4Konu 4 / 49
Temel Kavramlar

Birinci Dereceden Denklemler, Eşitsizlikler ve Mutlak Değer

Aralık gösteriminden başlayıp birinci dereceden denklem ve eşitsizlikleri, mutlak değerli denklem ve eşitsizlikleri, iki bilinmeyenli denklem ve eşitsizlik sistemlerini sayı doğrusu ve analitik düzlem üzerinde kuruyoruz.

9. sınıf
AYT sıklığı
70 dk

LevhaBirinci Dereceden Denklemler, Eşitsizlikler ve Mutlak DeğerBirinci Dereceden Denklemler, Eşitsizlikler ve Mutlak Değer

İki kurye firması aynı paketi taşıyor. Hızlı Kurye $40$ TL sabit ücret ve kilometre başına $5$ TL alıyor; Yakın Kurye $10$ TL sabit ücret ve kilometre başına $8$ TL. Kaçıncı kilometrede ikisi aynı parayı ister? Hangi mesafelerde Hızlı Kurye daha ucuzdur? İlk sorunun yanıtı bir denklemden, ikincisininki bir eşitsizlikten çıkar; ikincisinin yanıtı tek bir sayı değil, bir aralıktır.

Isınma

Başlamadan: işaretler, sayı doğrusu, doğru

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

-3 - 2 \cdot (-4)

işleminin sonucu kaçtır?

Açıklama

Önce çarpma: $2 \cdot (-4) = -8$ . Sonra $-3 - (-8) = -3 + 8 = 5$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Sayı doğrusunda

-5

ile

3

noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Açıklama

Uzaklık, büyük sayıdan küçük sayının çıkarılmasıyla bulunur: $3 - (-5) = 8$ . Bu fikir mutlak değerin temelidir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

y = 2x - 1

doğrusu üzerinde apsisi

3

olan noktanın ordinatı kaçtır?

Açıklama

$x = 3$ yaz: $y = 2 \cdot 3 - 1 = 5$ . Nokta $(3, 5)$ ‘tir.

Temel

Aralık, denklem, eşitsizlik

Aralıklar

“Hızlı Kurye $10$ kilometreden uzun mesafelerde daha ucuz” dediğinde tek tek sayamayacağın kadar çok sayıdan söz ediyorsun: $10{,}1$ de, $12$ de, $37{,}5$ de buna dahil. Sayı doğrusunun böyle kesintisiz bir parçasına aralık denir.

Tanım

Aralık gösterimleri

$a < b$ gerçek sayıları için:

Gösterim	Anlamı	Adı
$[a, b]$	$a \le x \le b$	kapalı aralık
$(a, b)$	$a < x < b$	açık aralık
$[a, b)$	$a \le x < b$	yarı açık aralık
$(a, b]$	$a < x \le b$	yarı açık aralık

Köşeli parantez “uç dahil”, yuvarlak parantez “uç dahil değil” demektir.

Bir ucu olmayan aralıklar $\infty$ simgesiyle yazılır: $x > a$ için $(a, \infty)$ , $x \le a$ için $(-\infty, a]$ . Sonsuz bir sayı değildir, aralığa dahil olamaz; bu yüzden yanında her zaman yuvarlak parantez durur. Gerçek sayıların tamamı $\mathbb{R} = (-\infty, \infty)$ olur.

Aynı uçlarla dört aralık: dahil olan uç dolu, dahil olmayan uç içi boş nokta.

Sahnede sayı doğrusu üzerinde bir aralık var. Uçlarını sürükle, sonra her ucun düğmesiyle “dahil / dahil değil” arasında geçiş yap. Köşeli parantez dolu noktaya, yuvarlak parantez içi boş noktaya karşılık geliyor; alttaki gösterge aralığı hem parantezle hem eşitsizlikle yazıyor.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

-2 \le x < 3

koşulunu sağlayan gerçek sayıların kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

$\le$ işareti ucun dahil olduğunu ( $[$ ), $<$ işareti dahil olmadığını ( $)$ ) gösterir: $[-2, 3)$ .

Aralıklar birer kümedir; kesişim ve birleşimleri sayı doğrusunda üst üste çizilerek bulunur.

Örnek

kolay

İki aralığın kesişimi ve birleşimi

$A = [-1, 4)$ ve $B = (2, 6]$ aralıkları için $A \cap B$ ve $A \cup B$ kümelerini bul.

Kesişim, iki aralıkta birden bulunan sayılardır. $A$ sağda $4$ ‘te (dahil değil) bitiyor, $B$ solda $2$ ‘de (dahil değil) başlıyor; ortak parça $2$ ile $4$ arasıdır.

Uçları tek tek denetle, çünkü hata hep uçlarda yapılır. $2$ sayısı $B$ ‘de yok, $4$ sayısı $A$ ‘da yok; ikisi de kesişime giremez: $A \cap B = (2, 4)$ .

Birleşim, en az birinde bulunan sayılardır. İki aralık üst üste bindiği için arada boşluk kalmaz; en soldaki uç $-1$ ( $A$ ‘da dahil), en sağdaki uç $6$ ( $B$ ‘de dahil).

Sonuç

$A \cap B = (2, 4)$ ve $A \cup B = [-1, 6]$

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

Kancadaki ilk soru şuydu: $x$ kilometrede iki firma aynı ücreti istiyorsa $40 + 5x = 10 + 8x$ olmalı. İçinde bilinmeyen bulunan ve bilinmeyenin ancak bazı değerleri için doğru olan eşitliğe denklem, onu doğru yapan değerlerin kümesine çözüm kümesi (Ç) denir.

Çözerken tek kural şudur: eşitliğin iki yanına aynı işlemi yaparsan eşitlik bozulmaz. Aynı sayıyı ekler, çıkarır, sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpar ya da bölersin. Bu yöntemi 9. yüzyılda sistemli biçimde yazan Harezmî’dir; “cebir” sözcüğü onun kitabının adındaki “el-cebr”den, “algoritma” sözcüğü de kendi adından gelir.

Kurye denkleminde: $40 + 5x = 10 + 8x$ eşitliğinin iki yanından $5x$ ve $10$ çıkar, $30 = 3x$ kalır; $x = 10$ . Onuncu kilometrede iki firma da $90$ TL ister.

Örnek

kolay

Kesirli denklem

$\dfrac{x + 1}{2} - \dfrac{x - 2}{3} = 2$ denkleminin çözüm kümesini bul.

Paydalardan kurtulmak için iki yanı paydaların en küçük ortak katı olan $6$ ile çarp. Her terimi çarpmalısın, sağdaki $2$ dahil:

$3(x + 1) - 2(x - 2) = 12$

Parantezleri aç. İkinci parantezin önünde eksi var; $-2 \cdot (-2) = +4$ olur:

$3x + 3 - 2x + 4 = 12$

Benzer terimleri topla: $x + 7 = 12$ . İki yandan $7$ çıkar: $x = 5$ .

Sağlama yap, çünkü işaret hatası en kolay burada yakalanır: $\dfrac{6}{2} - \dfrac{3}{3} = 3 - 1 = 2$ .

