28Konu 28 / 49
Limit, Türev ve İntegral

Limit ve Süreklilik

Bir fonksiyonun bir noktaya yaklaşırken hangi değere gittiğini (limit), soldan ve sağdan limiti, limit kurallarını, çarpanlara ayırarak 0/0 belirsizliğini gidermeyi ve bir noktada sürekliliği sıfırdan sınav düzeyine kadar öğren.

12. sınıf
AYT sıklığı
80 dk

LevhaLimit ve SüreklilikLimit ve Süreklilik

$f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ fonksiyonunda $x = 1$ yazınca $\dfrac{0}{0}$ (tanımsız) çıkar.

Ama $x$ , $1$ ‘e yaklaştıkça değerler $2$ ‘ye yaklaşır ( $x=0{,}999 \implies 1{,}999$ ). Limitin temel sorusu: O noktadaki değer değil, yaklaşırken nereye gittiğidir.

Isınma

Başlamadan: üç kısa soru

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Limit için çarpanlara ayırma ve fonksiyon hesabı gerekir:

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

x^2 - x - 6

ifadesinin çarpanlara ayrılmış biçimi hangisidir?

Açıklama

Çarpımları $-6$ , toplamları $-1$ olan sayılar $-3$ ve $2$ ‘dir: $(x - 3)(x + 2)$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

$f(x) = \begin{cases} x + 4, & x < 2 \\ x^2, & x \ge 2 \end{cases}$ fonksiyonu için $f(2)$ kaçtır?

Açıklama

$x = 2 \ge 2$ olduğundan alt satır kullanılır: $f(2) = 2^2 = 4$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

x^3 - 8

ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Açıklama

İki küp farkı: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ . Burada $a = x, b = 2$ .

Temel

Limit: yaklaşırken gidilen değer

Yaklaşmak Ne Demek?

Limit, fonksiyonun o noktada ne olduğuna değil, o noktaya sağdan ve soldan yaklaşırken vardığı hedefe bakar.

$x$	$0{,}9$	$0{,}99$	$0{,}999$	$1$	$1{,}001$	$1{,}01$	$1{,}1$
$f(x)$	$1{,}9$	$1{,}99$	$1{,}999$	tanımsız	$2{,}001$	$2{,}01$	$2{,}1$

$x \to 1$ iken $f(x) \to 2$ olur. Noktada delik (tanımsızlık) olsa bile limit $2$ ‘dir.

Grafikte

x = 1

noktasında delik var; iki koldan gelen değerler aynı hedefe,

2

'ye varıyor.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

$x \to 3$ için soldan $6{,}999$ , sağdan $7{,}001$ ölçülüyor ve $f(3) = 10$ veriliyor. Buna göre $\lim_{x \to 3} f(x)$ kaçtır?

Açıklama

İki taraftan da varılan hedef $7$ ‘dir. Noktadaki değerin $f(3) = 10$ olması limiti değiştirmez.

Soldan ve Sağdan Limit

Soldan Limit: $x \to a^-$ ( $a$ ‘dan küçük değerlerle yaklaşım).
Sağdan Limit: $x \to a^+$ ( $a$ ‘dan büyük değerlerle yaklaşım).
Her iki yön de aynı sayıya varıyorsa limit vardır.

Soldan limit 2, sağdan limit 4: kollar farklı yüksekliklere gittiği için limit yoktur.

Örnek

kolay

Grafikten limit okuma

Grafiği verilen $f$ fonksiyonu için $\lim_{x \to 1} f(x)$ , $f(1)$ , $\lim_{x \to 3^-} f(x)$ ve $\lim_{x \to 3^+} f(x)$ değerlerini bul. $\lim_{x \to 3} f(x)$ var mıdır?

İçi boş nokta: yaklaşılan limit değeri. Dolu nokta: fonksiyonun o andaki değeri.

$x = 1$ için iki kol da $(1, 3)$ boşluğunda buluşur: $\lim_{x \to 1} f(x) = 3$ .

Nokta değeri dolu dairedir: $f(1) = 1$ .

$x = 3$ için:

Soldan: $\lim_{x \to 3^-} f(x) = 1$
Sağdan: $\lim_{x \to 3^+} f(x) = 2$

$1 \neq 2$ olduğundan $x = 3$ ‘te limit yoktur.

Sonuç

$\lim_{x \to 1} f(x) = 3$ , $f(1) = 1$ , $\lim_{x \to 3^-} f(x) = 1$ , $\lim_{x \to 3^+} f(x) = 2$ ; $\lim_{x \to 3} f(x)$ yoktur.

Örnek

kolay

Parçalı fonksiyonda limit

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x < 2 \\ 7 - x, & x \ge 2 \end{cases}$ fonksiyonu için $\lim_{x \to 2} f(x)$ kaçtır?

Soldan limit ( $x < 2$ ): $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2^2 + 1 = 5$

Sağdan limit ( $x > 2$ ): $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 7 - 2 = 5$

Soldan limit $=$ Sağdan limit $= 5$ .

