29Konu 29 / 49
Limit, Türev ve İntegral

Türev Kavramı:Anlık Değişim Oranı ve Teğet

Ortalama değişimden anlık değişime geçerek türevi keşfediyoruz; teğet eğimi, türevlenebilirlik ve grafikte türevsiz noktaları grafiklerle öğreniyoruz.

12. sınıf
AYT sıklığı
35 dk

LevhaTürev KavramıTürev Kavramı

$s(t) = t^2$ yolunu alan bir bilyenin $[1, 3]$ saniye aralığındaki ortalama hızı $\dfrac{9-1}{3-1} = 4$ m/sn’dir. Peki tam $t = 1$ anındaki hızı kaçtır? Geçen süre sıfıra yaklaşırken $\dfrac{0}{0}$ belirsizliği doğar. Bu anlık hızı bulmanın yolu türevdir.

Isınma

Başlamadan: eğim ve limit

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

(1, 2)

(3, 8)

noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?

Açıklama

Eğim: $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{8 - 2}{3 - 1} = 3$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}

limitinin değeri kaçtır?

Açıklama

$\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \implies 2+2 = 4$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

x < 1

için

f(x) = x + 1

x \geq 1

için

f(x) = 3

fonksiyonu

x = 1

‘de sürekli midir?

Açıklama

Soldan limit $2$ , sağdan limit $3$ . Eşit olmadıkları için fonksiyon $x = 1$ ‘de süreksizdir.

Temel

Ortalama değişimden anlık değişime

1. Ortalama Değişim Oranı = Kesenin Eğimi

İki nokta arasındaki ortalama artış hızıdır. Grafikte iki noktayı birleştiren kesen doğrusunun eğimine eşittir.

[1, 3]

aralığındaki ortalama hız,

A

B

noktalarından geçen kesenin eğimidir.

$y = x^2$ eğrisi üzerinde $A(1, 1)$ sabit, $B$ noktası $h$ kadar uzaktadır. Sürgüyle $h$ ‘yi değiştirerek kesen eğiminin $2 + h$ oluşunu izle.

Örnek

kolay

Ortalama değişim oranı

$f(x) = x^3$ fonksiyonunun $[-1, 2]$ aralığındaki ortalama değişim oranı kaçtır?

Uç değerleri hesapla: $f(2) = 8$ ve $f(-1) = -1$ .

Değişim oranını yaz: $\dfrac{f(2) - f(-1)}{2 - (-1)} = \dfrac{8 - (-1)}{3} = \dfrac{9}{3}$ .

Sonuç

Ortalama değişim oranı $3$ ‘tür.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(x) = x^2 + x

fonksiyonunun

[0, 2]

aralığındaki ortalama değişim oranı kaçtır?

Açıklama

$\dfrac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \dfrac{6 - 0}{2} = 3$ .

2. Anlık Değişim Oranı (Türev) = Teğetin Eğimi

$B$ noktası $A$ ‘ya doğru yaklaştıkça ( $h \to 0$ ), kesen doğrusu tek bir doğruya dönüşür: Teğet doğrusu.

B

noktası

A

'ya yaklaşırken (

h \to 0

) kesen teğete dönüşür.

$h$ sürgüsünü sıfıra yaklaştır. Kesen doğrusunun eğimi tam $2$ değerine yaklaşır ve teğetle çakışır.

Örnek

kolay

Türevi limit tanımıyla hesaplama

$f(x) = x^2$ için $f'(3)$ değerini limit tanımıyla bul.

Limit tanımını yaz: $f'(3) = \lim_{h \to 0} \dfrac{(3 + h)^2 - 3^2}{h}$ .

Payı sadeleştir: $(9 + 6h + h^2 - 9)/h = \dfrac{h(6 + h)}{h} = 6 + h$ .

$h \to 0$ limitini al: $6 + 0 = 6$ .

Sonuç

$f'(3) = 6$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(x) = 3x + 1

doğrusunun

x = 2

noktasındaki türevi kaçtır?

Açıklama

Doğrunun her noktadaki türevi kendi eğimidir: $(3x + 1)' = 3$ .

3. Teğet Doğrusunun Denklemi

y = x^2

eğrisinin

A(-1, 1)

noktasındaki teğeti (

m = -2

Parabol üzerindeki noktayı sürükle: teğetin eğiminin tepede sıfır, solda negatif, sağda pozitif olduğunu gör.