Sonuç

$\text{Ç} = \{5\}$

Sahnede $y = 3x - 4$ doğrusu ile $y = 8$ yatay çizgisi var. Kesiştikleri noktanın apsisi $3x - 4 = 8$ denkleminin çözümüdür: $x = 4$ . Eğim sürgüsünü $0$ ‘a getir: doğru yataylaşır ve çizgiyi ya hiç kesmez ya da onunla çakışır.

3x - 4 = 8

denkleminin çözümü, doğrunun

y = 8

çizgisini kestiği noktanın apsisidir.

Sadeleştirince $x$ ‘in katsayısı sıfır çıkarsa denklem artık birinci dereceden değildir ve iki uç durumdan biri yaşanır.

Örnek

kolay

Çözüm kümesi boş olan denklem

$m$ bir gerçek sayı olmak üzere $(m - 2)x + 6 = 3x + m$ denkleminin çözüm kümesi boş kümedir. $m$ kaçtır?

Durumu görmek için $x$ ‘li terimleri bir yana, sabitleri öbür yana topla: $(m - 2)x - 3x = m - 6$ , yani $(m - 5)x = m - 6$ .

Çözüm kümesinin boş olması için $x$ ‘in katsayısı sıfır, sağ taraf sıfırdan farklı olmalı. Katsayı: $m - 5 = 0$ , $m = 5$ .

İkinci koşulu denetle: $m = 5$ için sağ taraf $5 - 6 = -1 \neq 0$ . Denklem $0 \cdot x = -1$ olur; hiçbir $x$ bunu sağlamaz.

Sonuç

$m = 5$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

2(x - 3) = 5x + 9

denkleminin çözümü kaçtır?

Açıklama

$2x - 6 = 5x + 9$ . İki yandan $5x$ çıkar, $6$ ekle: $-3x = 15$ , $x = -5$ . Sağlama: $2 \cdot (-8) = -16$ ve $5 \cdot (-5) + 9 = -16$ .

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler

Kancadaki ikinci soru bir eşitsizlikti: Hızlı Kurye’nin ücreti daha küçük olsun, $40 + 5x < 10 + 8x$ . Eşitsizlik de denklem gibi çözülür; yalnızca bir işlemde dikkat ister.

Neden? $2 < 5$ doğrudur. İki yanı $-1$ ile çarpınca sayılar sıfırın öbür yanına yansır: $-2$ ve $-5$ . Sıfıra yakın olan artık sağda kalır, yani $-2 > -5$ .

Çarpan

k

pozitiften negatife geçerken

2k

ile

5k

yer değiştirir: sıra tersine döner.

Sahnede $y = ax + 6$ doğrusu var; doğrunun $x$ ekseninin üstünde kaldığı $x$ değerleri eksen üzerinde boyalı. $a$ sürgüsünü $2$ ‘den $-2$ ‘ye çek: boyalı ışın sıfırın öbür yanına döner. $ax + 6 > 0$ eşitsizliğinde $a$ ‘ya bölerken yönün neden değiştiğini burada görürsün.

Örnek

kolay

Negatif katsayılı eşitsizlik

$5 - 2x \le 11$ eşitsizliğinin çözüm kümesini aralık olarak yaz.

İki yandan $5$ çıkar; çıkarma yönü değiştirmez: $-2x \le 6$ .

İki yanı $-2$ ‘ye böl. Bölen negatif olduğu için yön ters döner: $x \ge -3$ .

Bir değerle sına: $x = 0$ için $5 - 0 = 5 \le 11$ doğru ve $0 \ge -3$ . Uç değer $x = -3$ için $5 + 6 = 11 \le 11$ doğru; uç dahildir.

Sonuç

$\text{Ç} = [-3, \infty)$

Kurye eşitsizliği: $40 + 5x < 10 + 8x$ . İki yandan $5x$ ve $10$ çıkar: $30 < 3x$ , yani $x > 10$ . Hızlı Kurye $(10, \infty)$ aralığındaki mesafelerde daha ucuzdur.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

-3x + 1 > 10

eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

$-3x > 9$ . İki yanı $-3$ ‘e böl, yönü çevir: $x < -3$ . Çözüm kümesi $(-\infty, -3)$ .

Örnek

kolay

İki yanlı eşitsizlik

$-1 \le 2x + 3 < 9$ eşitsizliğini sağlayan kaç tam sayı vardır?

Bu yazım iki eşitsizliğin birlikte sağlandığını söyler. Ortada $x$ ‘i yalnız bırakmak için üç tarafa da aynı işlemi yap. Önce $3$ çıkar: $-4 \le 2x < 6$ .

Üç tarafı da $2$ ‘ye böl; $2$ pozitif olduğundan yönler değişmez: $-2 \le x < 3$ . Çözüm kümesi $[-2, 3)$ .

Tam sayıları say; uçlara dikkat et. $-2$ dahil, $3$ dahil değil: $-2, -1, 0, 1, 2$ .

Sonuç

$5$ tam sayı vardır.

Orta

Mutlak değer ve denklem sistemleri

Mutlak değer: sıfıra uzaklık

Sayı doğrusunda $-4$ ile $4$ farklı yerlerdedir ama sıfıra ikisi de $4$ birim uzaktadır. Bir sayının sıfıra uzaklığına o sayının mutlak değeri denir. Uzaklık negatif olmaz; mutlak değer de olmaz.

İkinci satırdaki $-x$ seni yanıltmasın: $x$ negatifken $-x$ pozitiftir. $|-4| = -(-4) = 4$ .

Sahnede sayı doğrusu ve üstünde $y = |x - a|$ grafiği var. $x$ noktasını sürükle: $a$ ‘ya uzaklığı hem doğru üzerinde bir parça hem grafikte bir yükseklik olarak görünür. $a$ ‘nın solunda da sağında da aynı uzaklığı veren iki nokta bulunur; grafiğin V biçimi buradan gelir.

|x - 2| = 3

2

noktasına

3

birim uzaklıktaki sayılar

-1

5

Son özellikte eşitlik yalnızca $x$ ile $y$ aynı işaretliyken (ya da biri sıfırken) sağlanır: $|3 + (-5)| = 2$ ama $|3| + |-5| = 8$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

x < 2

olduğuna göre

|x - 2| + x

ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Açıklama

$x < 2$ iken $x - 2$ negatiftir; mutlak değer işaret değiştirerek açılır: $|x - 2| = 2 - x$ . Toplam: $2 - x + x = 2$ .

Mutlak değerli denklemler

" $|x - 2| = 3$ " cümlesi ” $x$ , $2$ ‘ye $3$ birim uzakta” demektir. Böyle iki sayı vardır: biri solda, biri sağda.

Örnek

orta

Mutlak değerli denklem: iki durum

$|2x - 1| = 7$ denkleminin çözüm kümesini bul.

Sağ taraf pozitif; mutlak değerin içi ya $7$ ya da $-7$ olabilir. İki durumu ayrı ayrı yaz, çünkü ikisi de $7$ birimlik uzaklığı verir.

Birinci durum: $2x - 1 = 7$ , $2x = 8$ , $x = 4$ .

İkinci durum: $2x - 1 = -7$ , $2x = -6$ , $x = -3$ .

Sağlama: $|2 \cdot 4 - 1| = |7| = 7$ ve $|2 \cdot (-3) - 1| = |-7| = 7$ .

