8Konu 8 / 62
Temel Kavramlar

Basit Eşitsizlikler:Sıralama, Aralık ve Sınır Değerleri

Eşitsizliği bir aralık olarak okuyoruz. İki yana ekleme ve çarpma, negatifle yön değişimi, ortak terimle sıralama, aralıklarla işlem, kesişim ve ortak tam sayılar, tam kısım, en az ve en çok koşulları; kapasite, süre ve yükseklik sınırları.

9 ve 11. sınıf
TYT sıklığı
40 dk

Görsel anlatımla başla16 adım · sıfırdan başlar · az yazı, bol 3B

LevhaBasit EşitsizliklerBasit Eşitsizlikler

Terazinin bir kefesinde üç eş elma, öbüründe $500$ g var; terazi elmalardan yana eğik. Bir elma kaç gramdır? Tek cevap yok: $3e > 500$ , yani $e > \dfrac{500}{3} \approx 166{,}7$ . Eşitsizlik bir aralık verir; soru çoğu zaman o aralığın sınırını ya da tam sayılarını sorar.

Isınma

Başlamadan: aralık, eşitsizlik, kesir

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

[-1, 3)

aralığında kaç tam sayı vardır?

Açıklama

Tam sayılar $-1, 0, 1, 2$ : dört tane. $-1$ kapalı uç, $3$ açık uç.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

2x - 3 < 7

eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı kaçtır?

Açıklama

$2x < 10 \Rightarrow x < 5$ . En büyük tam sayı $4$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\dfrac{3}{4}

\dfrac{5}{7}

\dfrac{7}{10}

sayılarından en büyüğü hangisidir?

Açıklama

$0{,}75 > 0{,}714\ldots > 0{,}7$ . Kesirleri sıralamak için Rasyonel ve Ondalık Sayılar sayfasına bak.

Temel

Aralık, yön ve sıralama

1. Sözcükten Sembole: En Az, En Çok, Fazla, Az

Soruda eşitsizlik çoğu zaman sözle gelir. Önce sembole çevir; uç dahil mi, değil mi, ona bak.

Sözle	Sembolle	Uç
en az $a$	$x \ge a$	dahil
en çok (en fazla) $a$	$x \le a$	dahil
$a$ ’dan fazla	$x > a$	hariç
$a$ ’dan az	$x < a$	hariç

Sayı doğrusundaki çubuğa bak: dolu bilye kapalı uç, içi boş halka açık uçtur. Çubuğun üstündeki her tam sayıya bir bayrak dikilir; bayrakları say.

En az

-2

4

’ten küçük:

-2 \le x < 4

. Tam sayılar

-2

’den

3

’e, altı tane.

Örnek

kolay

Aralıktaki tam sayılar

$-3 < x \le 4$ koşulunu sağlayan tam sayılar kaç tanedir? Toplamları kaçtır?

Uçlara bak: $-3$ hariç, $4$ dahil. İlk tam sayı $-2$ , son tam sayı $4$ .

Sayı: son − ilk + 1 $= 4 - (-2) + 1 = 7$ .

Toplam: $-2$ ile $2$ birbirini, $-1$ ile $1$ birbirini götürür; geriye $0 + 3 + 4 = 7$ kalır.

Sonuç

$7$ tam sayı; toplamları $7$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir kursa yaşı en az

12

18

’den küçük olanlar katılabiliyor. Katılanların yaşı kaç farklı tam sayı olabilir?

Açıklama

$12 \le x < 18$ : yaşlar $12, 13, \ldots, 17$ ; altı tane.

2. İki Yana Ekleme ve Çarpma: Negatifte Yön Döner

İki kefeye aynı ağırlığı koy ya da iki kefedekini birlikte iki katına çıkar: terazi aynı yana eğik kalır.

Şimdi $-1$ ile çarp: sayı doğrusu $0$ ’da aynalanır. Sağdaki $5$ , $-5$ olup en sola geçer; sıra ters döner.

2 < 5

iken

-2 > -5

-1

ile çarpmak noktaları

0

’a göre aynalar.

Örnek

kolay

Aralıktan ifadenin aralığına

$2 < x < 5$ olduğuna göre $7 - 3x$ ifadesi kaç farklı tam sayı değeri alır?

