$ ifadesinin işareti nedir?

$a \cdot b < 0$ : ikisi ters işaretli. $a > b$ olduğundan pozitif olan $a$ ’dır: $a > 0$ , $b < 0$ .

$\dfrac{b}{c} > 0$ : $b$ ile $c$ aynı işaretli, yani $c < 0$ .

$a^2 > 0$ ; $b^3$ , $b$ gibi negatif. İfade $\dfrac{(+) \cdot (-)}{(-)}$ : iki negatif çarpan var.

Sonuç

Pozitif

3. Ardışık Sayılar: Toplam = Terim Sayısı · Ortalama

$3$ ’ten $7$ ’ye merdivenin ters kopyası üstüne oturur; her sütun $3 + 7 = 10$ olur. Toplam, beş sütunluk dikdörtgenin yarısıdır: her sütun ortalama yükseklik olan $5$ ’e iner.

3 + 4 + 5 + 6 + 7 = \dfrac{5 \cdot 10}{2} = 25

: merdiven ile ters kopyası, her sütunu

3 + 7 = 10

olan

5 \times 10

’luk dikdörtgen eder.

Sözel problemlerin genel kalıbı Sayı Problemleri ve Oran, Orantı ve Problemler sayfalarında; aritmetik dizinin genel terimi AYT’de Diziler sayfasında.

Örnek

orta

Okuma planı

Zeynep bir romana ilk gün $12$ sayfayla başlıyor ve sonraki her gün bir önceki günden $3$ sayfa fazla okuyor. Son gün $57$ sayfa okuyup kitabı bitiriyor. Roman kaç sayfadır?

Düzenle: günlük sayfalar $12, 15, 18, \dots, 57$ ; artış $3$ .

Terim sayısı: $\dfrac{57 - 12}{3} + 1 = 15 + 1 = 16$ gün.

Toplam: $16 \cdot \dfrac{12 + 57}{2} = 8 \cdot 69 = 552$ . Kontrol: günde ortalama $34{,}5$ sayfa, $16$ günde $552$ .

Sonuç

$552$ sayfa

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

1 + 3 + 5 + \dots + 39

toplamı kaçtır?

Açıklama

Terim sayısı $\dfrac{39 - 1}{2} + 1 = 20$ ; ilk $20$ tek sayının toplamı $20^2 = 400$ .

4. Faktöriyel: Birden Başlayan Ardışık Çarpım

Soldaki $14$ katlı kulenin her katı bir çarpan: alttan üste $1$ ’den $14$ ’e. Sağdaki $10!$ kulesi paydadır; iki kulenin alttaki on katı birer birer sadeleşir, solda $11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14$ kalır.

Örnek

orta

Ortak çarpan parantezi

$\dfrac{8! - 7!}{6! + 5!}$ işleminin sonucu kaçtır?

Pay: $8! = 8 \cdot 7!$ , yani $8! - 7! = 7!(8 - 1) = 7 \cdot 7!$ .

Payda: $6! = 6 \cdot 5!$ , yani $6! + 5! = 5!(6 + 1) = 7 \cdot 5!$ .

Sadeleştir: $\dfrac{7 \cdot 7!}{7 \cdot 5!} = \dfrac{7!}{5!} = 6 \cdot 7$ .

Sonuç

$42$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8

çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Açıklama

$8! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8$ ; $4!$ ile bölünce ilk dört çarpan gider.

Faktöriyelin sayma problemlerindeki yeri Permütasyon ve Kombinasyon sayfasında.

İleri

Asal sayılar, tanımlı işlemler ve birleşik sorular

1. Asal Sayılar: 2 Tek Çift Asaldır

Asal çarpanlara ayırma, EBOB ve EKOK Sayılar ve Bölünebilme sayfasında. Burada asallığı tek-çiftle birleştiriyoruz.

$1$ ’den $50$ ’ye taşlar dizili; $1$ asal değil, önce o batar. $2$ ’nin, $3$ ’ün, $5$ ’in ve $7$ ’nin kendileri dışındaki katları sırayla batar; ayakta kalanlar asaldır. Ayaktaki tek çift (mavi) taş $2$ ’dir.