Örnek

kolay

Teğet denklemi kurma

$y = x^2$ eğrisine $x = -1$ noktasından çizilen teğetin denklemini yaz.

Noktayı bul: $x = -1 \implies y = (-1)^2 = 1 \implies A(-1, 1)$ .

Eğimi bul: $f'(x) = 2x \implies m = f'(-1) = -2$ .

Denklemde yerine koy: $y - 1 = -2(x - (-1)) \implies y = -2x - 1$ .

Sonuç

Teğet denklemi $y = -2x - 1$ ‘dir.

Orta

Türev alma kuralı ve türevlenebilirlik

1. Temel Türev Kuralı (Kuvvet Kuralı)

Üs başa katsayı olarak iner ve derecesi $1$ azalır:

$f(x) = x^2$ eğrisinde her noktadaki teğet eğiminin $y = 2x$ doğrusunu oluşturduğunu izle.

Örnek

orta

Negatif ve kesirli üs türevi

$f(x) = \dfrac{8}{\sqrt{x}}$ fonksiyonu için $f'(4)$ kaçtır?

Üslü biçime çevir: $f(x) = 8x^{-\frac{1}{2}}$ .

Türev al: $f'(x) = 8 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)x^{-\frac{3}{2}} = -4x^{-\frac{3}{2}}$ .

$x = 4$ yaz: $4^{-\frac{3}{2}} = \dfrac{1}{(\sqrt{4})^3} = \dfrac{1}{8} \implies f'(4) = -4 \cdot \dfrac{1}{8} = -\dfrac{1}{2}$ .

Sonuç

$f'(4) = -\dfrac{1}{2}$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(x) = \pi^2

fonksiyonunun türevi kaçtır?

Açıklama

$\pi^2$ sabit bir sayıdır; sabitin türevi daima $0$ ‘dır.

2. Fiziksel Yorum: Anlık Hız

Konum fonksiyonu: $s(t)$
Hız fonksiyonu: $v(t) = s'(t)$ (konumun zamana göre türevi)

Örnek

orta

Konumdan anlık hıza

Düşen bir cismin konumu $s(t) = 5t^2$ metredir. Cismin ilk $2$ saniyedeki ortalama hızını ve tam $t = 2$ anındaki anlık hızını bul.

Ortalama hız: $\dfrac{s(2) - s(0)}{2 - 0} = \dfrac{20 - 0}{2} = 10$ m/sn.

Anlık hız için türev al: $v(t) = s'(t) = 10t$ .

$t = 2$ anındaki hız: $v(2) = 10 \cdot 2 = 20$ m/sn.

Sonuç

Ortalama hız $10$ m/sn, anlık hız $20$ m/sn’dir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Karenin alanı

A(x) = x^2

‘dir.

x = 5

iken alanın kenara göre anlık değişim oranı kaçtır?

Açıklama

$A'(x) = 2x \implies A'(5) = 10$ .

3. Soldan ve Sağdan Türev

Bir noktada türevin olması için grafiğin o noktada tek ve net bir teğeti olmalıdır.

f(x) = |x - 2|

: Sivri köşede soldan eğim

-1

, sağdan eğim

+1

. Türev yoktur!

$f(x) = |x - 2|$ köşesinde soldan ve sağdan teğetlerin farklı yönlere baktığını gör.

Örnek

orta

Köşe noktasında türev

$f(x) = |x - 2|$ fonksiyonunun $x = 2$ noktasında türevi var mıdır?

Soldan türev ( $x < 2$ ): $f(x) = -(x-2) \implies f'(2^-) = -1$ .

Sağdan türev ( $x > 2$ ): $f(x) = x-2 \implies f'(2^+) = 1$ .

$-1 \neq 1$ olduğundan sağ ve sol türevler eşit değildir.

Sonuç

$x = 2$ noktasında türev yoktur.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(x) = |x|

için soldan türev

f'(0^-)

kaçtır?

Açıklama

$x < 0$ için $|x| = -x$ doğrusunun eğimi $-1$ ‘dir.

4. Türevlenebilirlik ve Grafikte Türevsiz Noktalar

Grafikte türevin olmadığı 3 durum:

Süreksizlik: Grafik kopuksa veya nokta boşsa türev YOKTUR.
Sivri Köşe: Soldan ve sağdan eğimler farklıdır, türev YOKTUR.
Düşey Teğet: Eğim sonsuza gider ( $\infty$ ), türev YOKTUR.

Türevin olmadığı üç durum: köşe, sıçrama ve düşey teğet.

