Fonksiyon Kavramı ve Grafikleri

Fonksiyon olmak için $A$‘nın her elemanının görüntüsü $B$‘de olmalı. Bu yüzden iki kuralı da $A$‘nın dört elemanında tek tek dene.

$f$ için: $f(-1) = 1$, $f(0) = 0$, $f(1) = 1$, $f(2) = 4$. Dört değer de $B$‘nin elemanı ve her girdinin tek görüntüsü var; $f$ bir fonksiyondur.

$g$ için: $g(-1) = 2$, $g(0) = 3$, $g(1) = 4$, $g(2) = 5$. Ama $5 \notin B$; $2$ elemanı açıkta kaldığı için $g$, $A$‘dan $B$‘ye fonksiyon değildir.

$f(3)$ için makineye $3$ girmeli; yani parantezin içi $3$ olmalı: $2x - 1 = 3$, buradan $x = 2$.

Eşitlik her $x$ için doğru olduğundan $x = 2$ yazabiliriz: $f(2 \cdot 2 - 1) = 6 \cdot 2 + 5$.

Sağlama için kuralı bul: $t = 2x - 1$ dersen $x = \dfrac{t + 1}{2}$ ve $f(t) = 3(t + 1) + 5 = 3t + 8$ olur. $f(3) = 9 + 8$ aynı sonucu verir.

Tanım kümesi için grafiği $x$ eksenine izdüşür. Sol parça $x = -3$‘ten $x = 1$‘e, sağ parça $x = 1$‘den $x = 4$‘e uzanıyor; arada boşluk yok. Tanım kümesi $[-3, 4]$.

$x = 1$ hizasında iki uç var: yukarıdaki içi boş, aşağıdaki dolu. İçi boş nokta grafiğe ait değildir; değer dolu noktadan okunur: $f(1) = -1$.

Görüntü kümesi için grafiği $y$ eksenine izdüşür. Sol parça $1$‘den $3$‘e çıkar ama $3$‘e ulaşmaz: $[1, 3)$. Sağ parça $-1$‘den $2$‘ye çıkar: $[-1, 2]$. İkisinin birleşimi $[-1, 3)$ olur.

Sabit fonksiyonun kuralında $x$ görünmez, çünkü değer $x$‘e bağlı değildir. Öyleyse $x^2$ ve $x$ terimlerinin katsayıları sıfır olmalı: $a - 2 = 0$ ve $b + 3 = 0$. Buradan $a = 2$, $b = -3$.

Geriye sabit terim kalır: $f(x) = a \cdot b = -6$. Sabit fonksiyon her girdiye aynı değeri verdiğinden $f(5) = -6$.

Birim fonksiyon $g(x) = x$ demektir: $x$‘in katsayısı $1$, sabit terim $0$ olmalı. $a + c = 1$ ise $c = -1$; $b + d = 0$ ise $d = 3$.

Doğrusal modelde önce değişim hızını (eğimi) bul, çünkü kuralın $a$ katsayısı odur: $a = \dfrac{12 - 18}{30 - 10} = -0{,}3$. Mum dakikada $0{,}3$ cm kısalıyor.

$h(t) = -0{,}3t + b$ yaz ve bir ölçümü kullan: $h(10) = 18$ ise $-3 + b = 18$, $b = 21$. Bu, $t = 0$ anındaki boydur.

Mum bittiğinde boy sıfırdır; grafiğin $t$ eksenini kestiği yeri arıyoruz: $21 - 0{,}3t = 0$, $t = 70$.

Önce görüntüleri listele, çünkü iki özellik de görüntülere bakarak anlaşılır. $f$ için sırasıyla $4, 1, 0, 1, 4$; $g$ için sırasıyla $0, 1, 2, 3, 4$.

$f$‘de $-2$ ile $2$ aynı değere ($4$) gidiyor; bire bir değil. Görüntü kümesi $\{0, 1, 4\}$; $B$‘deki $2$ ve $3$ boşta kaldığından örten de değil, içine fonksiyondur.

$g$‘de beş girdi beş farklı değere gidiyor; bire bir. Görüntü kümesi $\{0, 1, 2, 3, 4\} = B$; boşta eleman yok, örten.

Her girdiyi kendi koşuluna yerleştir. $-2 < 1$ olduğundan üst kural: $f(-2) = -1$. $1 \geq 1$ ve $3 \geq 1$ olduğundan alt kural: $f(1) = 3$ ve $f(3) = 1$. Toplam $-1 + 3 + 1 = 3$.

