3Konu 3 / 49
Temel Kavramlar

Sayı Kümeleri, Bölünebilme, EBOB ve EKOK

Sayı kümelerini ve köklü sayıların sayı doğrusundaki yerini tanıyor, bölme eşitliğinden bölünebilme kurallarını çıkarıyor, asal çarpanlarla EBOB ve EKOK buluyor, periyodik tekrar eden durumları kalanla çözüyoruz.

9. sınıf
AYT sıklığı
60 dk

LevhaSayı Kümeleri, Bölünebilme, EBOB ve EKOKSayı Kümeleri, Bölünebilme, EBOB ve EKOK

Bir limanın girişinde iki fener var: biri $12$ saniyede bir, öbürü $18$ saniyede bir yanıyor. Az önce ikisi aynı anda yandı. Yeniden aynı anda yanmaları için kaç saniye beklemen gerekir? Sahnede iki feneri izle; yanıt, bu sayfanın sonuna doğru tek bir işleme inecek.

Isınma

Başlamadan: asal sayı, bölme, üs

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Aşağıdakilerden hangisi asal sayıdır?

Açıklama

$59$ sayısı $2$ , $3$ , $5$ ve $7$ ‘ye bölünmez; $8 \cdot 8 = 64 > 59$ olduğundan daha büyük bir asalı denemeye gerek yoktur. $59$ asaldır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

47

sayısının

6

‘ya bölümünden kalan kaçtır?

Açıklama

$47 = 6 \cdot 7 + 5$ . Bölüm $7$ , kalan $5$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

2^3 \cdot 3^2

çarpımı kaçtır?

Açıklama

$2^3 = 8$ ve $3^2 = 9$ ; çarpım $8 \cdot 9 = 72$ .

Temel

Sayı kümeleri ve bölme

Sayı kümeleri

Her yeni sayı türü, bir öncekinin yapamadığı bir iş için ortaya çıkar. Saymak için doğal sayılar yeter. $3 - 5$ işlemine sonuç verebilmek için negatif sayılar, bir ekmeği ikiye bölebilmek için kesirler gerekir. Kenarı $1$ birim olan karenin köşegeni ise hiçbir kesirle yazılamaz; bunun için de irrasyonel sayılar vardır.

Her doğal sayı aynı zamanda bir tam sayıdır; her tam sayı da paydası $1$ olan bir kesirdir. Yani kümeler iç içedir: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ . Rasyonel ve irrasyonel sayıların ise ortak elemanı yoktur: $\mathbb{Q} \cap \mathbb{Q}' = \varnothing$ .

Kümeler iç içedir; bir gerçek sayı ya rasyoneldir ya irrasyonel.

Ondalık yazılış ikisini ayırır. Rasyonel sayının ondalık açılımı ya biter ya da devreder: $\dfrac{3}{4} = 0{,}75$ ve $\dfrac{1}{3} = 0{,}333\dots$ İrrasyonel sayının açılımı bitmez ve devretmez: $\sqrt{2} = 1{,}41421356\dots$

Sahnede sayı kartlarından birini seç; kart, içinde bulunduğu en dar kümeye yerleşir ve onu saran bütün kümeler yanar. $\sqrt{9}$ ve $\sqrt{2}$ kartlarını art arda dene: ikisi de köklü yazılmış ama biri $\mathbb{N}$ kutusuna, öbürü $\mathbb{Q}'$ kutusuna gidiyor.

Örnek

kolay

Bir sayının en dar kümesi

$\sqrt{49}$ , $-\dfrac{12}{4}$ , $0{,}\overline{6}$ ve $\sqrt{7}$ sayılarının her biri $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{Q}'$ kümelerinden en dar hangisinin elemanıdır?

Önce sadeleştir, çünkü yazılış yanıltabilir: $\sqrt{49} = 7$ bir doğal sayıdır. $-\dfrac{12}{4} = -3$ negatif olduğu için doğal sayı değil, tam sayıdır.

Devirli ondalık sayı rasyoneldir. $x = 0{,}666\dots$ dersek $10x = 6{,}666\dots$ olur; farkları $9x = 6$ , yani $x = \dfrac{2}{3}$ . Tam sayı olmadığı için en dar küme $\mathbb{Q}$ ‘dur.

$7$ bir tam kare değildir ( $2^2 = 4$ , $3^2 = 9$ ), bu yüzden $\sqrt{7}$ hiçbir kesre eşit olamaz; irrasyoneldir.

Sonuç

$\sqrt{49} \in \mathbb{N}$ , $\quad -\dfrac{12}{4} \in \mathbb{Z}$ , $\quad 0{,}\overline{6} \in \mathbb{Q}$ , $\quad \sqrt{7} \in \mathbb{Q}'$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Aşağıdakilerden hangisi irrasyonel sayıdır?

Açıklama

$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ . $8$ tam kare olmadığından kökten kurtulamaz; irrasyoneldir.

Köklü sayıların sayı doğrusundaki yeri

Sayı doğrusundaki her nokta bir gerçek sayıya, her gerçek sayı da bir noktaya karşılık gelir; $\mathbb{R}$ ‘nin resmi sayı doğrusudur. İrrasyonel sayıların ondalık açılımı bitmese de doğrudaki yerleri tek ve kesindir. $\sqrt{2}$ için kenarı $1$ birim olan bir kare yeter: Pisagor bağıntısına göre köşegeni $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ birimdir. Pergeli $0$ noktasına batırıp köşegen kadar açar ve doğruya indirirsin.

Karenin köşegeni

\sqrt{2}

, kenarları

2

1

olan dikdörtgenin köşegeni

\sqrt{5}

noktasını verir.

Sahnede $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ ve $\sqrt{5}$ arasında seçim yap ve pergelin dönüşünü izle. Sonra yakınlaştırma sürgüsünü ilerlet: doğru ne kadar ince bölünürse bölünsün işaretli nokta hiçbir çentiğin üstüne oturmuyor, hep iki çentiğin arasında kalıyor.

Örnek

kolay

$\sqrt{3}$ sayısını işaretlemek

$\sqrt{2}$ noktası sayı doğrusunda işaretlidir. $\sqrt{3}$ noktası nasıl bulunur ve hangi iki ardışık tam sayının arasındadır?

Hipotenüsü $\sqrt{3}$ olan bir dik üçgen gerekiyor. Dik kenarlar $\sqrt{2}$ ve $1$ alınırsa $\left(\sqrt{2}\right)^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3$ olur; hipotenüs $\sqrt{3}$ ‘tür.

$\sqrt{2}$ noktasından doğruya dik $1$ birim çık. Vardığın noktanın $0$ noktasına uzaklığı $\sqrt{3}$ ‘tür; pergeli $0$ ‘a batırıp bu uzaklığı doğruya indir.

Yerini kareleriyle sına, çünkü karesi $3$ olan sayıyı arıyoruz: $1^2 = 1 < 3 < 4 = 2^2$ . Daha ince bakınca $1{,}7^2 = 2{,}89$ ve $1{,}8^2 = 3{,}24$ .

Sonuç

$\sqrt{3}$ , $1$ ile $2$ arasında, $1{,}7$ ile $1{,}8$ arasındaki noktadır.

Tek sayı için doğru yetiyorsa, sayı ikilileri için düzlem gerekir. $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ kümesinin elemanları $(x, y)$ sıralı ikilileridir; her ikili kartezyen koordinat sisteminde bir noktadır. $(\sqrt{2}, 1)$ ikilisi, az önce pergelle indirdiğin noktanın ta kendisidir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\sqrt{20}

sayısı sayı doğrusunda hangi iki ardışık tam sayının arasındadır?