Üç grafiğe yaklaş: köşe ne kadar büyütürsen büyüt kırık kalır; pürüzsüz teğet oluşmaz.

Örnek

orta

Grafikten türevsiz noktaları okuma

Aşağıdaki grafikte fonksiyon hangi noktalarda türevli değildir?

Süreksiz noktalar: $x = 0$ (nokta kopuk) ve $x = 2$ (sıçrama var). Burada türev yoktur.

Sivri köşe noktaları: $x = -2$ noktasında grafik keskin kırılmıştır. Süreklidir ama türev yoktur.

$x = 4$ noktasında çukur yumuşaktır; yatay teğet vardır ve türev $0$ ‘dır.

Sonuç

$x = -2, 0, 2$ olmak üzere $3$ noktada türev yoktur.

İleri

Sınav düzeyi kalıplar ve tuzaklar

1. Parçalı Fonksiyonlarda Parametre Bulma

Kritik noktada türevli olmak 2 şart gerektirir:

Süreklilik: Soldan değer = Sağdan değer
Pürüzsüz Geçiş: Soldan türev = Sağdan türev

$x \leq 1$ için $x^2$ parabolü ile $x > 1$ için $ax+b$ doğrusunu önce $b$ ile birleştir (süreklilik), sonra $a$ ile teğet yap (türev).

Örnek

zor

Parçalı fonksiyonda türevlilik

$x \leq 2$ için $f(x) = ax^2$ ve $x > 2$ için $f(x) = 4x + b$ fonksiyonu her $x \in \mathbb{R}$ için türevlidir. $a + b$ kaçtır?

1. Türev eşitliği: $(ax^2)' = 2ax \implies x = 2$ ‘de $4a$ . Sağ parça türevi: $4$ . Buradan $4a = 4 \implies a = 1$ .

2. Süreklilik: $x = 2$ için sol değer $a(2)^2 = 4a = 4$ . Sağ değer $4(2) + b = 8 + b$ .

Eşitle: $4 = 8 + b \implies b = -4$ .

Sonuç

$a + b = 1 + (-4) = -3$

2. Türev Tanımına Benzeyen Limitler

Limit görünce hemen çarpanlara ayırmaya çalışma; kalıbı tanı:

$\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a + kh) - f(a)}{h} = k \cdot f'(a)$

Örnek

zor

Teğet bilgisinden limit hesaplama

$f$ eğrisine $x = 3$ ‘te çizilen teğet $y = 2x - 1$ ‘dir. $\lim_{x \to 3} \dfrac{f(x) - 5}{x^2 - 9}$ kaçtır?

Teğetten iki bilgi çıkar: Değme noktası $f(3) = 2(3) - 1 = 5$ ve eğim $f'(3) = 2$ .

Limiti türev kalıbına ayır: $\dfrac{f(x) - f(3)}{x - 3} \cdot \dfrac{1}{x + 3}$ .

Limitleri yerine yaz: $f'(3) \cdot \dfrac{1}{6} = 2 \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3}$ .

Sonuç

Limit değeri $\dfrac{1}{3}$ ‘tür.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f'(1) = 4

ise

\lim_{h \to 0} \dfrac{f(1 + 3h) - f(1)}{h}

kaçtır?

Açıklama

$3 \cdot \lim_{h \to 0} \dfrac{f(1 + 3h) - f(1)}{3h} = 3 \cdot f'(1) = 3 \cdot 4 = 12$ .

3. Dış Noktadan Çizilen Teğetler

Verilen nokta eğrinin üzerinde değilse, doğrudan türeve yazamazsın. Değme noktasına $(a, f(a))$ deyip teğet denklemini kurmalısın.

$P(1, -3)$ dış noktasından $y = x^2$ parabolüne çizilen iki teğet doğrusunu incele.

Örnek

zor

Dış noktadan teğet eğimleri

$P(1, -3)$ noktasından $y = x^2$ parabolüne çizilen teğetlerin eğimleri toplamı kaçtır?

$P(1, -3)$ parabol üzerinde değildir ( $1^2 \neq -3$ ). Değme noktasına $A(a, a^2)$ de.

Eğim $m = 2a$ . Teğet denklemi: $y - a^2 = 2a(x - a) \implies y = 2ax - a^2$ .

$P(1, -3)$ ‘ü sağlat: $-3 = 2a(1) - a^2 \implies a^2 - 2a - 3 = 0 \implies (a - 3)(a + 1) = 0$ .