Grafik için her parçayı kendi aralığında çiz. $y = x + 1$ doğrusu $x = 1$‘e kadar gelir; $1$ bu parçaya dahil olmadığından $(1, 2)$ ucu içi boş kalır. $y = 4 - x$ doğrusu $(1, 3)$ dolu ucundan başlar.

$x$ eksenini kestiği yerler için her kuralı sıfıra eşitle ve çıkan değerin o parçanın koşuluna uyduğunu denetle. $x + 1 = 0$ ise $x = -1$; $-1 < 1$, geçerli. $4 - x = 0$ ise $x = 4$; $4 \geq 1$, geçerli.

Yöntem hep aynı: $x$ yerine $-x$ yaz ve sonucu $f(x)$ ile, sonra $-f(x)$ ile karşılaştır. $f(-x) = (-x)^3 - 4(-x) = -x^3 + 4x = -(x^3 - 4x)$. Bu $-f(x)$‘tir; $f$ tek.

$g(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 1 = x^4 - 3x^2 + 1$. Çift kuvvetler işareti yuttuğu için sonuç $g(x)$‘in kendisi; $g$ çift.

$h(-x) = x^2 - x$. Bu ne $h(x) = x^2 + x$ ne de $-h(x) = -x^2 - x$. Sayıyla da görülür: $h(1) = 2$ ama $h(-1) = 0$. $h$ ne tek ne çift.

İşlem simgelerini aç; her biri aynı noktadaki iki değerin işlemidir. $(f + g)(2) = f(2) + g(2) = (2a + 3) + (4 + b) = 12$, yani $b = 5 - 2a$.

$(f \cdot g)(1) = f(1) \cdot g(1) = (a + 3)(1 + b) = 10$. $b$‘yi yerine yaz: $(a + 3)(6 - 2a) = 10$. Açınca $18 - 2a^2 = 10$, $a^2 = 4$.

$a$ pozitif verildiği için $a = 2$; $a = -2$ elenir. O hâlde $b = 5 - 4 = 1$. Sağlama: $f(2) + g(2) = 7 + 5 = 12$ ve $f(1) \cdot g(1) = 5 \cdot 2 = 10$.

$f(x) = 2x + 3$ ve $g(x) = x^2 + 1$ ile istenen değeri hesapla: $f(3) = 9$, $g(3) = 10$.

$x = 2$ yaz: $f(2) + g(2) = 8 + 8 - 2 + 3 = 17$. Tek denklem, iki bilinmeyen; ikinci bir denklem gerek.

İkinci denklem için $x = -2$ yaz: $f(-2) + g(-2) = -8 + 8 + 2 + 3 = 5$. $f$ tek olduğundan $f(-2) = -f(2)$, $g$ çift olduğundan $g(-2) = g(2)$. Denklem $-f(2) + g(2) = 5$ olur.

İki denklemi taraf tarafa çıkar ki $g(2)$ yok olsun: $2 \cdot f(2) = 17 - 5 = 12$.

$f(x) < g(x)$ demek, o $x$ hizasında $f$ grafiğinin $g$ grafiğinin altında kalması demektir. Kuralları bilmene gerek yok; grafikte parabolün doğrunun altında olduğu yeri ara.

Kesintisiz çizilmiş iki grafiğin alt-üst sırası yalnızca kesişim noktalarında değişebilir. Kesişimler $x = -1$ ve $x = 3$; bu ikisinin arasında (boyalı bölge) parabol altta, dışında parabol üstte.

Kesişim noktalarında değerler eşittir; eşitsizlik kesin olduğu için $-1$ ve $3$ çözüme girmez. Çözüm $-1 < x < 3$ aralığıdır; içindeki tam sayılar $0$, $1$, $2$.

Girdi günlük yol $x$ (km), çıktı ücret (TL). A tarifesi yola bağlı değildir: $A(x) = 900$, sabit fonksiyon.

B tarifesi iki ayrı kuralla çalışır; parçalı yaz. $100$ km’ye kadar $500$ TL. Sonrasında yalnızca $100$‘ü aşan kısım ücretlenir:

$B(x) = \begin{cases} 500, & 0 \leq x \leq 100 \\ 500 + 5(x - 100), & x > 100 \end{cases}$

İlk parçada $B(x) = 500 < 900$; burada B ucuz. Kesişim ikinci parçada olmalı: $500 + 5(x - 100) = 900$, $x - 100 = 80$, $x = 180$. Bu değer $x > 100$ koşuluna uyuyor.

$x > 180$ için B doğrusu yükselmeyi sürdürür ve A’nın üstüne çıkar. Sağlama: $x = 200$ için $B = 500 + 500 = 1000 > 900$.