4Konu 4 / 62
Temel Kavramlar

Sayı Basamakları ve Çözümleme

Rakam, basamak değeri ve çözümlemeden başlayıp yer değiştiren rakamlar, koşullu en büyük ve en küçük sayı, 11 ile çarpma, tanımı verilen sayı türleri ve ardışık sayıların basamak örüntüleriyle TYT basamak sorularını çözüyoruz.

9 ve 11. sınıf
TYT sıklığı
40 dk

Görsel anlatımla başla15 adım · sıfırdan başlar · az yazı, bol 3B

LevhaSayı Basamakları ve ÇözümlemeSayı Basamakları ve Çözümleme

Masadaki $72$ küp onar onar gruplanır: yedi onluk çubuk ve iki birlik küp. Rakamların yerini değiştir, $27$ olsun; fark $45$ . $91 - 19 = 72$ , $83 - 38 = 45$ : fark hep $9$ ’un katı. Nedenini çözümleme söyler.

Isınma

Başlamadan: rakam ve sayı

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Kaç farklı rakam vardır?

Açıklama

Rakamlar $0, 1, 2, \dots, 9$ ’dur: $10$ tane. Bütün sayılar bu on rakamla yazılır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

İki basamaklı kaç doğal sayı vardır?

Açıklama

İki basamaklı sayılar $10$ ’dan $99$ ’a: $99 - 10 + 1 = 90$ tane.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Üç basamaklı

3A5

sayısı

9

ile tam bölünüyorsa

A

kaçtır?

Açıklama

$9$ ile bölünme için rakamlar toplamı $9$ ’un katı olmalı: $3 + A + 5 = 8 + A$ . $A \le 9$ olduğundan $8 + A = 9$ , $A = 1$ .

Temel

Rakam, basamak ve çözümleme

1. Rakamın Değeri Durduğu Basamağa Bağlıdır

Rakam, sayıyı yazdığımız sembollerden biridir. Aynı rakam birler basamağında $3$ , yüzler basamağında $300$ değer taşır.

$333$ ’ün üç rakamı aynı, blokları farklı: soldaki $3$ yüzlük plaka, ortadaki $3$ onluk çubuk, sağdaki $3$ birlik küp olur. $333 = 300 + 30 + 3$ .

247 = 2 \cdot 100 + 4 \cdot 10 + 7 \cdot 1

: iki yüzlük plaka, dört onluk çubuk, yedi birlik küp.

Örnek

kolay

Basamak değeri ile sayı değeri

$3705$ sayısında $7$ ’nin basamak değeri ile $3$ ’ün sayı değerinin farkı kaçtır?

$7$ yüzler basamağındadır: basamak değeri $7 \cdot 100 = 700$ .

Sayı değeri basamağa bakmaz: $3$ ’ün sayı değeri $3$ ’tür.

Sonuç

$700 - 3 = 697$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Rakamları birbirinden farklı iki basamaklı kaç doğal sayı vardır?

Açıklama

Onlar basamağı $1$ – $9$ : $9$ seçenek. Birler basamağı $0$ – $9$ ’dan onlarınkinden farklı: $9$ seçenek. $9 \cdot 9 = 81$ .

2. Çözümleme: Sayıyı Basamak Değerlerine Ayır

TYT sayıyı çoğu zaman çizgisiz yazar: “iki basamaklı $AB$ sayısı”. Bu sayfada formüllerde üst çizgiyle yazıyoruz.

Sürgüyle üç basamaklı bir $\overline{ABC}$ sayısı seç: masada $A$ plaka, $B$ çubuk, $C$ küp belirir. Toplam küp sayısı $100A + 10B + C$ ’dir.

Örnek

kolay

Rakamları toplamının katı olan sayı

İki basamaklı $AB$ sayısı, rakamları toplamının $7$ katına eşittir. Bu koşulu sağlayan kaç tane $AB$ sayısı vardır?

Çözümle: $10A + B = 7(A + B)$ .

Sadeleştir: $10A + B = 7A + 7B \Rightarrow 3A = 6B \Rightarrow A = 2B$ .

Rakam sınırı: $A = 2B \le 9$ ve $A \neq 0$ , yani $B = 1, 2, 3, 4$ . Sayılar $21, 42, 63, 84$ . Sağlama: $84 = 7 \cdot 12$ .

Sonuç

$4$ tane

3. Rakamları Yer Değiştiren Sayılar: 9 ve 11 Kalıbı

Nedeni: her onluk çubuk $9 + 1$ ’dir, yani $\overline{AB} = 9A + (A + B)$ . $A + B$ kısmı iki sayıda da aynı olduğundan farkta yalnız $9$ ’lar kalır.

Her çubuğun dokuz karesi bir yana, onuncu karesi küplerin yanına: ikinci gruptaki kareler iki sayıda da

7 + 2 = 9

tane. Fark

9 \cdot (7 - 2) = 45

$72$ ’yi $27$ ’ye çevirmek için beş çubuk bozulur: her çubuğun ucundaki küp birlerin yanına geçer, kalan $9$ ’luk yığınlar fark tepsisine kayar. Masada $27$ kalır; fark $5$ tane $9$ ’luk yığındır: $45$ .

Örnek

kolay

Ters girilen fiyat

Bir kasiyer, fiyatı iki basamaklı $AB$ TL olan ürünü yanlışlıkla $BA$ TL olarak giriyor ve müşteri $54$ TL fazla ödüyor. Fiyatın rakamları toplamı $12$ olduğuna göre ürünün gerçek fiyatı kaç TL’dir?

Fazla ödeme: $\overline{BA} - \overline{AB} = 9(B - A) = 54$ , yani $B - A = 6$ .

