Limit ve Süreklilik

Bir köprünün ortasında tek bir tahta eksik. O noktaya basamazsın; ama iki yakadan gelen toplar boşluğa yaklaştıkça aynı yüksekliğe çıkıyor. Bu derste o yüksekliği bulacağız; adı limit.

Toplar her sıçrayışta boşluğa kalan yolun yarısını gidiyor. Boşluğa hiç varmıyorlar ama istedikleri kadar yaklaşıyorlar. Bu sırada yükseklikleri tek bir sayıya, 4'e yerleşiyor.

Köprüye tam yandan bakınca bir grafik kalır. Yükseklik $f(x) = x + 2$; yalnız $x = 2$'de tahta yok, yani $f(2)$ tanımsız. Grafikte bu yer içi boş bir noktayla gösterilir.

Soldan $x = 1{,}9;\ 1{,}99;\ 1{,}999$ için $f(x) = 3{,}9;\ 3{,}99;\ 3{,}999$. Sağdan $x = 2{,}1;\ 2{,}01;\ 2{,}001$ için $4{,}1;\ 4{,}01;\ 4{,}001$. İki yandan da değerler 4'e yaklaşıyor; $x$ ise hiç 2 olmuyor.

$x$ 2'ye yaklaşırken $f(x)$'in yaklaştığı sayıya limit denir. Soldan gelişe soldan limit ($x \to 2^-$), sağdan gelişe sağdan limit ($x \to 2^+$) denir. İkisi aynı sayıysa limit vardır: burada $4$.

Şimdi köprünün iki yakası farklı yükseklikte. Soldan gelen top 2'ye, sağdan gelen top 4'e yaklaşıyor; buluşamıyorlar. Soldan ve sağdan limit farklıysa o noktada limit yoktur.

Boşluğa bir değer koyalım: $f(2) = 1$ (dolu nokta). Toplar yine 4'e yaklaşıyor. Limit $x = 2$'nin kendisine değil çevresine bakar; $f(2)$ ne olursa olsun limit $4$'tür.

Alttaki sütun $f$, üstteki $g$; üst üste boyları $f + g$ olur. $x \to 2$ iken sütunlar $2$ ve $1{,}5$'e, toplam $3{,}5$'e gider: toplamın limiti, limitlerin toplamıdır. Çarpım ve bölüm de böyle (paydanın limiti $0$ olmamalı).

Köprünün formülü aslında $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$. $x = 2$ yazınca $\dfrac{0}{0}$ çıkıyor: bu bir sonuç değil, belirsizlik. "Limit yok" deme; pay ile paydada gizli bir ortak çarpan var.

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ olduğundan $(x - 2)$'ler sadeleşir, geriye $x + 2$ kalır. Bu doğrunun grafiğinde delik yok: tahta yerine oturur. Limit deliğe bakmadığı için $\lim_{x \to 2} f(x) = 2 + 2 = 4$.

Bir grafiği kalemi kaldırmadan çizebiliyorsan fonksiyon süreklidir. Bu grafikte $x = 2$'ye gelince kalem kalkmak zorunda: fonksiyon orada süreksiz.

$x = a$'da sürekli olmak için: 1) $f(a)$ tanımlı, 2) limit var, 3) limit $= f(a)$. Delikte 1., sıçramada 2., yanlış yerdeki noktada 3. şart bozulur. Üçü de sağlanırsa grafik kopmaz.

$x \neq 2$ için $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ ve $f(2) = k$ olsun. Fonksiyonun sürekli olması için tahta tam limit yüksekliğine konmalı. Yani $k = \lim_{x \to 2} f(x) = 4$.

Kargo ücreti $0 < x \le 5$ kg için $20 + 4x$, $x > 5$ için $ax + 10$ TL. Sürekli olması için iki parça $x = 5$'te aynı yükseklikte buluşmalı: $5a + 10 = 40$, yani $a = 6$.

Limit: $x \to a$ iken $f(x)$'in yaklaştığı sayı; $f(a)$'ya bakmaz, soldan ve sağdan aynı olmalı. $\tfrac{0}{0}$ çıkarsa çarpanlara ayır, sadeleştir. Süreklilik: soldan limit $=$ sağdan limit $= f(a)$.