Üç tarafı $-3$ ile çarp; negatif olduğu için yön döner: $-6 > -3x > -15$ , yani $-15 < -3x < -6$ .

Üç tarafa $7$ ekle; yön değişmez: $-8 < 7 - 3x < 1$ .

İki uç da açık: tam sayılar $-7, -6, \ldots, 0$ .

Sonuç

$8$ farklı tam sayı değeri alır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

-1 \le x < 3

ise

-2x

hangi aralıktadır?

Açıklama

$-2$ ile çarp, yön döner: $2 \ge -2x > -6$ . Soldan sağa: $-6 < -2x \le 2$ . Dahil olan $-1$ ucu $2$ ’ye gider.

3. Sıralama: Ortak Terimi At, Farka Bak

İki blok kulesi yan yana: solda $\text{Ç} + \text{M}$ , sağda $\text{S} + \text{Ç}$ ; sol kule daha uzun. Ortak $\text{Ç}$ bloğunu iki kuleden de kaldır: aradaki fark değişmez, kalan $\text{M}$ bloğu $\text{S}$ ‘den uzundur.

Örnek

kolay

Ortak terimle sıralama

$x$ , $y$ , $z$ gerçel sayıları için $x + y < y + z$ ve $z - x < z - y$ olduğuna göre bu sayıları sırala.

İlkinde iki yanda $y$ var; at: $x < z$ .

İkincide iki yanda $z$ var; at: $-x < -y$ . $-1$ ile çarp, yön döner: $x > y$ .

Sonuç

$y < x < z$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

x > 3

olmak üzere

A = 2x - 1

B = x + 2

için hangisi doğrudur?

Açıklama

$A - B = (2x - 1) - (x + 2) = x - 3 > 0$ , yani $A > B$ .

Orta

Aralıklarla işlem, kesişim ve tam kısım

1. Toplama ve Çıkarma: Uçları Doğru Eşle

$x$ sürgüsü $[-2, 3]$ , $y$ sürgüsü $(1, 4]$ aralığında kayıyor; alttaki gösterge $x - y$ ’yi okur. Göstergeyi en sağa itmek için $x$ ’i sağa, $y$ ’yi sola çek: gösterge $2$ ’ye yaklaşır ama ulaşmaz.

-2 \le x \le 3

1 < y \le 4

: önce

2x

-y

, sonra toplam

-8 \le 2x - y < 5

Örnek

orta

İki değişkenli ifadenin sınırları

$-2 \le x \le 3$ ve $1 < y \le 4$ olduğuna göre $2x - y$ ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri ile en küçük tam sayı değerinin toplamı kaçtır?

$2$ ile çarp: $-4 \le 2x \le 6$ .

Çıkarmayı toplamaya çevir: $-1$ ile çarp, yön döner: $-4 \le -y < -1$ .

Aynı yöndekileri topla: $-8 \le 2x - y < 5$ . Sol uç dahil, sağ uç hariç.

En büyük tam sayı $4$ (ör. $x = 3$ , $y = 2$ ), en küçük $-8$ ( $x = -2$ , $y = 4$ ).

Sonuç

$4 + (-8) = -4$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

3 < a < 7

1 < b < 2

ise

a - b

hangi aralıktadır?

Açıklama

$-2 < -b < -1$ . Topla: $3 - 2 < a - b < 7 - 1$ , yani $1 < a - b < 6$ .

2. Çarpma ve Kare: Dört Köşeyi Dene

Dikdörtgen tabanın her noktasının üstünde yükseklik $x \cdot y$ olan eyer biçimli bir yüzey var. En yüksek ve en alçak nokta köşelerde; köşe direklerine bak.

Köşelerdeki çarpımlar

3

-2

8

-12

: en büyük

8

, en küçük

-12

Örnek

orta

Çarpımın aralığı

$-3 < x < 2$ ve $-1 < y < 4$ olduğuna göre $x \cdot y$ çarpımı kaç farklı tam sayı değeri alabilir?

Uçlar işaret değiştiriyor; dört köşeyi dene: $(-3)(-1) = 3$ , $(-3) \cdot 4 = -12$ , $2 \cdot (-1) = -2$ , $2 \cdot 4 = 8$ .

En küçük $-12$ , en büyük $8$ . Bütün uçlar açık olduğu için ikisi de alınmaz: $-12 < xy < 8$ .

