27Konu 27 / 49
Logaritma ve Diziler

Diziler:Aritmetik ve Geometrik Dizi

Diziyi pozitif tam sayılarda tanımlı bir fonksiyon olarak kuruyor, genel terim ve indirgeme bağıntısıyla terim buluyoruz; aritmetik ve geometrik dizinin genel terimini, eşit uzaklıktaki terimlerin özelliğini ve ilk n terim toplamını öğrenip sınav düzeyi sorulara ve modelleme problemlerine geçiyoruz.

12. sınıf
AYT sıklığı
65 dk

LevhaDizilerDiziler

$12$ aylık bir iş için iki ödeme teklifi aldın. A teklifi: ilk ay $100$ lira, sonraki her ay bir öncekinden $50$ lira fazla. B teklifi: ilk ay $1$ lira, sonraki her ay bir öncekinin $2$ katı. Sahnedeki sütunlar aylık ödemeleri gösteriyor; ay sürgüsünü ilerlet. $12$ ayın sonunda hangi teklif daha çok kazandırır, iş $13$ ay sürseydi kararın değişir miydi? Yanıt için ödemeleri tek tek toplamak gerekmiyor; bu sayfa o kısa yolu kuruyor.

Isınma

Başlamadan: fonksiyon değeri, üs ve sabit artış

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(x) = x^2 - 3x

için

f(5)

kaçtır?

Açıklama

$f(5) = 5^2 - 3 \cdot 5 = 25 - 15 = 10$ . Dizilerde aynı işi $x$ yerine $n$ yazarak yapacağız. Fonksiyonun tanımı için: Fonksiyonlar.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

3 \cdot 2^4

işleminin sonucu kaçtır?

Açıklama

Önce üs: $2^4 = 16$ , sonra çarpma: $3 \cdot 16 = 48$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Doğrusal bir

f

fonksiyonunda

x

her

1

arttığında değer

3

artıyor ve

f(1) = 5

. Buna göre

f(10)

kaçtır?

Açıklama

$1$ ‘den $10$ ‘a $9$ adım atılır: $f(10) = 5 + 9 \cdot 3 = 32$ . “Kaç adım?” sorusu bu sayfada sık sık karşına çıkacak.

Temel

Dizi nedir, terimleri nasıl bulunur?

Dizi: sırası olan sayı listesi

A teklifinin ödemeleri $100, 150, 200, 250, \ldots$ diye gidiyor. Bu listede sıra önemlidir: ” $3$ . ay kaç lira?” sorusunun tek bir yanıtı var. Her sıra numarasına tek bir sayı eşleniyorsa bu bir fonksiyondur; yalnızca girdileri $1, 2, 3, \ldots$ sayılarıdır.

A teklifi için $a_1 = 100$ , $a_2 = 150$ , $a_3 = 200$ . Alttaki küçük sayıya indis denir; terimin sırasını söyler, değerini değil.

Sahnede bir dizinin grafiği var: yatay eksende $n$ , düşey eksende $a_n$ . Sürgüyle $n$ değerini değiştir; seçili terimin eksenlere izdüşümünü izle. “Eğriyi göster” düğmesi aynı kuralın bütün gerçek sayılardaki grafiğini soluk olarak çizer. Dizi o eğrinin tamamı değil, yalnızca $n = 1, 2, 3, \ldots$ üzerindeki noktalarıdır.

a_n = n^2 - 6n + 10

dizisinin ilk altı terimi. Dizinin grafiği birbirinden ayrı noktalardır; aradaki eğri diziye ait değildir.

Örnek

kolay

Genel terimden terim bulma

Genel terimi $a_n = \dfrac{3n - 1}{n + 1}$ olan dizinin $3$ . terimi kaçtır? $\dfrac{5}{2}$ sayısı bu dizinin kaçıncı terimidir?

Bir terimi bulmak için genel terimde $n$ yerine sıra numarasını yaz, çünkü $a_n$ bir fonksiyon değeridir: $a_3 = \dfrac{3 \cdot 3 - 1}{3 + 1} = \dfrac{8}{4} = 2$ .

İkinci soruda değer verilmiş, sıra isteniyor. Bu kez genel terimi o değere eşitle ve $n$ ‘yi çöz:

$\dfrac{3n - 1}{n + 1} = \dfrac{5}{2} \;\Rightarrow\; 6n - 2 = 5n + 5 \;\Rightarrow\; n = 7$

$n$ bir sıra numarası olduğundan pozitif tam sayı çıkmalıdır; $7$ uygundur. Sağlama: $a_7 = \dfrac{20}{8} = \dfrac{5}{2}$ .

Sonuç

$a_3 = 2$ ve $\dfrac{5}{2}$ dizinin $7$ . terimidir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Genel terimi

a_n = n^2 - 5n

olan dizinin kaç terimi negatiftir?

Açıklama

$a_n = n(n - 5)$ ifadesi $n < 5$ iken negatiftir: $a_1 = -4$ , $a_2 = -6$ , $a_3 = -6$ , $a_4 = -4$ . Dört terim.

Sonlu dizi, sabit dizi, eşit diziler

Bir dizinin terimleri sonsuza kadar sürmek zorunda değildir. $12$ aylık işteki ödemeler $12$ terimde biter.

Eşitlik için “her $n$ ” koşulu önemlidir: birkaç terimin tutması yetmez, bütün terimler tek tek eşit olmalıdır.

Örnek

kolay

Sabit dizide parametre

Genel terimi $a_n = \dfrac{kn + 6}{2n + 3}$ olan dizi sabit dizidir. Buna göre $k$ kaçtır ve dizinin her terimi hangi sayıdır?

Sabit dizide bütün terimler eşittir; o hâlde özel olarak $a_1 = a_2$ olmalıdır. İkisini yaz: $a_1 = \dfrac{k + 6}{5}$ ve $a_2 = \dfrac{2k + 6}{7}$ .

Eşitle ve çöz, çünkü tek bilinmeyen $k$ ‘dir: $7(k + 6) = 5(2k + 6)$ , yani $7k + 42 = 10k + 30$ ve $k = 4$ .

İki terimin eşit olması gerekli ama yeterli değil; bulduğun $k$ ile bütün terimleri denetle: $a_n = \dfrac{4n + 6}{2n + 3} = \dfrac{2(2n + 3)}{2n + 3} = 2$ . Her $n$ için aynı sayı çıkıyor.

Sonuç

$k = 4$ ve dizinin her terimi $2$ ‘dir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

a_n = 2n

b_n = n^2 - n + 2

dizileri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Açıklama

$a_1 = b_1 = 2$ ve $a_2 = b_2 = 4$ olsa da $a_3 = 6$ , $b_3 = 9 - 3 + 2 = 8$ . Tek bir terimin farklı olması dizilerin eşit olmaması için yeter.

İndirgeme bağıntısı

B teklifini anlatırken $n$ . ayın ödemesini doğrudan söylemedik; “bir öncekinin $2$ katı” dedik. Bir terimi kendinden önceki terimler cinsinden veren kurala indirgeme bağıntısı denir.

Örnek

kolay

İndirgeme bağıntısıyla terim bulma

$a_1 = 3$ ve her $n$ pozitif tam sayısı için $a_{n+1} = 2a_n - n$ olan dizinin $4$ . terimi kaçtır?

Bağıntı bir sonraki terimi veriyor; $a_4$ ‘e ulaşmak için sırayla ilerlemelisin, çünkü her terim bir öncekine bağlı. $a_2$ için $n = 1$ yaz: $a_2 = 2a_1 - 1 = 6 - 1 = 5$ .

$a_3$ için $n = 2$ yaz. Çıkarılan sayı da değişti: $a_3 = 2a_2 - 2 = 10 - 2 = 8$ .

$a_4$ için $n = 3$ yaz ( $n = 4$ değil, çünkü sol taraf $a_{n+1}$ ): $a_4 = 2a_3 - 3 = 16 - 3$ .