Açıklama

$16 < 20 < 25$ olduğundan $4 < \sqrt{20} < 5$ .

Toplama ve çarpmanın özellikleri

Gerçek sayılarla hesap yaparken farkında olmadan kullandığın birkaç kural var. Adlarını bilmek, bir adımı neye dayanarak attığını söyleyebilmek demektir.

Kural

Gerçek sayılarda toplama ve çarpma

Özellik	Toplama	Çarpma
Kapalılık	$a + b \in \mathbb{R}$	$a \cdot b \in \mathbb{R}$
Değişme	$a + b = b + a$	$a \cdot b = b \cdot a$
Birleşme	$(a + b) + c = a + (b + c)$	$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
Etkisiz eleman	$a + 0 = a$	$a \cdot 1 = a$
Ters eleman	$a + (-a) = 0$	$a \cdot \dfrac{1}{a} = 1 \ (a \neq 0)$

Dağılma: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Çıkarma ve bölmede değişme yoktur: $5 - 3 \neq 3 - 5$ . $0$ ‘ın çarpmaya göre tersi de yoktur, çünkü hiçbir sayıyı $0$ ile çarpıp $1$ elde edemezsin. Kapalılık ise kümeye göre değişir: $3 - 5 \notin \mathbb{N}$ olduğundan doğal sayılar çıkarmaya kapalı değildir.

Örnek

kolay

Her zaman doğru mu?

Aşağıdaki ifadelerden hangileri her zaman doğrudur?

I. İki rasyonel sayının toplamı rasyoneldir.

II. İki irrasyonel sayının çarpımı irrasyoneldir.

III. Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının toplamı irrasyoneldir.

I doğrudur, çünkü iki kesrin toplamı yine tam sayıların oranıdır: $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad + bc}{bd}$ ve $bd \neq 0$ .

II için tek bir aksine örnek yeter: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ . İki irrasyonelin çarpımı rasyonel çıkabilir; II her zaman doğru değildir.

III doğrudur. $r$ rasyonel, $x$ irrasyonel olsun. $r + x$ toplamı rasyonel bir $s$ sayısı olsaydı $x = s - r$ iki rasyonelin farkı, yani rasyonel olurdu; bu, $x$ ‘in irrasyonel olmasıyla çelişir.

Sonuç

I ve III her zaman doğrudur.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

25 \cdot 44

çarpımını

25 \cdot 40 + 25 \cdot 4

biçiminde hesaplayan öğrenci hangi özelliği kullanmıştır?

Açıklama

$44 = 40 + 4$ yazılıp $25 \cdot (40 + 4) = 25 \cdot 40 + 25 \cdot 4 = 1000 + 100 = 1100$ bulunur. Bu, dağılma özelliğidir.

Bölme ve kalan

$17$ cevizi $5$ ‘erli paketlersen $3$ paket olur, $2$ ceviz artar. Bölme dediğimiz şey budur: bir sayının içinden bölenin katlarını çıkarmak ve artana bakmak.

17

'nin içinde üç tane

5

var; geriye

2

kalıyor.

Sahnede $a$ ve $b$ sürgüleriyle oyna. İşaretçi $0$ ‘dan başlayıp $b$ ‘şer birim zıplıyor ve $a$ ‘yı geçmeden duruyor; kalan parça hep bir zıplamadan kısa. $b = 5$ iken $a$ ‘yı $15$ , $20$ , $25$ yap: kalan sıfırlanır, $a$ tam bölünür.

Örnek

kolay

Kalandan kalana geçmek

Bir $A$ doğal sayısının $6$ ‘ya bölümünden kalan $4$ ‘tür. $A$ ‘nın $3$ ‘e bölümünden kalan kaçtır?

Verileni bölme eşitliğiyle yaz, çünkü kalan bilgisiyle işlem yapmanın yolu budur: $A = 6q + 4$ .

Sağ tarafı $3$ ‘ün katı ve artan olarak düzenle. $6q$ zaten $3$ ‘ün katıdır; $4$ ‘ün içinde de bir tane $3$ vardır: $4 = 3 + 1$ .

$A = 6q + 3 + 1 = 3 \cdot (2q + 1) + 1$

Sayıyla sına: $A = 10$ için $10 = 6 \cdot 1 + 4$ ve $10 = 3 \cdot 3 + 1$ .

Sonuç

Kalan $1$ ‘dir. (Yanıt $4$ olamaz: $3$ ‘e bölümden kalan $3$ ‘ten küçüktür.)

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir doğal sayı

8

‘e bölündüğünde bölüm

7

, kalan ise alabileceği en büyük değerdir. Bu sayı kaçtır?

Açıklama

Kalan en çok $8 - 1 = 7$ olabilir. Sayı $8 \cdot 7 + 7 = 63$ .

Orta

Bölünebilme kuralları, EBOB ve EKOK

Bölünebilme kurallarının hepsi aynı fikirden çıkar: sayıyı basamaklarına ayır, bölene zaten tam bölünen kısmı at, geriye kalan küçük parçaya bak. Kuralı unutursan bu fikirle yeniden kurabilirsin.

Son basamaklara bakan kurallar: 2, 5, 10, 4, 8

$4736 = 473 \cdot 10 + 6$ . $10$ sayısı $2$ ‘nin, $5$ ‘in ve $10$ ‘un katı olduğundan ilk parça bu üçüne de tam bölünür; karar son rakama kalır. Aynı biçimde $100 = 4 \cdot 25$ olduğu için $4$ ‘te son iki basamak, $1000 = 8 \cdot 125$ olduğu için $8$ ‘de son üç basamak belirleyicidir.

Örneğin $5373$ sayısının $4$ ‘e bölümünden kalanı bulmak için $73$ ‘e bakmak yeter: $73 = 4 \cdot 18 + 1$ , kalan $1$ .

Örnek

orta

4 ile bölünen sayıda eksik rakam

Dört basamaklı $53A6$ sayısı $4$ ile tam bölünmektedir. $A$ rakamı kaç farklı değer alabilir?

$4$ kuralı yalnızca son iki basamağa bakar, çünkü $5300$ zaten $100$ ‘ün katıdır. İki basamaklı $A6$ sayısı $4$ ‘ün katı olmalı.

Birler basamağı $6$ olan iki basamaklı sayıları sırayla dene: $16$ , $36$ , $56$ , $76$ , $96$ sayıları $4$ ‘ün katıdır; $06$ , $26$ , $46$ , $66$ , $86$ değildir.

Neden böyle? $A6 = 10A + 6$ ve $10A + 6 = 8A + 4 + (2A + 2)$ . İlk iki terim $4$ ‘ün katıdır; $2A + 2$ de $4$ ‘ün katı olmalı, yani $A + 1$ çift, $A$ tek olmalı.

Sonuç

$A \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$ ; $5$ farklı değer alabilir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Aşağıdaki sayılardan hangisi

8

ile tam bölünür?

Açıklama

Son üç basamak: $432 = 8 \cdot 54$ . Öbürlerinde $124$ , $218$ ve $316$ sayıları $8$ ‘e tam bölünmez.

Rakamlar toplamına bakan kurallar: 3 ve 9

$10 = 9 + 1$ ve $100 = 99 + 1$ . Her onluk ve her yüzlük, dokuzarlı gruplara ayrılınca geriye $1$ birim bırakır. Bu yüzden

\begin{aligned} 234 &= 2 \cdot (99 + 1) + 3 \cdot (9 + 1) + 4 \\ &= \underbrace{2 \cdot 99 + 3 \cdot 9}_{9\text{'un katı}} + (2 + 3 + 4) \end{aligned}

olur ve karar rakamlar toplamına kalır. $9$ ‘un katları $3$ ‘ün de katı olduğundan aynı düşünce $3$ için de geçerlidir.