Tam sayılar $-11$ ’den $7$ ’ye: $7 - (-11) + 1 = 19$ .

Sonuç

$19$ farklı tam sayı değeri.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

-4 \le x < 1

ise

x^2

hangi aralıktadır?

Açıklama

$x = 0$ ’da en küçük $0$ ; uzak uç $-4$ ’te en büyük $16$ (dahil).

3. Kesişim: İki Koşul Birlikte Doğru

İki koşul birlikte doğruysa çözüm, aralıkların ortak kısmıdır. Her ucun dahil-hariç bilgisi kendi koşulundan gelir.

İki paralel rayda iki çubuk var: mavi $(40, 60)$ , turuncu $[52, 70]$ . Çubukları kaydır: ikisinin ortak kısmı yeşil yanar, içindeki tam sayılara bayrak dikilir.

(40, 60)

ile

[52, 70]

’in ortak kısmı

[52, 60)

: sekiz tam sayı.

Örnek

orta

İki tahmin birlikte doğru

Bir kavanozdaki şeker sayısı için Ayşe “ $40$ ’tan fazla, $60$ ’tan az”, Burak “en az $52$ , en çok $70$ ” diyor. İki tahmin de doğru olduğuna göre şeker sayısı kaç farklı değer alabilir?

Bilinmeyen: şeker sayısı $n$ . Ayşe: $40 < n < 60$ . Burak: $52 \le n \le 70$ .

Ortak kısım: büyük alt sınır $52$ (dahil), küçük üst sınır $60$ (hariç): $52 \le n < 60$ .

$n$ tam sayı: $52, 53, \ldots, 59$ .

Sonuç

$8$ farklı değer.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

x \ge -1

2x < 9

koşullarını birlikte sağlayan kaç tam sayı vardır?

Açıklama

$2x < 9 \Rightarrow x < 4{,}5$ . Ortak: $-1 \le x < 4{,}5$ ; tam sayılar $-1, 0, 1, 2, 3, 4$ .

4. Tam Kısım Bir Aralık Verir

Gruplama dilinde de aynıdır: $A$ kişi $k$ ’şarlı gruplara ayrılınca $n$ tam grup oluşuyorsa $\dfrac{A}{k}$ ’nın tam kısmı $n$ ’dir.

7

’şerli

5

tam grup:

35 \le n < 42

4

’erli

9

tam grup:

36 \le n < 40

. Ortak:

36

–

39

Örnek

orta

Tam grup sayısından aralık

Bir kulübün öğrencileri $7$ ’şerli gruplara ayrılınca $5$ tam grup, $4$ ’erli gruplara ayrılınca $9$ tam grup oluşuyor; artan öğrenciler gruba alınmıyor. Öğrenci sayısı kaç farklı değer alabilir?

Öğrenci sayısı $n$ . $\dfrac{n}{7}$ ’nin tam kısmı $5$ : $35 \le n < 42$ .

$\dfrac{n}{4}$ ’ün tam kısmı $9$ : $36 \le n < 40$ .

Kesişim: $36 \le n < 40$ ; $n = 36, 37, 38, 39$ . Kontrol: $39 = 7 \cdot 5 + 4$ ve $39 = 4 \cdot 9 + 3$ .

Sonuç

$4$ farklı değer.

İleri

Sınav düzeyi: zincir, kesinlikle, en kötü durum

1. Zincirde Ortak Çarpanın İşaretini Bul

Zincirin her teriminde aynı harf çarpan olarak duruyorsa önce o harfin işaretini bul, sonra böl. Zincirde terim atlamak serbesttir: $p < q < r$ ise $p < r$ .

Örnek

zor

Eşitsizlik zinciri

$x$ , $y$ , $z$ gerçel sayıları için

3x < x \cdot y < x < x \cdot z

olduğuna göre $y$ bir tam sayı ise kaçtır? $z$ için ne söylenebilir?

Birinci ile üçüncü terim: $3x < x \Rightarrow 2x < 0 \Rightarrow x < 0$ .

$x \cdot y < x$ : negatif $x$ ’e böl, yön döner: $y > 1$ .

$3x < x \cdot y$ : yine böl, yön döner: $3 > y$ .

$x < x \cdot z$ : böl, yön döner: $1 > z$ .

Sonuç

$1 < y < 3$ olduğundan $y = 2$ ; $z < 1$ (ve $x < 0$ ).