Sonuç

$a_4 = 13$

En ünlü indirgeme bağıntısı, İtalyan matematikçi Fibonacci’nin 1202’de yazdığı kitaptaki tavşan probleminden gelir: ilk iki terim $1$ , sonraki her terim kendinden önceki iki terimin toplamı.

$F_1 = 1,\quad F_2 = 1,\quad F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$

$1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ \ldots$

Sahnede kenarı $1$ olan iki kareyle başla ve sürgüyü ilerlet. Her yeni kare, önceki iki karenin yan yana gelen kenarlarına oturuyor; bu yüzden kenarı o ikisinin toplamı. Karelerin içinden geçen çeyrek çemberler birleşince bir sarmal çıkıyor.

Fibonacci kareleri:

1, 1, 2, 3, 5, 8

. Her karenin kenarı, önceki iki karenin kenarları toplamıdır.

Fibonacci sayıları doğada sık görülür: ayçiçeğinin tablasındaki tohumlar ve çam kozalağının pulları, iki yöne dönen sarmallar hâlinde dizilir ve iki yöndeki sarmal sayıları çoğunlukla ardışık iki Fibonacci sayısıdır (kozalakta $8$ ve $13$ , ayçiçeğinde $34$ ve $55$ gibi). Yukarıdaki kare düzeni resim ve fotoğrafta kompozisyon kurmak için de kullanılır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

a_1 = 2

a_2 = 1

a_{n+2} = a_{n+1} + a_n

olan dizinin

6

. terimi kaçtır?

Açıklama

Terimler: $2, 1, 3, 4, 7, 11$ . Bağıntı Fibonacci ile aynı, başlangıç terimleri farklı; dizi de farklı.

Aritmetik dizi: eşit adımlarla ilerlemek

A teklifinde her ay bir öncekinden $50$ lira fazla ödeniyor. Ardışık terimlerin farkı hep aynıysa dizi eşit adımlarla ilerler.

$a_1$ ‘den $a_n$ ‘ye ulaşmak için $n - 1$ adım atılır ve her adım $d$ kadardır. Genel terim buradan çıkar.

Sahnede $a_1$ ve $d$ sürgüleriyle bir aritmetik dizi kur. Noktalar her seferinde aynı doğrunun üzerine diziliyor: $1$ sağa, $d$ yukarı. $d$ ‘yi negatif yap; doğru aşağı eğilir. $d = 0$ konumunda sabit dizi çıkar. Ortak fark, bu doğrunun eğimidir.

a_1 = 2

d = 3

: her basamak

1

sağa,

3

yukarı.

a_5

'e ulaşmak için

4

basamak çıkılır:

2 + 4 \cdot 3 = 14

Örnek

kolay

İki terimden aritmetik diziyi kurma

Bir aritmetik dizide $a_3 = 7$ ve $a_8 = 22$ ‘dir. Bu dizinin $20$ . terimi kaçtır?

Önce adımın boyunu bul. $a_3$ ‘ten $a_8$ ‘e $8 - 3 = 5$ adım var ve toplam artış $22 - 7 = 15$ ; o hâlde $5d = 15$ , $d = 3$ .

$a_1$ ‘i bulmana gerek yok, çünkü bildiğin bir terimden doğrudan ilerleyebilirsin. $a_8$ ‘den $a_{20}$ ‘ye $12$ adım var:

$a_{20} = a_8 + 12 \cdot d = 22 + 36$

Sağlama için öbür bilinen terimden de git: $a_{20} = a_3 + 17 \cdot 3 = 7 + 51 = 58$ . İki yol aynı sonucu veriyor.

Sonuç

$a_{20} = 58$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

5, 9, 13, 17, \ldots

aritmetik dizisinin

15

. terimi kaçtır?

Açıklama

$d = 4$ ve $a_{15} = 5 + 14 \cdot 4 = 61$ .

Geometrik dizi: eşit katlarla ilerlemek

B teklifinde fark sabit değil; sabit olan oran. Her ödeme bir öncekinin $2$ katı.

Yine $a_1$ ‘den $a_n$ ‘ye $n - 1$ adım var; ama bu kez her adım $r$ ile çarpmadır.

Sahnede $r$ sürgüsünü oynat. $r > 1$ iken noktalar hızlanarak yükselir; $0 < r < 1$ iken sıfıra doğru küçülür ama sıfır olmaz; $r < 0$ iken terimler bir pozitif bir negatif olur. Ardışık iki terimin oranı göstergede hep aynı kalır.

a_1 = 1

r = 2

: her terim öncekinin iki katı. Aritmetik dizide basamakların boyu aynıydı; burada basamaklar da büyüyor.

Müzikte bir örnek: bir sesin bir oktav incesinin frekansı iki katıdır. Art arda gelen la seslerinin frekansları $110, 220, 440, 880$ hertz diye gider; ortak çarpanı $2$ olan bir geometrik dizi.

Örnek

kolay

İki terimden geometrik diziyi kurma

Bir geometrik dizide $a_2 = 6$ ve $a_5 = 48$ ‘dir. Bu dizinin $7$ . terimi kaçtır?

$a_2$ ‘den $a_5$ ‘e $3$ adım var ve her adım $r$ ile çarpmak demek: $a_5 = a_2 \cdot r^3$ . Buradan $r^3 = \dfrac{48}{6} = 8$ ve $r = 2$ .

Aritmetik dizideki gibi, bilinen terimden ilerle. $a_5$ ‘ten $a_7$ ‘ye $2$ adım: $a_7 = a_5 \cdot r^2 = 48 \cdot 4$ .

Sağlama: $a_1 = \dfrac{a_2}{r} = 3$ ve $a_7 = 3 \cdot 2^6 = 3 \cdot 64 = 192$ .

Sonuç

$a_7 = 192$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

81, 27, 9, \ldots

geometrik dizisinin

6

. terimi kaçtır?

Açıklama

$r = \dfrac{27}{81} = \dfrac{1}{3}$ ve $a_6 = 81 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^5 = \dfrac{81}{243} = \dfrac{1}{3}$ .

Orta

Özellikler ve ilk n terim toplamı

Eşit uzaklıktaki terimler

Aritmetik dizide bir terimden $k$ adım geri gidersen $k \cdot d$ kaybeder, $k$ adım ileri gidersen $k \cdot d$ kazanırsın. İkisini toplayınca kayıp ile kazanç birbirini götürür. Geometrik dizide aynı şey çarpma ile olur.

Neden: $a_p + a_q = 2a_1 + (p + q - 2) \cdot d$ ifadesi yalnızca $p + q$ toplamına bağlıdır. Geometrik dizide $a_p \cdot a_q = a_1^2 \cdot r^{\,p+q-2}$ için de aynısı geçerli.

Sahnede bir aritmetik dizinin noktaları ve seçili bir orta terim var. Uzaklık sürgüsüyle soldaki ve sağdaki terimi eşit adımlarla aç: ikisini birleştiren doğru parçasının orta noktası hep orta terimin üstüne düşüyor. Düğmeyle geometrik diziye geç; bu kez orta nokta tutmaz, tutan şey çarpımdır.

Örnek

orta

İndisler toplamıyla kısa yol

Bir aritmetik dizide $a_5 + a_9 + a_{13} = 48$ olduğuna göre $a_2 + a_{16}$ toplamı kaçtır?

Her terimi $a_1$ ve $d$ ile yazarsan $3a_1 + 24d = 48$ çıkar: tek denklem, iki bilinmeyen. $a_1$ ve $d$ ayrı ayrı bulunamaz; bu yüzden o yoldan gitmiyoruz.

İndislere bak: $5$ ve $13$ , $9$ ‘a eşit uzaklıkta ( $4$ adım). O hâlde $a_5 + a_{13} = 2a_9$ ve verilen eşitlik $3a_9 = 48$ olur; $a_9 = 16$ .

İstenen toplamda da indisler $9$ ‘a eşit uzaklıkta: $2 + 16 = 18 = 9 + 9$ . Bu yüzden $a_2 + a_{16} = 2a_9$ .

