Sayı Kümeleri, Bölünebilme, EBOB ve EKOK · Görsel anlatım

Sıfırdan1 / 16

Cetvele sırayla bırakılan bilyeler

Bir cetvelin üstüne bilyeleri sırayla bırak ve say: $0, 1, 2, 3, \dots$ Her bilye bir sayının yerini gösteriyor. Saymak için kullandığımız bu sayılara doğal sayılar denir.

\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}

Dene: Sahneyi yana sürükleyip cetveli döndür.

Sıfırdan2 / 16

Cetvel sola uzuyor: negatif sayılar

Termometre sıfırın altına iner, asansör bodrum kata. Sayı doğrusunu sıfırdan sola uzatınca negatif sayılar gelir. Doğal sayılar ve negatifler birlikte tam sayılardır.

\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}

Sıfırdan3 / 16

Bir birimlik çubuk dört eşit parçaya bölünüyor

1 birimlik bir çubuğu 4 eşit parçaya böl: her parça $\tfrac{1}{4}$ birim. Tam sayıların arası böyle kesirlerle dolar. $\tfrac{a}{b}$ biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir.

\mathbb{Q} = \left\{ \tfrac{a}{b} \;:\; a, b \in \mathbb{Z},\ b \neq 0 \right\}

Sıfırdan4 / 16

Karenin köşegeni sayı doğrusuna yatıyor

Kenarı 1 olan karenin köşegenini pergelle doğruya indir. Ucu $\sqrt{2} = 1{,}41421\dots$ noktasına düşer; ondalıkları bitmez, devretmez, hiçbir kesir tam buraya denk gelmez. Böyle sayılara irrasyonel sayılar denir.

\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}

Temel5 / 16

Kat kat sayı kümeleri

Her doğal sayı bir tam sayıdır; her tam sayı da paydası 1 olan bir kesirdir. Kümeler kat kat iç içe durur, irrasyoneller ayrı bir katta. Hepsi birlikte gerçek sayılar: $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q}'$ .

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

Hızlı soru

$\sqrt{49}$ sayısı en dar hangi kümenin elemanıdır?

$\sqrt{49} = 7$ . Kök işaretine değil değere bak: $7$ bir doğal sayıdır.

Temel6 / 16

On dört küp üçerli sıralara diziliyor

14 küpü 3'erli sıralara diz: 4 tam sıra olur, 2 küp artar. 4 bölüm, 2 kalandır; kalan her zaman bölenden küçüktür. Kalan 0 ise sayı tam bölünür.

a = b \cdot q + r, \qquad 0 \le r < b

Dene: Küp sayısını değiştir: kalan hep 0, 1 ya da 2. Hangi sayılarda kalan 0?

Temel7 / 16

Dikdörtgene dizilebilen ve dizilemeyen küpler

12 küp $2 \cdot 6$ ve $3 \cdot 4$ dikdörtgenlerine dizilir. 7 küp ise yalnızca tek sıra olur; 7'nin 1 ve kendisinden başka böleni yok. Böyle sayılara asal sayı denir; 1 asal değildir, 2 tek çift asaldır.

Dene: Sürgüyle 7, 11 ve 13'ü dene: her denemede küp artıyor.

Temel8 / 16

Basamak blokları: yüzlük, onluk, birlik

135 = 1 yüzlük + 3 onluk + 5 birlik. Yüzlük ve onluklar 10'un katı, yani 2'ye, 5'e ve 10'a zaten bölünür; karar son rakamda. Aynı fikirle 4'te son iki, 8'de son üç basamağa bakılır.

Dene: Birler basamağını değiştir: sonuç yalnızca son rakamla değişiyor.

Temel9 / 16

Her bloktan dokuzlar çıkınca birer küp artıyor

$100 = 99 + 1$ ve $10 = 9 + 1$ : her yüzlükten ve onluktan 9'luk gruplar çıkınca 1 küp artar. Artanlar $1 + 3 + 5 = 9$ , yani rakamlar toplamı. Rakamlar toplamı 3'ün (9'un) katıysa sayı da 3'e (9'a) bölünür.

Dene: Birler basamağını değiştir: artan küpler hep rakamlar toplamı kadar.

Hızlı soru

$7385$ sayısının $9$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Rakamlar toplamı $7 + 3 + 8 + 5 = 23$ ve $23 = 9 \cdot 2 + 5$ . Kalan $5$ .