1

’den

50

’ye

15

asal var.

2

dışındaki bütün asallar tektir;

1

asal değildir.

Örnek

zor

Asal ve tek-çift birlikte

$a$ ve $b$ asal sayılar olmak üzere $5a + 7b = 59$ olduğuna göre $a + b$ kaçtır?

$59$ tek. $a$ ve $b$ ikisi de tek olsaydı $5a + 7b$ tek + tek, yani çift olurdu. Demek ki biri $2$ .

$b = 2$ ise $5a = 45$ , $a = 9$ ; $9$ asal değil.

$a = 2$ ise $7b = 49$ , $b = 7$ ; asal. Kontrol: $10 + 49 = 59$ .

Sonuç

$a + b = 9$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

a

b

aralarında asal pozitif tam sayılar ve

\dfrac{a}{b} = \dfrac{18}{30}

ise

a + b

kaçtır?

Açıklama

$\ebob(18, 30) = 6$ , yani $\dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5}$ . $3$ ile $5$ aralarında asal: $a = 3$ , $b = 5$ .

2. Tanımlı İşlem: Kuralı Uygula, Gerekirse Geriye Çalış

TYT soru içinde yeni bir işlem ya da gösterim tanımlar. Ezber gerekmez; kuralı dikkatle uygulamak yeter.

Aşağıdaki örneğin kuralı: tek sayı $3n + 1$ ’e, çift sayı yarısına gider. $4$ ’ten geriye her adımda iki dal açılır: çift dal $2y$ , tek dal $\frac{y - 1}{3}$ . Pozitif tek tam sayı vermeyen dal söner; üç adım sonra $4$ , $5$ ve $32$ kalır.

Örnek

zor

Sonuçtan geriye: ters çalışma

Pozitif tam sayılar için $\langle n \rangle$ işlemi şöyle tanımlanıyor: $n$ tekse $\langle n \rangle = 3n + 1$ , $n$ çiftse $\langle n \rangle = \dfrac{n}{2}$ . $\langle \langle \langle x \rangle \rangle \rangle = 4$ olduğuna göre $x$ ’in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Sına: $\langle 3 \rangle = 10$ , $\langle 10 \rangle = 5$ . Tek sayı büyür, çift sayı yarıya iner.

Bir adım geri: $\langle y \rangle = 4$ . Çift dal $y = 8$ ; tek dal $3y + 1 = 4$ , $y = 1$ (tek, uygun).

İki adım geri: $\langle z \rangle = 8$ için $z = 16$ (tek dalda $z = \frac{7}{3}$ olmaz). $\langle z \rangle = 1$ için $z = 2$ (tek dalda $z = 0$ pozitif değil).

Üç adım geri: $\langle x \rangle = 16$ için $x = 32$ ya da $3x + 1 = 16$ , $x = 5$ . $\langle x \rangle = 2$ için $x = 4$ (tek dalda $x = \frac{1}{3}$ olmaz).

Sonuç

$x \in \{4, 5, 32\}$ ; toplam $41$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

a \circ b = a^2 - b

ise

(3 \circ 4) \circ 2

kaçtır?

Açıklama

$3 \circ 4 = 9 - 4 = 5$ ; $5 \circ 2 = 25 - 2 = 23$ .

3. Birleşik Soru: Tahmin Et, Sına

Uzun bağlamlı soruda önce bilineni formüle çevir. Denklem çözülemiyorsa yaklaşık değeri tahmin et, sonra komşu değerleri sına.

Örnek

zor

İki kez sayılan kart

Ece, $1$ ’den $n$ ’ye kadar numaralanmış kartların numaralarını topluyor. Kartlardan birinin numarasını yanlışlıkla iki kez ekliyor ve toplamı $2025$ buluyor. İki kez eklenen kartın numarası kaçtır?

Doğru toplam $\dfrac{n(n + 1)}{2}$ . Fazladan eklenen $k$ için $1 \le k \le n$ , yani doğru toplam $2025$ ’ten en çok $n$ eksiktir.

Tahmin et: $\dfrac{n^2}{2} \approx 2025$ , $n^2 \approx 4050$ , $n \approx 63$ . $n = 63$ için $\dfrac{63 \cdot 64}{2} = 2016$ .