Sonuç

$a_2 + a_{16} = 32$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bütün terimleri pozitif olan bir geometrik dizide

a_3 \cdot a_9 = 100

olduğuna göre

a_6

kaçtır?

Açıklama

$3 + 9 = 6 + 6$ olduğundan $a_3 \cdot a_9 = a_6^2 = 100$ . Terimler pozitif olduğu için $a_6 = 10$ .

Toplam sembolü

Uzun toplamları kısa yazmak için Yunan alfabesindeki sigma harfi kullanılır.

Örnek: $\displaystyle\sum_{k=1}^{4} (2k + 1) = 3 + 5 + 7 + 9 = 24$ . Alt sınır $1$ olmak zorunda değildir: $\displaystyle\sum_{k=2}^{5} k^2 = 4 + 9 + 16 + 25 = 54$ . Bu programda sembolün yalnızca okunuşu istenir; açıp toplaman yeterlidir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\displaystyle\sum_{k=3}^{6} (k - 1)

toplamı kaçtır?

Açıklama

$k = 3, 4, 5, 6$ için terimler $2, 3, 4, 5$ ‘tir; toplam $14$ .

Aritmetik dizinin ilk n terim toplamı

Anlatılır ki Alman matematikçi Gauss ilkokuldayken $1$ ‘den $100$ ‘e kadar sayıların toplamını birkaç saniyede bulmuş: sayıları baştan ve sondan eşleştirmiş. $1 + 100$ , $2 + 99$ , $3 + 98$ … Her çift $101$ eder ve $50$ çift vardır: $50 \cdot 101 = 5050$ .

Bu eşleştirme her aritmetik dizide çalışır, çünkü baştan $k$ . terim ile sondan $k$ . terimin indisleri toplamı hep $n + 1$ ‘dir; toplamları hep $a_1 + a_n$ eder.

Sahnede terimler blok sütunları olarak duruyor. “Kopyayı çevir” düğmesine bas: basamağın ters çevrilmiş kopyası üstüne oturur ve bir dikdörtgen oluşur. Dikdörtgenin eni $n$ , boyu $a_1 + a_n$ ; aradığın toplam bunun yarısı. $n$ , $a_1$ ve $d$ sürgülerini değiştir; dikdörtgen her seferinde tamamlanır.

1 + 2 + \cdots + 6

: basamak ve ters kopyası

6 \times 7

'lik dikdörtgeni doldurur. Toplam, dikdörtgenin yarısıdır:

21

Örnek

orta

Amfi tiyatroda koltuk sayısı

Bir amfi tiyatronun en ön sırasında $18$ koltuk vardır ve her sırada bir öndekinden $3$ koltuk fazla bulunur. Amfi $20$ sıralı olduğuna göre toplam kaç koltuk vardır?

Sıralardaki koltuk sayıları sabit artışla gidiyor; bu bir aritmetik dizidir: $a_1 = 18$ , $d = 3$ , $n = 20$ . İstenen $S_{20}$ .

Toplam formülü ilk ve son terimi ister. Son sıraya $19$ adımda ulaşılır: $a_{20} = 18 + 19 \cdot 3 = 75$ .

Eşleştir: en ön ve en arka sıra birlikte $18 + 75 = 93$ koltuk eder ve böyle $10$ çift vardır.

$S_{20} = \dfrac{20}{2} \cdot (18 + 75) = 10 \cdot 93$

Sonuç

Amfide $930$ koltuk vardır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

1 + 3 + 5 + \cdots + 39

toplamı kaçtır?

Açıklama

Terim sayısı $\dfrac{39 - 1}{2} + 1 = 20$ . Toplam $\dfrac{20}{2} \cdot (1 + 39) = 400$ .

Geometrik dizinin ilk n terim toplamı

Geometrik dizide baştan ve sondan eşleştirmek işe yaramaz; çiftlerin toplamı eşit çıkmaz. Burada başka bir fikir var: toplamı $r$ ile çarpınca terimlerin hepsi bir sıra kayar.

\begin{aligned} S_n &= a_1 + a_1 r + a_1 r^2 + \cdots + a_1 r^{\,n-1} \\ r \cdot S_n &= \phantom{a_1 +{}} a_1 r + a_1 r^2 + \cdots + a_1 r^{\,n-1} + a_1 r^{\,n} \end{aligned}

Alttakinden üsttekini çıkar: ortadaki bütün terimler birbirini götürür, geriye yalnızca iki uç kalır. $(r - 1) \cdot S_n = a_1 r^{\,n} - a_1$ .

Sahnede üst satır $S_n$ ‘nin, alt satır $r \cdot S_n$ ‘nin terimleri. “Çıkar” düğmesine bas: iki satırda da bulunan bloklar söner; altta en sağdaki $a_1 r^{\,n}$ , üstte en soldaki $a_1$ kalır. $n$ sürgüsünü büyüt; kaç terim eklersen ekle geriye yine iki blok kalıyor.

\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} = 1 - \dfrac{1}{16}

: dört parça, karenin kalan on altıda biri dışındaki her yeri doldurur.

Şekildeki toplamı formülle denetle: $a_1 = \dfrac{1}{2}$ , $r = \dfrac{1}{2}$ , $n = 4$ için $S_4 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1 - \frac{1}{16}}{1 - \frac{1}{2}} = \dfrac{15}{16}$ .

Örnek

orta

Son terimi verilen geometrik toplam

$3 + 6 + 12 + \cdots + 1536$ toplamı kaçtır?

Terimler ikiye katlanıyor: geometrik dizi, $a_1 = 3$ , $r = 2$ . Formül terim sayısını ister, o yüzden önce $1536$ ‘nın kaçıncı terim olduğunu bul.

$a_n = 3 \cdot 2^{\,n-1} = 1536$ eşitliğinden $2^{\,n-1} = 512 = 2^9$ , yani $n = 10$ . Üs $9$ , terim sayısı $10$ ; ikisini karıştırma.

Toplam formülünde üs $n$ ‘dir: $S_{10} = 3 \cdot \dfrac{2^{10} - 1}{2 - 1} = 3 \cdot 1023$ .

Sonuç

Toplam $3069$ ‘dur. Dikkat et: $r = 2$ iken toplam, bir sonraki terimden ( $3072$ ) tam $a_1$ kadar eksik.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

İlk terimi

2

, ortak çarpanı

3

olan geometrik dizinin ilk

4

teriminin toplamı kaçtır?

Açıklama

$S_4 = 2 \cdot \dfrac{3^4 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \dfrac{80}{2} = 80$ . Sağlama: $2 + 6 + 18 + 54 = 80$ .

Sahnede dene

Sahnede $a_1 = 1$ ve $r = 2$ seç, ilk dört terimi topla; sonra beşinci terime bak. $1 + 2 + 4 + 8 = 15$ ve $a_5 = 16$ . Aradaki $1$ ‘lik fark, kancadaki B teklifinin toplamını saymadan bulmanın anahtarı.

İleri

Sınav düzeyi: birleşik sorular, tuzaklar ve modelleme

Bu soruların ortak yolu şu: bütün terimleri $a_1$ ile $d$ (ya da $r$ ) cinsinden yaz, denklemi çöz. Aşağıdaki örnekler bu yolu kısaltan fikirleri ve en sık düşülen tuzakları gösteriyor.

Terimleri ortadaki terime göre yazmak

Örnek

zor

Toplamı ve çarpımı verilen üç terim

Terimleri giderek büyüyen bir $(a_n)$ aritmetik dizisinde $a_1 + a_2 + a_3 = 15$ ve $a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 = 80$ ‘dir. Buna göre $a_{10}$ kaçtır?

Üç terimi $a_1$ ile yazmak yerine ortadaki terime göre yaz: $a_2 - d,\ a_2,\ a_2 + d$ . Böylece toplamda $d$ ‘ler birbirini götürür: $3a_2 = 15$ , $a_2 = 5$ .

Çarpımda da iki kare farkı çıkar, çünkü terimler $5 - d$ ve $5 + d$ : $(5 - d) \cdot 5 \cdot (5 + d) = 80$ , yani $25 - d^2 = 16$ ve $d^2 = 9$ .