Sonuç

$\text{Ç} = \{-3, 4\}$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

|x + 4| = -2

denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

Mutlak değer hiçbir zaman negatif olmaz. Sol taraf en az $0$ , sağ taraf $-2$ ; eşitlik hiçbir $x$ için sağlanmaz.

Sağ tarafta sayı yerine bilinmeyenli bir ifade varsa iki durumu yine yazarsın, ama bulduğun değerleri denetlemeden bırakamazsın.

Örnek

orta

Sağ tarafında bilinmeyen olan denklem

$|x - 3| = 2x$ denkleminin çözüm kümesini bul.

Sol taraf bir mutlak değerdir, negatif olamaz. Öyleyse sağ taraf da negatif olamaz: $2x \ge 0$ , yani $x \ge 0$ . Bu koşulu bir kenara yaz.

Birinci durum: $x - 3 = 2x$ , buradan $x = -3$ . Koşulu sağlamıyor ( $-3 < 0$ ); bu değer çözüm değildir.

İkinci durum: $x - 3 = -2x$ , $3x = 3$ , $x = 1$ . Koşulu sağlıyor. Sağlama: $|1 - 3| = 2$ ve $2 \cdot 1 = 2$ .

Sonuç

$\text{Ç} = \{1\}$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

|x - 1| = |x + 5|

denkleminin çözümü kaçtır?

Açıklama

$x - 1 = x + 5$ olamaz. $x - 1 = -(x + 5)$ ise $2x = -4$ , $x = -2$ . Uzaklık diliyle: $1$ ‘e ve $-5$ ‘e eşit uzaklıktaki sayı, ikisinin orta noktasıdır.

Mutlak değerli eşitsizlikler

" $|x| < 3$ " demek “sıfıra uzaklığım $3$ ‘ten az” demektir: $-3$ ile $3$ arasındasın. " $|x| > 3$ " ise ” $3$ birimden uzaktayım” demektir: ya $3$ ‘ün sağında ya $-3$ ‘ün solundasın.

Sahnede $y = |x - 1|$ grafiği ve $y = r$ yatay çizgisi var. Düğmeyle " $<$ " ve " $>$ " arasında geç: grafiğin çizginin altında kaldığı yer tek parça bir aralık, üstünde kaldığı yer iki ayrı ışın. $r$ sürgüsünü değiştir; aralığın uçları $1 - r$ ve $1 + r$ olarak kayar.

|x - 1| < 3

içeride tek aralık:

(-2, 4)

|x - 1| > 3

dışarıda iki parça.

Örnek

orta

İçeride kalan aralık

$|2x - 3| \le 5$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bul.

“Küçük eşit” olduğu için mutlak değerin içi $-5$ ile $5$ arasında kalır. Tek bir zincir yaz; iki ayrı durum yazmaktan kısadır: $-5 \le 2x - 3 \le 5$ .

Üç tarafa da $3$ ekle: $-2 \le 2x \le 8$ . Üç tarafı da $2$ ‘ye böl: $-1 \le x \le 4$ .

Uçları sına: $x = -1$ için $|-5| = 5 \le 5$ , $x = 4$ için $|5| = 5 \le 5$ . İkisi de dahil.

Sonuç

$\text{Ç} = [-1, 4]$

Örnek

orta

Dolum makinesinin toleransı

Bir dolum makinesi şişelere $500$ mL su doldurmaya ayarlıdır. Şişedeki su miktarı $500$ mL’den $6$ mL’den fazla saparsa şişe ayrılıyor. Kabul edilen şişelerdeki $x$ mL su miktarını bir mutlak değerli eşitsizlikle ve bir aralıkla ifade et. $493$ mL’lik şişe kabul edilir mi?

“Sapma” yön gözetmez: fazla da eksik de olabilir. Bu, $x$ ile $500$ arasındaki uzaklıktır: $|x - 500|$ .

Kabul koşulu sapmanın en çok $6$ olmasıdır: $|x - 500| \le 6$ . Zinciri aç: $-6 \le x - 500 \le 6$ , yani $494 \le x \le 506$ .

$493$ için sapma $|493 - 500| = 7$ ‘dir; $6$ ‘dan büyük.

Sonuç

$|x - 500| \le 6$ , yani $x \in [494, 506]$ . $493$ mL’lik şişe kabul edilmez.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

|x + 1| > 3

eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

$x + 1 > 3$ ise $x > 2$ ; $x + 1 < -3$ ise $x < -4$ . İki parça “veya” ile birleşir: $(-\infty, -4) \cup (2, \infty)$ .

Örnek

orta

İki sınır arasında mutlak değer

$1 < |x - 3| \le 4$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bul. Bu kümede kaç tam sayı vardır?

Uzaklık diliyle oku: $x$ ‘in $3$ ‘e uzaklığı $1$ ‘den fazla, en çok $4$ . Bu, $3$ ‘ün sağında bir parça ve solunda onun simetriği demektir.

Sağ parça: $1 < x - 3 \le 4$ , üç tarafa $3$ ekle: $4 < x \le 7$ .

Sol parça: $-4 \le x - 3 < -1$ , üç tarafa $3$ ekle: $-1 \le x < 2$ . Uçların dahil olup olmadığı sağ parçanın simetriğidir.

Tam sayılar: sol parçada $-1, 0, 1$ ; sağ parçada $5, 6, 7$ .

Sonuç

$\text{Ç} = [-1, 2) \cup (4, 7]$ ; kümede $6$ tam sayı vardır.

İki bilinmeyenli denklem sistemleri

$x + y = 5$ denklemini tek başına sağlayan sonsuz çok $(x, y)$ ikilisi vardır; bunlar analitik düzlemde bir doğru oluşturur. İkinci bir denklem ikinci bir doğru demektir. İkisini birlikte sağlayan ikili, iki doğrunun ortak noktasıdır.

Sahnede $x + y = 5$ doğrusu sabit, ikinci doğruyu sen ayarlıyorsun. Eğim ve kayma sürgüleriyle oyna: doğrular kesişiyorsa tek ortak nokta, paralelse hiç ortak nokta yok, üst üste gelirse her nokta ortak. Gösterge kesişim noktasının koordinatlarını yazar.

x + y = 5

x - y = 1

doğruları

(3, 2)

noktasında kesişir:

\text{Ç} = \{(3, 2)\}

Kesişim noktasını çizmeden bulmanın iki cebirsel yolu vardır. Yok etme: denklemleri uygun sayılarla çarpıp taraf tarafa toplayarak bir bilinmeyeni düşürürsün. Yerine koyma: bir denklemden bir bilinmeyeni yalnız bırakıp öbür denklemde yerine yazarsın.

Örnek

orta

Yok etme yöntemi

$2x + 3y = 12$ ve $3x - y = 7$ denklem sisteminin çözüm kümesini bul.

$y$ ‘nin katsayıları $3$ ve $-1$ . İkinci denklemi $3$ ile çarparsan $y$ ‘ler zıt işaretli ve eşit olur; bu yüzden $y$ ‘yi yok etmek daha kısadır: $9x - 3y = 21$ .

Birinci denklemle taraf tarafa topla: $(2x + 3y) + (9x - 3y) = 12 + 21$ , yani $11x = 33$ ve $x = 3$ .

$x = 3$ değerini daha yalın olan ikinci denklemde yerine yaz: $9 - y = 7$ , $y = 2$ .

