2Konu 2 / 49
Temel Kavramlar

Kümeler ve Kartezyen Çarpım

Kümeyi, alt kümeyi ve eşit kümeleri kuruyor; birleşim, kesişim, fark ve tümleme ile eleman sayısı problemlerini çözüyor; sıralı ikiliden kartezyen çarpıma ve AYT'nin sevdiği kartezyen çarpım sorularına geçiyoruz.

9. sınıf
AYT sıklığı
50 dk

LevhaKümeler ve Kartezyen ÇarpımKümeler ve Kartezyen Çarpım

$30$ kişilik bir sınıfta $18$ kişi basketbol, $15$ kişi voleybol oynuyor; $4$ kişi ikisini de oynamıyor. Topla: $18 + 15 + 4 = 37$ . Sınıfta $30$ kişi var, fazladan $7$ kişi nereden çıktı? Sahnede her nokta bir öğrenci; noktalar iki halkaya yerleşirken bazılarının iki halkanın da içinde kaldığına bak. Bu sayfa o öğrencileri saymanın dilini kuruyor: kümeler.

Isınma

Başlamadan: bağlaçlar, asal sayılar, ikinin kuvvetleri

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

p

doğru,

q

yanlış bir önermedir. Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Açıklama

“Veya” ile kurulan önerme, bileşenlerden en az biri doğruysa doğrudur. Ayrıntısı Mantık sayfasında; küme işlemleri bu üç bağlacın üzerine kurulur.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Rakamlardan kaç tanesi asal sayıdır?

Açıklama

Asal rakamlar $2, 3, 5, 7$ ‘dir. $0$ ve $1$ asal değildir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

2^5

kaçtır?

Açıklama

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ . İkinin kuvvetleri alt küme sayarken sürekli karşına çıkacak: $2, 4, 8, 16, 32, 64, 128$ .

Temel

Küme, alt küme, eşit kümeler

Küme ve eleman

Bir sınıfın öğrencileri, haftanın günleri, asal rakamlar: hangi nesnenin içeride, hangisinin dışarıda olduğu kesin olan her topluluk bir kümedir. “Sınıfın uzun boylu öğrencileri” küme belirtmez, çünkü kimin uzun sayılacağı kişiden kişiye değişir. Küme düşüncesini matematiğin ortak diline çeviren kişi 19. yüzyılda Georg Cantor’dur.

Aynı küme üç biçimde yazılır. $A$ asal rakamlar kümesi olsun:

Gösterim	Yazılışı
Liste	$A = \{2, 3, 5, 7\}$
Ortak özellik	$A = \{x \mid x \text{ asal rakam}\}$
Venn şeması	Elemanlar kapalı bir eğrinin içine yazılır

Listede sıra önemsizdir ve her eleman bir kez yazılır: $\{2, 3, 5, 7\} = \{7, 5, 3, 2\}$ . Üzerinde çalıştığımız bütün nesneleri içeren kümeye evrensel küme denir ve $E$ ile gösterilir.

Evrensel küme rakamlar,

A

asal rakamlar:

s(A) = 4

, dışarıda

6

rakam kalır.

Sahnede $1$ ‘den $12$ ‘ye kadar sayılar ve “ $k$ ‘nin katları” kuralı var. $k$ sürgüsünü değiştir: kurala uyan sayılar halkanın içine girer, uymayanlar dışarıda kalır. Üstte aynı kümenin liste ve ortak özellik gösterimi birlikte değişiyor. Üç gösterim de tek bir soruyu yanıtlar: bu sayı içeride mi?

Örnek

kolay

Ortak özellikten listeye

$A = \{x \mid x \in \mathbb{Z},\ x^2 < 10\}$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Koşulu sırayla dene, çünkü ortak özellik “hangi sayılar içeride” sorusunun kuralıdır: $0^2 = 0$ , $1^2 = 1$ , $2^2 = 4$ , $3^2 = 9$ koşulu sağlar; $4^2 = 16$ sağlamaz.

$x$ tam sayı, yani negatif de olabilir. Karesi alınınca işaret kaybolduğundan $-1$ , $-2$ , $-3$ de koşulu sağlar.

Listeyi yaz ve say: $A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ .

Sonuç

$s(A) = 7$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

”MATEMATİK” sözcüğünün harflerinden oluşan kümenin eleman sayısı kaçtır?

Açıklama

Farklı harfler M, A, T, E, İ, K’dir. M, A ve T ikişer kez geçse de kümeye birer kez yazılır: $6$ eleman.

Alt küme

Sınıftaki basketbolcuların hepsi aynı zamanda sınıfın öğrencisidir. Bir kümenin her elemanı başka bir kümenin de elemanıysa, birinci küme ikincinin içindedir.

Boş kümenin neden her kümenin alt kümesi olduğunu şöyle düşün: $\varnothing \subseteq A$ yanlış olsaydı, boş kümede olup $A$ ‘da olmayan bir eleman gösterebilmen gerekirdi. Boş kümede gösterecek eleman yok.

Sahnede $\{a, b, c\}$ kümesinin her elemanı için iki seçenek var: elemanı alt kümeye al ya da alma. Elemanlara dokunarak ya da seçiciyle kararı değiştir; oluşan alt küme sağdaki sekiz karttan birinde yanıyor. Sonra $n$ sürgüsünü artır: her yeni eleman bütün alt kümeleri ikiye katlıyor.

Üç eleman, her biri için iki karar:

2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

alt küme.

Aynı düşünce koşullu saymayı da çözer. Bir elemanın alt kümede bulunması ya da bulunmaması isteniyorsa o eleman için karar verilmiştir; iki seçenek yalnızca serbest kalan elemanlar içindir.

Örnek

kolay

Alt küme sayısından eleman sayısına

Bir $A$ kümesinin alt küme sayısı ile öz alt küme sayısının toplamı $63$ ‘tür. $s(A)$ kaçtır?

$s(A) = n$ de. Alt küme sayısı $2^n$ , öz alt küme sayısı bundan bir eksiktir, çünkü yalnızca kümenin kendisi çıkarılır: $2^n - 1$ .

Toplamı kur: $2^n + 2^n - 1 = 63$ , yani $2 \cdot 2^n = 64$ ve $2^n = 32$ .

$32 = 2^5$ olduğundan $n = 5$ . Kontrol: $32 + 31 = 63$ .

Sonuç

$s(A) = 5$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

A = \{1, 2, 3, 4\}

kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinde

1

eleman olarak bulunur?

Açıklama

$1$ için karar verildi: alınacak. Kalan $2, 3, 4$ elemanlarının her biri alınır ya da alınmaz: $2^3 = 8$ .

Eşit kümeler

İki küme tam olarak aynı elemanlardan oluşuyorsa eşittir. Yazılış sırası ya da bir elemanın iki kez yazılması bunu değiştirmez.