Sına: $k = 2025 - 2016 = 9 \le 63$ , uygun. $n = 62$ için toplam $1953$ ve $k = 72 > 62$ ; $n = 64$ için toplam $2080 > 2025$ .

Sonuç

$9$ numaralı kart

Özet

Bu konudan aklında kalacaklar

İşlem önceliği: parantez, üs, çarpma-bölme, toplama-çıkarma; aynı düzeyde soldan sağa.
İşaret: $(-) \cdot (-) = (+)$ ; $-3^2 = -9$ ama $(-3)^2 = 9$ ; çift kuvvet işareti siler, tek kuvvet korur.
Tek-çift: tek + tek = çift; çarpımda bir çift çarpan yeter; $a^n$ , $a$ ile aynı tek-çiftlikte.
Her zaman sorusu: koşulu çevir, sadeleştir; kanıtla ya da $1$ ve $2$ ile karşı örnek bul.
Eşit artan toplam: terim sayısı $\frac{\text{son} - \text{ilk}}{\text{artış}} + 1$ ; toplam, terim sayısı çarpı ilk ve sonun ortalaması.
Faktöriyel: $n! = n \cdot (n - 1)!$ ve $(k + 1) \cdots n = \frac{n!}{k!}$ .
Asal: $2$ tek çift asal; iki asalın toplamı tekse biri $2$ .
Tanımlı işlem: oku, sına, içten dışa hesapla; sonuç verilmişse ters çalış.

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

12 çıkmış soru5 özgün soru

2025 TYTSoru 5

Kolay

Tanımlı işlem ve gösterim

$a$ , $b$ ve $c$ pozitif gerçek sayılardır. Şekildeki çeyreği eksik dairede üst bölmeye $a$ , sol alt bölmeye $b$ , sağ alt bölmeye $c$ yazılınca gösterimin değeri $a \cdot (b + c)$ oluyor.

Şekilde verilen eşitliğe göre $x$ kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 25)

Çözüm

1. Kuralı uygula. İlk gösterim $8 \cdot (7 + 6) = 104$ , ikincisi $6 \cdot (5 + 4) = 54$ .

2. Farkı al. $104 - 54 = 50$ .

3. Denklem. Sonuç gösterimi $x \cdot (x + x) = 2x^2 = 50$ , yani $x^2 = 25$ . $x$ pozitif olduğundan $x = 5$ .

Tuzak: $x \cdot (x + x)$ ’i $3x$ ya da $x^3$ sanmak.

Cevap: E

2025 TYTSoru 8

Orta

Her zaman tek/çift

$a$ , $b$ ve $c$ pozitif tam sayıları için

$\dfrac{a + b}{c}$ bir çift tam sayı,
$\dfrac{a + c}{b}$ bir tek tam sayıdır.

Buna göre

I. $a + b + c$
II. $a \cdot (b + c)$
III. $a \cdot b \cdot c$

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

İpucu

Bölüm tam sayıysa pay, payda ile bölümün çarpımıdır. Bölüm çiftse pay için, bölüm tekse pay ile payda için ne söylenir?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 26)

Çözüm

1. Bölümden çarpıma geç. $a + b = c \cdot (\text{çift})$ , yani $a + b$ çift: $a$ ile $b$ aynı tek-çiftlikte.

2. İkinci koşul. $a + c = b \cdot (\text{tek})$ : $a + c$ ile $b$ aynı tek-çiftlikte. $b$ , $a$ ile aynı olduğundan $a + c$ de $a$ ile aynı; yani $c$ çift.

3. I ve III. I: $(a + b) + c$ , çift + çift = çift. III: $c$ çift, çarpım çift.

4. II. Karşı örnek $a = 1$ , $b = 3$ , $c = 2$ : $\dfrac{4}{2} = 2$ çift, $\dfrac{3}{3} = 1$ tek; ama $a(b + c) = 5$ tek.

Tuzak: bölüm tek diye payı tek sanmak; bölüm tekse pay, paydayla aynı tek-çiftliktedir.