234

: her yüzlükten ve her onluktan

1

birim artar. Artanların sayısı rakamlar toplamıdır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

7385

sayısının

9

‘a bölümünden kalan kaçtır?

Açıklama

Rakamlar toplamı $7 + 3 + 8 + 5 = 23$ ve $23 = 9 \cdot 2 + 5$ . Kalan $5$ ‘tir.

11 ile bölünebilme

Bu kez basamak değerleri $11$ ‘in katlarına bir fazla ya da bir eksikle komşudur: $10 = 11 - 1$ , $100 = 99 + 1$ , $1000 = 1001 - 1$ . Birler basamağından başlayarak rakamlar sırayla bir artı, bir eksi katkı yapar.

Sahnede bir sayı yüzlük, onluk ve birlik bloklarla duruyor. Bölen $9$ iken her bloktan dokuzlu gruplar ayrılıyor, geriye rakamlar toplamı kadar birim kalıyor. Böleni $11$ yap: onluklar bu kez $1$ birim borçlu, yüzlükler $1$ birim fazla; işaretlerin neden sırayla değiştiğini bloklarda gör.

Örnek

orta

11 ile bölünen sayıda eksik rakam

Dört basamaklı $7A36$ sayısı $11$ ile tam bölünmektedir. $A$ kaçtır?

İşaretleri birler basamağından başlat: $6 - 3 + A - 7 = A - 4$ .

$A - 4$ sayısı $11$ ‘in katı olmalı. $A$ bir rakam olduğundan $A - 4$ en az $-4$ , en çok $5$ olabilir; bu aralıktaki tek $11$ katı $0$ ‘dır. Sıfırı unutma: $0 = 11 \cdot 0$ .

Sağlama: $7436 = 11 \cdot 676$ .

Sonuç

$A = 4$

Bileşik kurallar: 6, 12, 15

$6$ ‘nın kendi kuralı yoktur; $6 = 2 \cdot 3$ olduğu için $2$ ve $3$ kuralları birlikte uygulanır. Bunun işlemesi için çarpanların ortak böleni olmamalıdır.

Örnek

orta

15 ile bölünen sayıda en büyük toplam

Beş basamaklı $4A32B$ sayısı $15$ ile tam bölünmektedir. $A + B$ toplamı en çok kaçtır?

$15 = 3 \cdot 5$ ve $3$ ile $5$ aralarında asaldır; iki kural ayrı ayrı sağlanmalı. Önce daha az seçenek bırakan $5$ kuralını kullan: $B = 0$ ya da $B = 5$ .

$3$ kuralı: rakamlar toplamı $4 + A + 3 + 2 + B = 9 + A + B$ sayısı $3$ ‘ün katı olmalı; $9$ zaten $3$ ‘ün katı olduğundan $A + B$ de $3$ ‘ün katı olmalı.

$B = 0$ ise $A \in \{0, 3, 6, 9\}$ ; en büyük toplam $9 + 0 = 9$ . $B = 5$ ise $A + 5$ sayısı $3$ ‘ün katı olmalı: $A \in \{1, 4, 7\}$ ; en büyük toplam $7 + 5 = 12$ .

Sonuç

$A + B$ en çok $12$ ‘dir ( $47325 = 15 \cdot 3155$ ). Tuzak: $A$ ‘yı tek başına en büyük yapmak ( $A = 9$ ) toplamı en büyük yapmaz.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Üç basamaklı

41A

sayısı

6

ile tam bölündüğüne göre

A

kaçtır?

Açıklama

$A$ çift olmalı ve $4 + 1 + A = 5 + A$ sayısı $3$ ‘ün katı olmalı. $A \in \{1, 4, 7\}$ içinde çift olan yalnızca $4$ ‘tür: $414 = 6 \cdot 69$ .

Asal çarpanlara ayırma

Asal sayılar çarpmanın yapı taşlarıdır: $1$ ‘den büyük her doğal sayı ya asaldır ya da asalların çarpımıdır.

Ayırmak için sayıyı en küçük asaldan başlayarak bölebildiğin kadar böl:

Sayı	$360$	$180$	$90$	$45$	$15$	$5$	$1$
Böldüğün asal	$2$	$2$	$2$	$3$	$3$	$5$

Üç kez $2$ , iki kez $3$ , bir kez $5$ : $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

504

sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

$504 \to 252 \to 126 \to 63$ (üç kez $2$ ), $63 \to 21 \to 7$ (iki kez $3$ ), $7 \to 1$ . Sonuç $2^3 \cdot 3^2 \cdot 7$ .

EBOB ve EKOK

İki sayının ikisini birden bölen sayılara ortak bölen, ikisinin birden katı olan sayılara ortak kat denir. Ortak bölenlerin bir en büyüğü, pozitif ortak katların bir en küçüğü vardır.

$12$ ve $18$ için ortak bölenler $1, 2, 3, 6$ ; ortak katlar $36, 72, 108, \dots$ Yani $\ebob(12, 18) = 6$ ve $\ekok(12, 18) = 36$ . Büyük sayılarda liste yazmak yerine asal çarpanlara bakılır.

\ebob(72, 120) = 2^3 \cdot 3 = 24

\ekok(72, 120) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 360

Neden? Bir sayı $72$ ‘yi bölüyorsa içindeki $3$ çarpanı en çok iki tane olabilir; $120$ ‘yi de bölüyorsa en çok bir tane. İkisini birden bölen sayı küçük olan sınıra uymak zorundadır. Ortak kat için durum terstir: iki sayıyı da içinde barındırmak için büyük olan üs gerekir.

Sahnede $a$ ve $b$ sayıları asal çarpan kuleleri olarak yan yana duruyor. “EBOB” seçiliyken her asalda kulelerin ortak (kısa) kısmı, “EKOK” seçiliyken uzun olan kule vurgulanıyor. $a = 72$ , $b = 120$ ile başla; sonra $b$ ‘yi $35$ yap ve EBOB’un neden $1$ ‘e düştüğüne bak.

Örnek

orta

Asal çarpanlarla EBOB ve EKOK

$\ebob(72, 120)$ ve $\ekok(72, 120)$ değerlerini bul.

İki sayıyı asal çarpanlarına ayır: $72 = 2^3 \cdot 3^2$ ve $120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$ .

EBOB için ortak asallar $2$ ve $3$ ‘tür; küçük üsler $3$ ve $1$ . $5$ ortak olmadığı için alınmaz: $\ebob = 2^3 \cdot 3 = 24$ .

EKOK için bütün asallar ( $2$ , $3$ , $5$ ) büyük üsleriyle alınır: $\ekok = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 360$ .

Sağlama: $72 = 24 \cdot 3$ , $120 = 24 \cdot 5$ ; $360 = 72 \cdot 5 = 120 \cdot 3$ .

Sonuç

$\ebob(72, 120) = 24$ , $\quad \ekok(72, 120) = 360$

Az önceki sonuçta bir şey dikkatini çekmiş olabilir: $72 \cdot 120 = 8640$ ve $24 \cdot 360 = 8640$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\ebob(a, b) = 6

\ekok(a, b) = 180

a = 30

olduğuna göre

b

kaçtır?

Açıklama

$a \cdot b = 6 \cdot 180 = 1080$ olduğundan $b = \dfrac{1080}{30} = 36$ . Sağlama: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ , $36 = 2^2 \cdot 3^2$ ; EBOB $2 \cdot 3 = 6$ , EKOK $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 180$ .