Sonuç

$\lim_{x \to 2} f(x) = 5$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

$f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x < 1 \\ 5 - x, & x \ge 1 \end{cases}$ için $\lim_{x \to 1} f(x)$ hangisidir?

Açıklama

Soldan: $2(1) + 1 = 3$ . Sağdan: $5 - 1 = 4$ . $3 \neq 4$ olduğundan limit yoktur.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

$f(x) = \dfrac{|x - 2|}{x - 2}$ için $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ kaçtır?

Açıklama

$x < 2 \implies x - 2 < 0 \implies |x - 2| = -(x - 2)$ . Oran: $\dfrac{-(x - 2)}{x - 2} = -1$ .

Orta

Limit kuralları, 0/0 belirsizliği ve süreklilik

Limit Kuralları

Limit işlemleri dört işlemle doğrudan dağılır.

Örnek

orta

Yerine koyarak: logaritma, üstel ve kök bir arada

$\lim_{x \to 1} \left( \log_2 (x + 7) + 3^x - \sqrt{5x + 4} \right)$ limitini hesapla.

$x = 1$ her bir fonksiyonun tanım kümesindedir:

$\log_2 (1 + 7) = \log_2 8 = 3$
$3^1 = 3$
$\sqrt{5(1) + 4} = \sqrt{9} = 3$

Doğrudan yerine koyma kuralı uygulanır: $3 + 3 - 3 = 3$

Sonuç

$3$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \left( 2\sin x + \cos 2x \right)

limitinin değeri kaçtır?

Açıklama

$2\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) + \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 2\left(\dfrac{1}{2}\right) + \dfrac{1}{2} = 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$ .

0/0 Belirsizliği: Çarpanlara Ayır ve Sadeleştir

Yerine koyunca $\dfrac{0}{0}$ çıkarsa pay ve paydada $(x - a)$ ortak çarpanı vardır.

$\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$

$x \neq 2$ için sadeleşme yapılır; limit yaklaşım değerini bulur.

Örnek

orta

Pay ve paydayı çarpanlara ayırma

$\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - x - 6}{x^2 - 9}$ limitini bul.

$x = 3 \implies \dfrac{0}{0}$ belirsizliği var.

Çarpanlara ayır: $\dfrac{x^2 - x - 6}{x^2 - 9} = \dfrac{(x - 3)(x + 2)}{(x - 3)(x + 3)}$

$(x - 3)$ terimlerini sadeleştir ve $x = 3$ yaz: $\lim_{x \to 3} \dfrac{x + 2}{x + 3} = \dfrac{3 + 2}{3 + 3} = \dfrac{5}{6}$

Sonuç

$\dfrac{5}{6}$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\lim_{x \to -1} \dfrac{x^2 + 3x + 2}{x + 1}

kaçtır?

Açıklama

$\dfrac{(x + 1)(x + 2)}{x + 1} = x + 2 \implies -1 + 2 = 1$ .

Örnek

orta

Köklü ifadede gizli çarpan

$\lim_{x \to 4} \dfrac{x - 4}{\sqrt{x} - 2}$ limitini hesapla.

$x = 4 \implies \dfrac{0}{0}$ belirsizliği var.

Payı iki kare farkı olarak aç: $x - 4 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)$

$(\sqrt{x} - 2)$ çarpanlarını sadeleştirip $x = 4$ yaz: $\lim_{x \to 4} (\sqrt{x} + 2) = \sqrt{4} + 2 = 4$

Sonuç

$4$

Örnek

orta

Limit varsa pay da sıfırdır

$a, L \in \mathbb{R}$ olmak üzere $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 + ax - 6}{x - 2} = L$ ise $a + L$ kaçtır?

Payda $x = 2$ ‘de sıfır olduğuna göre pay da sıfır olmalıdır: $2^2 + 2a - 6 = 0 \implies 2a = 2 \implies a = 1$

Payı çarpanlarına ayır: $x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)$

$(x - 2)$ sadeleşir: $L = \lim_{x \to 2} (x + 3) = 2 + 3 = 5$

Sonuç

$a + L = 1 + 5 = 6$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - k}{x - 3} = L \in \mathbb{R}

olduğuna göre

k

kaçtır?

Açıklama

Payda sıfır iken limit gerçel sayı ise pay da sıfırdır: $3^2 - k = 0 \implies k = 9$ .

Süreklilik

Grafiği kalemi kaldırmadan kesintisiz çizebiliyorsan fonksiyon süreklidir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Yukarıdaki grafikte

f

fonksiyonu hangi noktalarda süreksizdir?

Açıklama

$x = 1$ ‘de limit $\neq$ değer (delik). $x = 3$ ‘te sol limit $\neq$ sağ limit (sıçrama). İkisinde de süreksizdir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}, & x \neq 2 \\ k, & x = 2 \end{cases}$ $x = 2$ ‘de sürekli ise $k$ kaçtır?

Açıklama

$\lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$ . Süreklilik için $f(2) = k = 4$ olmalıdır.

Parçalı fonksiyonun sürekli olması için geçiş noktasındaki sol parça ile sağ parça aynı yükseklikte birleşmelidir.