Örnek

kolay

Eşit kümelerde bilinmeyen bulma

$A = \{1, 5, 2a - 1\}$ ve $B = \{5, 9, b + 3\}$ kümeleri eşit olduğuna göre $a + b$ toplamı kaçtır?

Ortak yazılan elemanı ayır: $5$ iki kümede de var. Geriye $A$ ‘da $1$ ile $2a - 1$ , $B$ ‘de $9$ ile $b + 3$ kalıyor.

$B \subseteq A$ olduğundan $9$ , $A$ ‘nın elemanıdır. $A$ ‘da $9$ olabilecek tek yer $2a - 1$ ‘dir: $2a - 1 = 9$ , $a = 5$ .

$A \subseteq B$ olduğundan $1$ , $B$ ‘nin elemanıdır. $B$ ‘de $1$ olabilecek tek yer $b + 3$ ‘tür: $b + 3 = 1$ , $b = -2$ .

Sonuç

$a + b = 5 + (-2) = 3$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

A = \{1, 2, 3\}

B = \{3, 1, 2, 2\}

için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Açıklama

$B$ ‘nin farklı elemanları $1, 2, 3$ ‘tür. $A \subseteq B$ ve $B \subseteq A$ olduğundan $A = B$ .

Orta

Küme işlemleri, eleman sayısı, kartezyen çarpım

Birleşim, kesişim, fark, tümleme

İki kümeden yeni küme üretmenin dört yolu var ve dördü de birer bağlaçtır: “veya”, “ve”, “ama değil”, “değil”.

Fark için $A - B$ yazıldığını da görürsün; aynı şeydir. Tümleyen de bir farktır: $A' = E \setminus A$ .

Dört işlemin Venn şemasında kapladığı bölgeler.

Sahnede $E$ içinde $A$ ve $B$ halkaları, içlerinde $12$ nokta var. İşlem seçicisinden $\cup$ , $\cap$ , $\setminus$ ya da tümleyeni seç; seçtiğin bölge boyanır ve o bölgedeki noktalar sayılır. $B$ halkasını sürükleyip $A$ ‘dan tamamen ayır: kesişim boşalır, kümeler ayrık olur.

Örnek

orta

İşlemleri eleman eleman yapma

$E = \{1, 2, \dots, 10\}$ evrensel kümesinde $A = \{2, 3, 5, 7\}$ ve $B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ veriliyor. $(A \setminus B) \cup (A \cup B)'$ kümesini bul.

Parantezleri ayrı ayrı hesapla; çünkü birleşimin iki yanı birbirinden bağımsız. $A \setminus B$ : $A$ ‘da olup $B$ ‘de olmayanlar. $3, 5, 7$ ikisinde de var, geriye $\{2\}$ kalır.

$A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 9\}$ . Tümleyeni, $E$ ‘nin bu kümede olmayan elemanlarıdır: $(A \cup B)' = \{4, 6, 8, 10\}$ .

İkisini birleştir: $\{2\} \cup \{4, 6, 8, 10\} = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ . Bu, $B$ ‘de olmayan sayıların tamamıdır; yani sonuç $B'$ kümesidir.

Sonuç

$(A \setminus B) \cup (A \cup B)' = \{2, 4, 6, 8, 10\} = B'$

Son adımdaki eşitlik rastlantı değil. Küme işlemleri, Mantık sayfasındaki bağlaçların aynısıdır; oradaki her denkliğin kümelerde bir karşılığı vardır.

Mantık	Kümeler
$0$ , $1$	$\varnothing$ , $E$
$p \lor q$ , $p \land q$ , $p'$ , $\equiv$	$A \cup B$ , $A \cap B$ , $A'$ , $=$
$p \lor p' \equiv 1$	$A \cup A' = E$
$p \land p' \equiv 0$	$A \cap A' = \varnothing$
$p \land (q \lor r) \equiv (p \land q) \lor (p \land r)$	$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
$(p \land q)' \equiv p' \lor q'$	$(A \cap B)' = A' \cup B'$

De Morgan kuralını şöyle oku: ” $A$ veya $B$ ‘de olmamak”, “hem $A$ ‘da hem $B$ ‘de olmamak” demektir. Tümleyen parantezin içine girerken işlemi çevirir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

(A' \cup B)'

kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Açıklama

De Morgan: $(A' \cup B)' = (A')' \cap B' = A \cap B'$ . Bu da $A \setminus B$ kümesidir.

Birleşimin eleman sayısı

Kancadaki sınıfa dön. $18 + 15$ toplamında iki sporu da yapanlar hem basketbolcular arasında hem voleybolcular arasında sayıldı. Fazlalık tam olarak kesişimdir.

Sahne eğiliyor: $A$ ve $B$ artık üst üste konmuş iki ince levha. Kesiştikleri yerde yükseklik iki kat, yani oradaki her eleman iki kez sayılmış. “Kesişimi çıkar” anahtarını aç: fazla kat kalkıyor ve her yerde yükseklik bir oluyor. Kaydırma sürgüsüyle kesişimi büyüt, toplamın nasıl değiştiğini izle.

Sınıfta en az bir spor yapan $30 - 4 = 26$ kişi var. $26 = 18 + 15 - s(B \cap V)$ eşitliğinden iki sporu da yapan $7$ kişi bulunur; $37$ ile $30$ arasındaki fark buydu.

Önce kesişim yazılır:

7

. Sonra

18 - 7 = 11

15 - 7 = 8

Örnek

orta

Gezi grubu: bölgelere harf vermek

$36$ kişilik bir gezi grubunda herkes müze ve saray turlarından en az birine katılmıştır. Yalnız müze turuna katılanların sayısı, iki tura da katılanların sayısının $2$ katıdır. Yalnız saray turuna katılanlar, iki tura da katılanlardan $4$ fazladır. Saray turuna kaç kişi katılmıştır?

Bütün bilgiler kesişime bağlı verilmiş; o yüzden bilinmeyeni kesişime koy. İki tura da katılanlar $x$ kişi olsun.

Venn şemasının üç bölgesini $x$ ile yaz: yalnız müze $2x$ , ikisi birden $x$ , yalnız saray $x + 4$ . Bu üç bölge ayrık olduğundan doğrudan toplanır.

Herkes en az bir tura katıldığı için toplam $36$ ‘dır: $2x + x + (x + 4) = 36$ , $4x = 32$ , $x = 8$ .

Saray turuna katılanlar iki bölgeden oluşur: ikisine de katılanlar ve yalnız saraya katılanlar. $8 + 12 = 20$ . Kontrol: $16 + 8 + 12 = 36$ .

Sonuç

Saray turuna $20$ kişi katılmıştır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

s(A) = 12

s(B) = 9

s(A \cup B) = 16

ise

s(A \setminus B)

kaçtır?

Açıklama

$16 = 12 + 9 - s(A \cap B)$ eşitliğinden $s(A \cap B) = 5$ . $s(A \setminus B) = 12 - 5 = 7$ .