Değme apsisleri $a = 3$ ve $a = -1$ . Eğimler $2a$ olduğundan $m_1 = 6$ ve $m_2 = -2$ .

Sonuç

Eğimler toplamı: $6 + (-2) = 4$ .

Örnek

zor

Ortalama hızın anlık hıza eşitliği

$s(t) = t^3$ konumundaki bir aracın $[0, 3]$ saniye aralığındaki ortalama hızı ile anlık hızı hangi $t$ anında eşit olur?

Ortalama hız: $\dfrac{s(3) - s(0)}{3 - 0} = \dfrac{27 - 0}{3} = 9$ m/sn.

Anlık hız: $s'(t) = 3t^2$ .

Eşitle: $3t^2 = 9 \implies t^2 = 3 \implies t = \sqrt{3}$ saniye.

Sonuç

$t = \sqrt{3}$ anında.

Özet

Bu konudan aklında kalacaklar

Ortalama Değişim Oranı: $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ (Kesenin eğimi).
Türev: $f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ (Teğetin eğimi).
Teğet Denklemi: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ .
Kuvvet Kuralı: $(a \cdot x^n)' = a \cdot n \cdot x^{n-1}$ , $(c)' = 0$ .
Türevli $\implies$ Sürekli: Süreksiz noktada, sivri köşede ve düşey teğette türev yoktur.
Parçalı Fonksiyon: Kritik noktada hem değerler (süreklilik) hem türevler eşit olmalıdır.

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

7 çıkmış soru6 özgün soru

2025 AYTSoru 23

Orta

Türevlenebilirlik ve süreklilik

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve sürekli bir $f$ fonksiyonunun türevi olan $f'$ fonksiyonunun grafiği dik koordinat düzleminde şekildeki gibidir.

$f(5) = f(20) = 0$

olduğuna göre $f$ fonksiyonunun yerel minimum değeri kaçtır?

İpucu

Türevin sıçradığı noktanın apsisi verilmemiş; ona bir harf ver. Türev sabitken $f$ doğrusaldır: solda eğim $-2$ , sağda eğim $3$ .

ÖSYM kitapçığında gör (s. 32)

Çözüm

1. Grafiği yorumla. Türevin sıçradığı apsise $k$ diyelim. $x < k$ için $f'(x) = -2$ : $f$ eğimi $-2$ olan bir doğru boyunca azalır. $x > k$ için $f'(x) = 3$ : $f$ eğimi $3$ olan bir doğru boyunca artar. $f$ sürekli olduğundan iki doğru $x = k$ 'de birleşir ve bir köşe oluşur; önce azalıp sonra arttığı için bu köşe yerel minimumdur.

2. $k$ nerede? $f$ köşenin solunda hep azalan, sağında hep artan olduğundan $f(5) = f(20)$ ancak $5 < k < 20$ iken olabilir.

3. Doğrusal parçalarla ilerle.

$5$ 'ten $k$ 'ye: $f(k) = 0 - 2(k - 5)$
$k$ 'den $20$ 'ye: $f(20) = f(k) + 3(20 - k)$

$f(20) = 0$ yazılır: $-2(k - 5) + 3(20 - k) = 0$ , $70 - 5k = 0$ , $k = 14$ .

4. Yerel minimum değeri. $f(14) = -2 \cdot (14 - 5) = -18$ .

Sağlama: $f(20) = -18 + 3 \cdot 6 = 0$ .

Tuzak: $x = k$ 'de türev yoktur (soldan türev $-2$ , sağdan türev $3$ ), ama fonksiyon süreklidir; yerel minimum türevin olmadığı bir köşede de bulunabilir.

Cevap: A

2022 AYTSoru 22

Kolay

Teğetin eğimi

$a$ ve $b$ gerçel sayılardır. Dik koordinat düzleminde $y = 3x + a$ doğrusu,

$f(x) = x^3 - x^2 + bx + 4$

fonksiyonunun grafiğine $(1, f(1))$ noktasında teğettir.

Buna göre $a + b$ toplamı kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 31)

Çözüm

1. Eğim koşulu. Teğetin eğimi, değme noktasındaki türevdir. $f'(x) = 3x^2 - 2x + b$ ve doğrunun eğimi $3$ olduğundan

$f'(1) = 3 - 2 + b = 3 \quad\Rightarrow\quad b = 2$

2. Nokta koşulu. Değme noktası hem eğrinin hem doğrunun üzerindedir. $f(1) = 1 - 1 + 2 + 4 = 6$ ; doğruda $x = 1$ için $3 + a = 6$ , yani $a = 3$ .