Uçlar buluştuğunda: Soldan limit = Sağdan limit = Fonksiyon değeri sağlanır.

Örnek

orta

Kargo ücreti: tarifede sıçrama olmasın

$f(x) = \begin{cases} 20 + 4x, & 0 < x \le 5 \\ ax + 10, & x > 5 \end{cases}$ fonksiyonu sürekli ise $8$ kg paketin ücreti kaç TL’dir?

Geçiş noktası $x = 5$ ‘tir. Süreklilik için sol ve sağ parçalar $x = 5$ ‘te eşitlenmelidir: $20 + 4(5) = a(5) + 10$

$40 = 5a + 10 \implies 5a = 30 \implies a = 6$ .

$x > 5$ tarifesi: $f(x) = 6x + 10$ . $f(8) = 6(8) + 10 = 48 + 10 = 58 \text{ TL}$

Sonuç

$f(8) = 58$ TL

Sahnede dene

Sürgüyü kaydırıp sıçramayı kapat. Sıçrama sıfırlandığında soldan limit, sağdan limit ve $f(a)$ eşitlenir.

İleri

Sınav düzeyi: birleşik sorular ve tuzaklar

Geçiş Noktası da Bilinmiyorsa

Örnek

zor

Üç parça, iki bilinmeyen geçiş noktası

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 2, & x \le a \\ 3x + 2, & a < x \le b \\ 8, & x > b \end{cases}$ fonksiyonu $\mathbb{R}$ ‘de sürekli ise $a + b$ kaçtır?

$x = b$ geçiş noktasında eşitle: $3b + 2 = 8 \implies 3b = 6 \implies b = 2$

$x = a$ geçiş noktasında eşitle: $a^2 - 2 = 3a + 2 \implies a^2 - 3a - 4 = 0 \implies (a - 4)(a + 1) = 0$ Buradan $a = 4$ veya $a = -1$ .

Aralık tanımı $a < x \le b \implies a < b = 2$ gerektirir. Dolayısıyla $a = 4$ elenir, $a = -1$ alınır.

Sonuç

$a + b = -1 + 2 = 1$

Üstel ve Trigonometrik Belirsizlikler

Örnek

zor

Üstel ifadede iki kare farkı

$\lim_{x \to 0} \dfrac{4^x - 1}{2^x - 1}$ limitini bul.

$x = 0 \implies \dfrac{1 - 1}{1 - 1} = \dfrac{0}{0}$ belirsizliği.

$4^x = (2^x)^2$ özdeşliğini kullan: $\dfrac{4^x - 1}{2^x - 1} = \dfrac{(2^x - 1)(2^x + 1)}{2^x - 1} = 2^x + 1$

$x = 0$ yaz: $2^0 + 1 = 1 + 1 = 2$

Sonuç

$2$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos^2 x}{1 - \sin x}

kaçtır?

Açıklama

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = (1 - \sin x)(1 + \sin x)$ . Sadeleşince: $1 + \sin x \implies 1 + 1 = 2$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\lim_{x \to 1} f(x) = 0

\lim_{x \to 1} g(x) = 0

ise

\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{g(x)}

için ne söylenebilir?

Açıklama

Pay ve payda sıfıra gidiyorsa belirsizlik vardır; fonksiyonların kuralları bilinmeden limit belirlenemez.

Uygulama: Su Deposu

Örnek

zor

Depodaki su seviyesi sıçramaz

$h(t) = \begin{cases} \dfrac{t^2}{2}, & 0 \le t \le 4 \\ at + b, & t > 4 \end{cases}$ fonksiyonu sürekli olup $h(10) = 26$ ise $h(7)$ kaçtır?

$t = 4$ ‘te süreklilik: $\dfrac{4^2}{2} = 4a + b \implies 4a + b = 8$

$h(10) = 26 \implies 10a + b = 26$ . İki denklemi çıkar: $6a = 18 \implies a = 3, b = -4$ .

$t > 4$ için $h(t) = 3t - 4$ : $h(7) = 3(7) - 4 = 17 \text{ cm}$

Sonuç

$17$ cm

Sürekli Grafik Doğruyu Kesmeden Geçemez

Sürekli bir grafik kopmadan ilerler. Bir doğrunun üstündeyken altına inebilmesi için doğruyu en az bir noktada kesmesi şarttır.

f(0) = 3

ile doğrunun üstünde başlayan sürekli eğri, kesmeden alt tarafa geçemez.

Örnek

zor

Hiç kesmiyorsa hep aynı yanda

Sürekli $f(x)$ her $x$ için $f(x) \neq 2x$ koşulunu sağlıyor. $f(0) = 3$ ise $f(5)$ hakkında ne söylenir?

$u(x) = f(x) - 2x$ fonksiyonu süreklidir ve hiç sıfır olmaz.

$u(0) = f(0) - 0 = 3 > 0$ olduğundan fonksiyon daima pozitif kalmalıdır.

Her $x$ için $f(x) > 2x$ olmalıdır. $x = 5$ için $f(5) > 10$ .