Üç kümenin birleşimi

Üç kümede fazla sayma iki katmanlıdır. Üç eleman sayısını toplayınca ikili kesişimler ikişer kez, üçünün ortak bölgesi üç kez sayılır.

Üç levha üst üste: yükseklik bölgeye göre $1$ , $2$ ya da $3$ . Adım düğmesiyle ilerle. Önce üç küme toplanır. Sonra ikili kesişimler birer kat indirilir; ortadaki bölge üç kez çıkarıldığı için sıfıra iner. Son adımda orta bölge bir kat geri eklenir ve her yerde yükseklik bir olur.

Örnek

orta

Üç kulüp: şemayı içten dışa doldurmak

$40$ kişilik bir sınıfta müzik kulübüne $20$ , resim kulübüne $17$ , spor kulübüne $16$ öğrenci üyedir. Müzik ve resme $7$ , müzik ve spora $6$ , resim ve spora $5$ öğrenci birlikte üyedir; $3$ öğrenci üç kulübe de üyedir. Hiçbir kulübe üye olmayan kaç öğrenci vardır?

Hiçbir kulüpte olmayanlar birleşimin dışındadır; önce en az bir kulübe üye olanları say. Kuralı uygula:

$20 + 17 + 16 - 7 - 6 - 5 + 3 = 38$

Sınıf mevcudundan çıkar: $40 - 38 = 2$ .

Şemayla doğrula; en içten başla, çünkü dıştaki her bölge içtekilere bağlıdır. Orta bölge $3$ . İkili bölgeler: $7 - 3 = 4$ , $6 - 3 = 3$ , $5 - 3 = 2$ . Yalnız müzik $20 - 4 - 3 - 3 = 10$ , yalnız resim $17 - 4 - 2 - 3 = 8$ , yalnız spor $16 - 3 - 2 - 3 = 8$ .

Yedi bölgeyi topla: $10 + 8 + 8 + 4 + 3 + 2 + 3 = 38$ . İki yol aynı sonucu veriyor.

Sonuç

Hiçbir kulübe üye olmayan $2$ öğrenci vardır.

Önce üçünün ortak bölgesi, sonra ikili bölgeler, en son yalnız bölgeler ve dışarısı.

Sıralı ikili ve kartezyen çarpım

Sinema biletinde ” $5$ . sıra $8$ . koltuk” ile ” $8$ . sıra $5$ . koltuk” aynı yer değildir. Sıranın önem taşıdığı iki nesneyi bir sıralı ikili ile yazarız: $(a, b)$ . Burada $a$ birinci bileşen, $b$ ikinci bileşendir.

$A = \{1, 2, 3\}$ ve $B = \{4, 5\}$ için $A \times B = \{(1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5)\}$ olur. $A$ ‘nın her elemanı $B$ ‘nin her elemanıyla bir kez eşleşir.

Sahne yeniden düzleşti. Yatay eksende $A$ ‘nın, düşey eksende $B$ ‘nin elemanları duruyor; her ikili bir nokta. $s(A)$ ve $s(B)$ sürgülerini oynat: noktalar dikdörtgen biçiminde dizilir ve sayıları çarpım kadardır. " $B \times A$ " anahtarını aç; bütün noktalar $y = x$ doğrusuna göre yansıyor.

A = \{1, 2, 3\}

B = \{4, 5\}

A \times B

ile

B \times A

aynı sayıda ama farklı noktalardan oluşur.

Grafikten kümeleri geri okumak da aynı kuraldır: noktaların apsisleri birinci kümeyi, ordinatları ikinci kümeyi verir.

Örnek

orta

İkililerden kümeleri okuma

$A \times B = \{(1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (4,2), (4,3)\}$ olduğuna göre $(A \cup B) \times (A \cap B)$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Birinci bileşenler $A$ ‘dan gelir, çünkü çarpım $A \times B$ sırasıyla yazılmış: $A = \{1, 2, 4\}$ .

İkinci bileşenler $B$ ‘yi verir: $B = \{2, 3\}$ . Kontrol: $s(A) \cdot s(B) = 3 \cdot 2 = 6$ , verilen ikili sayısıyla aynı.

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}$ ve $A \cap B = \{2\}$ . İkilileri tek tek yazmaya gerek yok; eleman sayıları çarpılır.

Sonuç

$s\big((A \cup B) \times (A \cap B)\big) = 4 \cdot 1 = 4$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

(x - 1,\ 5) = (3,\ y + 2)

olduğuna göre

x \cdot y

kaçtır?

Açıklama

Birinci bileşenler: $x - 1 = 3$ , $x = 4$ . İkinci bileşenler: $y + 2 = 5$ , $y = 3$ . Çarpım $12$ .

İleri

Sınav düzeyi: birleşik sorular ve tuzaklar

Çarpımların kesişimi

$(x, y)$ ikilisi hem $A \times B$ hem $B \times A$ kümesindeyse $x$ hem $A$ ‘da hem $B$ ‘dedir; $y$ de öyle. Demek ki ortak ikililer, iki bileşeni de kesişimden gelen ikililerdir.

Sahnede $A = \{1, 2, 3, 4\}$ sabit, $B$ üç ardışık sayıdan oluşuyor. $A \times B$ halkalarla, $B \times A$ dolu noktalarla çizili; ikisinin üst üste geldiği noktalar bir kare oluşturuyor. $B$ ‘yi sürgüyle kaydır: karenin kenarı her zaman $s(A \cap B)$ kadar, birleşimdeki nokta sayısı $2 \cdot s(A) \cdot s(B) - s(A \cap B)^2$ .

A = \{1,2,3,4\}

B = \{3,4,5\}

: ortak ikililer

\{3, 4\} \times \{3, 4\}

karesidir; birleşimde

12 + 12 - 4 = 20

nokta var.

Örnek

zor

Ortak ikililerden çarpıma

$A$ ve $B$ kümeleri için $s(A \setminus B) = 3$ , $s(B \setminus A) = 2$ ve $s\big((A \times B) \cap (B \times A)\big) = 16$ veriliyor. $s(A \times B)$ kaçtır?

Ortak ikililer $(A \cap B) \times (A \cap B)$ kümesidir; eleman sayısı $s(A \cap B)^2$ olur. $s(A \cap B)^2 = 16$ ve eleman sayısı negatif olamayacağından $s(A \cap B) = 4$ .

Her küme, farkı ile kesişimin ayrık birleşimidir: $s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) = 3 + 4 = 7$ ve $s(B) = 2 + 4 = 6$ .

Çarpımın eleman sayısı eleman sayılarının çarpımıdır: $7 \cdot 6$ .

Sonuç

$s(A \times B) = 42$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

s(A) = 3

s(B) = 4

s(A \cap B) = 2

ise

s\big((A \times B) \cup (B \times A)\big)

kaçtır?