Toplam-fark: $A + B = 12$ ve $B - A = 6$ ise $B = \dfrac{12 + 6}{2} = 9$ , $A = 3$ .

Sağlama: $93 - 39 = 54$ ve $3 + 9 = 12$ .

Sonuç

Gerçek fiyat $39$ TL’dir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

AB + BA = 132

ise

A + B

kaçtır?

Açıklama

$\overline{AB} + \overline{BA} = 11(A + B) = 132$ , buradan $A + B = 12$ .

Orta

Koşullu sayı kurma, denklem ve 11 ile çarpma

1. En Büyük ve En Küçük Sayı: Soldan Doldur

En soldaki basamak en ağır basamaktır; karar önce orada verilir.

$0, 1, 5, 9$ kartları üç yuvaya yerleşir. En büyük sayı için $9$ en sola koşar: $951$ . En küçük sayıda $0$ en sola giremez; $1$ geçer, $0$ ortaya iner: $105$ .

Örnek

orta

Şifre: rakamları toplamı 20

Ece, rakamları birbirinden farklı ve rakamları toplamı $20$ olan üç basamaklı bir sayıyı kilit şifresi yapacak. Seçebileceği en büyük şifre ile en küçük şifrenin farkı kaçtır?

En büyük: yüzler $9$ . Kalan iki rakamın toplamı $11$ ; $9$ kullanıldı, onlar basamağına $8$ , birlere $3$ : $983$ .

En küçük: yüzler $1$ ise kalan toplam $19$ ; iki farklı rakam en çok $9 + 8 = 17$ eder. Yüzler $2$ ise kalan $18 = 9 + 9$ ; rakamlar farklı değil.

Yüzler $3$ : kalan $17 = 8 + 9$ ; küçüğü onlar basamağına: $389$ .

Sonuç

$983 - 389 = 594$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Rakamları birbirinden farklı üç basamaklı en küçük çift sayı kaçtır?

Açıklama

Yüzler $1$ , onlar en küçük kullanılmamış rakam $0$ , birler $1$ ve $0$ ’dan farklı en küçük çift rakam $2$ : $102$ .

2. Çözümlemeyle Denklem Kurma

Basamak problemlerinde çözüm kalıbı hep aynıdır:

Bilinmeyeni seç: rakamlara harf ver, sayıları çözümle.
Denklemi kur ve sadeleştir: çoğu zaman bir taraf $9$ ya da $11$ ile bölünür.
Rakam sınırını kullan: her rakam $0$ ile $9$ arasında, baştaki rakam $0$ değil.
Kalan az durumu dene ve sağla.

Kısa yollar: yer değiştirmede 9–11 kalıbı, toplamı ve farkı bilinen iki rakamda toplam-fark. Bölünebilme kuralları için Sayılar ve Bölünebilme, sözel problemlerin genel kalıbı için Oran, Orantı ve Problemler sayfasına bak.

Örnek

orta

Toplamı tam kare olan ikili

$AB$ ve $BA$ iki basamaklı doğal sayılardır. $AB + BA$ toplamı bir tam kare olduğuna göre kaç farklı $AB$ sayısı vardır?

11 kalıbı: $\overline{AB} + \overline{BA} = 11(A + B)$ .

$11$ asal; tam kare olması için $A + B$ de $11$ çarpanını taşımalı. $A + B \le 18$ olduğundan $A + B = 11$ ve toplam $121 = 11^2$ .

İki sayı da iki basamaklı, yani $A, B \neq 0$ . $A + B = 11$ için $A = 2, 3, \dots, 9$ .

Sonuç

$8$ tane: $29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92$ .

3. 11 ile Çarpma, Elde ve Rakamlar Toplamı

11 \cdot 43 = 473

eldesizdir.

11 \cdot 47

’de ortadaki

11

’in

1

’i yazılır,

1

elde sola geçer:

517

$47$ ’nin blokları kopyalanır; kopya bir basamak sola kayar: çubuklar plakaya, küpler çubuğa döner. Ortada $4 + 7 = 11$ çubuk birikir; on çubuk bir plakaya dönüşüp sola geçer: elde budur, $11 \cdot 47 = 517$ .

Örnek

orta

On bir koli yumurta

Her birinde iki basamaklı $AB$ sayısı kadar yumurta bulunan $11$ kolide toplam $7C4$ yumurta vardır. $A + B + C$ toplamı kaçtır?

$11$ ile çarpmada birler basamağı değişmez: $B = 4$ .

Eldesiz olsaydı $A = 7$ ve $C = A + B = 11$ olurdu; $C$ bir rakam olamaz. Demek ki elde var.

Eldeli: $A + 1 = 7 \Rightarrow A = 6$ ve $C = A + B - 10 = 0$ . Sağlama: $64 \cdot 11 = 704$ .

Sonuç

$A + B + C = 6 + 4 + 0 = 10$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

11 \cdot 58

kaçtır?

Açıklama

$5 + 8 = 13$ : ortaya $3$ , $1$ elde sola: $5 + 1 = 6$ . Sonuç $638$ .

İleri

Tanımı verilen sayılar, ardışık sayılar ve örüntüler

1. Tanımı Verilen Sayı Türleri: Oku, Sına, Listele

TYT neredeyse her yıl soru içinde yeni bir sayı türü tanımlıyor. Ezber işe yaramaz, yöntem işe yarar.

Tabloda $A$ ile $C$ ’nin her ikilisi bir taş. $A + C \le 9$ olan taşlar $B = A + C$ kat yükselir; ötekiler yerde kalır. Yükselen taşlar köşegenler boyunca $1, 2, \dots, 8$ tane: toplam $36$ .