2. “Kesinlikle” Soruları: Bilinmeyen Bir Aralıkta Gezer

Bilinmeyen bir büyüklük yalnızca bir aralıkla biliniyorsa “olabilir” için o aralıktaki bir değer yeter. “Kesinlikle” için koşul aralıktaki her değerde sağlanmalı; iki uçtaki en kötü durumu dene.

Üst raf, bilinmeyen $H$ yüksekliğinde $26 \le H < 27$ aralığında aşağı yukarı kayıyor. Yeşil bant kitabın $2$ ile $5$ cm üstü: raf her konumda bantta kalıyorsa kitap kesinlikle rahat durur.

Örnek

zor

Kitaplık rafı

Bir kitaplıkta iki raf arasındaki yükseklik $H$ cm’dir ve bilinmiyor. Rafa konan kitabın üstünde en az $2$ cm, en çok $5$ cm boşluk kalırsa kitap “rahat” durur. $24$ cm boyundaki kitap rahat duruyor, $25$ cm boyundaki kitap rahat durmuyor.

Buna göre $21$ cm, $22{,}5$ cm ve $24{,}5$ cm boyundaki kitaplardan hangileri kesinlikle rahat durur?

Kitap boyu $L$ ise rahat koşulu: $2 \le H - L \le 5$ .

$24$ cm rahat: $26 \le H \le 29$ .

$25$ cm rahat değil: $H - 25 < 2$ ya da $H - 25 > 5$ , yani $H < 27$ ya da $H > 30$ . İlk bilgiyle birlikte $26 \le H < 27$ .

Her $H$ için $H - L \ge 2$ : en kötü durum $H = 26$ , $L \le 24$ . Her $H$ için $H - L \le 5$ : $H$ $27$ ’ye yaklaşırken $L \ge 22$ .

Sonuç

$22 \le L \le 24$ : yalnızca $22{,}5$ cm kesinlikle rahat durur.

3. Problem Kalıbı ve En Kötü Durum

Kısa yollar adlarıyla: ortak terimi at (sıralama), dört köşe (çarpım), en kötü durum (her biri / hiçbiri koşulları). “Hangi ikisi olursa olsun sığıyor” ise en ağır ikili bile sığar; “hangi üçü olursa olsun sığmıyor” ise en hafif üçlü bile sığmaz.

Örnek

zor

Gezi bütçesi ve otobüs kapasitesi

Bir kulüp $40$ kişilik bir otobüsü $3000$ TL’ye kiralıyor. Her katılımcı için ayrıca $60$ TL müze bileti ödenecek; katılımcı başına $150$ TL toplanıyor. Gezi sonunda kasada en az $300$ TL artması isteniyor. Katılımcı sayısı kaç farklı değer alabilir?

Katılımcı sayısı $n$ . Kalan para: $150n - (3000 + 60n) = 90n - 3000$ .

En az $300$ TL: $90n - 3000 \ge 300 \Rightarrow n \ge \dfrac{3300}{90} = 36{,}6\ldots$ ; $n$ tam sayı, yukarı yuvarla: $n \ge 37$ .

Kapasite: $n \le 40$ . Kontrol: $n = 37$ için $3330 - 3000 = 330$ TL kalır; $n = 36$ için $240$ TL, yetmez.

Sonuç

$n = 37, 38, 39, 40$ : $4$ farklı değer.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Kütleleri

3

5

6

7

kg olan dört paketten hangi ikisi konursa konsun bir torba yırtılmıyor, hangi üçü konursa konsun yırtılıyor. Torbanın taşıyabileceği en büyük kütle (kg) aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Açıklama

En kötü durum: en ağır ikili $13 \le K$ , en hafif üçlü $14 > K$ . $13 \le K < 14$ ; seçeneklerden $13{,}5$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

En çok

630

kg taşıyan bir asansörde

75

kg’lık bir görevli var. Tanesi

48

kg olan kolilerden en çok kaç tane yüklenebilir?

Açıklama

$75 + 48k \le 630 \Rightarrow k \le \dfrac{555}{48} \approx 11{,}56$ ; en çok $11$ koli.