Açıklama

Her çarpım $12$ elemanlıdır. Ortak ikililer $(A \cap B) \times (A \cap B)$ : $2 \cdot 2 = 4$ tane. $12 + 12 - 4 = 20$ .

Koşula uyan kümeleri saymak

ÖSYM’nin “kaç farklı $A$ kümesi vardır” soruları alt küme ağacının devamıdır. Evrendeki her eleman için tek tek karar ver: $A$ ‘da olmak zorunda mı, olamaz mı, yoksa serbest mi? Sayıyı yalnızca serbest elemanlar belirler.

Örnek

zor

Zorunlu, yasak, serbest

$A$ , $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ kümesinin bir alt kümesi ve $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ olmak üzere

$A \cap B = \{2, 4\} \quad \text{ve} \quad A \cup B \neq B$

koşullarını sağlayan kaç farklı $A$ kümesi vardır?

Birinci koşulu $B$ ‘nin elemanları üzerinde oku, çünkü kesişim yalnızca onlar hakkında konuşur. $2$ ve $4$ zorunlu: $A$ ‘dadır. $1$ , $3$ , $5$ yasak: $A$ ‘da olsalardı kesişimde de görünürlerdi.

$6$ , $7$ , $8$ hakkında birinci koşul bir şey söylemez; her biri serbesttir. Yalnız birinci koşulu sağlayan $2^3 = 8$ küme vardır.

İkinci koşul: $A \cup B = B$ olması $A \subseteq B$ demektir. Bunun olmaması için $A$ ‘da $B$ dışından en az bir eleman, yani $6$ , $7$ , $8$ ‘den en az biri bulunmalı.

$8$ kümeden yalnızca biri bu üç elemandan hiçbirini içermez: $A = \{2, 4\}$ . Onu çıkar.

Sonuç

$8 - 1 = 7$ farklı $A$ kümesi vardır.

En az, en çok

Eleman sayıları tam verilmediğinde kesişimin alabileceği değerler sınırlıdır. Kesişim iki kümeden de büyük olamaz; birleşim de evrensel kümeden büyük olamaz.

Örnek

zor

Uygulama ayarları: kesişimin sınırları

Bir telefon uygulamasının $50$ kullanıcısından $32$ ‘si bildirimleri, $27$ ‘si karanlık modu açmıştır. İki ayarı da açan kullanıcı sayısının alabileceği en küçük değer $a$ , en büyük değer $b$ olduğuna göre $a + b$ kaçtır?

Bildirimi açanlar $N$ , karanlık modu açanlar $K$ olsun. İstenen $s(N \cap K)$ ; onu birleşime bağla: $s(N \cap K) = 32 + 27 - s(N \cup K) = 59 - s(N \cup K)$ .

Kesişimin en küçük olması için birleşim en büyük olmalı. Birleşim en çok bütün kullanıcılar kadardır: $s(N \cup K) \leq 50$ . O hâlde $a = 59 - 50 = 9$ .

Kesişimin en büyük olması için birleşim en küçük olmalı. Birleşim, büyük kümeden küçük olamaz: $s(N \cup K) \geq 32$ . O hâlde $b = 59 - 32 = 27$ ; bu durumda $K \subseteq N$ olur.

İki uç değer de gerçekleşir: $a$ için herkes en az bir ayarı açmıştır, $b$ için karanlık modu açan herkes bildirimi de açmıştır.

Sonuç

$a + b = 9 + 27 = 36$

Sahnede dene

Sahnede kaydırma sürgüsünü iki uca götür. Bir uçta levhalar tamamen ayrılır ve kesişim sıfırdır; öbür uçta küçük levha büyüğün içine girer ve kesişim küçük kümenin tamamı olur. Kesişim bu iki değerin dışına çıkabiliyor mu?

Özet

Bu konudan aklında kalacaklar

Küme: iyi tanımlı topluluk. Liste, ortak özellik ve Venn şemasıyla gösterilir; sıra ve yineleme önemsizdir. $s(\varnothing) = 0$ .
Alt küme: $A \subseteq B$ , $A$ ‘nın her elemanı $B$ ‘de demektir. $n$ elemanlı kümenin $2^n$ alt kümesi, $2^n - 1$ öz alt kümesi vardır.
Eşitlik: $A = B$ ancak $A \subseteq B$ ve $B \subseteq A$ ise.
İşlemler: $\cup$ “veya”, $\cap$ “ve”, $A \setminus B = A \cap B'$ , tümleyen “değil”. De Morgan: $(A \cup B)' = A' \cap B'$ , $(A \cap B)' = A' \cup B'$ .
$s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)$ ve $s(A \setminus B) = s(A) - s(A \cap B)$ .
Üç kümede: tekleri topla, ikili kesişimleri çıkar, üçlü kesişimi ekle. Şemayı içten dışa doldur.
Kartezyen çarpım: $(a, b) = (c, d)$ ancak $a = c$ ve $b = d$ ise. $s(A \times B) = s(A) \cdot s(B)$ ; genelde $A \times B \neq B \times A$ .
$(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (A \cap B)$ .

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

10 çıkmış soru5 özgün soru

2026 AYTSoru 9

Orta

Venn şemasında alt küme ve ayrık küme

Aşağıdaki Venn şemasında $A$ , $B$ , $C$ , $D$ ve $E$ kümeleri gösterilmiştir. Bu beş küme, hangisinin hangisi olduğu söylenmeden,

asal sayılar,
çift doğal sayılar,
birler basamağı $4$ olan doğal sayılar,
bir basamaklı doğal sayılar,
iki basamaklı doğal sayılar

kümeleridir.

Buna göre iki basamaklı doğal sayılar kümesi hangi harfle gösterilmiştir?

İpucu

Önce beş sayı kümesi arasındaki ilişkileri yaz: hangisi hangisinin alt kümesi, hangileri ayrık? Sonra asal sayılarla çift sayıların tek ortak elemanının şemada nereye düştüğüne bak.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 30)

Çözüm

1. Kümeler arasındaki ilişkiler.

Birler basamağı $4$ olan her sayı çifttir: bu küme, çift doğal sayıların alt kümesidir.
Bir basamaklılar ile iki basamaklılar ayrıktır.
Birler basamağı $4$ olan bir sayı asal olamaz ( $2$ 'den büyük çift sayıdır): bu iki küme ayrıktır.
Asal sayılarla çift doğal sayıların tek ortak elemanı $2$ 'dir.

2. Şemayla eşleştir. Şemada biri öbürünün içinde çizilen tek çift $D \subset C$ 'dir: $D$ birler basamağı $4$ olanlar, $C$ çift doğal sayılardır. Hiç kesişmeyen iki büyük küme $A$ ile $B$ 'dir: bunlar bir basamaklılar ve iki basamaklılardır, ama hangisinin hangisi olduğu henüz belli değil. Geriye kalan $E$ asal sayılardır; $E$ ile $D$ 'nin ayrık çizilmesi de bununla uyumludur.