Günlük hayatta: EBOB mu, EKOK mu?

Soruda ne yaptığına bak. Büyük bir şeyi eşit ve olabildiğince büyük parçalara bölüyorsan parça boyu ortak bölendir: EBOB. Küçük şeyleri yan yana dizerek ya da tekrarlayarak ilk kez buluşturuyorsan buluşma yeri ortak kattır: EKOK.

Sahnede $48 \times 36$ birimlik bir zemin var. Karo kenarı sürgüsünü değiştir: kenar hem $48$ ‘i hem $36$ ‘yı bölmüyorsa kenarda boşluk kalıyor. Boşluksuz döşeyen kenarlar ortak bölenlerdir: $1, 2, 3, 4, 6, 12$ . En büyüğü $\ebob(48, 36) = 12$ , en az karo da onunla gider.

48 \times 36

zemin, kenarı

\ebob(48, 36) = 12

olan

4 \cdot 3 = 12

kare karoyla dolar.

Örnek

orta

En az kaç kare karo?

Kenar uzunlukları $360$ cm ve $252$ cm olan dikdörtgen biçimindeki bir zemin, hiç kesilmeden ve boşluk bırakılmadan eş kare karolarla döşenecektir. En az kaç karo gerekir?

Karo sayısının az olması için karo büyük olmalı. Karonun kenarı iki kenarı da tam bölmeli; o hâlde kenar, $360$ ile $252$ ‘nin en büyük ortak bölenidir. Parçalıyoruz: EBOB.

$360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ ve $252 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7$ . Ortak asalların küçük üsleri: $\ebob = 2^2 \cdot 3^2 = 36$ cm.

Uzun kenara $\dfrac{360}{36} = 10$ , kısa kenara $\dfrac{252}{36} = 7$ karo sığar.

Sonuç

En az $10 \cdot 7 = 70$ karo gerekir.

Şimdi fenerlere dön. Birinin yandığı anlar $12$ ‘nin, öbürünün yandığı anlar $18$ ‘in katlarıdır; birlikte yandıkları anlar ortak katlardır. İlk buluşma en küçük ortak kattadır: $\ekok(12, 18) = 36$ saniye.

Fenerler her

36

saniyede bir birlikte yanar.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Kenarları

20

cm ve

12

cm olan dikdörtgen fayanslar hep aynı yönde, yan yana ve üst üste dizilerek bir kare oluşturulacaktır. En az kaç fayans gerekir?

Açıklama

Karenin kenarı hem $20$ ‘nin hem $12$ ‘nin katı olmalı: en küçüğü $\ekok(20, 12) = 60$ cm. Bir yönde $\dfrac{60}{20} = 3$ , öbür yönde $\dfrac{60}{12} = 5$ fayans; toplam $3 \cdot 5 = 15$ .

İleri

Sınav düzeyi: durum incelemesi, kalanlar ve periyot

Sayıları EBOB cinsinden yazmak

EBOB ve EKOK’un birlikte verildiği sorularda sayıların kendisini aramak yerine onları EBOB’un katları olarak yazmak, bilinmeyenleri küçültür.

$x$ ile $y$ ‘nin ortak bir böleni kalsaydı o bölen $d$ ‘ye eklenir, EBOB daha büyük çıkardı. Bu koşul, sınav sorularında eleme yapan asıl bilgidir.

Örnek

zor

EBOB ve EKOK verilmiş, toplam isteniyor

$a$ ve $b$ pozitif tam sayıları için $\ebob(a, b) = 6$ ve $\ekok(a, b) = 216$ olduğuna göre $a + b$ toplamı en az kaçtır?

Sayıları EBOB cinsinden yaz: $a = 6x$ , $b = 6y$ , $x$ ile $y$ aralarında asal. EKOK $6xy = 216$ olduğundan $xy = 36$ .

Çarpımı $36$ olan çiftler: $(1, 36)$ , $(2, 18)$ , $(3, 12)$ , $(4, 9)$ , $(6, 6)$ . Aralarında asal olanları ayır: $(2, 18)$ ikisi de çift, $(3, 12)$ ikisi de $3$ ‘ün katı, $(6, 6)$ eşit; elenir. Kalanlar $(1, 36)$ ve $(4, 9)$ .

Toplam $a + b = 6(x + y)$ olduğundan $x + y$ küçük olan seçilir: $1 + 36 = 37$ ve $4 + 9 = 13$ . En küçük toplam $6 \cdot 13 = 78$ .

Sağlama: $a = 24 = 2^3 \cdot 3$ , $b = 54 = 2 \cdot 3^3$ . EBOB $2 \cdot 3 = 6$ , EKOK $2^3 \cdot 3^3 = 216$ .

Sonuç

$a + b$ en az $78$ ‘dir.

Hep aynı kalan

Bir sayı birkaç bölene bölündüğünde hep aynı kalanı veriyorsa, o kalanı çıkarınca geriye bölenlerin hepsine tam bölünen bir sayı, yani bir ortak kat kalır. $A$ sayısı $4$ ‘e ve $6$ ‘ya bölündüğünde $3$ kalanını veriyorsa $A - 3$ sayısı $12$ ‘nin katıdır: $A = 12k + 3$ .

Kalanlar farklı ama her biri kendi böleninden aynı miktarda eksikse bu kez ekleyerek tamamlarsın: $5$ ‘e bölümünden kalan $3$ , $6$ ‘ya bölümünden kalan $4$ olan sayıya $2$ eklenince hem $5$ ‘in hem $6$ ‘nın katı olur.

Örnek

zor

Paketlerden artan kalemler

Bir kolideki kalemler $6$ ‘şar, $8$ ‘er ya da $9$ ‘ar paketlendiğinde her seferinde $5$ kalem artmakta, $7$ ‘şer paketlendiğinde ise hiç kalem artmamaktadır. Kolide $500$ ‘den az kalem olduğuna göre kalem sayısı kaçtır?

Kalem sayısına $N$ de. İlk üç koşulda kalan hep $5$ olduğundan $N - 5$ sayısı $6$ , $8$ ve $9$ ‘un ortak katıdır.

$6 = 2 \cdot 3$ , $8 = 2^3$ , $9 = 3^2$ ; büyük üslerle $\ekok(6, 8, 9) = 2^3 \cdot 3^2 = 72$ . O hâlde $N = 72k + 5$ ve $500$ ‘den küçük adaylar: $5, 77, 149, 221, 293, 365, 437$ .

Son koşul: $N$ , $7$ ‘nin katı olmalı. Adayları sırayla böl: $77 = 7 \cdot 11$ uyar; $149$ , $221$ , $293$ , $365$ ve $437$ sayılarının $7$ ‘ye bölümünden kalanlar sırasıyla $2, 4, 6, 1, 3$ ‘tür; $5$ de $7$ ‘nin katı değildir.

Sonuç

Kolide $77$ kalem vardır. Sağlama: $77 = 6 \cdot 12 + 5 = 8 \cdot 9 + 5 = 9 \cdot 8 + 5 = 7 \cdot 11$ .

Periyodik durumlar

Haftanın günleri $7$ günde bir, saat kadranı $12$ saatte bir, trafik ışığı belli bir sürede bir aynı duruma döner. Böyle durumlarda uzak bir adımı bulmak için hepsini saymazsın; kaç tam tur atıldığını atar, artana bakarsın.