Özet

Bu konudan aklında kalacaklar

Sözcükten sembole: en az $\ge$ , en çok $\le$ , fazla $>$ , az $<$ ; kapalı uç dahil, açık uç hariç.
Yön: iki yana ekleme ve pozitifle çarpma yönü korur; negatifle çarpma ya da bölme yönü çevirir.
Sıralama: ortak terimi at; $a - b > 0 \Leftrightarrow a > b$ .
Toplama ve çıkarma: $x + y$ için uçları topla; $x - y$ için önce $-y$ ’yi yaz, sonra topla.
Çarpım: dört köşe çarpımının en küçüğü ve en büyüğü; $x^2$ ’de aralık $0$ ’ı içeriyorsa en küçük $0$ .
Kesişim: büyük alt sınır ile küçük üst sınır; tam sayılar son − ilk + 1.
Tam kısım: $n \le x < n + 1$ ; $\dfrac{A}{k}$ için $nk \le A < (n + 1)k$ .
Kesinlikle: bilinmeyen aralıkta gezer; koşul her değerde, iki uçta da sağlanmalı.

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

9 çıkmış soru5 özgün soru

2025 TYTSoru 24

Kolay

Zaman aralıklarının kesişimi

Oğuz ile annesinin telefondaki mesajlaşması ve mesajların gönderildiği saatler şekilde verilmiştir.

Oğuz’un iki tahmini de doğru çıktığına göre, Oğuz eve vardığında telefon saatinin dakika hanesindeki sayının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 30)

Çözüm

1. İlk tahmin. 19.00’da “ $10$ ila $20$ dakika sonra”: varış 19.10 ile 19.20 arası.

2. İkinci tahmin. 19.06’da aynı söz: varış 19.16 ile 19.26 arası.

3. Kesişim. İkisi de doğru: varış 19.16 ile 19.20 arası; dakika $16, 17, 18, 19, 20$ .

4. Toplam. $16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 90$ .

Tuzak: yalnızca son tahmine bakmak; o zaman $16$ ’dan $26$ ’ya kadar bütün dakikalar sayılır.

Cevap: D

2023 TYTSoru 6

Orta

Eşitsizlik zincirinde işaret

$a$ , $b$ ve $c$ gerçel sayıları için

a > a \cdot b > 2 \cdot a > a \cdot c

olduğu biliniyor.

Buna göre $a$ , $b$ ve $c$ ’nin sayı doğrusundaki yerleri şekildeki gösterimlerden hangisi gibi olabilir?

İpucu

Zincirin birinci ve üçüncü terimini karşılaştırıp $a$ ’nın işaretini bul; sonra her halkayı $a$ ’ya böl.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 24)

Çözüm

1. $a$ ’nın işareti. $a > 2a \Rightarrow 0 > a$ ; $a$ negatif.

2. $a > a \cdot b$ . Negatif $a$ ’ya böl, yön döner: $1 < b$ .

3. $a \cdot b > 2a$ . Böl, yön döner: $b < 2$ .

4. $2a > a \cdot c$ . Böl, yön döner: $2 < c$ .

5. Sonuç. $a < 0$ , $1 < b < 2$ , $2 < c$ : A gösterimi.

Tuzak: $a$ ’ya yönü çevirmeden bölmek. Bu, $b < 1$ ile $b > 2$ gibi çelişkili bir sonuç verir.

Cevap: A

2023 TYTSoru 19

Zor

Kesinlikle sağlanan sınırlar

Bir kahve makinesi, bardak bölmesine konan bardağın uzunluğunu algılıyor. Makinenin çalışması için kahve çıkışı ile bardağın üst kenarı arasındaki mesafenin, şekilde gösterildiği gibi en az $11{,}5$ cm, en fazla $12{,}4$ cm olması gerekiyor.

Bölmeye $14{,}5$ cm uzunluğunda bir bardak konunca makine çalışıyor, $15{,}2$ cm uzunluğunda bir bardak konunca çalışmıyor.

Buna göre

I. $14{,}2$ cm
II. $14{,}4$ cm
III. $14{,}6$ cm

uzunluğundaki bardaklardan hangileri bölmeye konunca makine kesinlikle çalışır?

İpucu

Bölmenin tabanı ile kahve çıkışı arasındaki yüksekliğe $H$ de. İki bardak bilgisinden $H$ ’nin aralığını bul; “kesinlikle” için bu aralığın iki ucunu dene.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

1. Koşul. Bölme yüksekliği $H$ , bardak uzunluğu $L$ ise makine $11{,}5 \le H - L \le 12{,}4$ iken çalışır.

2. $14{,}5$ cm çalışıyor. $26 \le H \le 26{,}9$ .