Örnek

zor

Dengeli sayıları saymak

Rakamları sıfırdan farklı üç basamaklı bir $ABC$ sayısında ortadaki rakam diğer iki rakamın toplamına eşitse ( $B = A + C$ ) bu sayıya dengeli sayı denir. Örneğin $253$ dengeli bir sayıdır. Kaç tane dengeli sayı vardır?

Sına: $253$ ’te $2 + 3 = 5$ , koşul sağlanıyor.

$A$ ile $C$ seçilince $B$ belirlenir. $B$ bir rakam olduğundan $A + C \le 9$ , ayrıca $A, C \ge 1$ .

Tabloyla say: $A + C = s$ için $(A, C)$ ikilisi $s - 1$ tanedir; $s = 2, 3, \dots, 9$ için $1, 2, \dots, 8$ .

Sonuç

$1 + 2 + \dots + 8 = 36$ tane

A

–

C

tablosunda

A + C \le 9

olan

36

hücre; hücredeki sayı

B = A + C

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

İki basamaklı bir

AB

sayısı, rakamları toplamı ile rakamları çarpımının toplamına eşittir. Böyle kaç sayı vardır?

Açıklama

$10A + B = A + B + A \cdot B \Rightarrow 9A = A \cdot B$ . $A \neq 0$ olduğundan $B = 9$ : $19, 29, \dots, 99$ , yani $9$ sayı.

2. Ardışık Sayılarda Birler ve Onlar Basamağı

Sayaç $58$ ’den $67$ ’ye birer birer ilerler: birler tekerleği $9$ ’dan $0$ ’a dönerken onlar tekerleğini bir diş iter. Her sayının rakamları toplamı bir küp sütunudur: sütunlar birer kat yükselir, $59$ ’dan $60$ ’a geçerken $8$ kat iner.

58

’den

67

’ye rakamlar toplamı:

59 \to 60

geçişinde

14

’ten

6

’ya iner. On sayının toplamı

103 = 58 + 45

Örnek

zor

Ardışık on koltuk

Bir salonun bir sırasındaki on koltuğun numaraları ardışık, iki basamaklı doğal sayılardır. Her numaranın rakamları toplamı bulunup bu on sonuç toplanınca $103$ elde ediliyor. Sıradaki en küçük koltuk numarası kaçtır?

Birler basamakları $0$ ’dan $9$ ’a her rakamı bir kez içerir: katkıları $45$ . Onlar basamaklarının katkısı $103 - 45 = 58$ .

En küçük numara $\overline{tk}$ olsun. Onlar basamağı $t$ olan $10 - k$ , $t + 1$ olan $k$ sayı vardır: $(10 - k)t + k(t + 1) = 10t + k$ .

$10t + k$ en küçük numaranın kendisidir: $\overline{tk} = 58$ . Sağlama şekilde: $58$ – $67$ için toplam $103$ .

Sonuç

En küçük koltuk numarası $58$ ’dir.

3. 10’un Kuvvetleriyle Kurulan Sayılar

$10^n - 1$ sayısı $n$ tane $9$ ’dur. Böyle uzun sayılarda küçük $n$ ile dene, sonra genelle.

Örnek

zor

Örüntüyü genellemek

$n$ bir doğal sayı olmak üzere $\dfrac{2 \cdot 10^n + 7}{9}$ doğal sayısının rakamları toplamı $41$ ’dir. $n$ kaçtır?

Küçük $n$ ile dene: $n = 2$ için $\dfrac{207}{9} = 23$ , $n = 3$ için $\dfrac{2007}{9} = 223$ , $n = 4$ için $\dfrac{20007}{9} = 2223$ .

Genelle: sayı $(n - 1)$ tane $2$ ve sonunda bir $3$ ’tür. Rakamlar toplamı $2(n - 1) + 3 = 2n + 1$ .

$2n + 1 = 41 \Rightarrow n = 20$ .

Sonuç

$n = 20$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

10^{20} - 7

sayısının rakamları toplamı kaçtır?

Açıklama

Küçük örnek: $10^3 - 7 = 993$ . Genelde $19$ tane $9$ ve sonunda $3$ : $19 \cdot 9 + 3 = 174$ .

Özet

Bu konudan aklında kalacaklar

Basamak değeri: rakam $\cdot$ basamağın değeri; sayı değeri rakamın kendisidir.
Çözümleme: $\overline{AB} = 10A + B$ , $\overline{ABC} = 100A + 10B + C$ ; baştaki rakam $0$ olamaz.
Yer değiştirme: $\overline{AB} - \overline{BA} = 9(A - B)$ , $\overline{AB} + \overline{BA} = 11(A + B)$ , $\overline{ABC} - \overline{CBA} = 99(A - C)$ .
En büyük, en küçük: basamakları soldan doldur; en küçükte $0$ en sola gelmez.
11 ile çarpma: rakamlar $A,\ A + B,\ B$ ; $A + B \ge 10$ ise elde sola geçer.
Tanımlı sayı türü: oku, örnekle sına, tabloyla listele, sağla.
Ardışık sayılar: rakamlar toplamı $1$ artar, onluk geçişinde $8$ azalır; ardışık on sayıda birlerin toplamı $45$ .

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

14 çıkmış soru5 özgün soru

2026 TYTSoru 8

Zor

Rakamların tek ve çift durumları

Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı iki basamaklı bir doğal sayı için şu beş değer bir kâğıda yazılıyor:

sayının kendisi,
rakamlarının toplamı,
rakamlarının çarpımı,
rakamları arasındaki farkın mutlak değeri,
onlar basamağındaki rakamın birler basamağındaki rakama oranı.