3. $2$ nerede? $E \cap C = \{2\}$ ve $2$ bir basamaklıdır. Şemada $E$ ile $C$ 'nin ortak bölgesi yalnızca $B$ 'nin içindedir. Öyleyse $B$ bir basamaklı doğal sayılar kümesidir.

İki basamaklı doğal sayılar kümesi $A$ harfiyle gösterilmiştir.

Tuzak: $A$ ile $B$ şemada eş çizildiği için aralarında seçim yapılamayacağını sanmak. Ayırt eden tek ayrıntı, $E$ ile $C$ 'nin kesişiminin hangi tarafta kaldığıdır.

Cevap: A

2025 AYTSoru 10

Orta

Kartezyen çarpımların birleşimi ve kesişimi

$A$ , $B$ , $C$ , $K$ ve $L$ kümeleri için

\begin{aligned} &K = A \times B \\ &L = B \times C \end{aligned}

eşitlikleri veriliyor.

$K \cup L = \{(1, 2), (1, 3), (2, 2), (3, 2), (3, 3)\}$ olduğuna göre $K \cap L$ kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

İpucu

$B$ kümesi iki çarpımda da var: $K$ 'de ikinci, $L$ 'de birinci bileşen olarak. Birleşimde ikinci bileşeni $1$ olan ikili bulunmamasından ve $(2, 3)$ ikilisinin eksik olmasından yararlan.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

$K$ 'deki ikililerin birinci bileşeni $A$ 'dan, ikinci bileşeni $B$ 'dendir; $L$ 'dekilerin birinci bileşeni $B$ 'den, ikinci bileşeni $C$ 'dendir.

1. $1 \notin B$ . $1$ sayısı $B$ 'de olsaydı, $A$ boş olmadıkça $K$ 'de ikinci bileşeni $1$ olan bir ikili bulunurdu; birleşimde böyle bir ikili yok. ( $A$ boş olsaydı birleşim tek bir çarpım olan $L$ 'ye eşit olurdu; birinci bileşenler üç farklı değer aldığından eleman sayısı $3$ 'ün katı olurdu, oysa $5$ 'tir.) Öyleyse $(1, 2)$ ve $(1, 3)$ ikilileri $L$ 'de olamaz, $K$ 'dedir: $1 \in A$ ve $2, 3 \in B$ . İkinci bileşenler yalnızca $2$ ve $3$ olduğundan $B = \{2, 3\}$ .

2. Eksik ikili. $(2, 3)$ birleşimde yok. $3 \in B$ olduğundan $2 \in A$ olsaydı $(2, 3) \in K$ olurdu: $2 \notin A$ . $2 \in B$ olduğundan $3 \in C$ olsaydı $(2, 3) \in L$ olurdu: $3 \notin C$ .

3. $C$ ve $L$ . $(2, 2)$ birleşimde var ama $2 \notin A$ olduğundan $K$ 'de değil; $L$ 'dedir, yani $2 \in C$ . $C$ 'nin elemanları ikinci bileşen olarak göründüğünden $C = \{2\}$ ve

$L = \{2, 3\} \times \{2\} = \{(2, 2), (3, 2)\}$

4. $A$ ve $K$ . $(3, 3)$ ikilisi $L$ 'de olmadığından $K$ 'dedir: $3 \in A$ . Böylece $A = \{1, 3\}$ ve

$K = \{(1, 2), (1, 3), (3, 2), (3, 3)\}$

5. Kesişim. İki kümede ortak olan tek ikili $(3, 2)$ 'dir.

$K \cap L = \{(3, 2)\}$

Kontrol: $K \cup L$ beş elemanlıdır ve verilen kümeyle aynıdır.

Cevap: D

2024 AYTSoru 8

Zor

Kartezyen çarpımların kesişimi

$A$ ve $B$ kümeleri için

\begin{aligned} &s(A \cap B) = 5 \\ &s\big((A \times B) \cup (B \times A)\big) = 209 \end{aligned}

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre $A \cup B$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

İpucu

Birleşimin eleman sayısı için kesişim gerekir. Bir $(x, y)$ ikilisi hem $A \times B$ hem $B \times A$ kümesindeyse $x$ ve $y$ hangi kümenin elemanıdır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 27)

Çözüm

1. Ortak ikililer. $(x, y)$ hem $A \times B$ hem $B \times A$ kümesindeyse $x$ de $y$ de iki kümenin birden elemanıdır:

$(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (A \cap B)$

Bu kümenin eleman sayısı $5 \cdot 5 = 25$ 'tir.

2. Birleşim bağıntısı. İki çarpımın her biri $s(A) \cdot s(B)$ elemanlıdır:

$2 \cdot s(A) \cdot s(B) - 25 = 209 \quad\Rightarrow\quad s(A) \cdot s(B) = 117$

3. Çarpanları seç. $117 = 3^2 \cdot 13$ ; çarpan çiftleri $1 \cdot 117$ , $3 \cdot 39$ ve $9 \cdot 13$ 'tür. $A \cap B$ beş elemanlı olduğundan iki kümenin de en az $5$ elemanı vardır. Tek uygun çift $9$ ve $13$ 'tür.

4. Birleşim.

$s(A \cup B) = 9 + 13 - 5 = 17$

Tuzak: iki çarpımı ayrık sanıp $2 \cdot s(A) \cdot s(B) = 209$ yazmak. $209$ tek sayıdır; bu eşitlik zaten sağlanamaz ve ortak ikililerin çıkarılması gerektiğini haber verir.

Cevap: A

2023 AYTSoru 9

Orta

Kartezyen çarpım ve birleşimin eleman sayısı

$A$ , $B$ ve $C$ kümeleri için

\begin{aligned} &s(A) = s(C) = 5 \\ &s\big(A \times (B \cup C)\big) = 30 \\ &s\big(B \times (A \cup C)\big) = 16 \end{aligned}

eşitlikleri sağlanıyor.

Buna göre $B \cap C$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

İpucu

Çarpımın eleman sayısı, eleman sayılarının çarpımıdır. İkinci eşitlikte iki bilinmeyen var; $s(A \cup C)$ sayısının hangi aralıkta kalmak zorunda olduğunu düşün.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 27)

Çözüm

1. İkinci eşitlik. $s(A) \cdot s(B \cup C) = 30$ ve $s(A) = 5$ olduğundan $s(B \cup C) = 6$ .

2. Üçüncü eşitlik. $s(B) \cdot s(A \cup C) = 16$ . $A$ ve $C$ beşer elemanlı olduğundan birleşimleri en az $5$ (kümeler eşitse), en çok $10$ (ayrıksa) elemanlıdır. $5$ ile $10$ arasında $16$ 'yı bölen tek sayı $8$ 'dir:

$s(A \cup C) = 8, \qquad s(B) = 2$

3. Kesişim. $s(B \cup C) = s(B) + s(C) - s(B \cap C)$ bağıntısından

$6 = 2 + 5 - s(B \cap C) \quad\Rightarrow\quad s(B \cap C) = 1$

Tuzak: $16 = 4 \cdot 4$ ya da $16 = 1 \cdot 16$ ayrışımlarını denemek. $s(A \cup C)$ sayısı $5$ 'ten küçük, $10$ 'dan büyük olamaz.