$a + b = 3 + 2 = 5$

Tuzak: $b$ 'yi bulduktan sonra $a$ için ikinci koşulu (ortak nokta) unutmak.

Cevap: B

2021 AYTSoru 19

Orta

Kuvvet fonksiyonunun türevi

$a$ ve $b$ gerçel sayılardır. Pozitif gerçel sayılar kümesinde tanımlı $f$ fonksiyonu

$f(x) = ax^a + bx^b$

kuralıyla veriliyor.

$f(1) = 6 \qquad f'(1) = 20$

olduğuna göre $f''(1)$ kaçtır?

İpucu

$x = 1$ yazınca bütün kuvvetler $1$ olur; geriye yalnızca katsayılar kalır. $a$ ve $b$ 'yi tek tek bulmak yerine $a + b$ ve $a^2 + b^2$ ile çalışabilirsin.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 30)

Çözüm

1. Verilenleri yaz. $1$ 'in her kuvveti $1$ 'dir.

$f(1) = a + b = 6$
Kuvvet kuralı: $f'(x) = a^2 x^{a - 1} + b^2 x^{b - 1}$ , buradan $f'(1) = a^2 + b^2 = 20$

2. İkinci türev, türevin türevidir.

$f''(x) = a^2 (a - 1) x^{a - 2} + b^2 (b - 1) x^{b - 2}$

$f''(1) = a^3 + b^3 - (a^2 + b^2)$

3. $a^3 + b^3$ 'ü özdeşlikle bul. $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ eşitliğinden $36 = 20 + 2ab$ , $ab = 8$ .

$a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b) = 216 - 144 = 72$

$f''(1) = 72 - 20 = 52$

Sağlama: $a + b = 6$ , $ab = 8$ koşulunu $2$ ve $4$ sağlar; $f(x) = 2x^2 + 4x^4$ için $f''(x) = 4 + 48x^2$ , $f''(1) = 52$ .

Tuzak: türev alırken öne inen üs, zaten var olan katsayıyla çarpılır; $a \cdot a = a^2$ .

Cevap: E

2019 AYTSoru 25

Orta

Doğrunun türevi ve eğim

$f$ , $g$ ve $h$ doğrusal fonksiyonlardır. Bu üç fonksiyonun grafikleri Şekil 1'de birim karelere bölünmüş dik koordinat düzleminde, türevlerinin mutlak değerlerinin grafikleri ise Şekil 2'deki dik koordinat düzleminde çizilmiştir. Şekil 1'de hangi doğrunun hangi fonksiyona ait olduğu yazılmamıştır.

Buna göre $f(0)$ , $g(0)$ ve $h(0)$ değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

İpucu

Doğrusal fonksiyonun türevi sabittir ve doğrunun eğimine eşittir. Şekil 2 sana hangi doğrunun daha dik olduğunu söylüyor.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 32)

Çözüm

1. Şekil 2'yi oku. Doğrusal fonksiyonun türevi eğimidir. Yatay doğruların yüksekliklerinden $|f'| > |g'| > |h'|$ ; yani en dik doğru $f$ , en yatık doğru $h$ 'dir.

2. Şekil 1'de eğimleri birim karelerden bul.

$(-1, 3)$ ve $(2, 1)$ noktalarından geçen doğru: eğim $\dfrac{1 - 3}{2 - (-1)} = -\dfrac{2}{3}$ .
$(-1, 3)$ ve $(1, 2)$ noktalarından geçen doğru: eğim $-\dfrac{1}{2}$ .
Artan doğru $(-1, 1)$ ve $\left(2, \dfrac{3}{2}\right)$ noktalarından geçer: eğim $\dfrac{1}{6}$ .

Mutlak değerler $\dfrac{2}{3} > \dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{6}$ olduğundan sırasıyla $f$ , $g$ , $h$ doğrularıdır.

3. $y$ eksenini kestikleri değerler. $(-1, 3)$ noktasından bir birim sağa gidilir: $f(0) = 3 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{7}{3}$ , $g(0) = 3 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}$ . Artan doğruda $h(0) = 1 + \dfrac{1}{6} = \dfrac{7}{6}$ .

$h(0) < f(0) < g(0)$

Tuzak: Şekil 2 türevin kendisini değil mutlak değerini verir; işaret bilgisi yoktur, yalnızca diklik karşılaştırılır.