Kâğıttaki beş değerin hepsi doğal sayıdır; bunlardan dördü çift, biri tektir.

Buna göre kâğıda yazılan beş sayının toplamı kaçtır?

İpucu

Sayı $\overline{ab}$ olsun. $a$ ve $b$ ’nin tek-çift durumlarını dört gruba ayır ve her grupta en az kaç değerin tek çıktığını say.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 26)

Çözüm

1. Oran. $\dfrac{a}{b}$ doğal sayı olduğundan $b$ , $a$ ’yı böler.

2. Tek-çift durumları. Sayının tekliği $b$ ’ye bağlıdır.

$a$ tek, $b$ tek: sayı ve çarpım tek; en az iki tek değer. Olmaz.
$a$ çift, $b$ tek: sayı ve toplam tek. Olmaz.
$a$ tek, $b$ çift: toplam ve fark tek (üstelik çift bir $b$ tek bir $a$ ’yı bölemez). Olmaz.
$a$ çift, $b$ çift: sayı, toplam, çarpım ve fark çift; tek olan oran olmalı.

3. Sayıyı bul. Çift rakamlar $2, 4, 6, 8$ . $\dfrac{a}{b}$ tek ve $a \neq b$ olduğundan $1$ ’den farklı olmalı: yalnız $\dfrac{6}{2} = 3$ . Sayı $62$ .

4. Toplam. Beş değer $62$ , $8$ , $12$ , $4$ , $3$ :

62 + 8 + 12 + 4 + 3 = 89

Tuzak: $\dfrac{8}{2} = 4$ ya da $\dfrac{4}{2} = 2$ ’yi seçmek; o zaman beş değerin beşi de çift olur.

Cevap: A

2026 TYTSoru 15

Orta

11 ile çarpma ve elde

İki basamaklı $AB$ doğal sayısının $11$ katının rakamları toplamı $15$ ’tir.

Buna göre $A + B$ toplamı kaçtır?

İpucu

$11 \cdot AB$ çarpımını elde olan ve olmayan iki duruma ayır. Hangisinde rakamlar toplamı tek olabilir?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

1. Eldesiz durum. $A + B \le 9$ ise $11 \cdot \overline{AB}$ ’nin rakamları $A$ , $A + B$ , $B$ ’dir; rakamlar toplamı $2(A + B)$ , yani çift. $15$ tek olduğu için bu durum olmaz.

2. Eldeli durum. $A + B \ge 10$ ve $A \le 8$ ise rakamlar $A + 1$ , $A + B - 10$ , $B$ olur; toplam $2(A + B) - 9$ . ( $A = 9$ iken çarpım dört basamaklıdır, ör. $93 \cdot 11 = 1023$ ; rakamlar toplamı $2B$ , yine çift.)

3. Denklem.

2(A + B) - 9 = 15 \;\Rightarrow\; A + B = 12

Sağlama: $39 \cdot 11 = 429$ ve $4 + 2 + 9 = 15$ .

Tuzak: eldeyi unutup $2(A + B) = 15$ yazmak; tam sayı çözüm çıkmaz.

Cevap: C

2025 TYTSoru 15

Orta

Ardışık sayılarda basamaklar

Bir kâğıtta iki basamaklı, ardışık beş tek doğal sayı yazılıdır. Bu sayıların her birinin rakamları toplamı tahtaya yazılıyor ve tahtadaki beş sayının toplamının $42$ olduğu görülüyor.

Buna göre kâğıttaki beş sayının en büyüğünün rakamları çarpımı kaçtır?

İpucu

Ardışık beş tek sayının birler basamaklarına bak: hangi sayıdan başlarsan başla aynı beş rakamı görürsün.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

1. Birler basamakları. Ardışık beş tek sayının birler basamakları, sırası ne olursa olsun $1, 3, 5, 7, 9$ ’dur; toplamları $25$ .

2. Onlar basamakları. Onlar basamaklarının toplamı $42 - 25 = 17$ . Beş sayı en çok iki onluğa yayılır. Hepsinin onlar basamağı $t$ olsa $5t = 17$ olmaz. $k$ tanesi $t$ , $5 - k$ tanesi $t + 1$ ise $5t + (5 - k) = 17$ ; buradan $t = 3$ ve $5 - k = 2$ .

3. Sayılar. Üçü $30$ ’larda, ikisi $40$ ’larda: $35, 37, 39, 41, 43$ . Sağlama: $8 + 10 + 12 + 5 + 7 = 42$ .

En büyük sayı $43$ ; rakamları çarpımı $4 \cdot 3 = 12$ .

Tuzak: beş sayının onlar basamağını aynı sanmak; o durumda tam sayı çözüm çıkmaz.

Cevap: C

2024 TYTSoru 13

Orta

Çözümlemeyle denklem kurma

Şekilde, üzerinde iki basamaklı sayılar yazılı bir tombala kartı görülüyor.

Kartın 1. satırındaki sayıların toplamı, 2. satırındaki sayıların toplamına eşittir.

Buna göre $AB + BA$ toplamı kaçtır?

İpucu

İki satırı ayrı ayrı çözümleyip eşitle. İstenen $AB + BA$ için $A$ ve $B$ ’yi tek tek bulmadan önce 11 kalıbını hatırla.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

1. Satırları çözümle.

\begin{aligned} \text{1. satır:}\;& 11 + 42 + 23 + (10A + 2) = 78 + 10A \\ \text{2. satır:}\;& (10B + 4) + (30 + B) + (10 + A) + 51 = 95 + 11B + A \end{aligned}

2. Eşitle. $78 + 10A = 95 + 11B + A \;\Rightarrow\; 9A - 11B = 17$ .

3. Rakamları dene. $A$ ve $B$ sıfırdan farklı rakamlar ( $A2$ ve $B4$ iki basamaklı). Tek çözüm $A = 8$ , $B = 5$ : $72 - 55 = 17$ .