Cevap: A

2022 AYTSoru 12

Kolay

Kartezyen çarpımın grafiği

$A$ , $B$ ve $C$ kümeleri için $s(A) = 3$ ve $s(B) = 3$ olduğu biliniyor. $(A \cup B) \times C$ kartezyen çarpımının dik koordinat düzlemindeki grafiği aşağıda verilmiştir.

Buna göre $C \times (A \cap B)$ kartezyen çarpımının eleman sayısı kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

1. Grafiği oku. Noktaların apsisleri $A \cup B$ kümesini, ordinatları $C$ kümesini verir: $A \cup B = \{2, 3, 4, 5\}$ ve $C = \{1, 2, 4, 5\}$ . Yani $s(A \cup B) = 4$ ve $s(C) = 4$ .

2. Kesişimi bul. $s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)$ bağıntısından

$4 = 3 + 3 - s(A \cap B) \quad\Rightarrow\quad s(A \cap B) = 2$

3. Çarp.

$s\big(C \times (A \cap B)\big) = s(C) \cdot s(A \cap B) = 4 \cdot 2 = 8$

Tuzak: eksenlerde $1$ 'den $5$ 'e kadar sayı yazılı diye kümeleri beşer elemanlı saymak. Kümeye yalnızca üzerinde nokta bulunan değerler girer; apsisi $1$ ya da ordinatı $3$ olan nokta yoktur.

Cevap: C

2021 AYTSoru 11

Orta

Kartezyen çarpımın eleman sayısı

$a$ ve $b$ birer rakamdır.

\begin{aligned} A &= \{5, 6, 7, 8, 9\} \\ B &= \{1, 4, 5, 7\} \\ C &= \{a, b\} \end{aligned}

kümeleri için $(A \cup C) \times (B \cup C)$ kartezyen çarpımı $28$ elemanlıdır.

Buna göre $a + b$ toplamı kaçtır?

İpucu

$C$ en çok iki eleman ekler. $s(A \cup C)$ ve $s(B \cup C)$ hangi değerleri alabilir, bunlardan hangi ikisinin çarpımı $28$ eder?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

1. Olası eleman sayıları. $s(A) = 5$ ve $C$ en çok iki yeni eleman getirir: $s(A \cup C) \in \{5, 6, 7\}$ . Aynı biçimde $s(B) = 4$ olduğundan $s(B \cup C) \in \{4, 5, 6\}$ .

2. Çarpımı $28$ yap. $s(A \cup C) \cdot s(B \cup C) = 28$ . $5$ ve $6$ , $28$ 'i bölmez; tek olanak $7 \cdot 4$ 'tür.

3. Yorumla.

$s(A \cup C) = 7$ : $a$ ile $b$ farklıdır ve ikisi de $A$ 'da değildir.
$s(B \cup C) = 4$ : $C$ , $B$ 'ye yeni eleman eklememiştir; $a$ ve $b$ ikisi de $B$ 'dedir.

$B$ 'de olup $A$ 'da olmayan rakamlar $1$ ve $4$ 'tür; $\{a, b\} = \{1, 4\}$ .

$a + b = 5$

Kontrol: $A \cup C = \{1, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ yedi, $B \cup C = B$ dört elemanlı; $7 \cdot 4 = 28$ .

Cevap: A

2020 AYTSoru 8

Orta

Kartezyen çarpımdan kümeleri okuma

$A$ , $B$ ve $C$ kümeleri için aşağıdaki iki bilgi veriliyor:

$\{(1, 2), (2, 3), (3, 4)\} \subseteq A \times B$

$\{(1, 2), (3, 4), (4, 2), (4, 4)\} \subseteq A \times C$

Buna göre,

I. $A \cap B$ kümesi en az 3 elemanlıdır.

II. $A \cap C$ kümesi en az 3 elemanlıdır.

III. $B \cap C$ kümesi en az 3 elemanlıdır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

İpucu

Verilen ikililer yalnızca kümelerde bulunması zorunlu elemanları söyler. Her küme için zorunlu elemanları yaz; "her zaman" sorusunda kümeleri olabildiğince küçük seçip dene.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 26)

Çözüm

1. Zorunlu elemanları çıkar. $A \times B$ 'nin elemanı olan bir ikilinin birinci bileşeni $A$ 'da, ikinci bileşeni $B$ 'dedir.

Birinci bilgiden: $1, 2, 3 \in A$ ve $2, 3, 4 \in B$ .
İkinci bilgiden: $1, 3, 4 \in A$ ve $2, 4 \in C$ .

Yani $\{1, 2, 3, 4\} \subseteq A$ , $\{2, 3, 4\} \subseteq B$ , $\{2, 4\} \subseteq C$ . Bunların dışında hiçbir eleman zorunlu değildir.

2. İfadeleri dene.

I: $2, 3, 4$ hem $A$ 'da hem $B$ 'dedir; $A \cap B$ en az $3$ elemanlıdır. Her zaman doğru.
II ve III: $A = \{1, 2, 3, 4\}$ , $B = \{2, 3, 4\}$ , $C = \{2, 4\}$ seçimi verilen iki bilgiyi sağlar. Bu seçimde $A \cap C = \{2, 4\}$ ve $B \cap C = \{2, 4\}$ iki elemanlıdır. Her zaman doğru değil.

Cevap: Yalnız I.

Tuzak: $C$ 'de $3$ ya da başka bir eleman da "olabilir" diye II ve III'ü doğru saymak. Olabilir ama olmak zorunda değil.

Cevap: A

2020 AYTSoru 9

Zor

Yeni tanımlanan küme türü

Bütün elemanları pozitif tam sayı olan bir kümenin eleman sayısı, en küçük elemanından $1$ fazlaysa bu kümeye geniş küme deniyor.

$A$ , $B$ ve $C$ geniş kümeleri için şunlar biliniyor:

$A \cup B \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$
$A \cap B = \{3\}$
$1 \in A$
$6 \in B$

Buna göre $C$ kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

İpucu

En küçük elemanı bilinen geniş kümenin eleman sayısı da bilinir. $A$ ile başla: en küçük elemanı belli. Sonra $B$ 'nin en küçük elemanı için iki olasılığı dene.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 26)

Çözüm

1. $A$ kümesi. $1 \in A$ ve elemanlar pozitif olduğundan $A$ 'nın en küçük elemanı $1$ , eleman sayısı $2$ 'dir. $A \cap B = \{3\}$ olduğundan $3 \in A$ . O hâlde $A = \{1, 3\}$ .