$d = 3$ ya da $d = -3$ . Terimler büyüdüğüne göre $d > 0$ ; $d = 3$ . Dizi $2, 5, 8, \ldots$ diye başlar (sağlama: $2 \cdot 5 \cdot 8 = 80$ ).

$a_{10} = a_2 + 8d = 5 + 24$ .

Sonuç

$a_{10} = 29$

Aritmetik ve geometrik dizi aynı soruda

Örnek

zor

Aritmetik dizinin içinden geometrik üçlü

Ortak farkı sıfırdan farklı bir $(a_n)$ aritmetik dizisinin $a_1$ , $a_3$ ve $a_9$ terimleri, bu sırayla bir geometrik dizinin ardışık üç terimidir. Bu geometrik dizinin ortak çarpanı kaçtır?

Geometrik dizide ortadaki terimin karesi iki yanındakilerin çarpımıdır: $a_3^2 = a_1 \cdot a_9$ . Aritmetik dizi bilgisini kullanmak için terimleri $a_1$ ve $d$ ile yaz: $(a_1 + 2d)^2 = a_1 \cdot (a_1 + 8d)$ .

Aç ve sadeleştir: $a_1^2 + 4a_1 d + 4d^2 = a_1^2 + 8a_1 d$ , yani $4d^2 = 4a_1 d$ . $d \neq 0$ verildiği için iki yanı $4d$ ‘ye bölebilirsin: $d = a_1$ .

Artık her terim $a_1$ ‘in katı: $a_3 = a_1 + 2a_1 = 3a_1$ ve $a_9 = 9a_1$ . Geometrik dizinin terimi sıfır olamayacağından $a_1 \neq 0$ ve oran alınabilir.

Sonuç

Ortak çarpan $\dfrac{a_3}{a_1} = 3$ ‘tür. Üç terim $a_1,\ 3a_1,\ 9a_1$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir dizinin ilk

n

teriminin toplamı

S_n = n^2 + 2n

olduğuna göre

a_5

kaçtır?

Açıklama

İlk beş terimin toplamından ilk dört terimin toplamını çıkarınca geriye beşinci terim kalır: $a_5 = S_5 - S_4 = 35 - 24 = 11$ .

Toplamdan terime

Mini testteki fikir geneldir: $S_n$ ile $S_{n-1}$ arasındaki tek fark $a_n$ terimidir.

Örnek

zor

Toplam formülünden genel terim

Bir $(a_n)$ dizisinin ilk $n$ teriminin toplamı $S_n = 2n^2 + 3n$ ‘dir. Dizinin genel terimini bul ve $a_{10}$ ‘u hesapla.

İlk terim doğrudan toplamdan okunur, çünkü “ilk bir terimin toplamı” terimin kendisidir: $a_1 = S_1 = 2 + 3 = 5$ .

$n \geq 2$ için farkı al. $S_{n-1}$ ‘i yazarken $n$ gördüğün her yere $n - 1$ koy:

\begin{aligned} a_n &= 2n^2 + 3n - \bigl[2(n - 1)^2 + 3(n - 1)\bigr] \\ &= 2n^2 + 3n - (2n^2 - n - 1) = 4n + 1 \end{aligned}

Bu kural $n \geq 2$ için bulundu; $n = 1$ için de tutuyor mu? $4 \cdot 1 + 1 = 5 = a_1$ . Tutuyor; genel terim her $n$ için $4n + 1$ ve dizi, ortak farkı $4$ olan bir aritmetik dizi.

Sonuç

$a_n = 4n + 1$ ve $a_{10} = 41$ . Sağlama: $S_{10} - S_9 = 230 - 189 = 41$ .

İndirgemede düzeni yakalamak

İndirgeme bağıntılı sorularda uzak bir terim istenirse hepsini hesaplaman beklenmez. İlk birkaç terimi yaz; çoğu zaman terimler bir yerden sonra yinelenir.

Örnek

zor

Yinelenen dizi

$a_1 = 2$ ve her $n$ pozitif tam sayısı için $a_{n+1} = 1 - \dfrac{1}{a_n}$ olan dizide $a_{100}$ kaçtır?

$100$ adım atmak yerine ilk terimleri yaz ve düzen ara: $a_2 = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$ , $a_3 = 1 - 2 = -1$ , $a_4 = 1 - (-1) = 2$ .

$a_4 = a_1$ çıktı. Her terim yalnızca bir öncekine bağlı olduğundan bundan sonrası aynen yinelenir: $2, \dfrac{1}{2}, -1, 2, \dfrac{1}{2}, -1, \ldots$ Dizi $3$ terimde bir başa dönüyor.

$100$ ‘ün $3$ ‘e bölümünden kalan belirleyicidir: $100 = 3 \cdot 33 + 1$ . $33$ tam tur atılır ve bir terim daha gidilir; o da turun ilk terimidir.

Sonuç

$a_{100} = a_1 = 2$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

a_1 = 1

a_2 = 3

a_{n+2} = a_{n+1} - a_n

olan dizide

a_{20}

kaçtır?

Açıklama

Terimler: $1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, \ldots$ Dizi $6$ terimde bir yinelenir. $20 = 6 \cdot 3 + 2$ olduğundan $a_{20} = a_2 = 3$ .

Modelleme: hangi dizi, hangi toplam?

Hikâyeli bir soruda ilk iş, değişimin türünü tanımaktır. Her adımda aynı miktar ekleniyor ya da çıkarılıyorsa aritmetik; aynı sayıyla çarpılıyor ya da aynı oranda azalıyorsa geometrik dizi kurarsın. Sonra sorunun bir terimi mi yoksa bir toplamı mı istediğine bakarsın.

Kancadaki iki teklife dön. Sahnede bu kez aylık ödemeler değil, o aya kadar birikmiş toplamlar var. Ay sürgüsünü $1$ ‘den $16$ ‘ya doğru ilerlet: A’nın toplamı uzun süre önde gidiyor, sonra B bir anda geçiyor. Geçişin hangi iki ay arasında olduğunu bul.

Örnek

zor

İki teklif: hangisi, kaç ay için?

A teklifinde ilk ay $100$ lira, sonraki her ay bir öncekinden $50$ lira fazla ödeniyor. B teklifinde ilk ay $1$ lira, sonraki her ay bir öncekinin $2$ katı ödeniyor. $12$ aylık iş için hangi teklif daha çok kazandırır? B’nin toplamı ilk kez kaçıncı ayın sonunda A’yı geçer?

Soru aylık ödemeyi değil toplam kazancı soruyor; iki dizinin de $S_n$ ‘si gerekir. A aritmetik ( $a_1 = 100$ , $d = 50$ ):

$S_n = \dfrac{n}{2} \cdot \bigl[200 + 50(n - 1)\bigr] = 25n(n + 3)$

B geometrik ( $a_1 = 1$ , $r = 2$ ): $S_n = 1 \cdot \dfrac{2^n - 1}{2 - 1} = 2^n - 1$ .

$n = 12$ yaz: A için $25 \cdot 12 \cdot 15 = 4500$ lira, B için $2^{12} - 1 = 4095$ lira. $12$ ay için A, $405$ lira daha fazla kazandırır.

Geçiş ayını bulmak için toplamları yan yana yaz. B’nin toplamı her ay yaklaşık ikiye katlanıyor ama $12$ . aya kadar A’ya yetişemiyor; $13$ . ayda geçiyor.

Ay	$6$	$10$	$11$	$12$	$13$
A toplamı	$1350$	$3250$	$3850$	$4500$	$5200$
B toplamı	$63$	$1023$	$2047$	$4095$	$8191$

Sonuç

$12$ aylık iş için A teklifi ( $4500$ lira; B $4095$ lira). B’nin toplamı ilk kez $13$ . ayın sonunda A’yı geçer.

Birikmiş toplamlar. Geometrik toplam uzun süre geride kalır, sonra tek bir ayda açığı kapatıp geçer.