3. $15{,}2$ cm çalışmıyor. $H - 15{,}2 < 11{,}5$ ya da $H - 15{,}2 > 12{,}4$ , yani $H < 26{,}7$ ya da $H > 27{,}6$ . İlk bilgiyle birlikte $26 \le H < 26{,}7$ .

4. Her $H$ için çalışma. $H - L \ge 11{,}5$ için en kötü durum $H = 26$ : $L \le 14{,}5$ . $H - L \le 12{,}4$ için $H$ , $26{,}7$ ’ye yaklaşırken: $L \ge 14{,}3$ .

5. Sonuç. $14{,}3 \le L \le 14{,}5$ ; yalnızca $14{,}4$ cm (II).

Tuzak: “olabilir” ile yetinmek. $14{,}2$ cm, $H = 26$ iken çalışır ama $H = 26{,}65$ iken çalışmaz; $14{,}6$ cm ise $H = 26$ iken çalışmaz.

Cevap: B

2022 TYTSoru 2

Orta

İki aralığın kesişimi

Yüksekliği $3$ metre olan ve beş eş çekmeceden oluşan bir dolap ile yüksekliği $2$ metre olan ve üç eş çekmeceden oluşan bir dolap, aralarında boşluk kalmayacak biçimde şekildeki gibi yan yana konuyor. Çekmeceler kapalıyken aralarında boşluk yoktur. İki dolabın ön yüzlerinin birleştiği çizgi üzerinde, şekilde gösterilen yerde bir boya lekesi vardır.

Buna göre lekenin yerden yüksekliği kaç metre olabilir?

İpucu

Her dolapta bir çekmecenin yüksekliğini bul. Leke soldaki dolabın kaçıncı, sağdakinin kaçıncı çekmecesi hizasında?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 25)

Çözüm

1. Çekmece yükseklikleri. Sol dolapta $3 : 5 = 0{,}6$ m, sağ dolapta $\dfrac{2}{3}$ m.

2. Sol dolap. Leke alttan $3$ . çekmecenin hizasında: $1{,}2 < h < 1{,}8$ .

3. Sağ dolap. Leke alttan $2$ . çekmecenin hizasında: $\dfrac{2}{3} < h < \dfrac{4}{3} \approx 1{,}33$ .

4. Kesişim. $1{,}2 < h < 1{,}33$ ; seçeneklerden yalnızca $1{,}3$ .

Tuzak: tek dolaba bakmak. Sol dolap tek başına $1{,}4$ ve $1{,}6$ ’ya da izin verir.

Cevap: B

2021 TYTSoru 6

Orta

Sözel koşullardan sıralama

Bilge, öğle yemeğinde birer porsiyon verilen çorba, salata ve meyveden ikisini, alması gereken kalori miktarına göre seçecek. Olası seçimleri için şunları hesaplamıştır:

Çorba ve meyve seçerse gereken kaloriyi aşıyor.
Meyve ve salata seçerse gereken kaloriyi aşmıyor.
Salata ve çorba seçerse gereken kaloriyi tam olarak alıyor.

Birer porsiyon çorba, meyve ve salatanın kalorileri sırasıyla $\text{Ç}$ , $\text{M}$ ve $\text{S}$ olduğuna göre bu değerlerin doğru sıralanışı hangisidir?

İpucu

Gereken kaloriye $K$ de. Üçüncü bilgiden $K = \text{S} + \text{Ç}$ ; bunu ötekilere yaz ve ortak terimi at.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 27)

Çözüm

1. Koşullar. $\text{Ç} + \text{M} > K$ , $\text{M} + \text{S} \le K$ , $\text{S} + \text{Ç} = K$ .

2. Birinci koşul. $\text{Ç} + \text{M} > \text{S} + \text{Ç}$ ; ortak $\text{Ç}$ ’yi at: $\text{M} > \text{S}$ .

3. İkinci koşul. $\text{M} + \text{S} \le \text{S} + \text{Ç}$ ; ortak $\text{S}$ ’yi at: $\text{M} \le \text{Ç}$ .