Sonuç

$f(5) > 10$

Sahnede dene

Eğriyi doğrunun altına çekmeye çalış. Kesmeden geçmenin imkânsız olduğunu sahnede incele.

Özet

Özet: Limit ve Süreklilik

Limit: Noktadaki değer değil; sağdan ve soldan yaklaşırken varılan hedeftir: $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L$ .
Yerine Koyma: Tanımlı her noktada limit doğrudan $f(a)$ ‘dır.
$\dfrac{0}{0}$ Belirsizliği: Pay ve paydayı çarpanlara ayır, $(x - a)$ ‘yı sadeleştir, sonra yerine koy.
Payda 0 İken Limit Varsa: Pay da sıfır olmak zorundadır.
Süreklilik: $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$ (Sol = Sağ = Değer).

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

11 çıkmış soru6 özgün soru

2026 AYTSoru 19

Orta

Limit özellikleri ve parametre

$a$ , $b$ ve $c$ pozitif gerçel sayılardır. $f(x) = ax^2 + 2$ ve $g(x) = (x - b)(x - c)$ fonksiyonları için

$\lim_{x \to a} (f \cdot g)(x) = 0$

$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - 10}{g(x)} = -2$

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre $a + b + c$ toplamı kaçtır?

İpucu

İlk eşitlikte polinomun limiti yerine koyarak bulunur; hangi çarpan sıfır olabilir? İkinci eşitlikte payda sıfıra gidiyorsa pay için ne gerekir?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 32)

Çözüm

$f \cdot g$ bir polinomdur; limiti yerine koyarak bulunur:

$f(a) \cdot g(a) = (a^3 + 2)(a - b)(a - c) = 0$

$a > 0$ olduğundan $a^3 + 2 \neq 0$ . Öyleyse $g(a) = 0$ , yani $a = b$ ya da $a = c$ . $g$ 'de $b$ ile $c$ yer değiştirebildiği için $a = b$ alalım.

İkinci limitte payda $g(x) \to g(a) = 0$ . Limit bir gerçel sayı ( $-2$ ) olduğundan pay da sıfıra gitmelidir:

$f(a) - 10 = a^3 + 2 - 10 = 0 \Rightarrow a^3 = 8 \Rightarrow a = 2$

Demek ki $b = 2$ , $f(x) = 2x^2 + 2$ ve $g(x) = (x - 2)(x - c)$ . Çarpanlara ayır:

$\frac{2x^2 - 8}{(x - 2)(x - c)} = \frac{2(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x - c)} = \frac{2(x + 2)}{x - c}$

$x \to 2$ için limit $\dfrac{8}{2 - c} = -2$ ; buradan $2 - c = -4$ , $c = 6$ .

$a + b + c = 2 + 2 + 6 = 10$ . Cevap: C

Cevap: C

2026 AYTSoru 20

Zor

Sürekli fonksiyonun işareti

Gerçel sayılarda tanımlı ve sürekli $f$ ve $g$ fonksiyonları, her $x$ değeri için

$f(x) \neq x \qquad \text{ve} \qquad g(x) \neq -x$

koşullarını sağlıyor. Ayrıca $f(-1) = g(-1) = 0$ olduğu biliniyor.

Buna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

İpucu

$f(x) \neq x$ koşulu, $f$ 'nin grafiğinin $y = x$ doğrusunu hiç kesmediğini söyler. Sürekli bir grafik, kesmediği bir doğrunun öbür yanına geçebilir mi? $x = -1$ 'de grafik doğrunun hangi yanında?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 32)

Çözüm

$f$ için: $u(x) = f(x) - x$ fonksiyonu süreklidir ve hiç sıfır olmaz. Sürekli bir fonksiyonun grafiği kopmadığı için sıfırdan geçmeden işaret değiştiremez; $u$ hep aynı işaretlidir.

$u(-1) = f(-1) - (-1) = 0 + 1 = 1 > 0$ . Öyleyse her $x$ için $f(x) > x$ ; grafik $y = x$ doğrusunun hep üstündedir. $x = 1$ için $f(1) > 1 > 0$ .

$g$ için: $v(x) = g(x) + x$ de süreklidir ve hiç sıfır olmaz.

$v(-1) = g(-1) + (-1) = -1 < 0$ . Öyleyse her $x$ için $g(x) < -x$ ; grafik $y = -x$ doğrusunun hep altındadır. $x = 1$ için $g(1) < -1 < 0$ .

Sonuç: $g(1) < 0 < f(1)$ . Cevap: D

Cevap: D

2025 AYTSoru 19

Zor

Limitin var olma koşulu

$a$ sıfırdan farklı bir gerçel sayı, $b$ ve $c$ gerçel sayılardır. Gerçel sayılar kümesinde $f(x) = ax + b$ kuralıyla tanımlanan $f$ fonksiyonu ve onun tersi olan $f^{-1}$ fonksiyonu için

$\lim_{x \to b} \frac{f(x)}{f^{-1}(x)} = c \qquad \text{ve} \qquad f(1) = 3$

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre $c$ sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

İpucu

Önce $f^{-1}(x)$ kuralını yaz ve $x \to b$ iken paydanın nereye gittiğine bak. Limit bir gerçel sayıysa pay için ne gerekir? İki ayrı durum çıkacak.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 31)

Çözüm

$y = ax + b$ eşitliğinden $x = \dfrac{y - b}{a}$ , yani $f^{-1}(x) = \dfrac{x - b}{a}$ .