Cevap: D

2025 TYTSoru 12

Orta

Asal sayılar

Kendisi asal sayı olan ama rakamlarından hiçbiri asal sayı olmayan doğal sayılara asalız sayı deniyor. Örneğin $109$ bir asalız sayıdır.

Buna göre iki basamaklı bütün asalız sayıların toplamı kaçtır?

İpucu

Önce asal olmayan rakamları listele. İki basamaklı bir asal sayının birler basamağında hangileri bulunabilir?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 27)

Çözüm

1. Tanımı sına. $109$ asal; rakamları $1$ , $0$ ve $9$ asal değil.

2. Rakamları daralt. Asal olmayan rakamlar: $0, 1, 4, 6, 8, 9$ . İki basamaklı asal sayı çift sayıyla ya da $0$ ile bitemez; birler basamağı $1$ ya da $9$ .

3. Listele. Onlar basamağı $1, 4, 6, 8, 9$ : adaylar $11, 19, 41, 49, 61, 69, 81, 89, 91, 99$ .

4. Asallığı sına. $49 = 7^2$ , $69 = 3 \cdot 23$ , $81 = 9^2$ , $91 = 7 \cdot 13$ , $99 = 9 \cdot 11$ asal değil. Kalanlar $11, 19, 41, 61, 89$ .

11 + 19 + 41 + 61 + 89 = 221

Tuzak: $91$ ’i asal sanmak; $91 = 7 \cdot 13$ .

Cevap: E

2024 TYTSoru 7

Orta

Her zaman tek/çift

İki kasanın her birinde eşit sayıda elma var. A ve B sınıflarındaki her öğrenciye birer elma verilecek.

Kasalardan birindeki elmalar A sınıfına dağıtılınca kasada $3$ elma artıyor.
Öteki kasadaki elmalar B sınıfına dağıtılınca elma yetmiyor ve $2$ öğrenci elmasız kalıyor.

Buna göre

I. Her kasada tek sayıda elma vardır.
II. İki sınıfın öğrenci sayılarının farkı tek sayıdır.
III. İki sınıfın öğrenci sayılarının çarpımı çift sayıdır.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

İpucu

Bir kasadaki elma sayısına $n$ de; iki sınıfın öğrenci sayısını $n$ cinsinden yaz.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 25)

Çözüm

1. Bilinmeyeni seç. Her kasada $n$ elma olsun. A sınıfı $n - 3$ , B sınıfı $n + 2$ öğrenci.

2. II. Fark $(n + 2) - (n - 3) = 5$ ; her zaman tek.

3. III. Farkı tek olan iki tam sayıdan biri tek, öteki çifttir; çarpımları çift.

4. I. $n$ hakkında başka bilgi yok. Karşı örnek $n = 10$ : sınıflar $7$ ve $12$ öğrenci, kasalarda çift sayıda elma.

Tuzak: koşulu sağlayan bir tek $n$ bulup ( $n = 11$ gibi) I’i kesin saymak; tek bir örnek kanıt değildir.

Cevap: D

2024 TYTSoru 17

Orta

Eşit artan sayıların toplamı

Merve $30$ günlük bir yürüyüş planı yapıyor: ilk gün belirli bir süre yürüyecek, sonraki her gün bir önceki günden $1$ dakika fazla yürüyecek. Merve ilk $15$ gün plana uyuyor; sonra zorlanıyor ve kalan her gün bir önceki günden $1$ dakika az yürüyor.

$30$ günün sonunda toplam yürüyüş süresi $1395$ dakika oluyor.

Buna göre Merve ilk gün kaç dakika yürümüştür?

İpucu

İlk günü $x$ al. $15$ . gün ve $16$ . gün kaçar dakika? İki dönemi ayrı ayrı eşit artan toplam olarak yaz.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 29)

Çözüm

1. Bilinmeyeni seç. İlk gün $x$ dakika. $1$ – $15$ . günler: $x, x + 1, \dots, x + 14$ .

2. İlk dönem. $15 \cdot \dfrac{x + (x + 14)}{2} = 15x + 105$ .