Sahnede haftanın yedi günü bir çark üzerinde. Gün sayısı sürgüsünü ilerlet: işaretçi tam turları geçip gidiyor, sayaç $n = 7 \cdot (\text{tur}) + (\text{kalan})$ biçiminde güncelleniyor. $n = 55$ için kalan $6$ ‘dır; cumartesiden $6$ gün sonrası cumadır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

K, A, L, E, M harfleri bu sırayla, ara vermeden tekrar tekrar yazılıyor: KALEMKALEMKALEM… Baştan

2026

. harf hangisidir?

Açıklama

Periyot $5$ harftir. $2026 = 5 \cdot 405 + 1$ ; kalan $1$ olduğundan aranan harf periyodun birinci harfi, yani K’dir.

Örnek

zor

Nöbet günü

Bir hemşire $5$ günde bir nöbet tutmaktadır. İlk nöbetini bir cumartesi günü tuttuğuna göre $12$ . nöbetini haftanın hangi günü tutar?

Önce geçen gün sayısını bul. $1$ . nöbetten $12$ . nöbete kadar $12$ değil, $12 - 1 = 11$ aralık vardır; her aralık $5$ gündür. Geçen süre $11 \cdot 5 = 55$ gün.

Günler $7$ ‘de bir yinelenir; tam haftaları at: $55 = 7 \cdot 7 + 6$ . Yedi tam hafta sonra gün yine cumartesidir, geriye $6$ gün kalır.

Cumartesiden $6$ gün ilerle: pazar, pazartesi, salı, çarşamba, perşembe, cuma. Kısa yol: $6$ gün ileri gitmek, $1$ gün geri gitmekle aynı güne varır.

Sonuç

$12$ . nöbet cuma günüdür.

İki ayrı periyot birlikte işliyorsa, ikisinin birden başa döndüğü süre periyotların EKOK’udur. Kancadaki fenerler bunun örneğiydi: $12$ ve $18$ saniyelik periyotlar $36$ saniyede bir buluşuyordu.

Özet

Bu konudan aklında kalacaklar

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ ve $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q}'$ . Rasyonelin ondalık açılımı biter ya da devreder; irrasyonelinki ikisini de yapmaz.
$\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ , $\sqrt{5}$ dik üçgenin hipotenüsü olarak sayı doğrusuna taşınır. $\mathbb{R}$ sayı doğrusuyla, $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ koordinat düzlemiyle gösterilir.
Toplama ve çarpma: kapalılık, değişme, birleşme, etkisiz eleman ( $0$ ve $1$ ), ters eleman, dağılma.
Bölme eşitliği: $a = b \cdot q + r$ , $0 \leq r < b$ .
Son basamak: $2, 5, 10$ ; son iki: $4$ ; son üç: $8$ . Rakamlar toplamı: $3, 9$ . Sırayla $+, -$ işaretli toplam: $11$ . Bileşik bölenler aralarında asal çarpanlara ayrılır: $6 = 2 \cdot 3$ , $12 = 3 \cdot 4$ , $15 = 3 \cdot 5$ .
EBOB: ortak asalların küçük üsleri. EKOK: bütün asalların büyük üsleri. İki sayı için $a \cdot b = \ebob(a, b) \cdot \ekok(a, b)$ .
$\ebob(a, b) = d$ ise $a = dx$ , $b = dy$ , $x$ ile $y$ aralarında asal ve $\ekok(a, b) = dxy$ .
Parçalıyorsan EBOB, buluşturuyorsan EKOK. Periyodik durumda adım sayısını periyoda böl, kalana bak; kalan $0$ ise son eleman.

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

10 çıkmış soru5 özgün soru

2026 AYTSoru 4

Orta

Bölünebilme kuralları

Üç basamaklı bir doğal sayı için şunlar bilinmektedir: sayının kendisi $11$ ile, rakamlarının çarpımı $12$ ile, rakamlarının toplamı $13$ ile tam bölünmektedir.

Buna göre bu sayının rakamları çarpımı kaçtır?

İpucu

Üç rakamın toplamı en çok $27$ 'dir; $13$ 'ün katı olarak hangi değerler kalır? Sonra $11$ kuralındaki işaretli toplamı, rakamlar toplamı cinsinden yaz.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

Sayı $abc$ olsun.

1. Rakamlar toplamı. $a + b + c$ en çok $27$ 'dir ve $13$ 'ün katıdır: $13$ ya da $26$ . Toplam $26$ yalnızca $8, 9, 9$ rakamlarıyla olur; $899$ , $989$ ve $998$ için $11$ kuralındaki işaretli toplamlar $8$ , $10$ ve $8$ 'dir, hiçbiri $11$ 'e bölünmez. O hâlde $a + b + c = 13$ .

2. $11$ kuralı. $c - b + a$ sayısı $11$ 'in katı olmalı. $a + c = 13 - b$ yazılırsa

$a - b + c = 13 - 2b$

$b$ bir rakam olduğundan $13 - 2b$ tek sayıdır ve $-5$ ile $13$ arasındadır; bu aralıktaki tek $11$ katı olan tek sayı $11$ 'dir. $b = 1$ ve $a + c = 12$ .

3. Rakamlar çarpımı. Çarpım $a \cdot 1 \cdot c = a \cdot c$ 'dir. Toplamı $12$ olan rakam çiftleri ve çarpımları: $3 \cdot 9 = 27$ , $4 \cdot 8 = 32$ , $5 \cdot 7 = 35$ , $6 \cdot 6 = 36$ . $12$ 'ye bölünen yalnızca $36$ 'dır.

Sayı $616$ 'dır: $616 = 11 \cdot 56$ , rakamlar toplamı $13$ , rakamlar çarpımı $36$ .

Tuzak: seçeneklerin hepsi $12$ 'nin katıdır; çarpım koşulu tek başına eleme yapmaz, sırayı $13$ ve $11$ koşulları belirler.

Cevap: B

2025 AYTSoru 4

Orta

EBOB ve EKOK

$a$ , $b$ , $c$ ve $d$ pozitif tam sayılardır.

\begin{aligned} &M = 6^a \cdot 5^b \\ &N = 10^c \cdot 9^d \end{aligned}

biçiminde tanımlanan $M$ ve $N$ tam sayıları için

\begin{aligned} &\ebob(M, N) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \\ &\ekok(M, N) = 2^5 \cdot 3^3 \cdot 5^5 \end{aligned}

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre $a + b + c + d$ toplamı kaçtır?

İpucu

Önce $M$ ve $N$ sayılarını asal tabanlara indir. Sonra her asal için iki üsten küçüğünün EBOB'da, büyüğünün EKOK'ta yazdığını kullan; hangi üssün çift olmak zorunda olduğuna dikkat et.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 26)

Çözüm

1. Asal tabanlara indir. $6 = 2 \cdot 3$ , $10 = 2 \cdot 5$ , $9 = 3^2$ :

$M = 2^a \cdot 3^a \cdot 5^b, \qquad N = 2^c \cdot 3^{2d} \cdot 5^c$

2. Üsleri eşleştir. Her asalda küçük üs EBOB'a, büyük üs EKOK'a gider:

Asal	$M$ 'deki üs	$N$ 'deki üs	Küçüğü (EBOB)	Büyüğü (EKOK)
$2$	$a$	$c$	$3$	$5$
$3$	$a$	$2d$	$2$	$3$
$5$	$b$	$c$	$1$	$5$

3. Kesin olandan başla. $3$ asalında üsler $2$ ve $3$ 'tür. $2d$ çift olduğundan $2d = 2$ , yani $d = 1$ ve $a = 3$ .

4. Zinciri izle. $2$ asalında $a = 3$ olduğundan $c = 5$ . $5$ asalında $c = 5$ olduğundan $b = 1$ .

$a + b + c + d = 3 + 1 + 5 + 1 = 10$

Sağlama. $M = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5$ , $N = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5^5$ : küçük üsler $3, 2, 1$ ; büyük üsler $5, 3, 5$ .