$x \to b$ iken payda $f^{-1}(x) \to 0$ olur. Limit bir gerçel sayı ( $c$ ) olduğundan pay da sıfıra gitmelidir:

$f(b) = ab + b = b(a + 1) = 0 \Rightarrow b = 0 \ \text{ya da} \ a = -1$

Ayrıca $f(1) = a + b = 3$ .

Durum 1: $b = 0$ ise $a = 3$ . $f(x) = 3x$ , $f^{-1}(x) = \dfrac{x}{3}$ ; $x \neq 0$ için oran $\dfrac{3x}{x/3} = 9$ olduğundan $c = 9$ .

Durum 2: $a = -1$ ise $b = 4$ . $f(x) = 4 - x$ , $f^{-1}(x) = 4 - x$ ; $x \neq 4$ için oran $1$ olduğundan $c = 1$ .

$c$ 'nin alabileceği değerlerin toplamı $9 + 1 = 10$ . Tuzak: yalnızca $b = 0$ durumunu görüp ikinci durumu atlamak. Cevap: C

Cevap: C

2024 AYTSoru 17

Orta

Köklü ifadede limit

$\lim_{x \to 1} \frac{\left(1 - \sqrt{x}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x} - 2\right)}{-x^2 + 9x - 8}$

Yukarıdaki limitin değeri kaçtır?

İpucu

Paydayı çarpanlarına ayırınca $(x - 1)$ çıkar. Payda sıfır olan çarpan hangisi? $x - 1$ ifadesini $\sqrt{x}$ cinsinden iki kare farkı olarak yaz.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 30)

Çözüm

$x = 1$ için pay $(1 - 1) \cdot (1 - 2) = 0$ , payda $-1 + 9 - 8 = 0$ : belirsizlik var.

Payda: $-x^2 + 9x - 8 = -(x^2 - 9x + 8) = -(x - 1)(x - 8)$ .

Pay: sıfır olan çarpan $1 - \sqrt{x}$ 'tir; küp köklü çarpan $x = 1$ 'de $-1$ olur, ona dokunmaya gerek yok. $x - 1$ ifadesini iki kare farkı olarak yaz: $x - 1 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)$ .

Paydada yerine yaz ve $1 - \sqrt{x} = -(\sqrt{x} - 1)$ olduğunu kullan:

$\frac{-(\sqrt{x} - 1) \cdot (\sqrt[3]{x} - 2)}{-(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)(x - 8)} = \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{(\sqrt{x} + 1)(x - 8)}$

Artık yerine koyabiliriz: $\dfrac{1 - 2}{(1 + 1) \cdot (1 - 8)} = \dfrac{-1}{-14} = \dfrac{1}{14}$ . Cevap: D

Cevap: D

2024 AYTSoru 18

Orta

Grafik ve süreklilik

Dik koordinat düzleminde bir $f$ fonksiyonunun grafiği şekildeki gibidir.

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir $g$ fonksiyonunun, tanımlı olduğu her noktada limiti vardır ve $\lim\limits_{x \to 3} g(x) = 14$ bulunmuştur.

$f \cdot g$ fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde sürekli olduğuna göre $g(3)$ kaçtır?

İpucu

Grafikten iki ayrı şey oku: $x = 3$ 'e yaklaşırken $f$ 'nin gittiği değer (içi boş nokta) ve $f(3)$ (dolu nokta). Sonra süreklilik tanımını $f \cdot g$ için $x = 3$ 'te yaz.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 30)

Çözüm

Grafikten: $x = 3$ 'e iki yandan gelen kollar içi boş noktaya ulaşır, yani $\lim\limits_{x \to 3} f(x) = 4$ . Dolu nokta ise $f(3) = 7$ olduğunu gösterir.

$f \cdot g$ fonksiyonu $x = 3$ 'te sürekli olduğundan limiti değerine eşittir:

$\lim_{x \to 3} \bigl(f(x) \cdot g(x)\bigr) = f(3) \cdot g(3)$

Sol taraf: iki limit de var olduğundan çarpım kuralı uygulanır, $4 \cdot 14 = 56$ .

Sağ taraf: $7 \cdot g(3)$ .

$7 \cdot g(3) = 56$ eşitliğinden $g(3) = 8$ . Tuzak: $g(3) = 14$ sanmak; $g$ 'nin sürekli olduğu söylenmedi. Cevap: C

Cevap: C

2022 AYTSoru 18

Orta

Limitin var olma koşulu

$a$ , $b$ ve $c$ gerçel sayılardır. Gerçel sayılar kümesinin birer alt kümesinde tanımlı $f$ ve $g$ fonksiyonlarının kuralları şöyledir:

$f(x) = \frac{x^2 - 7x + 10}{x - a} \qquad g(x) = 3^x$

Bu fonksiyonlar için

$\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to b} g(x) = c$

eşitliği sağlanıyor.