Örnek

zor

Zıplayan topun aldığı yol

Bir top $243$ cm yükseklikten bırakılıyor. Top yere her çarpışında, bir önceki düştüğü yüksekliğin $\dfrac{2}{3}$ ‘üne kadar yükseliyor. Top yere $5$ . kez çarptığı ana kadar toplam kaç santimetre yol alır?

Çıkış yükseklikleri sabit bir sayıyla çarpılarak küçülüyor; geometrik dizi. İlk çıkış $243 \cdot \dfrac{2}{3} = 162$ cm; sonrakiler $108$ , $72$ , $48$ cm.

Yolu parçalara ayır, çünkü ilk iniş ile sonrakiler aynı sayılmaz. İlk düşüş yalnızca iniştir: $243$ cm. Sonraki her yükseklik hem çıkılır hem inilir. $5$ . çarpışa kadar $4$ çıkış-iniş vardır.

Dört yüksekliğin toplamı: $a_1 = 162$ , $r = \dfrac{2}{3}$ , $n = 4$ .

$S_4 = 162 \cdot \dfrac{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^4}{1 - \frac{2}{3}} = 162 \cdot \dfrac{65}{81} \cdot 3 = 390$

Sağlama: $162 + 108 + 72 + 48 = 390$ .

Toplam yol: ilk düşüş bir kez, çıkış-inişler iki kez. $243 + 2 \cdot 390$ .

Sonuç

Top $1023$ cm yol alır.

Topun yolu:

243

cm bir kez,

162

108

72

48

cm ikişer kez (çıkış ve iniş) sayılır.

Özet

Bu konudan aklında kalacaklar

Dizi, tanım kümesi $\mathbb{Z}^+$ olan fonksiyondur; grafiği ayrık noktalardır. Sonlu dizinin terim sayısı bellidir, sabit dizinin bütün terimleri eşittir, iki dizi her terimi eşitse eşittir.
Terim bulmanın iki yolu: genel terimde $n$ yerine sıra numarasını yaz ya da indirgeme bağıntısıyla sırayla ilerle. Fibonacci: $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ .
Aritmetik dizi: $a_n = a_1 + (n - 1)d = a_k + (n - k)d$ . $p + q = s + t$ ise $a_p + a_q = a_s + a_t$ .
Geometrik dizi: $a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1} = a_k \cdot r^{\,n-k}$ . $p + q = s + t$ ise $a_p \cdot a_q = a_s \cdot a_t$ .
Toplamlar: aritmetikte $S_n = \dfrac{n}{2}(a_1 + a_n)$ ; geometrikte $S_n = a_1 \cdot \dfrac{r^{\,n} - 1}{r - 1}$ ( $r \neq 1$ ).
$a_1 = S_1$ ve $n \geq 2$ için $a_n = S_n - S_{n-1}$ .
$n$ . terime $n - 1$ adımda ulaşılır; üç ardışık terimi ortadakine göre yaz; uzak terim soran indirgemede yinelenen düzeni ara.

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

11 çıkmış soru6 özgün soru

2026 AYTSoru 13

Zor

Aritmetik ve geometrik dizi birlikte

$(a_n)$ bir aritmetik dizi, $(g_n)$ bir geometrik dizidir. Aritmetik dizinin ortak farkı ile geometrik dizinin ortak çarpanı aynı pozitif gerçel sayıdır. Bu diziler için

$a_1 = g_1$

$a_{13} = g_2$

$a_{31} = g_3$

$a_k = g_4$

eşitlikleri sağlanıyor.

Buna göre $k$ kaçtır?

İpucu

Geometrik dizide ardışık terimlerin farkları da aynı çarpanla büyür: $g_3 - g_2 = r \cdot (g_2 - g_1)$ . Bu farkları aritmetik diziden adım sayarak yaz.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 31)

Çözüm

Ortak sayı $r$ olsun ( $r > 0$ ): aritmetik dizide her adım $+r$ , geometrik dizide her adım $\times r$ .

1. Farkları aritmetik diziden oku.

$g_2 - g_1 = a_{13} - a_1 = 12r$
$g_3 - g_2 = a_{31} - a_{13} = 18r$

2. Farkları geometrik diziden oku. $g_3 - g_2 = r \cdot g_2 - r \cdot g_1 = r \cdot (g_2 - g_1)$ . Yani

$18r = r \cdot 12r$

$r \neq 0$ olduğundan $18 = 12r$ , $r = \dfrac{3}{2}$ .

3. Bir fark daha. Aynı nedenle $g_4 - g_3 = r \cdot (g_3 - g_2) = r \cdot 18r = 27r$ .

4. Adım say. $a_k - a_{31} = g_4 - g_3 = 27r$ . Aritmetik dizide $27r$ 'lik fark $27$ adımdır: $k = 31 + 27 = 58$ .

Sağlama: $12r = g_1 \cdot (r - 1)$ eşitliğinden $g_1 = \dfrac{18}{0{,}5} = 36$ . Geometrik dizi $36,\ 54,\ 81,\ 121{,}5$ ; aritmetik dizide $a_{13} = 36 + 12 \cdot 1{,}5 = 54$ , $a_{31} = 36 + 45 = 81$ ve $a_{58} = 36 + 57 \cdot 1{,}5 = 121{,}5$ .

Tuzak: indisler $1, 13, 31$ diye gidiyor; aradaki adımlar $12$ ve $18$ 'dir, sonraki adım $24$ değil $27$ 'dir (adımlar da $\dfrac{3}{2}$ ile çarpılır).

Cevap: C

2025 AYTSoru 13

Orta

Aritmetik dizide terim çarpımları

Bir $(a_n)$ aritmetik dizisinde ardışık terimlerin çarpımları için

$a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 = 2$

$a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 = 14$

eşitlikleri sağlanıyor.

Buna göre $a_3 \cdot a_4 \cdot a_5$ çarpımı kaçtır?

İpucu

İki çarpımda $a_2 \cdot a_3$ ortak. Eşitlikleri taraf tarafa bölersen geriye hangi iki terimin oranı kalır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 29)

Çözüm

1. Taraf tarafa böl. Çarpımlar sıfır olmadığından terimlerin hiçbiri sıfır değildir. İkinci eşitlik birinciye bölünürse ortak $a_2 \cdot a_3$ sadeleşir:

$\dfrac{a_4}{a_1} = \dfrac{14}{2} = 7 \;\Rightarrow\; a_4 = 7a_1$

2. Ortak farkı $a_1$ cinsinden bul. $a_4 = a_1 + 3d$ olduğundan $a_1 + 3d = 7a_1$ , yani $d = 2a_1$ .

3. Terimler. $a_1,\ 3a_1,\ 5a_1,\ 7a_1,\ 9a_1$ .

4. İstenen çarpım. Aynı bölme fikrini bir kez daha kullan:

$\dfrac{a_3 \cdot a_4 \cdot a_5}{a_2 \cdot a_3 \cdot a_4} = \dfrac{a_5}{a_2} = \dfrac{9a_1}{3a_1} = 3$

O hâlde $a_3 \cdot a_4 \cdot a_5 = 3 \cdot 14 = 42$ .

Tuzak: çarpımlar $2, 14$ diye gidiyor diye sıradaki için hazır bir örüntü arama ( $7$ katı ya da $12$ fazlası gibi); bu çarpımlar ne aritmetik ne geometrik dizi oluşturur. $a_1$ 'in kendisini bulmaya da gerek yoktur.

Cevap: C

2024 AYTSoru 12

Kolay

Aritmetik dizide terim farkları

Bir $(a_n)$ aritmetik dizisinin ortak farkı $r$ 'dir. Bu dizi

$a_{30} - a_{25} < 53$

$a_{25} - a_8 > 53$

eşitsizliklerini sağlıyor.

Buna göre $r$ 'nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

Aritmetik dizide iki terimin farkı, aradaki adım sayısı ile ortak farkın çarpımıdır.