2. $B$ kümesi. $B$ 'de $3$ ve $6$ vardır; $1$ yoktur (olsaydı kesişimde görünürdü). En küçük elemanı $2$ ya da $3$ 'tür.

En küçük eleman $3$ olsaydı $B$ dört elemanlı olurdu ve $A \cup B$ beş elemanlı kalırdı. $2$ sayısı $A$ 'da da $B$ 'de de olmadığından $C$ 'de olmak zorundadır; o zaman $C$ 'nin en küçük elemanı en çok $2$ , eleman sayısı en çok $3$ olur. Birleşim en çok $5 + 3 = 8$ elemanlı kalır; $9$ elemana ulaşamaz.
Demek ki en küçük eleman $2$ 'dir, $B$ üç elemanlıdır: $B = \{2, 3, 6\}$ .

3. $C$ kümesi. $A \cup B = \{1, 2, 3, 6\}$ . Birleşimin tamamlanması için $4, 5, 7, 8, 9$ sayıları $C$ 'de olmalıdır; yani $C$ en az $5$ elemanlıdır ve en küçük elemanı en az $4$ 'tür. $4 \in C$ olduğundan en küçük eleman tam $4$ , eleman sayısı tam $5$ 'tir.

$C = \{4, 5, 7, 8, 9\}$

Kontrol: en küçük eleman $4$ , eleman sayısı $5$ ; $C$ geniş kümedir.

Cevap: E

2019 AYTSoru 4

Orta

Venn şemasında bölge yorumu

$p$ , $r$ ve $t$ birbirinden farklı üç asal sayıdır. $p$ 'nin tam sayı katlarının kümesi $A$ , $r$ 'nin tam sayı katlarının kümesi $B$ , $t$ 'nin tam sayı katlarının kümesi $C$ olarak adlandırılıyor ve bu kümeler aşağıdaki Venn şemasıyla gösteriliyor.

$220$ , $245$ , $330$ ve $350$ sayılarından ikisi şemadaki mavi bölgenin, öbür ikisi sarı bölgenin elemanıdır.

Buna göre $p + r + t$ toplamı kaçtır?

İpucu

Sarı ve mavi bölgelerin ikisi de $A$ dairesinin içinde. Dört sayının hepsini bölen asal hangisi? Sonra sayıları, ortak ikinci bir asal böleni olan çiftlere ayır.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 26)

Çözüm

1. Bölgeleri oku. Sarı bölge $(A \cap B) \setminus C$ : $p$ ve $r$ 'nin katı olup $t$ 'nin katı olmayan sayılar. Mavi bölge $(A \cap C) \setminus B$ : $p$ ve $t$ 'nin katı olup $r$ 'nin katı olmayan sayılar. İki bölge de $A$ 'nın içindedir; yani dört sayının hepsi $p$ 'nin katıdır.

2. Asal çarpanlara ayır.

\begin{aligned} 220 &= 2^2 \cdot 5 \cdot 11 & 245 &= 5 \cdot 7^2 \\ 330 &= 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 & 350 &= 2 \cdot 5^2 \cdot 7 \end{aligned}

Dördünü de bölen tek asal $5$ 'tir: $p = 5$ .

3. Çiftleri bul. Aynı bölgedeki iki sayının $5$ 'ten başka ortak bir asal böleni olmalı ve bu asal öbür bölgedeki sayıları bölmemelidir. $245$ 'in $5$ 'ten başka asal böleni yalnızca $7$ 'dir; $7$ ile bölünen öbür sayı $350$ 'dir. Demek ki çiftler $\{245, 350\}$ ve $\{220, 330\}$ 'dur.

4. Öbür asalı seç. $220$ ile $330$ 'un $5$ dışındaki ortak asalları $2$ ve $11$ 'dir. $2$ alınamaz, çünkü $350$ de çifttir ve o zaman $350$ üç kümenin de elemanı olurdu. Geriye $11$ kalır; $7$ de $220$ ile $330$ 'u bölmez.

$r$ ile $t$ bir sırayla $7$ ve $11$ 'dir.

$p + r + t = 5 + 7 + 11 = 23$

Tuzak: $220$ ile $330$ için $2$ 'yi seçmek. Boyalı bölgeler üçüncü kümenin dışında kaldığı için seçilen asal öbür çifti bölmemelidir.

Cevap: E

2019 AYTSoru 18

Zor

Koşula uyan kümeleri sayma

$A$ ve $B$ , elemanları rakam olan ve boş olmayan iki kümedir. Bu kümeler

$A \cap B = A \cap \{0, 2, 4, 6, 8\}$

eşitliğini sağlıyorsa $A$ kümesine, $B$ kümesinin ortakesişim kümesi adı veriliyor.

$A$ kümesi, $B = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ kümesinin ortakesişim kümesi olduğuna göre kaç farklı $A$ kümesi vardır?

İpucu

On rakamı tek tek düşün: bir rakam $A$ 'da olsaydı eşitliğin iki yanında aynı anda görünür müydü? Bazı rakamlar $A$ 'da bulunamaz, kalanlar serbesttir.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 30)

Çözüm

$Ç = \{0, 2, 4, 6, 8\}$ diyelim. Eşitlik, $A$ 'nın her elemanı için şunu söyler: o eleman ya hem $B$ 'de hem $Ç$ 'dedir ya da ikisinde de yoktur. Yalnızca birinde olan bir rakam $A$ 'da bulunursa eşitliğin bir yanında görünür, öbür yanında görünmez.

1. Rakamları sınıfla. $B = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ve $Ç = \{0, 2, 4, 6, 8\}$ için:

İkisinde de olanlar: $0, 2, 4$ (serbest)
İkisinde de olmayanlar: $5, 7, 9$ (serbest)
Yalnız birinde olanlar: $1, 3, 6, 8$ (yasak)

2. Say. $A$ , $\{0, 2, 4, 5, 7, 9\}$ kümesinin herhangi bir alt kümesidir: $2^6 = 64$ seçenek. $A$ boş olamayacağından biri çıkar.

$2^6 - 1 = 63$

Tuzak: yalnızca $0, 2, 4$ rakamlarını serbest sayıp $2^3 - 1 = 7$ bulmak. $5$ , $7$ , $9$ eşitliğin iki yanında da görünmez; $A$ 'da bulunmaları eşitliği bozmaz.

Cevap: E

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Eşit kümeler

$a$ ve $b$ gerçel sayılar olmak üzere

$A = \{3,\ a + 2,\ 8\} \qquad B = \{8,\ 2b - 1,\ 6\}$

kümeleri eşittir.

Buna göre $a \cdot b$ çarpımı kaçtır?

Çözüm

Eşit kümelerin elemanları aynıdır; yazılış sırası önemli değildir. $8$ iki kümede de var.