İki denklemde de sına: $2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 12$ ve $3 \cdot 3 - 2 = 7$ .

Sonuç

$\text{Ç} = \{(3, 2)\}$

Örnek

orta

Tiyatro gişesi: yerine koyma yöntemi

Bir tiyatro oyununda tam bilet $80$ TL, öğrenci bileti $50$ TL’dir. Bir gösteride toplam $120$ bilet satılmış ve $8100$ TL toplanmıştır. Kaç öğrenci bileti satılmıştır?

İki bilinmeyen var: tam bilet sayısı $x$ , öğrenci bileti sayısı $y$ . İki bilgi iki denklem verir: $x + y = 120$ ve $80x + 50y = 8100$ .

İlk denklemde katsayılar $1$ olduğu için yerine koyma kolaydır: $x = 120 - y$ . Bunu ikinci denklemde yaz: $80(120 - y) + 50y = 8100$ .

Aç ve topla: $9600 - 80y + 50y = 8100$ , yani $-30y = -1500$ ve $y = 50$ . Buradan $x = 70$ .

Sına: $70 + 50 = 120$ bilet; $70 \cdot 80 + 50 \cdot 50 = 5600 + 2500 = 8100$ TL.

Sonuç

$50$ öğrenci bileti satılmıştır.

İki doğru her zaman tek noktada kesişmez. Katsayıların oranı hangi durumda olduğunu çizmeden söyler.

2x + y = 4

2x + y = -2

: aynı eğim, farklı sabit. Doğrular paralel, çözüm kümesi boş.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

x + 2y = 4

2x + 4y = 5

sisteminin çözüm kümesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Açıklama

$\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} \neq \dfrac{4}{5}$ . Doğrular paraleldir. Cebirle de görülür: ilk denklemi $2$ ile çarpınca $2x + 4y = 8$ olur; aynı ifade hem $8$ hem $5$ olamaz.

İleri

Sınav düzeyi: işaret incelemesi, iki mutlak değer, bölgeler

Mutlak değerli eşitlikten işaret okumak

Sınav sorularında mutlak değer çoğu zaman çözülmek için değil, işaret bilgisi vermek için oradadır. Üç okuma işini görür:

$|A| = B$ ise $B \ge 0$ (mutlak değer negatif olamaz).
$|A| = -A$ ise $A \le 0$ ; $|A| = A$ ise $A \ge 0$ .
$|A| = 0$ ise $A = 0$ .

Örnek

zor

Eşitliklerden işaretleri çıkarma

$a$ ve $b$ sıfırdan farklı gerçek sayılar olmak üzere

$|a| = -a, \qquad |a \cdot b| = -a \cdot b, \qquad |a - b| = 6, \qquad |b| = 2 \cdot |a|$

eşitlikleri veriliyor. $a \cdot b$ çarpımı kaçtır?

İlk eşitlik bir işaret bilgisidir: $|a| = -a$ ise $a \le 0$ . $a$ sıfır olmadığından $a < 0$ .

İkinci eşitlik de öyle: $|a \cdot b| = -a \cdot b$ ise $a \cdot b \le 0$ ; sayılar sıfırdan farklı olduğundan $a \cdot b < 0$ . $a$ negatifti, öyleyse $b > 0$ .

Artık mutlak değerler açılır. $a < 0 < b$ olduğundan $a - b$ negatiftir: $|a - b| = b - a = 6$ . Ayrıca $|b| = b$ ve $|a| = -a$ olduğundan $b = -2a$ .

Yerine koy: $-2a - a = 6$ , $a = -2$ ve $b = 4$ . Sağlama: $|-2| = 2$ , $|-8| = 8$ , $|-6| = 6$ , $|4| = 2 \cdot 2$ .

Sonuç

$a \cdot b = -8$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

a < b < 0

olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

Açıklama

İki negatif sayının çarpımı pozitiftir. Öbür seçenekleri bir sayı ikilisiyle ( $a = -3$ , $b = -2$ ) denemek yanlış olduklarını hemen gösterir.

İki mutlak değerli denklem ve eşitsizlikler

$|x - 1| + |x - 5|$ ifadesi, $x$ ‘in $1$ ‘e ve $5$ ‘e uzaklıklarının toplamıdır. Mutlak değerlerin içini sıfır yapan $1$ ve $5$ kritik noktalardır; sayı doğrusunu üç bölgeye ayırırlar ve her bölgede mutlak değerlerin nasıl açılacağı bellidir.

Bölge	$\lvert x - 1 \rvert$	$\lvert x - 5 \rvert$	Toplam
$x < 1$	$1 - x$	$5 - x$	$6 - 2x$
$1 \le x \le 5$	$x - 1$	$5 - x$	$4$
$x > 5$	$x - 1$	$x - 5$	$2x - 6$

Sahnede $x$ noktasını sayı doğrusunda sürükle: $1$ ‘e ve $5$ ‘e uzaklıkları iki renkli parça olarak görünür, üstteki grafik toplamlarını çizer. $1$ ile $5$ arasında gezerken biri uzar, öbürü aynı miktarda kısalır; toplam $4$ ‘te sabit kalır. $k$ sürgüsüyle yatay çizgiyi kaydır ve $|x - 1| + |x - 5| = k$ denkleminin kaç çözümü olduğunu say.

y = |x - 1| + |x - 5|

: en küçük değer

4

;

y = 10

çizgisini

x = -2

x = 8

'de keser.

Örnek

zor

İki mutlak değerli denklem

$|x - 1| + |x - 5| = 10$ denkleminin çözüm kümesini bul.

Kritik noktalar $1$ ve $5$ . Aradaki bölgede toplam hep $4$ ‘tür ve $4 \neq 10$ ; orada çözüm yok. Geriye iki dış bölge kalır.

$x < 1$ bölgesi: iki mutlak değerin de içi negatif, ikisi de işaret değiştirerek açılır. $(1 - x) + (5 - x) = 10$ , $6 - 2x = 10$ , $x = -2$ . Bölge koşulunu sağlıyor ( $-2 < 1$ ).

$x > 5$ bölgesi: ikisinin de içi pozitif. $(x - 1) + (x - 5) = 10$ , $2x - 6 = 10$ , $x = 8$ . Bölge koşulunu sağlıyor ( $8 > 5$ ).

Sağlama: $|-3| + |-7| = 10$ ve $|7| + |3| = 10$ . Simetriye de bak: iki çözüm, $1$ ile $5$ ‘in orta noktası olan $3$ ‘e eşit uzaklıkta.

Sonuç

$\text{Ç} = \{-2, 8\}$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

|x - 1| + |x - 5| = 3

denkleminin kaç gerçek çözümü vardır?

Açıklama

Uzaklıklar toplamı en az $1$ ile $5$ arasındaki uzaklık kadardır: $4$ . Toplam $3$ olamaz. Bu, üçgen eşitsizliğinin bir sonucudur: $|x - 1| + |5 - x| \ge |(x - 1) + (5 - x)| = 4$ .

Örnek

zor

Tam sayı çözüm sayısından parametre

$a$ pozitif bir gerçek sayı olmak üzere $|x - 2| < a$ eşitsizliğini sağlayan tam $5$ tane $x$ tam sayısı vardır. $a$ ‘nın alabileceği değerlerin en geniş aralığını bul.