1. Birinci eşitsizlik. $a_{30} - a_{25} = 5r$ olduğundan $5r < 53$ , yani $r < 10{,}6$ .

2. İkinci eşitsizlik. $a_{25} - a_8 = 17r$ olduğundan $17r > 53$ , yani $r > \dfrac{53}{17}$ . $17 \cdot 3 = 51$ ve $17 \cdot 4 = 68$ olduğundan bu sayı $3$ ile $4$ arasındadır.

3. Tam sayılar. $r \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ . Toplamları

$4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = \dfrac{7}{2} \cdot (4 + 10) = 49$

Tuzak: $r = 3$ ikinci eşitsizliği sağlamaz ( $51 > 53$ yanlış), $r = 11$ birinciyi sağlamaz ( $55 < 53$ yanlış); uçları tek tek dene.

Cevap: A

2023 AYTSoru 25

Kolay

İndirgeme bağıntısı

Bir $(a_n)$ gerçel sayı dizisinde, $n$ hangi pozitif tam sayı olursa olsun

$a_n + (-1)^n \cdot a_{n+1} = 2^n$

eşitliği geçerlidir.

$a_1 = 0$ olduğuna göre $a_3 + a_4 + a_5 + a_6$ toplamı kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 31)

Çözüm

$(-1)^n$ , $n$ tek iken $-1$ , çift iken $1$ 'dir. Terimleri sırayla bul.

$n = 1$ : $a_1 - a_2 = 2$ , yani $0 - a_2 = 2$ ve $a_2 = -2$ .
$n = 2$ : $a_2 + a_3 = 4$ , yani $a_3 = 4 + 2 = 6$ .
$n = 3$ : $a_3 - a_4 = 8$ , yani $a_4 = 6 - 8 = -2$ .
$n = 4$ : $a_4 + a_5 = 16$ , yani $a_5 = 16 + 2 = 18$ .
$n = 5$ : $a_5 - a_6 = 32$ , yani $a_6 = 18 - 32 = -14$ .

$a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = 6 + (-2) + 18 + (-14) = 8$

Tuzak: işaret her adımda değişir ve sağ taraf sabit değildir ( $2, 4, 8, 16, 32$ ); her satırda $n$ 'yi üç yere birden yaz.

Cevap: B

2023 AYTSoru 26

Orta

Aritmetik ve geometrik dizi birlikte

$(b_n)$ geometrik dizisinin ilk iki terimi $b_1 = \dfrac{4}{3}$ ve $b_2 = 2$ 'dir. $(a_n)$ ise bir aritmetik dizidir ve ortak farkı, $(b_n)$ dizisinin ortak çarpanına eşittir.

$b_7 = a_{11}$ olduğuna göre $a_1$ kaçtır?

İpucu

Önce geometrik dizinin ortak çarpanını iki teriminden bul. Aynı sayı aritmetik dizide toplanarak, geometrik dizide çarpılarak kullanılacak.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 31)

Çözüm

1. Ortak çarpan. $r = \dfrac{b_2}{b_1} = 2 \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{2}$ . Aritmetik dizinin ortak farkı da $d = \dfrac{3}{2}$ 'dir.

2. $b_7$ . İlk terimden $6$ adım:

$b_7 = b_1 \cdot r^6 = \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{729}{64} = \dfrac{243}{16}$

3. $a_{11}$ . İlk terimden $10$ adım: $a_{11} = a_1 + 10 \cdot \dfrac{3}{2} = a_1 + 15$ .

4. Eşitle. $a_1 + 15 = \dfrac{243}{16}$ ve $15 = \dfrac{240}{16}$ olduğundan $a_1 = \dfrac{3}{16}$ .

Tuzak: aynı $\dfrac{3}{2}$ sayısı iki dizide farklı iş görür; geometrik dizide üs ( $r^6$ ), aritmetik dizide çarpan ( $10d$ ) olur. Adım sayıları da $7$ ve $11$ değil, $6$ ve $10$ 'dur.

Cevap: D

2022 AYTSoru 11

Kolay

İki aritmetik dizi

$(a_n)$ ve $(b_n)$ birer aritmetik dizidir. Bu iki dizinin terimleri arasında

$a_1 = b_1$

$a_5 = b_7$

$a_{11} = b_k$

eşitlikleri vardır.

Buna göre $k$ kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

$(a_n)$ dizisinin ortak farkı $d$ , $(b_n)$ dizisinin ortak farkı $e$ olsun; ortak ilk terime $c$ diyelim.

1. İkinci eşitlik. $a_5 = c + 4d$ ve $b_7 = c + 6e$ olduğundan $4d = 6e$ , yani $2d = 3e$ .

2. $a_{11}$ 'i $e$ cinsinden yaz. $a_{11} = c + 10d = c + 5 \cdot (2d) = c + 15e$ .

3. Hangi terim? $(b_n)$ dizisinde ilk terimden $15$ adım sonraki terim $b_{16}$ 'dır: $b_{16} = c + 15e$ . O hâlde $k = 16$ .

Başka bir bakış: iki dizi aynı yerden başlıyor ve $a$ dizisinin $4$ adımı $b$ dizisinin $6$ adımına eşit. $a$ dizisinin $10$ adımı, $b$ dizisinin $15$ adımıdır.

Tuzak: $15$ adım sayısıdır, indis değil; indis bir fazlasıdır. (Ortak farklar sıfır olsaydı her $k$ uyardı; soru tek bir $k$ istediğine göre diziler sabit değildir.)

Cevap: E

2021 AYTSoru 12

Kolay

Aritmetik dizinin genel terimi

Bir $(a_n)$ aritmetik dizisinde

$a_2 = 2a_1 + 1$

$a_6 + a_{22} = 34$

eşitlikleri sağlanıyor.

Buna göre $a_7$ kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

Ortak fark $d$ olsun.

1. İkinci eşitlik: ortadaki terim. $6$ ve $22$ , $14$ 'e eşit uzaklıktadır; bu yüzden $a_6 + a_{22} = 2a_{14} = 34$ ve $a_{14} = 17$ .

2. Birinci eşitlik. $a_2 = a_1 + d$ olduğundan $a_1 + d = 2a_1 + 1$ , yani $d = a_1 + 1$ .

3. $a_1$ ve $d$ . $a_{14} = a_1 + 13d = a_1 + 13(a_1 + 1) = 14a_1 + 13 = 17$ . Buradan $a_1 = \dfrac{2}{7}$ ve $d = \dfrac{9}{7}$ .

4. İstenen terim. $a_7$ , $a_{14}$ 'ten $7$ adım geridedir:

$a_7 = a_{14} - 7d = 17 - 7 \cdot \dfrac{9}{7} = 8$

Sağlama: $a_7 = a_1 + 6d = \dfrac{2}{7} + \dfrac{54}{7} = \dfrac{56}{7} = 8$ .

Tuzak: $a_1$ ve $d$ kesirli çıkınca hata yaptığını sanma; istenen terim yine tam sayıdır.

Cevap: C

2020 AYTSoru 23

Orta

İndirgeme bağıntısı

Bir $(a_n)$ gerçel sayı dizisinde, $n$ hangi pozitif tam sayı olursa olsun

$a_{n+1} = a_n + \dfrac{(-1)^n \cdot a_n}{2}$

eşitliği geçerlidir.

$a_5 = 18$ olduğuna göre $a_1$ kaçtır?

İpucu

$(-1)^n$ yalnızca iki değer alır. $n$ tek iken ve $n$ çift iken bağıntının neye dönüştüğünü ayrı ayrı yaz.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 30)

Çözüm

1. Bağıntıyı iki duruma ayır.

$n$ tek ise $(-1)^n = -1$ : $a_{n+1} = a_n - \dfrac{a_n}{2} = \dfrac{1}{2} \cdot a_n$ .
$n$ çift ise $(-1)^n = 1$ : $a_{n+1} = a_n + \dfrac{a_n}{2} = \dfrac{3}{2} \cdot a_n$ .

2. $a_1$ 'den $a_5$ 'e dört adım at. Adımlarda $n = 1, 2, 3, 4$ kullanılır; çarpanlar sırasıyla $\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}$ 'dir.