Cevap: D

2019 AYTSoru 26

Orta

Teğet denklemi

Dik koordinat düzleminde $f(x) = x^2 + ax$ fonksiyonunun grafiğine $(2, f(2))$ noktasında çizilen teğet doğrusu, $g(x) = bx^3$ fonksiyonunun grafiğine de $(1, g(1))$ noktasında teğettir.

Buna göre $a \cdot b$ çarpımı kaçtır?

İpucu

Aynı doğru iki eğriye de teğet. İlk eğriden doğrunun denklemini $a$ cinsinden yaz; ikinci eğride hem eğimin hem noktanın bu doğruya uyması gerekir.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 32)

Çözüm

1. Teğeti $f$ üzerinden yaz. $f'(x) = 2x + a$ olduğundan eğim $f'(2) = 4 + a$ , değme noktası $(2,\ 4 + 2a)$ 'dır.

$y = (4 + a)(x - 2) + 4 + 2a = (4 + a)x - 4$

2. Aynı doğru $g$ 'ye $(1, b)$ noktasında teğet. İki koşul vardır:

Eğimler eşit: $g'(x) = 3bx^2$ , $g'(1) = 3b = 4 + a$ .
Nokta doğrunun üzerinde: $b = (4 + a) \cdot 1 - 4 = a$ .

3. Çöz. $b = a$ ilk denkleme yazılır: $3a = 4 + a$ , $a = 2$ ve $b = 2$ .

$a \cdot b = 4$

Sağlama: teğet $y = 6x - 4$ ; $f(2) = 8 = 6 \cdot 2 - 4$ ve $g(1) = 2 = 6 - 4$ .

Tuzak: yalnızca eğimleri eşitleyip bırakmak. Teğetlik iki koşuldur: eğim ve ortak nokta.

Cevap: B

2019 AYTSoru 30

Orta

Türevlenebilirlik ve süreklilik

$f$ fonksiyonu $[0, 6]$ kapalı aralığında süreklidir ve $(0, 3)$ , $(3, 4)$ , $(4, 6)$ açık aralıklarının her birinde türevlenebilirdir. $f$ 'nin türevi olan $f'$ fonksiyonunun grafiği aşağıdaki dik koordinat düzleminde verilmiştir.

$0 < c < 2$ ve

$f(0) = 5$

olduğuna göre $f(6)$ değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?

İpucu

Türevin sabit olduğu aralıkta fonksiyon doğrusaldır; eğimi o sabittir. $f$ sürekli olduğu için parçalar uç uca eklenir.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 33)

Çözüm

1. Türev sabitse grafik doğru parçasıdır. $(0, 3)$ aralığında eğim $2$ , $(3, 4)$ aralığında eğim $-3$ , $(4, 6)$ aralığında eğim $c$ 'dir. $f$ sürekli olduğundan her parça bir öncekinin bittiği yerden başlar.

2. Adım adım ilerle.

$f(3) = f(0) + 2 \cdot 3 = 5 + 6 = 11$
$f(4) = f(3) + (-3) \cdot 1 = 8$
$f(6) = f(4) + c \cdot 2 = 8 + 2c$

3. $c$ 'nin aralığını kullan. $0 < c < 2$ olduğundan $8 < f(6) < 12$ . Seçeneklerden yalnızca $10{,}1$ bu aralıktadır.

Not: $x = 3$ ve $x = 4$ noktalarında türev tanımsızdır; $f$ 'nin grafiği buralarda köşe yapar. Sürekli ama türevsiz noktaların tipik örneğidir.

Cevap: C

2018 AYTSoru 21

Orta

Teğetin eğimi

$a$ , $b$ ve $c$ gerçel sayılardır.

$y = \dfrac{a}{x + a}$

eğrisinin $P(a, b)$ noktasındaki teğetinin denklemi

$y = \dfrac{-x}{8} + c$

olarak veriliyor.

Buna göre $a + b + c$ toplamı kaçtır?

İpucu

$P$ noktası hem eğrinin hem teğetin üzerindedir; teğetin eğimi de eğrinin o noktadaki türevidir. Üç bilgi, üç bilinmeyen.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 30)

Çözüm

1. Nokta eğrinin üzerinde. $x = a$ yazılır: $b = \dfrac{a}{a + a} = \dfrac{1}{2}$ (payda sıfır olamayacağından $a \neq 0$ ).