4. Kalıp.

\overline{AB} + \overline{BA} = 11(A + B) = 11 \cdot 13 = 143

Sağlama: iki satırın toplamı da $158$ .

Cevap: E

2024 TYTSoru 15

Orta

Tanımı verilen sayı türü

Üç basamaklı bir doğal sayının onlar basamağındaki rakamın karesi, birler ve yüzler basamağındaki iki rakamın yan yana yazılmasıyla elde ediliyorsa bu sayıya bitişik sayı deniyor. Örneğin $552$ ve $255$ sayılarının ikisi de bitişik sayıdır.

$AB1$ ve $BC4$ sayılarının ikisi de bitişik sayı olduğuna göre $A + B + C$ toplamı kaçtır?

İpucu

İki örneği karşılaştır: yan yana yazma hangi sırayla yapılıyor? Sonra iki basamaklı tam kareleri listele.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

1. Örneklerle tanımı oku. $5^2 = 25$ için hem $552$ hem $255$ bitişik sayı. Demek ki birler ve yüzler rakamı iki sırada da yan yana yazılabilir.

2. $AB1$ . $B^2$ , $A$ ile $1$ ’den oluşan iki basamaklı bir sayı. İki basamaklı kareler $16, 25, 36, 49, 64, 81$ ; içinde $1$ olanlar $16$ ( $B = 4$ , $A = 6$ ) ve $81$ ( $B = 9$ , $A = 8$ ).

3. $BC4$ . $C^2$ , $B$ ile $4$ ’ten oluşur: $64$ ( $C = 8$ , $B = 6$ ) ya da $49$ ( $C = 7$ , $B = 9$ ).

4. Ortak $B$ . İki listede de bulunan tek $B$ değeri $9$ : $A = 8$ , $B = 9$ , $C = 7$ . Sayılar $891$ ve $974$ .

A + B + C = 8 + 9 + 7 = 24

Tuzak: yalnız bir sırayı denemek. Örnekler iki sıranın da geçerli olduğunu söylüyor.

Cevap: D

2023 TYTSoru 13

Orta

Tanımı verilen işlem

Bir $N$ doğal sayısında kaç farklı rakam bulunduğu $\boxed{N}$ ile gösteriliyor. Örneğin $\boxed{4202} = 3$ ’tür.

$A$ bir rakam olmak üzere

\boxed{3A5} + \boxed{56A} = \boxed{71024}

eşitliği veriliyor.

Buna göre eşitliği sağlayan farklı $A$ değerlerinin toplamı kaçtır?

İpucu

Önce sağ tarafı hesapla. Sonra $A$ ’nın $3$ , $5$ ya da $6$ olduğu durumları diğerlerinden ayır.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 26)

Çözüm

1. Sağ taraf. $71024$ ’ün beş rakamı da farklı: $\boxed{71024} = 5$ .

2. Sol taraf. $\boxed{3A5}$ : $A$ $3$ ya da $5$ ise $2$ , değilse $3$ . $\boxed{56A}$ : $A$ $5$ ya da $6$ ise $2$ , değilse $3$ .

3. Durumlar. Toplamın $5$ olması için biri $2$ , diğeri $3$ olmalı.

$A = 5$ : ikisi de $2$ , toplam $4$ ; olmaz.
$A = 3$ : $2 + 3 = 5$ ; olur.
$A = 6$ : $3 + 2 = 5$ ; olur.
Diğer rakamlar: $3 + 3 = 6$ ; olmaz.

3 + 6 = 9

Tuzak: $A = 5$ ’i de saymak; $5$ iki sayıda da tekrar eder ve ikisini birden $2$ yapar.

Cevap: B

2023 TYTSoru 15

Orta

Çözümlemeyle denklem kurma

$A$ , $B$ ve $C$ sıfırdan farklı ve birbirinden farklı rakamlardır. İki basamaklı $AB$ ve $BC$ doğal sayılarının toplamı, iki basamaklı $CA$ doğal sayısından $1$ eksiktir.

Buna göre bu koşulu sağlayan $A$ , $B$ ve $C$ rakamlarıyla kaç farklı üç basamaklı $ABC$ doğal sayısı yazılabilir?

İpucu

Üç sayıyı çözümleyip denklemi sadeleştir; $9$ ’un katı olması gereken ifadeyi bul.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 27)

Çözüm

1. Çözümle.

(10A + B) + (10B + C) = (10C + A) - 1 \;\Rightarrow\; 9(C - A) = 11B + 1

2. $9$ ile bölünme. $11B + 1$ , $9$ ’un katı olmalı. $B = 1, 2, \dots, 9$ için $12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89, 100$ ; yalnız $45 = 9 \cdot 5$ uyar. Öyleyse $B = 4$ ve $C - A = 5$ .

3. Rakamları say. $A, C \neq 0$ ve $4$ ’ten farklı: $(A, C) = (1, 6), (2, 7), (3, 8)$ . $(4, 9)$ olmaz, çünkü $A = B$ olur.

Sayılar $146$ , $247$ , $348$ : $3$ tane. Sağlama: $14 + 46 = 60 = 61 - 1$ .

Tuzak: $(4, 9)$ ikilisini de saymak; rakamların farklı olması koşulu onu eler.