Eşitsizlik “ $x$ ‘in $2$ ‘ye uzaklığı $a$ ‘dan küçük” diyor. $2$ ‘ye uzaklığı küçükten büyüğe sıralanmış tam sayılar: $2$ (uzaklık $0$ ); $1$ ve $3$ (uzaklık $1$ ); $0$ ve $4$ (uzaklık $2$ ); $-1$ ve $5$ (uzaklık $3$ ).

Tam $5$ tam sayı için $0, 1, 2, 3, 4$ içeride olmalı: en uzaktakilerin uzaklığı $2$ ‘dir ve $2 < a$ gerekir.

Altıncı ve yedinci tam sayılar ( $-1$ ve $5$ ) dışarıda kalmalı: $3 < a$ olmamalı, yani $a \le 3$ . $a = 3$ iken $|5 - 2| = 3 < 3$ yanlıştır; $3$ dahildir.

Sonuç

$a \in (2, 3]$

İki bilinmeyenli eşitsizlik sistemleri

$y = -x + 4$ bir doğrudur. $y \le -x + 4$ ise o doğrunun üzerindeki ve altındaki bütün noktalardır: bir yarı düzlem. İki eşitsizlikten oluşan bir sistemin çözümü, iki yarı düzlemin ortak bölgesidir; çözüm bir sayı ya da aralık değil, düzlemde bir bölgedir.

Sahnede $y \le -x + 4$ ve $y > x - 2$ yarı düzlemleri iki ayrı renkle boyalı; üst üste bindikleri yer çözüm bölgesi. Deneme noktasını sürükle: gösterge iki eşitsizliği ayrı ayrı sınar. Noktayı kesikli sınırın tam üzerine getir ve ikinci eşitsizliğin sağlanmadığını gör.

y \le -x + 4

y > x - 2

sisteminin çözüm bölgesi. Kesikli sınır ve üzerindeki

(3, 1)

noktası bölgeye dahil değil.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Aşağıdaki noktalardan hangisi

y \le -x + 4

y > x - 2

eşitsizlik sisteminin bir çözümüdür?

Açıklama

$(1, 2)$ için $2 \le -1 + 4 = 3$ doğru ve $2 > 1 - 2 = -1$ doğru. Bir noktanın çözüm olması için bütün eşitsizlikleri sağlaması gerekir.

Örnek

zor

Kırtasiye alışverişi

Elif’in $60$ TL’si var. Tanesi $10$ TL olan defterlerden ve tanesi $5$ TL olan kalemlerden alacak. En az $2$ defter almak ve aldığı kalem sayısının defter sayısından fazla olmasını istiyor. Elif bu alışverişi kaç farklı biçimde yapabilir?

Defter sayısına $x$ , kalem sayısına $y$ de. Üç koşul üç eşitsizlik verir: bütçe $10x + 5y \le 60$ , yani $2x + y \le 12$ ; defter koşulu $x \ge 2$ ; kalem koşulu $y > x$ .

$x$ ve $y$ sayma sayısı olduğundan aradığımız, çözüm bölgesindeki tam sayı koordinatlı noktalardır. $x$ ‘e sırayla değer ver ve $y$ için kalan aralığı bul: $x < y \le 12 - 2x$ .

$x = 2$ için $2 < y \le 8$ : $y = 3, 4, 5, 6, 7, 8$ ( $6$ seçenek). $x = 3$ için $3 < y \le 6$ : $y = 4, 5, 6$ ( $3$ seçenek).

$x = 4$ için $4 < y \le 4$ olur; bunu sağlayan sayı yok. $x$ büyüdükçe üst sınır daha da küçülür; sayım burada biter.

Sonuç

$6 + 3 = 9$ farklı biçimde.

Özet

Bu konudan aklında kalacaklar

Aralık: köşeli parantez uç dahil, yuvarlak parantez dahil değil; $\infty$ yanında hep yuvarlak parantez.
Denklem $ax + b = 0$ : $a \neq 0$ ise tek çözüm $-\dfrac{b}{a}$ ; $0 \cdot x = b$ biçiminde $b \neq 0$ ise $\text{Ç} = \varnothing$ , $b = 0$ ise $\text{Ç} = \mathbb{R}$ .
Eşitsizlik: negatif sayıyla çarpar ya da bölersen yön ters döner. İşaretini bilmediğin ifadeyle çarpma.
Mutlak değer uzaklıktır: $|x - a|$ , $x$ ile $a$ arasındaki uzaklık. $|A| = B$ ise $B \ge 0$ .
$|f(x)| = a$ ( $a > 0$ ): $f(x) = a$ veya $f(x) = -a$ . Sağ taraf bilinmeyenliyse kökleri denetle.
$|x| \le a$ : $-a \le x \le a$ (içeride). $|x| \ge a$ : $x \le -a$ veya $x \ge a$ (dışarıda).
İki mutlak değer: kritik noktalar sayı doğrusunu bölgelere ayırır; her bölgede ayrı aç, bulduğun kökün bölgede olduğunu denetle.
Denklem sistemi: iki doğrunun ortak noktası; yok etme ya da yerine koyma. Kesişen: tek çözüm; paralel: boş küme; çakışık: sonsuz çözüm.
Eşitsizlik sistemi: yarı düzlemlerin ortak bölgesi; $\le$ , $\ge$ düz sınır, $<$ , $>$ kesikli sınır.

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

9 çıkmış soru7 özgün soru

2026 AYTSoru 3

Zor

Mutlak değerden işaret okuma

$a$ , $b$ ve $c$ sıfırdan farklı gerçel sayılardır.

\begin{aligned} &|a \cdot b \cdot c| = a \cdot b \\ &|a - c| = |c| \\ &|c - b| = -b \end{aligned}

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre $a + b + c$ toplamı kaçtır?

İpucu

Bir mutlak değere eşit olan ifade negatif olamaz. Üçüncü eşitlikten $b$ 'nin, birinciden $a \cdot b$ 'nin işaretini oku.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

1. $b$ 'nin işareti. $|c - b| = -b$ olduğundan $-b \ge 0$ ; $b \neq 0$ verildiği için $b < 0$ .

2. $a$ 'nın işareti ve $|c|$ . $|a \cdot b \cdot c| = a \cdot b$ eşitliğinde sol yan pozitiftir (sayılar sıfır değil), öyleyse $a \cdot b > 0$ . $b$ negatif olduğundan $a < 0$ . Ayrıca $|a \cdot b \cdot c| = |a \cdot b| \cdot |c| = a \cdot b \cdot |c|$ olduğundan $a \cdot b \cdot |c| = a \cdot b$ , yani $|c| = 1$ .

3. İkinci eşitlik. $|a - c| = |c|$ ise $a - c = c$ ya da $a - c = -c$ . İkincisi $a = 0$ verir, olamaz. Öyleyse $a = 2c$ . $a < 0$ olduğundan $c < 0$ ; $|c| = 1$ ile birlikte $c = -1$ ve $a = -2$ .

4. Üçüncü eşitlik. $|-1 - b| = |b + 1| = -b$ . $b + 1 = b$ olamaz; $b + 1 = -b$ ise $b = -\dfrac{1}{2}$ (negatif, koşula uygun).