2. Eğim türevdir. $y = a \cdot (x + a)^{-1}$ biçiminde yazıp türev alınır (bölüm kuralı da aynı sonucu verir; bkz. Türev Alma Kuralları):

$y' = \dfrac{-a}{(x + a)^2}$

$x = a$ için eğim $\dfrac{-a}{4a^2} = -\dfrac{1}{4a}$ olur. Verilen teğetin eğimi $-\dfrac{1}{8}$ olduğundan $4a = 8$ , $a = 2$ .

3. Nokta teğetin üzerinde. $P\left(2, \dfrac{1}{2}\right)$ teğet denklemini sağlar: $\dfrac{1}{2} = -\dfrac{2}{8} + c$ , buradan $c = \dfrac{3}{4}$ .

$a + b + c = 2 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{13}{4}$

Tuzak: $b$ ayrı bir bilinmeyen gibi görünür ama $P$ eğri üzerinde olduğu için doğrudan $\dfrac{1}{2}$ 'dir.

Cevap: C

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Türevin limit tanımı

$f(x) = 2x^2$ fonksiyonu için

$\lim_{h \to 0} \dfrac{f(3 + h) - f(3)}{h}$

limitinin değeri kaçtır?

Çözüm

Bu limit, türevin tanımıdır: değeri $f'(3)$ 'tür.

Tanımla: $f(3 + h) - f(3) = 2(3 + h)^2 - 18 = 12h + 2h^2 = h(12 + 2h)$ . $h \neq 0$ için oran $12 + 2h$ olur; $h \to 0$ iken $12$ 'ye yaklaşır.

Kuralla sağlama: $f'(x) = 2 \cdot 2 \cdot x = 4x$ , $f'(3) = 12$ .

Çeldiriciler: $18$ fonksiyonun değeridir ( $f(3)$ ); $6$ katsayı unutulunca çıkar ( $2x$ ).

Cevap: D

Özgün soru2

Kolay

Teğetin eğimi

Şekilde $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiği ile bu grafiğe $A(2, 3)$ noktasında teğet olan $d$ doğrusu verilmiştir. $d$ doğrusu $y$ eksenini $(0, -1)$ noktasında kesmektedir.

Buna göre $f(2) \cdot f'(2)$ çarpımı kaçtır?

Çözüm

1. $f(2)$ . $A(2, 3)$ grafiğin üzerindedir: $f(2) = 3$ .

2. $f'(2)$ . Türev, teğetin eğimidir. $d$ doğrusu $(0, -1)$ ve $(2, 3)$ noktalarından geçer:

$f'(2) = \dfrac{3 - (-1)}{2 - 0} = 2$

3. $f(2) \cdot f'(2) = 3 \cdot 2 = 6$ .

Çeldirici: eğimi $\dfrac{3}{2}$ almak, yani $A$ noktasını orijinle birleştirmek. Eğim teğet üzerindeki iki noktadan hesaplanır.

Cevap: B

Özgün soru3

Orta

Türevlenebilirlik ve süreklilik

$a$ ve $b$ gerçel sayılar olmak üzere, gerçel sayılar kümesinde tanımlı $f$ fonksiyonu

$x \leq 1$ için $f(x) = x^3$
$x > 1$ için $f(x) = ax + b$

biçiminde veriliyor. $f$ fonksiyonu $x = 1$ noktasında türevlidir.

Buna göre $a - b$ farkı kaçtır?

İpucu

Türevli olmak iki koşul getirir: önce süreklilik, sonra soldan ve sağdan türevin eşitliği.

Çözüm

1. Süreklilik. Soldan değer $1^3 = 1$ , sağdan limit $a + b$ . Öyleyse $a + b = 1$ .

2. Eğimlerin eşitliği. Soldan türev: $(x^3)' = 3x^2$ , $x = 1$ 'de $3$ . Sağdan türev doğrunun eğimidir: $a$ . Öyleyse $a = 3$ .

3. $b = 1 - 3 = -2$ ve $a - b = 3 - (-2) = 5$ .

Sağlama: $y = 3x - 2$ doğrusu, $y = x^3$ eğrisinin $(1, 1)$ noktasındaki teğetidir.

Çeldiriciler: $1$ yalnızca süreklilik denklemidir ( $a + b$ ); $3$ yalnızca $a$ 'dır.

Cevap: C

Özgün soru4

Orta

Ortalama ve anlık değişim oranı

Doğrusal bir yolda hareket eden bir robotun $t$ saniyede aldığı yol $s(t) = 2t^3$ metredir.