$a_5 = a_1 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{16} \cdot a_1$

3. Çöz. $\dfrac{9}{16} \cdot a_1 = 18$ eşitliğinden $a_1 = 18 \cdot \dfrac{16}{9} = 32$ .

Sağlama: $32 \to 16 \to 24 \to 12 \to 18$ .

Tuzak: adımdaki $n$ , soldaki terimin değil sağdaki terimin indisidir; $a_2$ hesaplanırken $n = 1$ (tek) alınır.

Cevap: D

2020 AYTSoru 24

Orta

Geometrik dizinin genel terimi

Ortak çarpanı $r$ olan bir $(a_n)$ geometrik dizisinin bütün terimleri pozitiftir. Bu dizi için

$a_1 = \dfrac{1}{2} + r$

$a_7 = a_5 + 12 \cdot a_3$

eşitlikleri sağlanıyor.

Buna göre $a_8$ kaçtır?

İpucu

İkinci eşitlikteki üç terimi de $a_3$ cinsinden yaz: $a_5 = a_3 \cdot r^2$ , $a_7 = a_3 \cdot r^4$ . Sonra $a_3$ 'ü sadeleştir.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 30)

Çözüm

1. Terimleri $a_3$ 'e göre yaz. $a_5 = a_3 \cdot r^2$ ve $a_7 = a_3 \cdot r^4$ olduğundan ikinci eşitlik

$a_3 \cdot r^4 = a_3 \cdot r^2 + 12 \cdot a_3$

olur. Terimler pozitif olduğundan $a_3 \neq 0$ ; iki yan $a_3$ 'e bölünür: $r^4 - r^2 - 12 = 0$ .

2. $r^2$ 'ye göre ikinci dereceden denklem. $t = r^2$ yazılırsa $t^2 - t - 12 = (t - 4)(t + 3) = 0$ . $t = r^2$ negatif olamayacağından $r^2 = 4$ .

3. İşareti seç. Bütün terimler pozitif olduğundan $r > 0$ ; $r = 2$ .

4. İlk terim ve istenen terim. $a_1 = \dfrac{1}{2} + 2 = \dfrac{5}{2}$ ve

$a_8 = a_1 \cdot r^7 = \dfrac{5}{2} \cdot 128 = 320$

Tuzak: $r = -2$ de $r^2 = 4$ 'ü sağlar ama terimleri bir pozitif bir negatif yapar; "bütün terimleri pozitif" bilgisi bu değeri eler.

Cevap: E

2019 AYTSoru 16

Orta

Yinelenen dizi ve terimler toplamı

Bir $a_n$ dizisinde art arda gelen herhangi $3$ terimin toplamı hep aynı sayıya eşittir. Bu dizi

$a_2 + a_3 = a_4 = 2$

eşitliğini sağlıyor.

Buna göre

$a_1 + a_2 + \cdots + a_{25}$

toplamı kaçtır?

İpucu

Ardışık iki üçlü yaz: $a_1 + a_2 + a_3$ ve $a_2 + a_3 + a_4$ . İkisi eşitse ortak terimleri sil; geriye ne kalıyor?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 29)

Çözüm

1. Verilen kuralı bir eşitliğe çevir. Ardışık üçlülerin toplamı eşit olduğundan her $n$ için

$a_n + a_{n+1} + a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n+2} + a_{n+3}$

İki yandaki ortak terimler silinince $a_{n+3} = a_n$ kalır: dizi $3$ terimde bir yinelenir.

2. İlk terimi bul. $a_1 = a_4 = 2$ .

3. Bir üçlünün toplamı. $a_1 + a_2 + a_3 = 2 + (a_2 + a_3) = 2 + 2 = 4$ . Her ardışık üçlünün toplamı $4$ 'tür.

4. $25$ terimi grupla. $25 = 3 \cdot 8 + 1$ . İlk $24$ terim $8$ üçlü eder: $8 \cdot 4 = 32$ . Geriye kalan $a_{25}$ , yinelenme nedeniyle $a_1$ 'e eşittir ( $25 = 1 + 3 \cdot 8$ ): $a_{25} = 2$ .

$a_1 + a_2 + \cdots + a_{25} = 32 + 2 = 34$

Tuzak: $a_2$ ve $a_3$ ayrı ayrı bulunamaz; bulunmaları da gerekmez, yalnızca toplamları kullanılır.

Cevap: A

2018 AYTSoru 12

Kolay

Aritmetik dizinin genel terimi

Ortak farkı $r$ olan bir $(a_n)$ aritmetik dizisinin terimleri birbirinden farklıdır. Bu dizi için

$a_1 = 3 \cdot r$

$a_6 = a_2 \cdot a_4$

eşitlikleri sağlanıyor.

Buna göre $a_{10}$ kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

1. Bütün terimleri $r$ cinsinden yaz. Bu soruda ortak fark $r$ harfiyle verilmiş. $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$ ve $a_1 = 3r$ olduğundan

$a_n = 3r + (n - 1) \cdot r = (n + 2) \cdot r$

Buna göre $a_2 = 4r$ , $a_4 = 6r$ , $a_6 = 8r$ .

2. İkinci eşitliği kullan. $a_6 = a_2 \cdot a_4$ eşitliği $8r = 4r \cdot 6r = 24r^2$ olur.

3. $r$ 'yi bul. Terimler birbirinden farklı olduğundan $r \neq 0$ ; iki yan $8r$ 'ye bölünebilir: $1 = 3r$ , $r = \dfrac{1}{3}$ .

4. İstenen terim. $a_{10} = 12r = 12 \cdot \dfrac{1}{3} = 4$ .

Tuzak: $8r = 24r^2$ denkleminin $r = 0$ kökü de vardır; "terimleri birbirinden farklı" bilgisi bu kökü elemek için verilmiştir.

Cevap: D

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Genel terim

Genel terimi

$a_n = \dfrac{2n + 18}{n}$

olan $(a_n)$ dizisi veriliyor.

Buna göre bu dizinin kaç terimi tam sayıdır?

Çözüm

1. Kesri parçala. $a_n = \dfrac{2n}{n} + \dfrac{18}{n} = 2 + \dfrac{18}{n}$ .

2. Ne zaman tam sayı? $2$ zaten tam sayıdır; $a_n$ 'nin tam sayı olması için $\dfrac{18}{n}$ tam sayı olmalı, yani $n$ sayısı $18$ 'i bölmelidir.

3. Bölenleri say. $n$ pozitif tam sayı olduğundan yalnızca pozitif bölenler alınır: $1, 2, 3, 6, 9, 18$ . Altı değer.

Bu terimler $a_1 = 20$ , $a_2 = 11$ , $a_3 = 8$ , $a_6 = 5$ , $a_9 = 4$ , $a_{18} = 3$ 'tür.

Tuzak: $n = 1$ ve $n = 18$ uçlarını unutmak ( $4$ ya da $5$ bulursun) ya da negatif bölenleri de saymak; indis negatif olamaz.

Cevap: D

Özgün soru2

Orta

Aritmetik dizide toplam ve toplam sembolü

Bir $(a_n)$ aritmetik dizisinde $a_3 = 8$ ve $a_8 = 23$ 'tür.

Buna göre

$\sum_{k=1}^{10} a_k$

toplamı kaçtır?

İpucu

Toplam sembolü $a_1 + a_2 + \cdots + a_{10}$ demektir. Toplam formülü $a_1 + a_{10}$ ister; verilen terimlerin indislerine bak: $3 + 8$ kaç eder?

Çözüm

1. Sembolü aç. $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_{10} = S_{10}$ .

2. Kısa yol. $S_{10} = \dfrac{10}{2} \cdot (a_1 + a_{10})$ . İndisler toplamı eşit olduğundan ( $1 + 10 = 3 + 8$ )

$a_1 + a_{10} = a_3 + a_8 = 8 + 23 = 31$

3. Toplam. $S_{10} = 5 \cdot 31 = 155$ .

Uzun yoldan sağlama: $5d = 23 - 8 = 15$ , $d = 3$ ; $a_1 = 8 - 2 \cdot 3 = 2$ ve $a_{10} = 2 + 9 \cdot 3 = 29$ . $S_{10} = 5 \cdot (2 + 29) = 155$ .