$a + b + c = -2 - \dfrac{1}{2} - 1 = -\dfrac{7}{2}$

Sağlama: $|(-2) \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (-1)| = 1 = a \cdot b$ ; $|-2 + 1| = 1 = |c|$ ; $|-1 + \frac{1}{2}| = \dfrac{1}{2} = -b$ .

Cevap: E

2025 AYTSoru 3

Orta

Mutlak değerli denklem ve sayı doğrusu

$x$ , $y$ , $A$ ve $B$ gerçel sayılarının sayı doğrusundaki yerleri şekilde gösterilmiştir. Şekilde art arda gelen noktalar arasındaki uzaklıklar birbirine eşittir.

\begin{aligned} &|1 - y| = 3 \\ &|x| = y + 2 \end{aligned}

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre $A + B$ toplamı kaçtır?

İpucu

Denklemler birden çok $(x, y)$ ikilisi verir. Hangisinin geçerli olduğunu şekildeki sıra söyler: $x$ , $y$ 'nin solundadır.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 26)

Çözüm

1. $y$ için adaylar. $|1 - y| = 3$ ise $1 - y = 3$ ya da $1 - y = -3$ ; yani $y = -2$ ya da $y = 4$ .

2. $x$ için adaylar ve eleme. Şekle göre $x < y$ olmalı.

$y = -2$ ise $|x| = 0$ , $x = 0$ . Ama $0 > -2$ ; $x$ , $y$ 'nin sağında kalır. Olamaz.
$y = 4$ ise $|x| = 6$ , $x = 6$ ya da $x = -6$ . $x < 4$ olması gerektiğinden $x = -6$ .

3. Aralık uzunluğu. $x$ ile $y$ arasında iki eşit aralık var ( $x \to A \to y$ ): bir aralık $\dfrac{4 - (-6)}{2} = 5$ birimdir.

4. Noktalar. $A = -6 + 5 = -1$ ve $B = 4 + 5 = 9$ .

$A + B = -1 + 9 = 8$

Cevap: E

2025 AYTSoru 6

Orta

Aralıklara göre sıralama

$x$ ; $-1$ , $0$ ve $1$ sayılarından farklı bir gerçel sayıdır.

$\left\{ x^3,\ x^2,\ x,\ -x,\ -\frac{1}{x} \right\}$

kümesinin elemanları küçükten büyüğe doğru sıralanıyor.

Buna göre hangi eleman hiçbir zaman tam ortada yer almaz?

İpucu

Yasaklanan üç sayı sayı doğrusunu dört aralığa böler. Her aralıktan bir değer seçip beş elemanı sırala.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 27)

Çözüm

$-1$ , $0$ ve $1$ sayı doğrusunu dört aralığa ayırır. Her aralığın içinde beş elemanın sırası değişmez; birer değerle denemek yeterlidir.

$x > 1$ (deneme: $x = 2$ ): $-x < -\dfrac{1}{x} < x < x^2 < x^3$ ; ortada $x$ .
$0 < x < 1$ (deneme: $x = \dfrac{1}{2}$ ): $-\dfrac{1}{x} < -x < x^3 < x^2 < x$ ; ortada $x^3$ .
$-1 < x < 0$ (deneme: $x = -\dfrac{1}{2}$ ): $x < x^3 < x^2 < -x < -\dfrac{1}{x}$ ; ortada $x^2$ .
$x < -1$ (deneme: $x = -2$ ): $x^3 < x < -\dfrac{1}{x} < -x < x^2$ ; ortada $-\dfrac{1}{x}$ .

Örneğin $x = -2$ için değerler $-8, 4, -2, 2, \dfrac{1}{2}$ olur; sıralanınca ortada $\dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{x}$ kalır.

Ortada $x$ , $x^3$ , $x^2$ ve $-\dfrac{1}{x}$ birer kez yer aldı. Hiçbir aralıkta ortaya gelmeyen eleman $-x$ 'tir.

Cevap: D

2024 AYTSoru 5

Orta

Tam sayı çözüm sayısından parametre

$a$ bir tam sayıdır.

$0 < \left| x^2 - 2x + 2 \right| - x^2 - x < a$

eşitsizliğini sağlayan $x$ tam sayılarının sayısı tam olarak $4$ 'tür.

Buna göre $a$ tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

İpucu

Mutlak değerin içindeki ifadeyi tam kareye tamamla; işareti hiç değişiyor mu?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 27)

Çözüm

1. Mutlak değeri aç. $x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1$ her $x$ için pozitiftir. Mutlak değer olduğu gibi açılır:

$x^2 - 2x + 2 - x^2 - x = 2 - 3x$

Eşitsizlik birinci dereceye iner: $0 < 2 - 3x < a$ .

2. Sol yan. $0 < 2 - 3x$ ise $3x < 2$ , yani $x < \dfrac{2}{3}$ . Tam sayı adayları büyükten küçüğe $x = 0, -1, -2, -3, -4, \dots$ olur.

3. Adaylarda ifadenin değeri. $2 - 3x$ sırasıyla $2, 5, 8, 11, 14, \dots$ değerlerini alır; $x$ küçüldükçe büyür.

4. Tam dört çözüm. İlk dört aday ( $x = 0, -1, -2, -3$ ) sağlamalı: en büyükleri için $11 < a$ . Beşinci aday ( $x = -4$ ) sağlamamalı: $14 < a$ yanlış olmalı, yani $a \le 14$ .

$11 < a \le 14$ ve $a$ tam sayı: $a \in \{12, 13, 14\}$ . Toplam $12 + 13 + 14 = 39$ .

Tuzak: $a = 14$ değerini dışarıda bırakmak. $a = 14$ iken $x = -4$ için $14 < 14$ yanlıştır; çözüm sayısı yine dörttür.

Cevap: C

2023 AYTSoru 1

Kolay

Denklem kurma

$n$ kenarlı bir çokgenin köşelerine birer çember çizilip içlerine doğal sayılar, çokgenin ortasına da bir $A$ doğal sayısı yazılarak bir sembol oluşturuluyor. Bu sembolün değeri, köşelerdeki çemberlerde yazan sayıların toplamının $n$ katına $A$ sayısı eklenerek bulunuyor.

Şekilde üstte bir örnek, altta ise birbirine eşit olan iki sembol verilmiştir.

Buna göre $x$ kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 25)

Çözüm

Sembolün değeri: (kenar sayısı) $\cdot$ (köşelerdeki sayıların toplamı) $+$ (ortadaki sayı).

1. Beşgen. $n = 5$ ; köşeler $x, 1, 2, 3, 5$ ; orta $6$ :

$5 \cdot (x + 1 + 2 + 3 + 5) + 6 = 5(x + 11) + 6 = 5x + 61$

2. Kare. $n = 4$ ; köşeler $4, 9, 7, 12$ ; orta $3$ :

$4 \cdot (4 + 9 + 7 + 12) + 3 = 4 \cdot 32 + 3 = 131$

3. Eşitle. $5x + 61 = 131$ , $5x = 70$ , $x = 14$ .

Tuzak: çarpanı her sembolde $3$ almak. Çarpan örnekteki sayı değil, o çokgenin kenar sayısıdır.