Buna göre $a + b + c$ toplamı kaçtır?

İpucu

$x \to a$ iken payda sıfıra gidiyor ama limit bir gerçel sayı. Pay için bu ne anlama gelir? Çıkan iki durumdan birini $3^x$ 'in işareti eler.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 30)

Çözüm

$x \to a$ iken payda sıfıra gider. Limit bir gerçel sayı ( $c$ ) olduğundan pay da sıfıra gitmelidir:

$a^2 - 7a + 10 = 0 \Rightarrow (a - 2)(a - 5) = 0$

Pay $x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5)$ biçiminde ayrılır.

$a = 2$ ise $f(x) = x - 5$ (sadeleşince) ve limit $2 - 5 = -3$ .
$a = 5$ ise $f(x) = x - 2$ ve limit $5 - 2 = 3$ .

Öte yandan $c = \lim\limits_{x \to b} 3^x = 3^b$ her zaman pozitiftir; $c = -3$ olamaz. Öyleyse $a = 5$ , $c = 3$ ve $3^b = 3$ eşitliğinden $b = 1$ .

$a + b + c = 5 + 1 + 3 = 9$ . Cevap: D

Cevap: D

2021 AYTSoru 17

Orta

Logaritmik ifadede limit

$1$ 'den büyük gerçel sayılar kümesinde tanımlı $f$ fonksiyonunun kuralı

$f(x) = 3\ln(x^2 - 1) + 2\ln(x^3 - 1) - 5\ln(x - 1)$

olarak veriliyor.

Buna göre $\lim\limits_{x \to 1^+} e^{f(x)}$ limitinin değeri kaçtır?

İpucu

Logaritma özellikleriyle $f(x)$ 'i tek bir $\ln$ içinde topla; $e^{\ln A} = A$ olduğunu kullan. Sonra $x^2 - 1$ ve $x^3 - 1$ ifadelerini çarpanlarına ayır.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 30)

Çözüm

Katsayıları üs olarak içeri al ve logaritmaları birleştir:

$f(x) = \ln \frac{(x^2 - 1)^3 \cdot (x^3 - 1)^2}{(x - 1)^5}$

$e^{\ln A} = A$ olduğundan

$e^{f(x)} = \frac{(x^2 - 1)^3 \cdot (x^3 - 1)^2}{(x - 1)^5}$

$x \to 1^+$ için pay da payda da sıfıra gider; çarpanlara ayır: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ ve $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$ .

Payda $(x - 1)^3 \cdot (x - 1)^2 = (x - 1)^5$ çarpanı oluşur ve paydayla sadeleşir:

$e^{f(x)} = (x + 1)^3 \cdot (x^2 + x + 1)^2$

Yerine koy: $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$ . Cevap: E

Cevap: E

2021 AYTSoru 18

Orta

Parçalı fonksiyonda süreklilik

$a$ ve $b$ gerçel sayılardır. Gerçel sayılar kümesinde sürekli olan $f$ fonksiyonunun kuralı şöyledir:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 4, & x \le a \\ 5x - 8, & a < x \le b \\ 7, & x > b \end{cases}$

Buna göre $a + b$ toplamı kaçtır?

İpucu

Önce tek bilinmeyenli geçiş noktasını çöz. Diğer noktada iki kök çıkarsa orta parçanın aralığına ( $a < x \le b$ ) bak.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 30)

Çözüm

Parçalar polinom olduğundan süreklilik $x = a$ ve $x = b$ noktalarında denetlenir.

$x = b$ : $5b - 8 = 7$ , yani $b = 3$ .

$x = a$ : $a^2 - 4 = 5a - 8$ , yani $a^2 - 5a + 4 = 0$ . Çarpanlara ayır: $(a - 1)(a - 4) = 0$ ; $a = 1$ ya da $a = 4$ .

Orta parça $a < x \le b$ aralığında tanımlıdır; bunun için $a < b = 3$ olmalı. $a = 4$ bu koşulu sağlamaz, $a = 1$ sağlar.

$a + b = 1 + 3 = 4$ . Tuzak: $a = 4$ alınırsa $7$ bulunur ve o da seçeneklerde vardır. Cevap: A

Cevap: A

2019 AYTSoru 21

Kolay

Çarpanlara ayırarak limit

Gerçel sayılar kümesinin bir alt kümesinde tanımlı $f$ fonksiyonunun kuralı

$f(x) = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 2} + \frac{x^2 - 6x + 9}{2x - 6}$

olarak veriliyor.

Buna göre $\lim\limits_{x \to 2} f(x) + \lim\limits_{x \to 3} f(x)$ toplamı kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 31)

Çözüm

İki pay da tam karedir: $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$ ve $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ . İkinci payda $2x - 6 = 2(x - 3)$ .

$x \neq 2$ ve $x \neq 3$ için sadeleştir:

$f(x) = (x - 2) + \frac{x - 3}{2}$

Limit, tanımsız noktanın kendisine bakmadığı için bu sade biçimden hesaplanır.