Robotun $[1, 3]$ zaman aralığındaki ortalama hızı, $t = 2$ anındaki hızından kaç m/sn fazladır?

İpucu

Ortalama hız bir aralığa aittir ve bölme işlemiyle, anlık hız bir ana aittir ve türevle bulunur.

Çözüm

1. Ortalama hız. $s(3) = 54$ , $s(1) = 2$ .

$\dfrac{s(3) - s(1)}{3 - 1} = \dfrac{52}{2} = 26 \text{ m/sn}$

2. Anlık hız. $s'(t) = 2 \cdot 3 \cdot t^2 = 6t^2$ , $s'(2) = 24$ m/sn.

3. Fark. $26 - 24 = 2$ m/sn.

Tuzak: aralığın orta noktasındaki anlık hızın ortalama hıza eşit olacağını varsaymak. Bu yalnızca hız düzgün değişiyorsa (konum ikinci dereceden ise) doğrudur.

Cevap: A

Özgün soru5

Zor

Soldan ve sağdan türev

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı

$f(x) = |x^2 - 4|$

fonksiyonunun $x = 2$ noktasındaki soldan türevi $f'(2^-)$ , sağdan türevi $f'(2^+)$ ile gösteriliyor.

Buna göre $f'(2^+) - f'(2^-)$ farkı kaçtır?

İpucu

$x = 2$ 'nin hemen solunda ve hemen sağında $x^2 - 4$ ifadesinin işaretine bak; mutlak değeri her iki yanda ayrı ayrı kaldır.

Çözüm

$f(2) = 0$ olduğundan değişim oranı $\dfrac{f(2 + h)}{h}$ 'dir ve $(2 + h)^2 - 4 = 4h + h^2 = h(4 + h)$ .

Sağdan ( $h > 0$ , küçük): $h(4 + h) > 0$ olduğundan mutlak değer aynen çıkar:

$\dfrac{h(4 + h)}{h} = 4 + h \to 4 \quad\Rightarrow\quad f'(2^+) = 4$

Soldan ( $h < 0$ , sıfıra yakın): $h(4 + h) < 0$ olduğundan mutlak değer işaret değiştirir:

$\dfrac{-h(4 + h)}{h} = -(4 + h) \to -4 \quad\Rightarrow\quad f'(2^-) = -4$

$f'(2^+) - f'(2^-) = 4 - (-4) = 8$

Grafikte: parabolün $x$ ekseninin altında kalan parçası yukarı katlanır; katlanma yerinde eğim $4$ 'ten $-4$ 'e döner ve köşe oluşur. $f$ burada sürekli ama türevli değildir.

Çeldirici: $0$ , "fonksiyon sürekli, öyleyse türevler eşit" yanılgısıdır.

Cevap: E

Özgün soru6

Zor

Türevin limit tanımı

Gerçel sayılar kümesinde türevli bir $f$ fonksiyonunun grafiğine apsisi $1$ olan noktada çizilen teğetin denklemi $y = 4x + 1$ 'dir.

Buna göre

$\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x) - 5}{\sqrt{x} - 1}$

limitinin değeri kaçtır?

İpucu

Teğetten $f(1)$ ve $f'(1)$ değerlerini oku. Sonra paydada $x - 1$ oluşturmak için $x - 1 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)$ çarpanlara ayırmasını kullan.

Çözüm

1. Teğetten okunanlar. Değme noktası teğetin üzerindedir: $f(1) = 4 \cdot 1 + 1 = 5$ . Eğim türevdir: $f'(1) = 4$ .

2. Türev kalıbını oluştur. Paydaki $5$ , $f(1)$ 'dir. $x - 1 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)$ olduğundan $\dfrac{1}{\sqrt{x} - 1} = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{x - 1}$ yazılır:

$\dfrac{f(x) - 5}{\sqrt{x} - 1} = \dfrac{f(x) - f(1)}{x - 1} \cdot (\sqrt{x} + 1)$

3. Limit al. $x \to 1$ iken ilk çarpan tanım gereği $f'(1) = 4$ 'e, ikinci çarpan $2$ 'ye yaklaşır.

$4 \cdot 2 = 8$

Sağlama: $f(x) = 4x + 1$ alınırsa ifade $\dfrac{4(x - 1)}{\sqrt{x} - 1} = 4(\sqrt{x} + 1)$ olur ve $x \to 1$ için $8$ verir.

Çeldiriciler: $4$ yalnızca $f'(1)$ 'dir; $2$ çarpmak yerine bölünce çıkar.

Cevap: D