3. İkinci dönem. $16$ . gün, $15$ . günden $1$ az: $x + 13$ . $16$ – $30$ . günler $x + 13, x + 12, \dots, x - 1$ ( $15$ gün):

15 \cdot \dfrac{(x + 13) + (x - 1)}{2} = 15x + 90

4. Denklem. $30x + 195 = 1395$ , $x = 40$ . Kontrol: $15 \cdot 47 + 15 \cdot 46 = 705 + 690 = 1395$ .

Tuzak: $16$ . günü yine $x + 14$ almak; azalma $16$ . günden başlar.

Cevap: C

2022 TYTSoru 7

Orta

Tek-çift çıkarımı

$a$ , $b$ ve $c$ tam sayıları için

a + b, \qquad b \cdot (a + b), \qquad c \cdot (a + b)

ifadelerinden ikisi çift, biri tektir.

Buna göre

I. $a + c$
II. $b + c$
III. $a + b + c$

ifadelerinden hangileri tek sayıdır?

İpucu

$a + b$ çift olsaydı öteki iki ifade ne olurdu?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 26)

Çözüm

1. Tek olanı bul. $a + b$ çift olsaydı onunla çarpılan iki ifade de çift olur, üçü de çift çıkardı. Demek ki tek olan $a + b$ ’dir.

2. Öteki ikisi çift. $a + b$ tek; $b \cdot (a + b)$ çiftse $b$ çift, $c \cdot (a + b)$ çiftse $c$ çift. $a + b$ tek ve $b$ çift olduğundan $a$ tek.

3. İfadeler. I: tek + çift = tek. II: çift + çift = çift. III: $(a + b) + c$ , tek + çift = tek.

Tuzak: çarpımın çiftliğini $a + b$ ’den beklemek; $a + b$ tek olduğundan çiftliği öteki çarpan taşır.

Cevap: E

2021 TYTSoru 5

Kolay

Faktöriyel

Okul sayısını artırmak için $11$ kentte bir proje başlatılıyor. Her kentin $12$ ilçesi projeye katılıyor ve her ilçede $13$ okul yapılıyor. Okulların her biri $2$ katlı ve her katında $7$ derslik var.

Buna göre proje kapsamında yapılan toplam derslik sayısı kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 27)

Çözüm

1. Çarp. Derslik sayısı $11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 7$ .

2. Ardışık çarpımı gör. $2 \cdot 7 = 14$ ; sayı $11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14$ .

3. Faktöriyelle yaz. $14!$ ’ten $1 \cdot 2 \cdots 10 = 10!$ atılınca bu çarpım kalır:

11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 = \dfrac{14!}{10!}

Tuzak: paydaya $9!$ yazmak (B); o zaman $10$ da çarpımda kalır.

Cevap: C

2021 TYTSoru 7

Orta

Tek-çift çıkarımı

Bir apartmanda ardışık numaralı her iki kat arasındaki merdiven basamağı sayısı aynıdır. Arif, Berk ve Can bu apartmanın farklı katlarında oturuyor ve şunlar biliniyor:

Arif’in katı ile Berk’in katı arasındaki toplam basamak sayısı tektir.
Berk’in katı ile Can’ın katı arasındaki toplam basamak sayısı çifttir.

Buna göre Arif, Berk ve Can’ın oturduğu katların numaraları aşağıdakilerden hangisi olabilir?

İpucu

İki kat arasındaki basamak sayısı, kat farkı ile ardışık iki kat arasındaki basamak sayısının çarpımıdır. Çarpım tekse çarpanlar için ne söylenir?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 27)

Çözüm

1. Bilinmeyeni seç. Ardışık iki kat arasında $k$ basamak olsun. Kat farkı $d$ ise aradaki basamak sayısı $k \cdot d$ ’dir.

2. Koşulları çevir. Arif–Berk: $k \cdot d_1$ tek, yani $k$ tek ve $d_1$ tek. Berk–Can: $k$ tek olduğundan $k \cdot d_2$ çiftse $d_2$ çifttir.

3. Seçenekleri ele. Kat farkları ( $d_1$ , $d_2$ ): A) $1, 1$ ; B) $2, 3$ ; C) $2, 1$ ; D) $3, 1$ ; E) $3, 2$ . Yalnız E’de ilk fark tek, ikinci fark çift.