$\lim\limits_{x \to 2} f(x) = 0 + \dfrac{2 - 3}{2} = -\dfrac{1}{2}$
$\lim\limits_{x \to 3} f(x) = (3 - 2) + 0 = 1$

Toplam: $-\dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{1}{2}$ . Cevap: B

Cevap: B

2019 AYTSoru 22

Orta

Parçalı fonksiyonda süreklilik

$a$ bir gerçel sayıdır. Gerçel sayılar kümesinde tanımlı $f$ fonksiyonunun kuralı şöyledir:

$f(x) = \begin{cases} a - x, & x < 1 \\ 5x - 4, & 1 \le x \le 5 \\ (x - a)^2 + 12, & x > 5 \end{cases}$

$f$ fonksiyonunun sürekli olmadığı yalnızca bir nokta vardır.

Buna göre $f(7) - f(0)$ farkı kaçtır?

İpucu

Süreksizlik yalnızca geçiş noktalarında olabilir. Her geçiş noktası için "hangi $a$ değerlerinde sürekli?" sorusunu ayrı ayrı yanıtla, sonra tam birinin bozulduğu durumu seç.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 31)

Çözüm

Parçaların her biri polinomdur; süreksizlik yalnızca $x = 1$ ve $x = 5$ geçiş noktalarında olabilir.

$x = 1$ : soldan limit $a - 1$ , sağdan limit ve değer $5 \cdot 1 - 4 = 1$ . Sürekli olması için $a - 1 = 1$ , yani $a = 2$ gerekir.

$x = 5$ : soldan limit ve değer $5 \cdot 5 - 4 = 21$ , sağdan limit $(5 - a)^2 + 12$ . Sürekli olması için $(5 - a)^2 = 9$ , yani $a = 2$ ya da $a = 8$ gerekir.

Durumları karşılaştır:

$a = 2$ ise iki noktada da sürekli: süreksiz nokta kalmaz.
$a = 8$ ise $x = 5$ 'te sürekli, $x = 1$ 'de süreksiz: tam bir süreksiz nokta.
Diğer $a$ değerlerinde iki noktada da süreksiz.

Öyleyse $a = 8$ . $f(7) = (7 - 8)^2 + 12 = 13$ ve $f(0) = 8 - 0 = 8$ olduğundan fark $13 - 8 = 5$ 'tir. Cevap: C

Cevap: C

2018 AYTSoru 17

Orta

Limit özellikleri

$L$ bir gerçel sayıdır. Gerçel sayılar kümesinde tanımlı $f$ ve $g$ fonksiyonlarının $x = 2$ noktasındaki limitleri birbirine eşittir:

$\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} g(x) = L$

Bu bilgiye göre aşağıdaki ifadeler inceleniyor.

I. $f(2) = g(2)$

II. $\lim\limits_{x \to 2} \bigl(f(x) - g(x)\bigr) = 0$

III. $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 1$

Bu ifadelerden hangileri her zaman doğrudur?

İpucu

Her ifade için "bunu bozan bir örnek bulabilir miyim?" diye sor. Limitin, noktadaki değerle ilgisi var mı? Bölüm kuralının koşulu neydi?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 29)

Çözüm

I. Limit, fonksiyonun $x = 2$ 'deki değerine bakmaz. $f(x) = x$ ve $x \neq 2$ için $g(x) = x$ , $g(2) = 5$ alınırsa iki limit de $2$ 'dir ama $f(2) = 2 \neq 5 = g(2)$ . Her zaman doğru değil.

II. İki limit de var ve gerçel sayı olduğundan fark kuralı uygulanır: $\lim\limits_{x \to 2} \bigl(f(x) - g(x)\bigr) = L - L = 0$ . Her zaman doğru.

III. Bölüm kuralı paydanın limiti sıfır değilken geçerlidir. $L = 0$ olabilir: $f(x) = 2(x - 2)$ , $g(x) = x - 2$ için iki limit de $0$ 'dır ama oran $x \neq 2$ iken $2$ olduğundan limiti $2$ 'dir. Her zaman doğru değil.

Tuzak, $L \neq 0$ varsayıp III'ü de doğru saymaktır. Her zaman doğru olan yalnız II'dir. Cevap: B

Cevap: B

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Grafikten limit okuma

Şekilde bir $f$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

Buna göre $\lim\limits_{x \to 0} f(x) + \lim\limits_{x \to 2^-} f(x) + f(2)$ toplamı kaçtır?

Çözüm

$x = 0$ 'a iki yandan gelen kollar $(0, 3)$ 'teki içi boş noktaya ulaşır: $\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 3$ . ( $f(0) = 1$ olması limiti değiştirmez.)
$x = 2$ 'ye soldan gelen kol $(2, 1)$ 'deki içi boş noktaya iner: $\lim\limits_{x \to 2^-} f(x) = 1$ .
$x = 2$ 'deki dolu nokta $(2, 3)$ 'tür: $f(2) = 3$ .

