Birinci Dereceden Denklemler, Eşitsizlikler ve Mutlak Değer

Bir kefede üç gizemli kutu ve iki ağırlık, öbür kefede on bir ağırlık var. Terazi dengede: iki kefe eşit ağır. Kutuları açmadan, bir kutunun kaç ağırlık geldiğini bulabilir miyiz?

Bir kutunun ağırlığına $x$ diyelim. Sol kefede $3x + 2$, sağ kefede $11$ ağırlık var ve ikisi eşit. İçinde bilinmeyen bulunan böyle bir eşitliğe denklem denir.

İki kefeden de ikişer ağırlık al: terazi yine dengede. Eşitliğin iki yanına aynı işlemi yaparsan eşitlik bozulmaz. Geriye $3x = 9$ kalır.

Üç kutu dokuz ağırlığa denk. İki kefeyi de 3'e böl: bir kutu üç ağırlığa denk, yani $x = 3$. Denklemi sağlayan bu değer çözümdür: $\text{Ç} = \{3\}$.

Şimdi iki kefede de kutu var: $4x + 1 = 2x + 7$. Önce iki yandan $2x$, sonra $1$ çıkar, en sonda iki yanı $2$'ye böl. Terazi her adımda dengede kalır ve yine $x = 3$ çıkar.

Kefeler eşit değilse terazi eğilir, ağır kefe aşağı iner: $2x + 1 > 7$. Buna eşitsizlik denir. İki yandan $1$ çıkar, iki yanı $2$'ye böl: terazi hep aynı yana eğik kalır ve $x > 3$ bulunur.

$3$'ten ağır her kutu teraziyi sola eğer. Bu sayıların hepsi sayı doğrusunda bir aralık oluşturur: $(3, \infty)$. $3$ dahil değil, bu yüzden uçta içi boş nokta var; $x \ge 3$ olsaydı nokta dolu olurdu.

Solda $2$, sağda $5$ ağırlık: $2 < 5$. İki yanı $-1$ ile çarp: her ağırlık, aynı güçle yukarı çeken bir balona dönüşür. Çok balonlu kefe yükselir, terazi ters eğilir: $-2 > -5$.

$5 - 2x \le 11$ ise iki yandan $5$ çıkar: $-2x \le 6$. İki yanı $-2$'ye bölünce yön döner: $x \ge -3$. Yönü çevirmeyi unutursan ışın ters yana boyanır; $x = 0$ ile sına: $5 \le 11$ doğru.

$-4$ ile $4$ farklı sayılar ama ikisi de sıfıra 4 birim uzakta. Bir sayının sıfıra uzaklığına o sayının mutlak değeri denir: $|-4| = |4| = 4$. Uzaklık negatif olamaz; $x$ negatifken $|x| = -x$ olur.

$|x - 2|$, $x$ ile $2$ arasındaki uzaklıktır. $|x - 2| = 3$ diyor ki: $x$, $2$'ye $3$ birim uzakta. Böyle iki sayı var, biri solda biri sağda: $-1$ ve $5$.

$|x - 2| < 3$: $2$'ye uzaklığı $3$'ten az olan sayılar, yani $(-1, 5)$ aralığı. $|x - 2| > 3$ ise $3$ birimden uzak olanlar: iki ayrı ışın, $x < -1$ veya $x > 5$; uçlar iki durumda da dahil değil.

İki bilinmeyenli bir denklemin çözümleri düzlemde bir doğru çizer. İki denklemi birlikte sağlayan ikili, doğruların kesişim noktasıdır: $(3, 2)$. Doğrular paralelse çözüm yok, çakışıksa sonsuz çözüm var.

$|x - 1| + |x - 5|$, $x$'in $1$'e ve $5$'e uzaklıklarının toplamıdır. $1$ ile $5$ arasında toplam hep $4$, dışarı çıktıkça büyür. Bu yüzden toplamın $8$ olduğu iki yer var ($-1$ ve $7$); toplam $3$ ise hiç olamaz.

$y \le -x + 4$ doğrunun altındaki, $y > x - 2$ doğrunun üstündeki yarı düzlemdir. Sistemin çözümü iki yarı düzlemin ortak bölgesidir (taralı). $\le$ için sınır düz çizilir ve dahildir; $>$ için kesikli çizilir, dahil değildir.

Denklem dengedeki terazidir: iki yana aynı işlemi yap. Eşitsizlik eğik terazidir: negatifle çarpar ya da bölersen yön döner, çözüm bir aralıktır. Mutlak değer uzaklıktır; sistemin çözümü doğruların kesişimidir.