Cevap: E

2023 AYTSoru 6

Orta

Mutlak değerli eşitlikler ve denklem sistemi

$a$ , $b$ ve $c$ gerçel sayıları

\begin{aligned} &|a + b + c| = a + b \\ &|(a + b) \cdot c| = 8 \\ &|a - b - 8| = 0 \end{aligned}

eşitliklerini sağlamaktadır.

Buna göre $a \cdot b \cdot c$ çarpımı kaçtır?

İpucu

$a + b$ ifadesine tek bir harf ver. Birinci eşitlik bu harfin işaretini, üçüncü eşitlik $a - b$ değerini söyler.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 26)

Çözüm

$a + b = t$ diyelim.

1. Üçüncü eşitlik. Mutlak değeri sıfır olan ifade sıfırdır: $a - b - 8 = 0$ , yani $a - b = 8$ .

2. Birinci eşitlik. $|t + c| = t$ . Bir mutlak değere eşit olduğu için $t \ge 0$ . İçerisi ya $t$ ya da $-t$ 'dir:

$t + c = t$ ise $c = 0$ olur; o zaman ikinci eşitliğin sol yanı $0$ çıkar, $8$ olamaz.
$t + c = -t$ ise $c = -2t$ .

3. İkinci eşitlik. $|t \cdot c| = |t \cdot (-2t)| = 2t^2 = 8$ , yani $t^2 = 4$ . $t \ge 0$ olduğundan $t = 2$ ve $c = -4$ .

4. Sistem. $a + b = 2$ ve $a - b = 8$ taraf tarafa toplanır: $2a = 10$ , $a = 5$ , $b = -3$ .

$a \cdot b \cdot c = 5 \cdot (-3) \cdot (-4) = 60$

Sağlama: $|5 - 3 - 4| = 2 = a + b$ , $|2 \cdot (-4)| = 8$ , $|5 + 3 - 8| = 0$ .

Cevap: E

2020 AYTSoru 5

Orta

Eşitsizlik zincirinden işaret ve sıralama

$a$ , $b$ ve $c$ gerçel sayıları

$a - b < 0 < c < c - b$

eşitsizliğini sağlamaktadır.

Buna göre

I. $a \cdot b \cdot c > 0$
II. $(a + c) \cdot b > 0$
III. $b - a + c > 0$

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

İpucu

Zinciri üç ayrı eşitsizliğe böl; her biri bir sayının işaretini ya da iki sayının sırasını söyler.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 26)

Çözüm

1. Zinciri parçala.

$a - b < 0$ ise $a < b$ .
$0 < c$ ise $c$ pozitiftir.
$c < c - b$ ise iki yandan $c$ çıkarılır: $0 < -b$ , yani $b < 0$ .

Hepsi birlikte: $a < b < 0 < c$ .

2. Öncüller.

I. $a$ ve $b$ negatif, $c$ pozitif. İki negatifin çarpımı pozitif, pozitifle çarpınca yine pozitif: her zaman doğru.
II. $b < 0$ olduğundan çarpımın işareti $a + c$ 'ye bağlıdır ve $a + c$ 'nin işareti belli değildir. $a = -2$ , $b = -1$ , $c = 5$ koşulu sağlar ( $-1 < 0 < 5 < 6$ ) ama $(a + c) \cdot b = 3 \cdot (-1) = -3$ olur: her zaman doğru değil.
III. $b - a > 0$ (çünkü $a < b$ ) ve $c > 0$ ; iki pozitifin toplamı pozitiftir: her zaman doğru.

Doğru olanlar I ve III.

Cevap: D

2019 AYTSoru 10

Kolay

Eşitsizlik ve aralık

$a$ bir gerçel sayıdır. $x + 1 \le a$ eşitsizliği için şunlar biliniyor:

$x = 0$ değeri bu eşitsizliği sağlıyor.
$x = 4$ değeri bu eşitsizliği sağlamıyor.

Buna göre $a$ sayısının alabileceği bütün değerleri veren en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

1. Sağlayan değer. $x = 0$ yazılır: $0 + 1 \le a$ , yani $a \ge 1$ . Eşitlik hâli de geçerli olduğundan $1$ dahildir.

2. Sağlamayan değer. $x = 4$ için $4 + 1 \le a$ ifadesi yanlış olmalıdır. $5 \le a$ yanlışsa $a < 5$ 'tir; $a = 5$ olsaydı $5 \le 5$ doğru olurdu, bu yüzden $5$ dahil değildir.

3. Birleştir. $1 \le a < 5$ , yani $a \in [1, 5)$ .

Tuzak: "sağlamaz" bilgisini $a \le 5$ diye yazmak. $\le$ işaretinin tersi $>$ işaretidir, $\ge$ değil.

Cevap: E

2019 AYTSoru 11

Orta

Mutlak değerden işaret okuma

$a$ , $b$ ve $c$ birbirinden farklı gerçel sayılardır ve

$a + b = |a|$

$b + c = |b|$

eşitliklerini sağlamaktadır.

Buna göre $a$ , $b$ ve $c$ sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

İpucu

$a$ 'nın işareti için iki olasılığı ayrı ayrı dene. Biri sayıların "birbirinden farklı" olmasıyla çelişecek.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

1. $a \ge 0$ olabilir mi? O zaman $|a| = a$ ve ilk eşitlik $a + b = a$ , yani $b = 0$ verir. İkinci eşitlik $0 + c = |0|$ , yani $c = 0$ olur. $b = c$ çıkar; sayılar farklı olduğundan bu durum olamaz.

2. Öyleyse $a < 0$ . $|a| = -a$ olduğundan $a + b = -a$ , yani $b = -2a$ . $a$ negatif olduğu için $b > 0$ .

3. $b > 0$ bilgisini kullan. $|b| = b$ olduğundan ikinci eşitlik $b + c = b$ , yani $c = 0$ verir.

4. Sırala. $a < 0$ , $c = 0$ , $b > 0$ : $a < c < b$ .

Sağlama: $a = -1$ , $b = 2$ , $c = 0$ için $-1 + 2 = 1 = |-1|$ ve $2 + 0 = 2 = |2|$ .

Cevap: B

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Birinci dereceden denklem

$\dfrac{x - 1}{2} - \dfrac{x + 2}{3} = 1$

denklemini sağlayan $x$ değeri kaçtır?

Çözüm

İki yan $6$ ile çarpılır (sağdaki $1$ dahil):

$3(x - 1) - 2(x + 2) = 6$

$3x - 3 - 2x - 4 = 6 \quad\Rightarrow\quad x - 7 = 6 \quad\Rightarrow\quad x = 13$

Sağlama: $\dfrac{12}{2} - \dfrac{15}{3} = 6 - 5 = 1$ .

Çeldirici: ikinci parantez açılırken $-2 \cdot 2 = +4$ alınırsa $x = 5$ bulunur. Paydaları yok ederken sağdaki $1$ 'i de $6$ ile çarpmayı unutma.

Cevap: E

Özgün soru2

Kolay

Aralıklar

$A = [-2, 5)$ ve $B = (1, 8]$ aralıkları veriliyor.

Buna göre $A \cap B$ kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Çözüm

Kesişim, iki aralıkta birden bulunan sayılardır. $B$ solda $1$ 'de (dahil değil) başlar, $A$ sağda $5$ 'te (dahil değil) biter:

$A \cap B = (1, 5)$

Bu aralıktaki tam sayılar $2$ , $3$ ve $4$ 'tür; toplamları $9$ .