Cevap: C

2025 AYTSoru 5

Zor

Asal çarpanlar

Birbirinden farklı beş asal sayının toplamı $100$ 'dür. Bu beş asal sayının çarpımı ise altı basamaklı $ABCABC$ doğal sayısına eşittir.

Buna göre $A + B + C$ toplamı kaçtır?

İpucu

$ABCABC$ sayısını üç basamaklı $ABC$ sayısı cinsinden yaz: $ABCABC = 1000 \cdot ABC + ABC$ . Çıkan katsayıyı asal çarpanlarına ayır.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 27)

Çözüm

1. Sayıyı çözümle. $ABCABC = 1000 \cdot ABC + ABC = 1001 \cdot ABC$ ve $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$ .

2. Asallardan üçü belli. Çarpım $7$ , $11$ ve $13$ 'e bölünüyor. Beş farklı asalın çarpımını bir asal ancak o beş asaldan biriyse böler; demek ki $7$ , $11$ ve $13$ beş asalın üçüdür. Kalan iki asala $p$ ve $q$ dersek $p \cdot q = ABC$ olur.

3. Toplamı kullan. $p + q = 100 - (7 + 11 + 13) = 69$ . İki asalın toplamı tek ise biri çift olmalı; tek çift asal $2$ 'dir. Öbürü $67$ 'dir ve asaldır ( $2$ , $3$ , $5$ , $7$ 'ye bölünmez; $11^2 > 67$ ).

4. Sonuç. $ABC = 2 \cdot 67 = 134$ .

$A + B + C = 1 + 3 + 4 = 8$

Sağlama. $2 + 7 + 11 + 13 + 67 = 100$ ve $2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 67 = 134\,134$ .

Cevap: A

2024 AYTSoru 3

Zor

Bölme ve kalan

$a$ bir rakamdır. $25!$ sayısı $23! - a$ sayısına bölündüğünde kalan $60^2$ olmaktadır.

Buna göre $a$ kaçtır?

İpucu

Bölene bir ad ver ( $N = 23! - a$ ) ve $25!$ sayısını $N$ cinsinden yazmaya çalış: $25! = 25 \cdot 24 \cdot 23!$ .

ÖSYM kitapçığında gör (s. 26)

Çözüm

1. Böleni adlandır. $N = 23! - a$ olsun; o hâlde $23! = N + a$ .

2. Bölüneni bölen cinsinden yaz. $25! = 25 \cdot 24 \cdot 23! = 600 \cdot 23!$ olduğundan

$25! = 600 \cdot (N + a) = 600 \cdot N + 600a$

3. Bu bir bölme eşitliği mi? $a = b \cdot q + r$ yazımında kalan, bölenden küçük olmalıdır. $a$ bir rakam olduğundan $600a \leq 5400$ ; $N = 23! - a$ ise bundan çok büyüktür. Koşul sağlanır: bölüm $600$ , kalan $600a$ 'dır.

4. Kalanı eşitle. $600a = 60^2 = 3600$ , buradan $a = 6$ .

Tuzak: $25!$ sayısını $23!$ 'e bölüp kalanı $0$ sanmak. Bölen $23!$ değil, ondan $a$ eksik olan sayıdır; her $23!$ için bölene göre $a$ fazlalık oluşur ve bunlar birikerek $600a$ kalanını verir.

Cevap: E

2023 AYTSoru 7

Orta

Bölünebilme kuralları

$A$ , $B$ , $C$ ve $D$ birer rakamdır. Bu rakamlarla yazılan sayılardan

dört basamaklı $ABCD$ sayısı $20$ ile,
üç basamaklı $ADB$ sayısı $18$ ile,
üç basamaklı $CDA$ sayısı $15$ ile

tam bölünmektedir.

Buna göre $A + B + C + D$ toplamı kaçtır?

İpucu

Bölenleri aralarında asal çarpanlara ayır: $20 = 4 \cdot 5$ , $18 = 2 \cdot 9$ , $15 = 3 \cdot 5$ . Bir sayının ilk basamağının $0$ olamayacağını da kullan.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 26)

Çözüm

1. $ABCD$ , $20$ ile bölünür. $20 = 4 \cdot 5$ . Sayı $10$ 'un katı olmalı, yani $D = 0$ ; son iki basamak $C0$ sayısı $4$ 'ün katı olmalı, yani $C$ çift.

2. $CDA$ , $15$ ile bölünür. $15 = 3 \cdot 5$ . Son rakam $A$ , $0$ ya da $5$ 'tir; $A$ aynı zamanda $ABCD$ 'nin ilk basamağı olduğundan $0$ olamaz: $A = 5$ . Rakamlar toplamı $C + 0 + 5$ sayısı $3$ 'ün katı olmalı: $C \in \{1, 4, 7\}$ . Çift olan tek değer $C = 4$ .

3. $ADB$ , $18$ ile bölünür. $18 = 2 \cdot 9$ . Sayı $50B$ biçimindedir: $B$ çift ve $5 + 0 + B$ sayısı $9$ 'un katı olmalı. $B = 4$ .

4. Sağlama. $5440 = 20 \cdot 272$ , $504 = 18 \cdot 28$ , $405 = 15 \cdot 27$ .

$A + B + C + D = 5 + 4 + 4 + 0 = 13$

Tuzak: soruda rakamların farklı olduğu söylenmiyor; $B = C = 4$ çıkması bir hata değildir.

Cevap: D

2022 AYTSoru 3

Orta

EBOB ve EKOK

$A$ ve $B$ sayıları

\begin{aligned} &A = 7! + 6! \\ &B = 8! - 7! \end{aligned}

eşitlikleriyle tanımlanıyor.

Buna göre $\ekok(A, B)$ değeri kaçtır?

İpucu

Faktöriyelleri açmaya çalışma; her ifadede küçük olan faktöriyeli ortak çarpan parantezine al.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 26)

Çözüm

1. Ortak çarpan parantezi. $7! = 7 \cdot 6!$ ve $8! = 8 \cdot 7!$ olduğundan

$A = 6! \cdot (7 + 1) = 8 \cdot 6!, \qquad B = 7! \cdot (8 - 1) = 7 \cdot 7! = 49 \cdot 6!$

2. Ortak kısmı dışarıda tut. İki sayıda da $6!$ çarpanı var; geriye kalan $8$ ile $49$ aralarında asaldır ( $8 = 2^3$ , $49 = 7^2$ ). Aralarında asal iki sayının EKOK'u çarpımlarıdır:

$\ekok(A, B) = 6! \cdot 8 \cdot 49$

3. Seçeneklerin biçimine getir. $6! \cdot 7 \cdot 8 = 8!$ olduğundan

$6! \cdot 8 \cdot 49 = (6! \cdot 7 \cdot 8) \cdot 7 = 7 \cdot 8!$

Sağlama. $A = 5760$ , $B = 35\,280$ ; $\ekok = 282\,240 = 7 \cdot 40\,320$ .

Tuzak: $A = 8 \cdot 6!$ ifadesini $8!$ sanmak. $8! = 8 \cdot 7 \cdot 6!$ 'dir; arada $7$ çarpanı eksik.

Cevap: C

2021 AYTSoru 4

Zor

EBOB ve EKOK

$m$ ve $n$ pozitif tam sayıları için

\begin{aligned} &\ebob(m, n) + \ekok(m, n) = 289 \\ &m + n \neq 289 \end{aligned}

olduğu bilinmektedir.