Orta10 / 16

Onluklara birer küp eksik, yüzlüğe bir küp fazla

11'de her onluk 1 eksik kalır ( $10 = 11 - 1$ ), yüzlük 1 artar ( $100 = 99 + 1$ ). Birlerden başlayıp sırayla $+, -, +$ : $2 - 3 + 1 = 0$ , yani 132 sayısı 11'e tam bölünür.

Dene: Birler basamağını değiştir ve kalanı izle.

Orta11 / 16

360 sayısının çarpan ağacı büyüyor

360'ı iki çarpana ayır, çarpanları da ayır; asala varan dal durur. Hangi yoldan gidersen git yapraklar aynı çıkar: üç tane 2, iki tane 3, bir tane 5. Buna asal çarpanlara ayırma denir.

360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5

Hızlı soru

$504$ sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimi hangisidir?

$504 = 8 \cdot 63 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7$ . $63$ ve $14$ asal değildir; $2^3 \cdot 3 \cdot 7$ ise $168$ eder.

Orta12 / 16

Zemini boşluksuz döşeyen kare karolar

$18 \times 12$ zemini kare karolarla boşluksuz döşe: karonun kenarı hem 18'i hem 12'yi bölmeli. Uyan kenarlar 1, 2, 3 ve 6. En büyüğü EBOB(18, 12) = 6; en az karo onunla gider: $3 \cdot 2 = 6$ karo.

\ebob(18, 12) = 6

Dene: Karo kenarını 4 ya da 5 yap: kenarda boşluk kalıyor.

Orta13 / 16

Dörder ve altışar yükselen iki kule buluşuyor

Bir kule 4'er, öbürü 6'şar birim yükseliyor; hep kısa olana blok ekle. Boylar ilk kez 12'de eşitlenir, sonra 24'te. Ortak katların en küçüğü EKOK(4, 6) = 12.

\ekok(4, 6) = 12

Hızlı soru

Kenarları $20$ cm ve $12$ cm olan dikdörtgen fayanslar aynı yönde dizilerek bir kare yapılacak. En az kaç fayans gerekir?

Karenin kenarı $\ekok(20, 12) = 60$ cm. Bir yönde $60 : 20 = 3$ , öbür yönde $60 : 12 = 5$ fayans: $3 \cdot 5 = 15$ .

Sınav14 / 16

Her asal için iki kule: kısalar ve uzunlar

$72 = 2^3 \cdot 3^2$ ve $120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$ 'i her asal için kule kule diz. EBOB her asalda kısa kuleyi alır: $2^3 \cdot 3 = 24$ . EKOK uzun kuleyi alır: $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 360$ . Kısa ile uzun birlikte iki kuleyi verdiği için $72 \cdot 120 = 24 \cdot 360$ .

a \cdot b = \ebob(a, b) \cdot \ekok(a, b)

Dene: $b = 35$ yap: ortak asal kalmıyor, EBOB $1$ 'e düşüyor.

Sınav15 / 16

Günler bir sarmal üzerinde, haftalar tur tur

Hemşire 5 günde bir nöbet tutuyor, ilki cumartesi. 12. nöbet ilkinden $11 \cdot 5 = 55$ gün sonra (60 değil!). $55 = 7 \cdot 7 + 6$ : tam haftaları at, cumartesiden 6 gün sonrası cuma.

n = 7 \cdot q + r

Dene: Nöbet sürgüsünü kaydır; sonra haftaları katla: her tur aynı yedi güne düşüyor.

Hızlı soru

KALEMKALEMKALEM… dizisinde baştan $2026$ . harf hangisidir?

Periyot $5$ harf. $2026 = 5 \cdot 405 + 1$ ; kalan $1$ , yani periyodun ilk harfi: K.

Sınav16 / 16

12 ve 18 için asal çarpan kuleleri

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ ; bölmede $a = bq + r$ , $0 \le r < b$ . Parçalıyorsan EBOB, buluşturuyorsan EKOK: 12 ve 18 için EBOB 6, EKOK 36. Tekrar eden durumda periyoda böl, kalana bak.

12 \cdot 18 = 6 \cdot 36 = 216

Görsel anlatım bitti

Örnekler ve çıkmış sorular Sıradaki: Birinci Dereceden Denklemler, Eşitsizlikler ve Mutlak Değergörsel