Tuzak: koşulu kat numaralarının kendisine uygulamak; tek ya da çift olması gereken, kat farkıdır.

Cevap: E

2020 TYTSoru 7

Orta

Tek-çift çıkarımı

$a$ ve $b$ tam sayılardır.

a + 5b, \qquad 2a + 3b, \qquad 3a + b

sayılarından ikisi tek, biri çifttir.

Buna göre

I. $a + b$
II. $2a + b$
III. $a \cdot b$

ifadelerinden hangileri çift sayıdır?

İpucu

Tek katsayıları at, çift katsayılı terimleri sil. Üç ifade hangi iki basit ifadeye dönüşüyor?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 25)

Çözüm

1. Sadeleştir. Tek-çiftlik için $5b$ yerine $b$ , $3a$ yerine $a$ yaz, $2a$ ’yı sil:

$a + 5b$ , $a + b$ gibi;
$3a + b$ , $a + b$ gibi;
$2a + 3b$ , $b$ gibi.

2. Çift olanı bul. Birinci ve üçüncü ifade hep aynı tek-çiftlikte. İkisi tek, biri çift olduğuna göre bu ikisi tek, $2a + 3b$ çifttir.

3. Bilinmeyenler. $b$ çift; $a + b$ tek olduğundan $a$ tek.

4. İfadeler. I: $a + b$ tek. II: $2a + b$ , çift + çift = çift. III: $a \cdot b$ çift ( $b$ çift).

Tuzak: $2a + 3b$ ’nin tek-çiftliğini $a$ ’ya bağlamak; $2a$ her zaman çifttir.

Cevap: E

2018 TYTSoru 4

Kolay

İşlem önceliği ve işaret kuralları

Aşağıdaki üç ifadede iki sayının arasındaki boş kutulara toplama $(+)$ , çıkarma $(-)$ ve çarpma $(\times)$ sembolleri yerleştirilecek.

I. $\boxed{-2}\ \square\ \boxed{2}$
II. $\boxed{2}\ \square\ \boxed{-2}$
III. $\boxed{-2}\ \square\ \boxed{-2}$

Semboller kutulara hangi sırayla yerleştirilirse üç işlemin sonucu da aynı sayı olur?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 22)

Çözüm

1. Her ifade için üç sonucu yaz.

İfade	$+$	$-$	$\times$
I: $-2$ ve $2$	$0$	$-4$	$-4$
II: $2$ ve $-2$	$0$	$4$	$-4$
III: $-2$ ve $-2$	$-4$	$0$	$4$

2. Ortak sonucu bul. Her sembol bir kez kullanılınca üç satırda ortak çıkabilen tek değer $-4$ ’tür: I’de $-$ , II’de $\times$ , III’te $+$ .

3. Kontrol. $-2 - 2 = -4$ , $2 \cdot (-2) = -4$ , $-2 + (-2) = -4$ .

Tuzak: III’te $-2 - (-2)$ işlemini $-4$ sanmak; negatif sayıyı çıkarmak onu eklemektir, sonuç $0$ ’dır.

Cevap: C

2018 TYTSoru 5

Kolay

Tanımlı işlem ve gösterim

$n$ kenarlı bir düzgün çokgenin içine bir $a$ doğal sayısı yazılarak oluşturulan sembol, $n \cdot a^n$ sayısını gösteriyor. Örneğin içinde $2$ yazan eşkenar üçgen $3 \cdot 2^3 = 24$ sayısını gösterir.

Şekildeki çarpımda içinde $1$ yazan kare ile içinde $3$ yazan üçgen çarpılıyor. Bu çarpımın değerini gösteren sembol aşağıdakilerden hangisidir?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 23)

Çözüm

1. Kuralı uygula. Kare $4$ kenarlı: $4 \cdot 1^4 = 4$ . Üçgen $3$ kenarlı: $3 \cdot 3^3 = 81$ .

2. Çarp. $4 \cdot 81 = 324$ .