Cevap: C

2023 TYTSoru 24

Orta

Çözümlemeyle denklem kurma

Aras’ın bilyelerinin hepsi $3$ ’erli gruplara ayrılınca iki basamaklı $AB$ doğal sayısı kadar grup, $8$ ’erli gruplara ayrılınca iki basamaklı $BA$ doğal sayısı kadar grup oluşuyor.

Buna göre Aras bilyelerinin hepsini, her grupta eşit sayıda bilye olacak biçimde gruplara ayırırsa elde edeceği grup sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

İpucu

Bilye sayısını iki yoldan yaz ve eşitle; çözümledikten sonra rakamlar arasında basit bir oran çıkacak.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 29)

Çözüm

1. Denklem. Bilye sayısı $3 \cdot \overline{AB} = 8 \cdot \overline{BA}$ :

3(10A + B) = 8(10B + A) \;\Rightarrow\; 22A = 77B \;\Rightarrow\; 2A = 7B

2. Rakamlar. $A$ ve $B$ rakam olduğundan tek çözüm $A = 7$ , $B = 2$ . Bilye sayısı $3 \cdot 72 = 216$ ; sağlama: $8 \cdot 27 = 216$ .

3. Grup sayısı. Eşit gruplarda grup sayısı $216$ ’nın bir böleni olmalı: $216 = 2^3 \cdot 3^3$ . Seçeneklerden yalnız $54$ böler: $216 = 54 \cdot 4$ . $40$ , $56$ ve $60$ ’ta $5$ ya da $7$ çarpanı, $48$ ’de $2^4$ vardır.

Tuzak: $AB$ ile $BA$ ’yı çarpım gibi görmek ya da grup sayısını $72$ ya da $27$ ’nin böleni sanmak.

Cevap: C

2022 TYTSoru 13

Orta

Tanımı verilen sayı türü

Rakamları birbirinden farklı üç basamaklı bir $ABC$ doğal sayısının rakamları küçükten büyüğe dizildiğinde ardışık üç sayı elde ediliyorsa $ABC$ ’ye sıralı sayı deniyor. Örneğin $132$ bir sıralı sayıdır.

Üç basamaklı $A7B$ ve $3BC$ doğal sayılarının ikisi de sıralı sayıdır.

Buna göre $A + B + C$ toplamı kaçtır?

İpucu

$7$ ’yi içeren ardışık üçlüleri ve $3$ ’ü içeren ardışık üçlüleri ayrı ayrı yaz. $B$ ikisinde de bulunmalı.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

1. $A7B$ . Rakamları $\{5, 6, 7\}$ , $\{6, 7, 8\}$ ya da $\{7, 8, 9\}$ olabilir; $B$ bunlardan $7$ dışındaki bir rakamdır: $B \in \{5, 6, 8, 9\}$ .

2. $3BC$ . Rakamları $\{1, 2, 3\}$ , $\{2, 3, 4\}$ ya da $\{3, 4, 5\}$ olabilir: $B \in \{1, 2, 4, 5\}$ .

3. Ortak değer. İki listede de bulunan tek değer $B = 5$ . Öyleyse $A7B$ ’nin üçlüsü $\{5, 6, 7\}$ , yani $A = 6$ ; $3BC$ ’nin üçlüsü $\{3, 4, 5\}$ , yani $C = 4$ .

A + B + C = 6 + 5 + 4 = 15

Sağlama: $675$ ve $354$ sıralı sayılardır.

Cevap: D

2022 TYTSoru 15

Orta

Ardışık sayılarda basamaklar

$A$ , $B$ ve $C$ birbirinden farklı rakamlardır. İki basamaklı $AB$ ve $BC$ doğal sayıları ardışık iki tek sayıdır ve

AB < BC

sıralaması veriliyor.

Buna göre $A + B + C$ toplamı kaçtır?

İpucu

Ardışık tek sayıların farkı $2$ ’dir. Bir tek sayıya $2$ eklenince onlar basamağı ne zaman değişir?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

1. İlişki. $BC = AB + 2$ ve iki sayının onlar basamakları farklı ( $A \neq B$ ). Demek ki $AB$ ’den $BC$ ’ye geçerken onluk değişmiş.

2. Onluk geçişi. Bir tek sayıya $2$ eklenince onlar basamağı yalnız birler basamağı $9$ iken değişir: $\dots 9 + 2 = \dots 1$ . Öyleyse $B = 9$ , $C = 1$ ve $B = A + 1$ , yani $A = 8$ .

Çözümlemeyle de aynı sonuç çıkar: $10B + C = 10A + B + 2$ .

3. Sağla. $89$ ve $91$ ardışık tek sayılar; rakamlar $8$ , $9$ , $1$ farklı.

A + B + C = 8 + 9 + 1 = 18

Tuzak: iki sayının onlar basamağını aynı sanmak; o zaman $A = B$ olur ve koşul bozulur.

Cevap: D

2021 TYTSoru 17

Orta

10’un kuvvetleriyle kurulan sayılar

$n$ bir doğal sayı olmak üzere

\dfrac{10^n - 22}{3}

sayısı bir doğal sayıdır ve bu sayının rakamları toplamı $44$ ’tür.

Buna göre $n$ kaçtır?

İpucu

$n = 4$ ve $n = 5$ için sayıyı hesapla; rakamların nasıl dizildiğine bak ve genelle.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 30)

Çözüm

1. Küçük $n$ ile dene. $n = 4$ : $10^4 - 22 = 9978$ ve $9978 : 3 = 3326$ . $n = 5$ : $99978 : 3 = 33326$ .

2. Genelle. $10^n - 22$ sayısı $(n - 2)$ tane $9$ ve ardından $78$ ’dir. $3$ ’e bölününce $(n - 2)$ tane $3$ ve ardından $26$ olur.