Toplam: $3 + 1 + 3 = 7$ . Limit yerine $f(0) = 1$ kullanan $5$ , soldan limit yerine sağdan limiti kullanan $9$ bulur. Cevap: C

Cevap: C

Özgün soru2

Kolay

Yerine koyarak limit

$\lim_{x \to 2} \left( \log_3 (x^2 + 5) + 2^{x - 1} - \sqrt{x + 7} \right)$

limitinin değeri kaçtır?

Çözüm

$x = 2$ için logaritmanın içi $9 > 0$ , kökün içi $9 \ge 0$ ; her terim tanımlıdır, yerine koyabiliriz.

$\log_3 9 = 2$ , $2^{2 - 1} = 2$ , $\sqrt{9} = 3$ .

$2 + 2 - 3 = 1$ . Cevap: B

Cevap: B

Özgün soru3

Orta

Soldan ve sağdan limit

$x \neq 2$ için $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{|x - 2|}$ fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre $\lim\limits_{x \to 2^+} f(x) - \lim\limits_{x \to 2^-} f(x)$ farkı kaçtır?

İpucu

Mutlak değeri $x > 2$ ve $x < 2$ için ayrı ayrı aç; pay iki kare farkıdır.

Çözüm

Pay: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ .

Sağdan ( $x > 2$ ): $|x - 2| = x - 2$ olduğundan $f(x) = x + 2$ ; limit $4$ .

Soldan ( $x < 2$ ): $|x - 2| = -(x - 2)$ olduğundan $f(x) = -(x + 2)$ ; limit $-4$ .

Fark: $4 - (-4) = 8$ . Mutlak değeri iki yanda da aynı açan $0$ bulur; çıkarma sırasını karıştıran $-8$ bulur. Cevap: E

Cevap: E

Özgün soru4

Orta

Trigonometrik ifadede limit

$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos 2x}{\cos x - \sin x}$

limitinin değeri kaçtır?

İpucu

$\cos 2x$ için içinde hem $\cos x$ hem $\sin x$ bulunan açılımı yaz; bir iki kare farkı göreceksin.

Çözüm

$x = \dfrac{\pi}{4}$ için pay $\cos \dfrac{\pi}{2} = 0$ , payda $\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 0$ : belirsizlik var.

$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$ .

$(\cos x - \sin x)$ çarpanı sadeleşir, geriye $\cos x + \sin x$ kalır.

Yerine koy: $\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ . Cevap: D

Cevap: D

Özgün soru5

Orta

Süreklilik ve bağlam

Bir otoparkta $t$ saat kalan aracın ödeyeceği ücret (TL) aşağıdaki fonksiyonla hesaplanıyor; $a$ ve $b$ gerçel sayılardır.

$f(t) = \begin{cases} 30, & 0 < t \le 2 \\ 30 + a(t - 2), & 2 < t \le 5 \\ b, & t > 5 \end{cases}$

Ücret fonksiyonu tanımlı olduğu her noktada süreklidir ve $4$ saat kalan araç $70$ TL ödemektedir.

Buna göre $a + b$ toplamı kaçtır?

İpucu

$t = 4$ hangi satıra düşer? $a$ 'yı oradan bul, sonra $t = 5$ 'te iki parçanın ucunu eşitle.

Çözüm

$t = 4$ değeri orta satıra düşer: $30 + a(4 - 2) = 70$ , yani $a = 20$ .

$t = 2$ 'de: soldan $30$ , sağdan $30 + a \cdot 0 = 30$ ; zaten sürekli.

$t = 5$ 'te süreklilik: soldan limit ve değer $30 + 20 \cdot 3 = 90$ , sağdan limit $b$ . Öyleyse $b = 90$ .

$a + b = 20 + 90 = 110$ . Cevap: C

Cevap: C

Özgün soru6

Zor

Limitin var olma koşulu

$a$ , $b$ ve $L$ gerçel sayılar olmak üzere

$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 + ax + b}{(x - 1)^2} = L$

eşitliği veriliyor.

Buna göre $a + b + L$ toplamı kaçtır?

İpucu

"Payda sıfıra gidiyorsa pay da sıfıra gider" fikrini iki kez kullanman gerekecek: bir kez sadeleştirdikten sonra paydada hâlâ $(x - 1)$ kalıyor.

Çözüm

$x \to 1$ iken payda sıfıra gider; limit gerçel sayı olduğundan pay da sıfıra gitmelidir: $1 + a + b = 0$ , yani $b = -1 - a$ .

Pay: $x^3 + ax - 1 - a = (x^3 - 1) + a(x - 1) = (x - 1)(x^2 + x + 1 + a)$ .

Bir $(x - 1)$ sadeleşir:

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x + 1 + a}{x - 1} = L$

Payda yine sıfıra gidiyor; pay yine sıfıra gitmeli: $1 + 1 + 1 + a = 0$ , yani $a = -3$ ve $b = 2$ .

Pay $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$ olur; sadeleşince $x + 2$ kalır ve $L = 3$ .

$a + b + L = -3 + 2 + 3 = 2$ . Cevap: D

Cevap: D