3. Seçenekleri hesapla. A) $3 \cdot 3^3 = 81$ , B) $4 \cdot 3^4 = 324$ , C) $5 \cdot 3^5 = 1215$ , D) $3 \cdot 4^3 = 192$ , E) $4 \cdot 4^4 = 1024$ . $324$ B’dedir.

Tuzak: $1^4$ ’ü $4$ sanmak; $1$ ’in her kuvveti $1$ ’dir.

Cevap: B

2018 TYTSoru 9

Orta

Her zaman tek/çift

$a$ , $b$ ve $c$ pozitif tam sayılardır ve

a(b + c)

ifadesinin değeri bir tek sayıdır.

Buna göre

I. $a^b + c$
II. $b^c + a$
III. $c^a + b$

ifadelerinden hangileri her zaman tek sayıdır?

İpucu

Çarpım tekse iki çarpan da tektir. $b + c$ tekse $b$ ile $c$ hakkında ne biliyorsun, ne bilmiyorsun?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 24)

Çözüm

1. Koşulu çevir. Çarpım tek ise iki çarpan da tek: $a$ tek ve $b + c$ tek. $b$ ile $c$ ’den biri tek, öteki çift; hangisinin tek olduğu belli değil.

2. Kuvvet kuralı. Pozitif üslü kuvvet tabanıyla aynı tek-çiftliktedir: $a^b$ tek; $b^c$ , $b$ gibi; $c^a$ , $c$ gibi.

3. Her ifadeyi incele.

I: $a^b$ tek; $c$ tekse toplam çift olur. Karşı örnek $a = 1$ , $b = 2$ , $c = 1$ : $1 + 1 = 2$ .
II: $a$ tek; $b$ tekse $b^c + a$ çift olur. Karşı örnek $a = 1$ , $b = 1$ , $c = 2$ : $1 + 1 = 2$ .
III: $c^a + b$ , $c + b$ ile aynı tek-çiftlikte; $b + c$ tek olduğundan her zaman tek.

Tuzak: $b$ ’yi tek, $c$ ’yi çift varsayıp II’yi de seçmek; hangisinin tek olduğu bilinmiyor.

Cevap: B

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

İşlem önceliği ve işaret kuralları

-2^4 + (-3)^2 \cdot 2 - 18 : (-3) \cdot 2

işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm

1. Üsler. $-2^4 = -16$ (üs eksiyi kapsamaz), $(-3)^2 = 9$ .

2. Çarpma ve bölme, soldan sağa. $9 \cdot 2 = 18$ ; $18 : (-3) \cdot 2 = -6 \cdot 2 = -12$ .

3. Toplama ve çıkarma. $-16 + 18 - (-12) = -16 + 18 + 12 = 14$ .

Tuzak: $18 : (-3) \cdot 2$ ’yi $18 : (-6)$ diye hesaplamak (B) ya da $-2^4$ ’ü $16$ almak (E).

Cevap: C

Özgün soru2

Orta

İşaret incelemesi

$a$ , $b$ ve $c$ sıfırdan farklı gerçek sayılardır.

a^2 \cdot b < 0, \qquad \dfrac{a \cdot c^4}{b} > 0, \qquad a^5 \cdot c^3 > 0

Buna göre

I. $b \cdot c$
II. $a + b + c$
III. $a^2 - c$

ifadelerinden hangileri pozitiftir?

İpucu

Çift kuvvetler işareti siler. Her eşitsizlikte işareti belli olan çarpanları at; geriye ne kalıyor?

Çözüm

1. Birinci koşul. $a^2 > 0$ olduğundan $b < 0$ .

2. İkinci koşul. $c^4 > 0$ ; geriye $\dfrac{a}{b} > 0$ kalır. $a$ ile $b$ aynı işaretli: $a < 0$ .

3. Üçüncü koşul. Tek kuvvetler işareti korur: $a^5 \cdot c^3$ , $a \cdot c$ ile aynı işaretli ve pozitif. $a < 0$ ise $c < 0$ .

4. İfadeler. I: $(-) \cdot (-) > 0$ . II: üç negatifin toplamı negatif. III: $a^2 > 0$ ve $-c > 0$ ; toplam pozitif.