Buna göre $m + n$ toplamı kaçtır?

İpucu

$\ebob(m, n) = d$ de ve sayıları $m = dx$ , $n = dy$ biçiminde yaz. Toplam $d$ parantezine alınınca $289$ 'un bölenleri devreye girer.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 26)

Çözüm

1. EBOB cinsinden yaz. $\ebob(m, n) = d$ olsun. $m = dx$ , $n = dy$ ve $x$ ile $y$ aralarında asaldır; $\ekok(m, n) = dxy$ .

$d + dxy = d(1 + xy) = 289 = 17^2$

2. $d$ için olanaklar. $d$ , $289$ 'un bir böleni: $1$ , $17$ ya da $289$ . $d = 289$ olsaydı $xy = 0$ gerekirdi; olamaz.

3. $d = 17$ . $1 + xy = 17$ , yani $xy = 16$ . Çarpımı $16$ olan aralarında asal tek çift $(1, 16)$ 'dır; $(2, 8)$ ve $(4, 4)$ elenir. Bu durumda $m + n = 17 \cdot (1 + 16) = 289$ olur ki bu, soruda yasaklanmıştır.

4. $d = 1$ . $xy = 288 = 2^5 \cdot 3^2$ . Aralarında asal olmaları için $2$ 'lerin tamamı bir sayıda, $3$ 'lerin tamamı öbüründe (ya da hepsi aynı sayıda) olmalı: $(1, 288)$ ve $(9, 32)$ . İlki $m + n = 289$ verir, yasak. İkincisi kalır.

$m + n = 9 + 32 = 41$

Sağlama. $\ebob(9, 32) = 1$ , $\ekok(9, 32) = 288$ , toplam $289$ .

Tuzak: $m + n \neq 289$ koşulu süs değildir; iki ayrı durumu eleyen bilgi odur.

Cevap: A

2019 AYTSoru 3

Orta

Bölünebilme kuralları

$A$ , $B$ ve $C$ ; sıfırdan ve birbirinden farklı üç rakamdır. Bu rakamlarla yazılan üç basamaklı

$ABC, \qquad CAB, \qquad BCA$

doğal sayıları, yazıldıkları sırayla $4$ , $5$ ve $9$ ile tam bölünmektedir.

Buna göre $A \cdot B \cdot C$ çarpımı kaçtır?

İpucu

En az seçenek bırakan kuraldan başla: $5$ ile bölünen sayının son rakamı için kaç olanak var ve rakamlar sıfırdan farklıysa hangisi kalır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 26)

Çözüm

1. $CAB$ , $5$ ile bölünür. Son rakam $B$ , $0$ ya da $5$ olmalı; rakamlar sıfırdan farklı olduğundan $B = 5$ .

2. $ABC$ , $4$ ile bölünür. Son iki basamağın oluşturduğu $5C$ sayısı $4$ 'ün katı olmalı: $52$ ve $56$ uygundur, yani $C \in \{2, 6\}$ .

3. $BCA$ , $9$ ile bölünür. Rakamlar toplamı $5 + C + A$ sayısı $9$ 'un katı olmalı.

$C = 2$ ise $A + 7$ sayısı $9$ 'un katı: $A = 2$ . Ama rakamlar birbirinden farklı olmalı; $A = C$ olamaz.
$C = 6$ ise $A + 11$ sayısı $9$ 'un katı: $A = 7$ .

4. Sağlama. $756 = 4 \cdot 189$ , $675 = 5 \cdot 135$ , $567 = 9 \cdot 63$ .

$A \cdot B \cdot C = 7 \cdot 5 \cdot 6 = 210$

Cevap: D

2019 AYTSoru 5

Kolay

Periyodik durumlar

$123$ sayısının rakamları, aşağıdaki kurala göre adım adım yer değiştiriliyor; her adımın sonunda yine üç basamaklı bir sayı elde ediliyor.

Numarası tek olan adımlarda (1. adım, 3. adım, …) eldeki sayının yüzler ve onlar basamağındaki rakamlar yer değiştirir.
Numarası çift olan adımlarda (2. adım, 4. adım, …) eldeki sayının onlar ve birler basamağındaki rakamlar yer değiştirir.

Her adım, bir önceki adımda elde edilen sayıya uygulanır.

Buna göre 75. adımın sonunda elde edilen sayı aşağıdakilerden hangisidir?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 27)

Çözüm

1. İlk adımları yaz ve başa dönüşü ara.

Adım	başlangıç	1	2	3	4	5	6
Sayı	$123$	$213$	$231$	$321$	$312$	$132$	$123$

6. adımın sonunda başlangıç sayısına dönülür. 7. adım tek numaralıdır, tıpkı 1. adım gibi; bu yüzden sonuçlar $6$ adımda bir yinelenir. Periyot $6$ 'dır.

2. Kalana bak. $75 = 6 \cdot 12 + 3$ . On iki tam tur atılır, geriye $3$ adım kalır; 75. adımın sonucu 3. adımın sonucudur.

Yanıt $321$ .

Tuzak: periyodu bulurken yalnızca sayının başa dönmesine değil, sıradaki adımın türünün de (tek mi çift mi) başa dönmesine bak. Burada $6$ çift olduğu için ikisi birlikte sağlanır.

Cevap: A

2018 AYTSoru 4

Kolay

Periyodik durumlar

Ali, Büşra, Cem, Deniz ve Ekin adlı beş oyuncu, şekildeki gibi çember biçiminde bir oyun alanına dizilmiş ve bir topla oynamaktadır. Oyunun kuralı şudur: topu elinde tutan oyuncu, her seferinde ok yönünde kendisinden sonra gelen üçüncü oyuncuya topu verir.

Top başlangıçta Ali'dedir; Ali topu Deniz'e vererek oyunu başlatır. Böylece topu 1. seferde Deniz, 2. seferde Büşra alır ve oyun aynı kuralla sürer.

Buna göre 99. seferde topu kim almıştır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 26)

Çözüm

1. Düzeni yaz. Ok yönünde sıra Ali, Büşra, Cem, Deniz, Ekin ve yeniden Ali'dir. Top her seferinde bu sırada $3$ kişi ilerler:

Sefer	1	2	3	4	5
Topu alan	Deniz	Büşra	Ekin	Cem	Ali

2. Periyodu bul. 5. seferde top yeniden Ali'ye döner; 6. sefer 1. seferin aynısıdır. Periyot $5$ 'tir.

3. Kalana bak. $99 = 5 \cdot 19 + 4$ . On dokuz tam tur atılır, geriye $4$ sefer kalır; 99. sefer 4. seferle aynıdır.

Topu Cem alır.

Tuzak: seferleri Ali'den saymaya başlamak. 1. seferde topu alan Deniz'dir; Ali ancak kalan $0$ olduğunda (5., 10., … seferlerde) alır.

Cevap: C

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Sayı kümeleri

Sayı kümeleriyle ilgili aşağıdaki ifadeler veriliyor.

I. Her tam sayı bir rasyonel sayıdır.

II. İki irrasyonel sayının toplamı her zaman irrasyonel sayıdır.

III. $\sqrt{16} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$ sayısı bir doğal sayıdır.

Buna göre bu ifadelerden hangileri doğrudur?

Çözüm

I doğru. Her $n$ tam sayısı $\dfrac{n}{1}$ biçiminde yazılır; $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ .

II yanlış. Aksine örnek: $\sqrt{2}$ ve $-\sqrt{2}$ irrasyoneldir, toplamları $0$ ise rasyoneldir.

III doğru. $\sqrt{16} = 4$ ve $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$ olduğundan ifade $4 - 4 = 0$ 'dır. $0$ bir doğal sayıdır: $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\}$ .