$6 \in B$ olduğundan $6 \in A$ olmalıdır. $A$ 'da $6$ olabilecek tek eleman $a + 2$ 'dir: $a + 2 = 6$ , $a = 4$ .
$3 \in A$ olduğundan $3 \in B$ olmalıdır. $B$ 'de $3$ olabilecek tek eleman $2b - 1$ 'dir: $2b - 1 = 3$ , $b = 2$ .

$a \cdot b = 4 \cdot 2 = 8$

Kontrol: $A = \{3, 6, 8\}$ ve $B = \{8, 3, 6\}$ aynı kümedir. Tuzak: elemanları yazıldıkları sırayla eşlemek ( $a + 2 = 2b - 1$ gibi); kümede sıra yoktur.

Cevap: C

Özgün soru2

Kolay

Sıralı ikili ve kartezyen çarpımın eleman sayısı

$a$ ve $b$ pozitif tam sayılar olmak üzere

$(2a - 1,\ b + 3) = (7,\ 2a)$

eşitliği sağlanıyor. $A$ kümesi $a$ elemanlı, $B$ kümesi $b$ elemanlıdır.

Buna göre $A \times B$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Çözüm

İki sıralı ikili eşitse birinci bileşenler birbirine, ikinci bileşenler birbirine eşittir.

Birinci bileşenler: $2a - 1 = 7$ , $a = 4$ .
İkinci bileşenler: $b + 3 = 2a = 8$ , $b = 5$ .

$s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) = 4 \cdot 5 = 20$

Tuzak: eleman sayılarını çarpmak yerine toplayıp $9$ bulmak. $A$ 'nın her elemanı $B$ 'nin her elemanıyla ayrı bir ikili oluşturur.

Cevap: D

Özgün soru3

Orta

Koşullu alt küme sayısı

$A = \{a, b, c, d, e, f\}$ kümesi veriliyor.

$A$ kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinde $a$ ve $b$ elemanlarından en az biri bulunur?

İpucu

"En az biri" koşulunu doğrudan saymak yerine tersini say: $a$ ile $b$ 'nin ikisinin de bulunmadığı alt kümeler kaç tane?

Çözüm

1. Bütün alt kümeler. $6$ elemanlı kümenin $2^6 = 64$ alt kümesi vardır.

2. İstenmeyenler. $a$ ve $b$ 'nin ikisinin de bulunmadığı alt kümelerde bu iki eleman için karar verilmiştir; kalan $c, d, e, f$ elemanlarının her biri alınır ya da alınmaz: $2^4 = 16$ .

3. Çıkar.

$64 - 16 = 48$

İkinci yol: $a$ var, $b$ yok $16$ ; $b$ var, $a$ yok $16$ ; ikisi de var $16$ alt küme. Toplam $48$ .

Tuzak: " $a$ bulunanlar $32$ , $b$ bulunanlar $32$ " deyip toplamak ya da yalnızca $32$ 'de bırakmak. İkisini de içeren $16$ alt küme iki kez sayılır: $32 + 32 - 16 = 48$ .

Cevap: B

Özgün soru4

Orta

Boyalı bölgenin ifadesi

$E$ evrensel kümesinde $A$ , $B$ ve $C$ kümeleri aşağıdaki Venn şemasıyla verilmiştir.

Boyalı bölgeyi gösteren ifade aşağıdakilerden hangisidir?

İpucu

Boyalı bölgedeki bir elemanı sözle anlat: hangi kümelerden birinde olmalı, hangisinde olmamalı? "Olmamalı" tümleyenle, "ve" kesişimle yazılır.

Çözüm

1. Bölgeyi sözle anlat. Boyalı kısım, $A$ ve $B$ dairelerinin kapladığı alanın $C$ dairesi dışında kalan parçasıdır: " $A$ 'da veya $B$ 'de olan ve $C$ 'de olmayan" elemanlar.

2. Simgeye çevir. " $A$ 'da veya $B$ 'de": $A \cup B$ . " $C$ 'de olmayan": $C'$ . İkisi "ve" ile bağlandığından kesişim alınır:

$(A \cup B) \cap C' = (A \cup B) \setminus C$

3. Öbür seçenekler.

A ve C: $(A \cap B) \setminus C$ ile $(A \setminus C) \cap B$ aynı kümedir; yalnızca $A$ ile $B$ 'nin ortak bölgesinin $C$ dışındaki küçük parçasını verir.
B: $A \cup (B \setminus C)$ , $A$ ile $C$ 'nin ortak bölgesini de içerir; şemada orası boyalı değil.
D: $(A \cup B \cup C)'$ üç dairenin de dışında kalan bölgedir.

Tuzak: farkı yalnızca $B$ 'ye uygulamak (B seçeneği). Parantez, $C$ 'nin hem $A$ 'dan hem $B$ 'den çıkarıldığını söyler.

Cevap: E

Özgün soru5

Zor

Üç kümede eleman sayısı problemi

Bir kitap kulübünün $60$ üyesine roman, şiir ve deneme türlerinden hangilerini okudukları soruluyor. Yanıtlara göre $34$ üye roman, $25$ üye şiir, $20$ üye deneme okuyor. Roman ve şiir okuyanlar $12$ , roman ve deneme okuyanlar $9$ , şiir ve deneme okuyanlar $7$ kişi; bu üç türden hiçbirini okumayanlar ise $5$ kişidir.

Buna göre bu üç türden yalnızca birini okuyan kaç üye vardır?

İpucu

Önce üç türü de okuyanların sayısını bul: en az bir tür okuyanların sayısı belli. "Roman ve şiir okuyan $12$ kişi" bilgisinin üçünü de okuyanları içerdiğini unutma.

Çözüm

1. Birleşim. En az bir tür okuyanlar $60 - 5 = 55$ kişidir.

2. Üçünü de okuyanlar. Bu sayıya $x$ de ve üç kümenin birleşim bağıntısını yaz:

$55 = 34 + 25 + 20 - 12 - 9 - 7 + x \quad\Rightarrow\quad 55 = 51 + x \quad\Rightarrow\quad x = 4$

3. Tam iki tür okuyanlar. Verilen ikili sayıların her biri üçünü de okuyan $4$ kişiyi içerir:

$(12 - 4) + (9 - 4) + (7 - 4) = 8 + 5 + 3 = 16$

4. Yalnız bir tür okuyanlar. Birleşimden tam iki ve tam üç tür okuyanları çıkar:

$55 - 16 - 4 = 35$

Kontrol (bölge bölge): yalnız roman $34 - 8 - 5 - 4 = 17$ , yalnız şiir $25 - 8 - 3 - 4 = 10$ , yalnız deneme $20 - 5 - 3 - 4 = 8$ ; toplam $35$ .

Tuzak: $55$ 'ten $12 + 9 + 7 = 28$ çıkarıp $27$ bulmak. Bu işlem üçünü de okuyanları üç kez çıkarır; hiç çıkarmamak da $39$ verir.

Cevap: C