Tuzak: III’te $a^2 - c$ ’yi pozitiften pozitif çıkarmak sanmak; $c$ negatif olduğundan $-c$ pozitiftir.

Cevap: D

Özgün soru3

Orta

Asal sayılar ve tek-çift

$a$ , $b$ ve $c$ birbirinden farklı asal sayılardır ve $a + b + c = 40$ ’tır.

Buna göre $a \cdot b \cdot c$ çarpımı kaçtır?

İpucu

Üç tek sayının toplamı tek mi, çift mi? $40$ bu konuda ne söylüyor?

Çözüm

1. Tek-çift. Üç asal da tek olsaydı toplam tek olurdu; $40$ çift. Demek ki biri $2$ .

2. Kalan iki asal. Toplamları $38$ ; ikisi de tek ve farklı. Dene: $3 + 35$ , $5 + 33$ , $7 + 31$ , $11 + 27$ , $13 + 25$ , $17 + 21$ , $19 + 19$ . Yalnız $7 + 31$ uygun ( $19 + 19$ ’da sayılar farklı değil).

3. Çarpım. $2 \cdot 7 \cdot 31 = 434$ .

Tuzak: $19 + 19$ ’u almak (D) ya da $1$ ’i asal sayıp $1 + 37$ almak (A).

Cevap: C

Özgün soru4

Orta

Ardışık sayılar

$n$ bir tam sayı olmak üzere

I. $n(n + 1)$ çift sayıdır.
II. $n(n + 1)(n + 2)$ sayısı $6$ ’nın katıdır.
III. $n^2 + 3n$ tek sayıdır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

İpucu

Ardışık iki tam sayıdan biri çifttir, ardışık üç tam sayıdan biri $3$ ’ün katıdır. III’ü ortak çarpan parantezine al.

Çözüm

1. I. $n$ ile $n + 1$ ardışık; biri çift, çarpım her zaman çift.

2. II. Ardışık üç sayıda en az bir çift sayı ve bir $3$ ’ün katı var; çarpım hem $2$ ’ye hem $3$ ’e, yani $6$ ’ya bölünür.

3. III. $n^2 + 3n = n(n + 3)$ . $n$ ile $n + 3$ ’ün farkı tek, biri çift; çarpım hiçbir zaman tek olmaz. Örnek $n = 1$ : $1 + 3 = 4$ .

Tuzak: $3n$ ’yi tek sanmak; $3n$ , $n$ ile aynı tek-çiftliktedir, bu yüzden $n^2 + 3n$ de $n + n$ gibi çifttir.

Cevap: C

Özgün soru5

Zor

Tek-çift ve işaret bağlamda

Bir bilgi yarışmasında her doğru cevap $3$ puan kazandırıyor, her yanlış cevap $2$ puan kaybettiriyor. Ali $20$ sorunun hepsini cevaplıyor ve toplam puanı negatif bir tek sayı oluyor.

Buna göre

I. Ali’nin doğru cevap sayısı tektir.
II. Ali’nin yanlış cevap sayısı $12$ ’den fazladır.
III. Ali’nin doğru ve yanlış cevap sayılarının çarpımı çifttir.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

İpucu

Doğru cevap sayısına $d$ de ve puanı $d$ cinsinden yaz. Puanın tek olması ve negatif olması $d$ hakkında iki ayrı bilgi verir.

Çözüm

1. Bilinmeyeni seç. Doğru sayısı $d$ , yanlış sayısı $20 - d$ . Puan $3d - 2(20 - d) = 5d - 40$ .

2. Tek-çift. $40$ çift; $5d - 40$ tekse $5d$ tek, yani $d$ tek. I kesin.

3. İşaret. $5d - 40 < 0$ ise $d < 8$ . $d$ tek: $1, 3, 5$ ya da $7$ . Yanlış sayısı $20 - d$ en az $13$ ; II kesin.

4. III. $d$ tek ve toplam $20$ çift olduğundan $20 - d$ de tek; çarpım tek. III hiçbir durumda doğru değil.

Tuzak: toplam $20$ çift diye doğru ve yanlış sayılarını çift sanmak; toplam çiftse ikisi aynı tek-çiftliktedir, burada ikisi de tek.

Cevap: C