Çeldiriciler: $a_{10}$ 'u $10$ adımla $32$ bulursan $170$ ; ikiye bölmeyi unutursan $310$ ; $a_3$ 'ü ilk terim sayarsan $185$ ; yalnızca ilk $9$ terimi toplarsan $126$ çıkar.

Cevap: B

Özgün soru3

Orta

Geometrik dizide toplam

Bir $(a_n)$ geometrik dizisinde ilk $6$ terimin toplamı, ilk $3$ terimin toplamının $9$ katıdır.

$a_1 = 3$ olduğuna göre $a_5$ kaçtır?

İpucu

İlk altı terimi iki üçlüye ayır. $a_4 + a_5 + a_6$ toplamı, $a_1 + a_2 + a_3$ toplamının kaç katıdır?

Çözüm

Ortak çarpan $r$ olsun.

1. İkinci üçlüyü birinciye bağla. Her terim, üç sıra önceki terimin $r^3$ katıdır: $a_4 = a_1 r^3$ , $a_5 = a_2 r^3$ , $a_6 = a_3 r^3$ . Bu yüzden

$a_4 + a_5 + a_6 = r^3 \cdot (a_1 + a_2 + a_3) = r^3 \cdot S_3$

2. Verilen bilgiyi yaz. $S_6 = S_3 + r^3 \cdot S_3 = (1 + r^3) \cdot S_3$ ve $S_6 = 9 \cdot S_3$ .

$S_3 = 3 \cdot (1 + r + r^2)$ sıfır olamaz ( $1 + r + r^2$ her gerçek $r$ için pozitiftir); iki yan $S_3$ 'e bölünür: $1 + r^3 = 9$ , $r^3 = 8$ , $r = 2$ .

3. İstenen terim. $a_5 = a_1 \cdot r^4 = 3 \cdot 16 = 48$ .

Sağlama: terimler $3, 6, 12, 24, 48, 96$ ; $S_3 = 21$ ve $S_6 = 189 = 9 \cdot 21$ .

Çeldiriciler: $r^3 = 8$ yerine $r^2 = 9$ yazıp $r = 3$ alırsan $243$ ; adımı bir eksik ya da bir fazla sayarsan $24$ ya da $96$ bulursun.

Cevap: C

Özgün soru4

Zor

Modelleme

Elif ile Deniz aynı romanı aynı gün okumaya başlıyor.

Elif ilk gün $3$ sayfa okuyor ve her gün, bir önceki gün okuduğundan $3$ sayfa fazla okuyor.
Deniz ilk gün $1$ sayfa okuyor ve her gün, bir önceki gün okuduğunun $2$ katı kadar sayfa okuyor.

İkisi de bu kurallardan hiç şaşmadan romanı aynı günün sonunda bitiriyor.

Buna göre roman kaç sayfadır?

İpucu

Romanın sayfa sayısı, iki okurun da $n$ günde okuduğu toplamdır. İki toplamı $n$ cinsinden yaz ve küçük $n$ değerleri için yan yana dene.

Çözüm

Roman $n$ günde bitsin. Sayfa sayısı, iki okurun da $n$ günlük toplamına eşittir.

1. Elif: aritmetik dizi ( $a_1 = 3$ , $d = 3$ ). Son gün $3n$ sayfa okur.

$S_n = \dfrac{n}{2} \cdot (3 + 3n) = \dfrac{3n(n + 1)}{2}$

2. Deniz: geometrik dizi ( $a_1 = 1$ , $r = 2$ ).

$S_n = \dfrac{2^n - 1}{2 - 1} = 2^n - 1$

3. Toplamları karşılaştır.

$n$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
Elif	$18$	$30$	$45$	$63$	$84$
Deniz	$7$	$15$	$31$	$63$	$127$

Toplamlar $n = 6$ için eşittir.

4. Başka gün olabilir mi? $n \leq 5$ için Deniz geridedir. $7$ . günden başlayarak Deniz'in günlük okuması ( $64, 128, \ldots$ ) Elif'inkinden ( $21, 24, \ldots$ ) fazladır; $6$ . günün sonundaki eşitlik bir daha kurulamaz.

Roman $63$ sayfadır.

Çeldiriciler: $84$ ve $108$ Elif'in $7$ ve $8$ günlük, $127$ ve $255$ Deniz'in $7$ ve $8$ günlük toplamlarıdır.

Cevap: A

Özgün soru5

Orta

Toplamdan terime

Bir $(a_n)$ dizisinin ilk $n$ teriminin toplamı

$S_n = 3n^2 - 2n$

olarak veriliyor.

Buna göre

$\sum_{k=5}^{10} a_k$

toplamı kaçtır?

İpucu

İstenen toplam $a_5$ 'ten başlıyor. İlk $10$ terimin toplamından hangi terimlerin toplamını çıkarırsan geriye tam bu kalır?

Çözüm

1. Sembolü aç. $\displaystyle\sum_{k=5}^{10} a_k = a_5 + a_6 + \cdots + a_{10}$ .

2. İki toplamın farkı olarak yaz. İlk $10$ terimin toplamından ilk $4$ terimin toplamı çıkarılırsa geriye $5$ . terimden $10$ . terime kadar olanlar kalır:

$a_5 + a_6 + \cdots + a_{10} = S_{10} - S_4$

3. Hesapla. $S_{10} = 3 \cdot 100 - 20 = 280$ ve $S_4 = 3 \cdot 16 - 8 = 40$ . Fark $280 - 40 = 240$ .

Sağlama: $a_n = S_n - S_{n-1} = 6n - 5$ (ve $a_1 = S_1 = 1$ de bu kurala uyar). $a_5, \ldots, a_{10}$ terimleri $25, 31, 37, 43, 49, 55$ 'tir; altı terimin toplamı $\dfrac{6}{2} \cdot (25 + 55) = 240$ .

Tuzak: $S_{10} - S_5 = 280 - 65 = 215$ yazmak. Bu, $a_5$ 'i de çıkarır; $a_5$ toplama dahildir, çıkarılacak son terim $a_4$ 'tür.

Cevap: C

Özgün soru6

Zor

İndirgeme bağıntısı

Bütün terimleri pozitif tam sayı olan bir $(a_n)$ dizisinde, $n$ hangi pozitif tam sayı olursa olsun

$a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$

eşitliği geçerlidir.

$a_7 = 60$ olduğuna göre $a_4$ kaçtır?

İpucu

İlk iki terime $x$ ve $y$ de; $a_7$ 'yi bu ikisi cinsinden yaz. Tek denklem çıkacak; "pozitif tam sayı" koşulu seçenekleri daraltır.

Çözüm

$a_1 = x$ ve $a_2 = y$ olsun ( $x$ , $y$ pozitif tam sayı).

1. Terimleri sırayla yaz.

$a_3 = x + y,\quad a_4 = x + 2y,\quad a_5 = 2x + 3y$

$a_6 = 3x + 5y,\quad a_7 = 5x + 8y$

2. Denklem. $5x + 8y = 60$ . Buradan $8y = 60 - 5x = 5 \cdot (12 - x)$ ; sağ taraf $5$ 'in katı olduğundan $y$ de $5$ 'in katıdır.

3. Pozitif tam sayı çözümleri. $y = 5$ için $5x = 20$ , $x = 4$ . $y = 10$ için $5x = -20$ olur; $x$ pozitif değildir. Tek çözüm $x = 4$ , $y = 5$ .

4. İstenen terim. $a_4 = x + 2y = 4 + 10 = 14$ .

Sağlama: dizi $4, 5, 9, 14, 23, 37, 60$ .

Tuzak: Fibonacci dizisiyle aynı bağıntı olduğu için ilk terimleri $1, 1$ sanmak; başlangıç terimleri verilmemiştir, onları $a_7$ belirler. $9$ üçüncü, $23$ beşinci terimdir.

Cevap: B