Çeldiriciler uç hatalarıdır: $1$ dahil sayılırsa $10$ , $5$ dahil sayılırsa $14$ , ikisi de sayılırsa $15$ çıkar.

Cevap: B

Özgün soru3

Orta

Mutlak değerli eşitsizlik

$3 \le |x - 2| < 6$

eşitsizliğini sağlayan tam sayıların toplamı kaçtır?

İpucu

$x$ 'in $2$ 'ye uzaklığı en az $3$ , $6$ 'dan az. $2$ 'nin iki yanında birer parça var.

Çözüm

Sağ parça. $3 \le x - 2 < 6$ ise $5 \le x < 8$ : tam sayılar $5, 6, 7$ .

Sol parça. $-6 < x - 2 \le -3$ ise $-4 < x \le -1$ : tam sayılar $-3, -2, -1$ .

Toplam: $(5 + 6 + 7) + (-3 - 2 - 1) = 18 - 6 = 12$ .

Çeldiriciler: $6$ tam sayıların sayısıdır, toplamı değil; $18$ yalnızca sağ parçanın toplamıdır; iki uç da dahil sayılırsa ( $8$ ve $-4$ eklenirse) toplam $16$ olur.

Cevap: B

Özgün soru4

Orta

Denklem sisteminin çözüm sayısı

$a$ ve $b$ gerçel sayılar olmak üzere

\begin{aligned} ax + 2y &= 6 \\ 3x + 6y &= b \end{aligned}

denklem sisteminin sonsuz çoklukta çözümü vardır.

Buna göre $a + b$ toplamı kaçtır?

İpucu

Sonsuz çözüm, iki denklemin aynı doğruyu göstermesi demektir. Bir denklemi bir sayıyla çarpınca öbürü çıkmalı.

Çözüm

Sonsuz çözüm için doğrular çakışık olmalı; katsayıların üçü de aynı oranda olmalıdır:

$\dfrac{a}{3} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{6}{b}$

Ortadaki oran $\dfrac{1}{3}$ 'tür. $\dfrac{a}{3} = \dfrac{1}{3}$ ise $a = 1$ ; $\dfrac{6}{b} = \dfrac{1}{3}$ ise $b = 18$ .

$a + b = 1 + 18 = 19$

Sağlama: $x + 2y = 6$ denklemi $3$ ile çarpılınca $3x + 6y = 18$ olur; iki denklem aynı doğrudur.

Cevap: C

Özgün soru5

Orta

Eşitsizlik sisteminin çözüm bölgesi

Şekildeki dik koordinat düzleminde $d_1$ doğrusu $(-1, 0)$ ve $(0, 1)$ noktalarından, $d_2$ doğrusu $(5, 0)$ ve $(0, 5)$ noktalarından geçmektedir. $d_1$ düz çizgiyle, $d_2$ kesikli çizgiyle çizilmiştir; düz çizgi üzerindeki noktalar taralı bölgeye dahildir, kesikli çizgi üzerindekiler dahil değildir.

Buna göre taralı bölge aşağıdaki eşitsizlik sistemlerinden hangisinin çözüm kümesidir?

İpucu

Önce iki doğrunun denklemini yaz. Sonra taralı bölgeden kolay bir nokta seç, örneğin $(2, 0)$ , ve iki denklemde de dene.

Çözüm

1. Doğrular. $d_1$ : $(-1, 0)$ ve $(0, 1)$ noktalarından geçer; eğim $1$ , $y$ eksenini $1$ 'de keser: $y = x + 1$ . $d_2$ : $(5, 0)$ ve $(0, 5)$ noktalarından geçer: $x + y = 5$ .

2. Deneme noktası. $(2, 0)$ taralı bölgededir.

$d_1$ için: $0$ ile $2 + 1 = 3$ karşılaştırılır; $0 < 3$ , yani bölge $y \le x + 1$ tarafındadır.
$d_2$ için: $2 + 0 = 2 < 5$ , yani bölge $x + y < 5$ tarafındadır.

3. Sınırlar. $d_1$ düz çizgi: sınır dahil, $\le$ . $d_2$ kesikli çizgi: sınır dahil değil, $<$ .

Sistem: $y \le x + 1$ ve $x + y < 5$ .

Çeldiriciler: B ve C sınırların dahil olup olmadığını karıştırır; A ve E bölgenin yanlış tarafını seçer.

Cevap: D

Özgün soru6

Zor

İki mutlak değerli eşitsizlik

$|x + 2| + |x - 4| \le 10$

eşitsizliğini sağlayan kaç tam sayı vardır?

İpucu

Kritik noktalar $-2$ ve $4$ . Aralarında toplam sabittir; dış bölgelerde birer birinci dereceden eşitsizlik çıkar.

Çözüm

İfade, $x$ 'in $-2$ 'ye ve $4$ 'e uzaklıklarının toplamıdır. Kritik noktalar $-2$ ve $4$ .

1. $-2 \le x \le 4$ . Toplam $(x + 2) + (4 - x) = 6$ olur; $6 \le 10$ her zaman doğru. Bu bölgenin tamamı çözümdür.

2. $x < -2$ . İki mutlak değerin de içi negatif: $(-x - 2) + (4 - x) = 2 - 2x \le 10$ , yani $x \ge -4$ . Bu bölgeden $-4 \le x < -2$ gelir.

3. $x > 4$ . İkisinin de içi pozitif: $(x + 2) + (x - 4) = 2x - 2 \le 10$ , yani $x \le 6$ . Bu bölgeden $4 < x \le 6$ gelir.

4. Birleştir. Çözüm kümesi $[-4, 6]$ 'dır. Tam sayılar $-4$ 'ten $6$ 'ya: $6 - (-4) + 1 = 11$ tane.

Sağlama: $x = 6$ için $8 + 2 = 10$ (dahil), $x = 7$ için $9 + 3 = 12$ (dahil değil).

Cevap: C

Özgün soru7

Zor

Mutlak değerli eşitsizlik ve parametre

$a$ ve $b$ gerçel sayılar olmak üzere $|x - a| \le 4$ eşitsizliğinin çözüm kümesi $[b, 11]$ aralığıdır.

Buna göre $|x - b| > a$ eşitsizliğini sağlamayan kaç tam sayı vardır?

İpucu

Bir eşitsizliği sağlamayan sayılar, onun tersini sağlayan sayılardır. $>$ işaretinin tersi $\le$ işaretidir.

Çözüm

1. $a$ ve $b$ . $|x - a| \le 4$ ise $a - 4 \le x \le a + 4$ . Çözüm kümesi $[b, 11]$ olduğundan $a + 4 = 11$ , $a = 7$ ve $b = a - 4 = 3$ .

2. Sağlamayanlar. $|x - 3| > 7$ eşitsizliğini sağlamayan sayılar $|x - 3| \le 7$ eşitsizliğini sağlar:

$-7 \le x - 3 \le 7 \quad\Rightarrow\quad -4 \le x \le 10$

3. Say. $-4$ 'ten $10$ 'a tam sayılar: $10 - (-4) + 1 = 15$ tane.

Tuzak: tersini $|x - 3| < 7$ diye almak. O zaman uçlar ( $-4$ ve $10$ ) dışarıda kalır ve $13$ bulunur.

Cevap: C