3. Rakamlar toplamı.

3(n - 2) + 2 + 6 = 44 \;\Rightarrow\; n - 2 = 12 \;\Rightarrow\; n = 14

Tuzak: $n$ tane $3$ saymak. Son iki basamak $26$ olduğu için $3$ ’lerin sayısı $n - 2$ ’dir.

Cevap: B

2021 TYTSoru 20

Kolay

Tanımı verilen sayı türü

Rakamları yalnızca $1$ , $4$ ya da $7$ olan iki basamaklı bir doğal sayı alınıyor. Bu sayının rakamları toplanınca elde edilen sayının rakamları da yalnızca $1$ , $4$ ya da $7$ ise sayıya dosdoğru sayı deniyor.

Buna göre kaç tane dosdoğru sayı vardır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 31)

Çözüm

1. Toplamları listele. Rakam ikilileri (sıra gözetmeden): $1 + 1 = 2$ , $1 + 4 = 5$ , $1 + 7 = 8$ , $4 + 4 = 8$ , $4 + 7 = 11$ , $7 + 7 = 14$ .

2. Koşulu uygula. Rakamları yalnızca $1$ , $4$ ya da $7$ olan toplamlar $11$ ve $14$ ’tür.

3. Sayıları yaz. Toplamı $11$ olanlar $47$ ve $74$ ; toplamı $14$ olan $77$ . Toplam $3$ sayı.

Tuzak: $47$ ile $74$ ’ü tek sayı saymak ya da aynı rakamdan oluşan $77$ ’yi unutmak.

Cevap: C

2020 TYTSoru 10

Orta

Tanımı verilen sayı türü

Üç basamaklı bir doğal sayının rakamları sıfırdan ve birbirinden farklıdır. Bu sayının onlar basamağındaki rakam, yüzler ve birler basamağındaki rakamların ikisini de tam bölüyorsa sayıya ortakatlı sayı deniyor. Örneğin $428$ bir ortakatlı sayıdır.

Buna göre en büyük ortakatlı sayı ile en küçük ortakatlı sayının farkı kaçtır?

İpucu

En büyük sayı için yüzler basamağına $9$ yaz ve onlar basamağına $9$ ’u bölen rakamları dene. En küçükte yüzler basamağının neden $1$ olamayacağını düşün.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 26)

Çözüm

1. Tanımı sına. $428$ ’de onlar basamağı $2$ ; hem $4$ ’ü hem $8$ ’i böler.

2. En büyük. Yüzler $9$ . Onlar basamağı $9$ ’u bölmeli ve $9$ ’dan farklı olmalı: $1$ ya da $3$ . Onlar $3$ ise birler $3$ ’ün katı, $3$ ve $9$ ’dan farklı: $6$ , sayı $936$ . Onlar $1$ olsa en çok $918$ çıkar. En büyük $936$ .

3. En küçük. Yüzler $1$ olursa onlar basamağı $1$ ’i bölmeli, yani $1$ olur; rakamlar farklı olmaz. Yüzler $2$ , onlar $1$ (her sayıyı böler), birler $1$ ve $2$ ’den farklı en küçük rakam $3$ : sayı $213$ .

936 - 213 = 723

Tuzak: en küçük için $123$ yazmak. Onlar basamağındaki $2$ , yüzlerdeki $1$ ’i bölmez.

Cevap: A

2020 TYTSoru 11

Kolay

Rakamları yer değiştiren sayılar

Furkan beş yılda bir boyunu duvarın yanında ölçüyor. Her ölçümde başının hizasını duvara işaretleyip yanına boyunu santimetre cinsinden, üç basamaklı bir doğal sayı olarak yazıyor. Şekilde bu üç işaret görülüyor.

Furkan’ın boyu ilk beş yılda $36$ cm, sonraki beş yılda $40$ cm uzamıştır.

$A$ , $B$ ve $C$ sıfırdan farklı rakamlar olduğuna göre $A + B + C$ toplamı kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 26)

Çözüm

1. İlk aralık. $1BA$ ile $1AB$ ’de yüzler basamağı aynı, son iki rakam yer değiştirmiş:

\overline{1BA} - \overline{1AB} = (10B + A) - (10A + B) = 9(B - A) = 36

Buradan $B - A = 4$ .

2. İkinci aralık. $1CA$ ile $1BA$ ’da yalnız onlar basamağı farklı: $10(C - B) = 40$ , yani $C - B = 4$ .

3. Rakam sınırı. $C = A + 8 \le 9$ ve $A \neq 0$ olduğundan $A = 1$ , $B = 5$ , $C = 9$ . Boylar $115$ , $151$ ve $191$ cm.

A + B + C = 1 + 5 + 9 = 15

Tuzak: $C - A = 8$ ’i bulup durmak; rakamlar ancak $C \le 9$ sınırıyla belirlenir.

Cevap: A

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Basamak değeri

$A$ ve $B$ birer rakam olmak üzere, dört basamaklı $5A3B$ sayısında $A$ rakamının basamak değeri ile $B$ rakamının basamak değerinin toplamı $707$ ’dir.

Buna göre $A + B$ toplamı kaçtır?

Çözüm

$5A3B$ ’de $A$ yüzler, $B$ birler basamağındadır. Basamak değerleri $100A$ ve $B$ :

100A + B = 707

$B \le 9$ olduğundan $100A = 700$ , yani $A = 7$ ve $B = 7$ .

A + B = 14

Çeldiriciler: $7$ yalnız $A$ ’dır; $10$ ve $12$ , $A$ ’nın yanına sayıdaki $3$ ya da $5$ ’i eklemekten gelir.