Çeldiriciler: III'ü "köklü, öyleyse irrasyonel" diye ya da " $0$ doğal sayı değildir" diye eleyen "Yalnız I" yanıtına gider.

Cevap: D

Özgün soru2

Kolay

Köklü sayıların sayı doğrusundaki yeri

Şekilde, sayı doğrusunun $0$ ile $3$ noktaları arasına oturan ve dik kenarları $3$ birim ile $1$ birim olan bir dik üçgen çizilmiştir. Pergelin sivri ucu $0$ noktasına konmuş, pergel üçgenin hipotenüsü kadar açılmış ve çizilen yay sayı doğrusunu $A$ noktasında kesmiştir.

$A$ noktasına karşılık gelen sayı $x$ olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Çözüm

1. Hipotenüs. Pisagor bağıntısıyla $x = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$ . Pergel bu uzunluğu $0$ 'dan başlayarak doğruya taşır.

2. Kareleriyle sıkıştır. $3{,}1^2 = 9{,}61$ ve $3{,}2^2 = 10{,}24$ . $9{,}61 < 10 < 10{,}24$ olduğundan $3{,}1 < \sqrt{10} < 3{,}2$ .

Çeldiriciler: hipotenüsü $3 + 1 = 4$ 'e yakın ya da $\dfrac{10}{3} \approx 3{,}33$ sanmak öbür aralıklara götürür.

Cevap: B

Özgün soru3

Orta

EBOB uygulaması

Uzunlukları $84$ cm, $126$ cm ve $210$ cm olan üç halat, hiç parça artmayacak biçimde, hepsi birbirine eş ve olabildiğince uzun parçalara ayrılacaktır. Her kesimde yalnızca bir halat, bir yerinden kesilmektedir.

Buna göre toplam kaç kesim yapılır?

İpucu

Parça boyu üç uzunluğu da tam bölmeli ve en büyük olmalı. Bir halatı $k$ parçaya ayırmak için kaç kesim gerektiğini de düşün.

Çözüm

1. Parça boyu. Parçalıyoruz ve en uzun parçayı arıyoruz: EBOB. $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$ , $126 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7$ , $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ . Ortak asalların küçük üsleri: $\ebob = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$ cm.

2. Parça sayıları. $\dfrac{84}{42} = 2$ , $\dfrac{126}{42} = 3$ , $\dfrac{210}{42} = 5$ ; toplam $10$ parça.

3. Kesim sayısı. Bir halatı $k$ parçaya ayırmak için $k - 1$ kesim gerekir: $1 + 2 + 4 = 7$ kesim.

Çeldirici: $10$ parça sayısıdır, kesim sayısı değil. Her halatta kesim sayısı parça sayısından bir eksiktir.

Cevap: B

Özgün soru4

Orta

EKOK ve kalan

Üç basamaklı bir doğal sayının $5$ 'e bölümünden kalan $3$ , $6$ 'ya bölümünden kalan $4$ , $8$ 'e bölümünden kalan $6$ 'dır.

Bu koşulları sağlayan en küçük sayının rakamları toplamı kaçtır?

İpucu

Her kalan, kendi böleninden kaç eksik? Sayıya o kadar eklersen ne olur?

Çözüm

1. Ortak düzeni gör. Kalanlar bölenlerden hep $2$ eksiktir: $5 - 3 = 6 - 4 = 8 - 6 = 2$ . Sayıya $x$ dersek $x + 2$ sayısı $5$ , $6$ ve $8$ 'in üçüne de tam bölünür.

2. EKOK. $5$ , $6 = 2 \cdot 3$ , $8 = 2^3$ ; büyük üslerle $\ekok(5, 6, 8) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 120$ . O hâlde $x + 2 = 120k$ , yani $x = 120k - 2$ .

3. En küçük üç basamaklı değer. $k = 1$ için $x = 118$ ; üç basamaklıdır.

4. Sağlama. $118 = 5 \cdot 23 + 3 = 6 \cdot 19 + 4 = 8 \cdot 14 + 6$ .

Rakamları toplamı $1 + 1 + 8 = 10$ .

Çeldiriciler: $2$ eklemeyi unutup $120$ diyen $3$ 'e, çıkarmak yerine ekleyip $122$ diyen $5$ 'e, bir sonraki değer olan $238$ 'i alan $13$ 'e ulaşır.

Cevap: C

Özgün soru5

Zor

Periyodik durumlar ve EKOK

Bir limandaki iki fenerin ışıkları düzenli biçimde yanıp sönmektedir. Birinci fener $3$ saniye yanık, ardından $5$ saniye sönük kalır; ikinci fener $2$ saniye yanık, ardından $4$ saniye sönük kalır. Her iki fener de bu düzeni kesintisiz yineler.

İki fener aynı anda yanmaya başlamıştır.

Buna göre başlangıçtan sonraki ilk $2$ dakika içinde iki fenerin birlikte yanık kaldığı toplam süre kaç saniyedir?

İpucu

Her fenerin periyodunu bul. İkisinin birlikte başa döndüğü süre kadar bir zaman dilimini incelemek yeter; gerisi yinelenir.

Çözüm

1. Periyotlar. Birinci fener $3 + 5 = 8$ saniyede, ikinci fener $2 + 4 = 6$ saniyede bir başa döner. İkisinin birlikte başa döndüğü süre $\ekok(8, 6) = 24$ saniyedir; bundan sonra her şey yinelenir.

2. İlk $24$ saniyeyi incele. Yanık kaldıkları aralıklar (saniye olarak):

Birinci fener: $0$ – $3$ , $8$ – $11$ , $16$ – $19$
İkinci fener: $0$ – $2$ , $6$ – $8$ , $12$ – $14$ , $18$ – $20$

Ortak aralıklar: $0$ – $2$ ( $2$ saniye) ve $18$ – $19$ ( $1$ saniye). $24$ saniyelik bir turda birlikte $3$ saniye yanık kalırlar.

3. Tur sayısı. $2$ dakika $120$ saniyedir ve $120 = 24 \cdot 5$ ; tam $5$ tur.

$5 \cdot 3 = 15 \text{ saniye}$

Çeldirici: yalnızca her turun başındaki $2$ saniyeyi sayan $5 \cdot 2 = 10$ yanıtına gider. $18$ – $19$ arasındaki ikinci örtüşmeyi görmek için bir turun tamamını yazmak gerekir.

Cevap: C

Sayı kümeleri

Bir sayının en dar kümesi

Köklü sayıların sayı doğrusundaki yeri

3\sqrt{3}3​ sayısını işaretlemek

Toplama ve çarpmanın özellikleri

Her zaman doğru mu?

Bölme ve kalan

Kalandan kalana geçmek

Son basamaklara bakan kurallar: 2, 5, 10, 4, 8

4 ile bölünen sayıda eksik rakam

Rakamlar toplamına bakan kurallar: 3 ve 9

11 ile bölünebilme

11 ile bölünen sayıda eksik rakam

Bileşik kurallar: 6, 12, 15

15 ile bölünen sayıda en büyük toplam

Asal çarpanlara ayırma

EBOB ve EKOK

Asal çarpanlarla EBOB ve EKOK

Günlük hayatta: EBOB mu, EKOK mu?

En az kaç kare karo?

Sayıları EBOB cinsinden yazmak

EBOB ve EKOK verilmiş, toplam isteniyor

Hep aynı kalan

Paketlerden artan kalemler

Periyodik durumlar

Nöbet günü

Özgün sorular

$\sqrt{3}$ sayısını işaretlemek