Cevap: D

Özgün soru2

Kolay

Rakamları yer değiştiren sayılar

Üç basamaklı $ABC$ ve $CBA$ doğal sayıları için

ABC - CBA = 594 \qquad A + C = 10

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre $A \cdot C$ çarpımı kaçtır?

Çözüm

1. Kalıp.

\overline{ABC} - \overline{CBA} = (100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 99(A - C)

2. Fark. $99(A - C) = 594$ , yani $A - C = 6$ .

3. Toplam-fark. $A + C = 10$ ile $A = 8$ , $C = 2$ . Ortadaki $B$ farkta sadeleşir; her $B$ için doğrudur.

A \cdot C = 16

Tuzak: farkı $9(A - C)$ sanmak. O zaman $A - C = 66$ çıkar ki rakamlar için olamaz.

Cevap: B

Özgün soru3

Orta

Koşullu en büyük ve en küçük sayı

Rakamları birbirinden farklı ve rakamlarının çarpımı $24$ olan üç basamaklı doğal sayılar düşünülüyor.

Bu sayıların en büyüğü ile en küçüğünün farkı kaçtır?

İpucu

$24$ ’ü üç farklı rakamın çarpımı olarak yazmanın bütün yollarını listele; sonra basamakları soldan doldur.

Çözüm

1. Rakam üçlüleri. $24 = 1 \cdot 3 \cdot 8 = 1 \cdot 4 \cdot 6 = 2 \cdot 3 \cdot 4$ . ( $2 \cdot 2 \cdot 6$ ’da rakam tekrar eder, $1 \cdot 2 \cdot 12$ ’de $12$ rakam değildir.)

2. En büyük. Yüzler basamağına en büyük rakam: $8$ yalnız $\{1, 3, 8\}$ ’de var. Sayı $831$ .

3. En küçük. Yüzler basamağına $1$ : $\{1, 3, 8\}$ ’den $138$ , $\{1, 4, 6\}$ ’dan $146$ . Küçüğü $138$ .

831 - 138 = 693

Çeldiriciler: en küçüğü $234$ sanmak $597$ , $146$ sanmak $685$ , en büyüğü $641$ sanmak $503$ verir.

Cevap: D

Özgün soru4

Orta

Rakam sayma

Bir kitabın sayfaları $1$ ’den başlayarak sırayla numaralandırılmıştır. Bütün sayfa numaralarını yazmak için toplam $411$ rakam kullanılmıştır.

Buna göre kitap kaç sayfadır?

İpucu

Önce tek basamaklı, sonra iki basamaklı sayfaların kaç rakam harcadığını hesapla; kalan rakamlar üç basamaklı sayfalara gider.

Çözüm

1. Tek ve iki basamaklılar. $1$ – $9$ : $9$ sayfa, $9$ rakam. $10$ – $99$ : $90$ sayfa, $180$ rakam. İlk $99$ sayfa toplam $189$ rakam harcar.

2. Üç basamaklılar. Kalan $411 - 189 = 222$ rakam, $222 : 3 = 74$ sayfa eder.

3. Son sayfa. Üç basamaklı sayfalar $100$ ’den başlar; $74$ . sayfa $100 + 74 - 1 = 173$ ’tür.

Sağlama: $9 + 180 + 74 \cdot 3 = 411$ .

Tuzak: son sayfayı $100 + 74 = 174$ sanmak. Çeldiriciler: $137 = 411 : 3$ ; $170$ , $1$ – $9$ arasını da iki basamaklı saymaktan gelir.

Cevap: C

Özgün soru5

Zor

Ardışık sayılarda basamaklar

Bir otoparkta yan yana dizilmiş yedi park yerinin numaraları ardışık doğal sayılardır ve en büyük numara iki basamaklıdır. Görevli her numaranın rakamları toplamını bir deftere yazıyor; defterdeki yedi sayının toplamı $46$ çıkıyor.

Buna göre en küçük park yeri numarası kaçtır?

İpucu

Ardışık sayılarda rakamlar toplamı her adımda $1$ artar; onluk geçişinde ise $8$ azalır. Önce yedi sayının içinde onluk geçişi olup olmadığına karar ver.

Çözüm

1. Örüntü. Sonraki sayıya geçince rakamlar toplamı $1$ artar. Onluk geçişinde ( $\dots 9 \to \dots 0$ ) ise $1$ artacağına $8$ azalır; yani beklenenden $9$ eksik olur.

2. Geçiş var mı? İlk sayının rakamları toplamı $d$ olsun. Geçiş olmasaydı toplam $d + (d + 1) + \dots + (d + 6) = 7d + 21 = 46$ olurdu; $7d = 25$ , tam sayı değil. Öyleyse bir onluk geçişi vardır (yedi ardışık sayıda en çok bir tane).

3. Denklem. Geçişten sonraki $m$ sayının her biri $9$ eksik sayılır:

7d + 21 - 9m = 46 \;\Rightarrow\; 7d = 25 + 9m

$m = 1, 2, \dots, 6$ denenirse yalnız $m = 5$ uyar: $7d = 70$ , $d = 10$ .

4. Sayı. Geçişten önce $7 - 5 = 2$ sayı var; ilk sayı $8$ ile biter ve rakamları toplamı $10$ ’dur: $28$ .

Sağlama: $28, 29, 30, 31, 32, 33, 34$ için $10 + 11 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 46$ .

Tuzak: rakamları toplamı $10$ olan $19$ ’u seçmek; $19$ ’dan başlayan yedi sayının toplamı $10 + 2 + 3 + \dots + 7 = 37$ ’dir.

Cevap: C