4. Sonuç. $\text{S} < \text{M} \le \text{Ç}$ .

Tuzak: “aşmıyor” bilgisini $<$ ile yazmak. Aşmamak eşitliği de içerir; bu yüzden $\text{M} \le \text{Ç}$ ’dir.

Cevap: D

2020 TYTSoru 8

Orta

Sayı doğrusundan çarpımın aralığı

Şekildeki sayı doğrusunda $K$ sayısının $1$ ’e uzaklığı, $L$ sayısının $2$ ’ye uzaklığına eşittir.

Buna göre $K \cdot L$ çarpımının değeri, şekildeki noktalardan hangisinin gösterdiği sayı olabilir?

İpucu

Şekilden $K$ ile $L$ ’nin hangi tam sayılar arasında olduğunu oku. Uzaklık eşitliğinden $K + L$ ’yi bul.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 25)

Çözüm

1. Şekilden oku. $1 < K < L < 2$ .

2. Eşitliği yaz. $K - 1 = 2 - L \Rightarrow K + L = 3$ .

3. Alt sınır. $K \cdot L - 2 = K(3 - K) - 2 = (K - 1)(2 - K) > 0$ , çünkü $1 < K < 2$ . Yani $K \cdot L > 2$ .

4. Üst sınır. $K < L$ ve $K + L = 3$ olduğundan $K < 1{,}5$ ; ayrıca $L < 2$ . Öyleyse $K \cdot L < 1{,}5 \cdot 2 = 3$ .

5. Seçenek. $2$ ile $3$ arasındaki tek nokta $D$ ’dir.

Tuzak: çarpımı iki sayının arasında bir yerde sanmak. $1$ ’den büyük iki sayının çarpımı ikisinden de büyüktür.

Cevap: D

2020 TYTSoru 16

Kolay

Aralıkların kesişimi ve tam sayılar

Bir bilgisayarın ses seviyesi, $100$ eş birime bölünmüş bir sürgüyle ayarlanıyor; ayar penceresinin altında bir hoparlör simgesi var. Simgenin görünümü ses seviyesine göre şöyle değişiyor:

en az $1$ , en çok $32$ birimde tek dalgalı,
en az $33$ , en çok $65$ birimde iki dalgalı,
en az $66$ , en çok $100$ birimde nokta ve iki dalgalı.

Başlangıçtaki ses seviyesi $17$ birim artırılınca simge nokta ve iki dalgalı, başlangıçtaki seviye $18$ birim azaltılınca simge tek dalgalı görünüyor.

Buna göre başlangıçtaki ses seviyesinin birim türünden alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

1. Bilinmeyen. Başlangıç seviyesi $x$ birim.

2. Artırınca. $66 \le x + 17 \le 100 \Rightarrow 49 \le x \le 83$ .

3. Azaltınca. $1 \le x - 18 \le 32 \Rightarrow 19 \le x \le 50$ .

4. Kesişim. $49 \le x \le 50$ ; toplam $49 + 50 = 99$ .

Tuzak: azaltınca $x - 18 \ge 0$ yazmak. Tek dalgalı simge en az $1$ birimde görünür.

Cevap: E

2019 TYTSoru 5

Orta

Tam kısmı eşitsizliğe çevirme

İçine bir $A$ doğal sayısı yazılmış $n$ kenarlı bir çokgen sembolünün değeri, $\dfrac{A}{n}$ kesrinin ondalık gösteriminin tam kısmıdır. Örneğin şekildeki ilk satırda, içinde $6$ yazan üçgenin ve içinde $9$ yazan karenin değeri $2$ ’dir.

$AB$ iki basamaklı bir doğal sayıdır. Şekildeki ikinci satırda, içinde $AB$ yazan altıgenin, içinde $19$ yazan karenin ve içinde $AB$ yazan beşgenin değerleri birbirine eşittir.

Buna göre $A + B$ toplamı kaçtır?

İpucu

Önce karenin değerini bul. Sonra altıgen ve beşgen için ayrı ayrı “tam kısmı $n$ ise $n \le x < n + 1$ ” aralığını yaz.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 25)

Çözüm

1. Karenin değeri. $\dfrac{19}{4} = 4{,}75$ ; tam kısmı $4$ . Altıgenin ve beşgenin değeri de $4$ ’tür.

2. Altıgen. $4 \le \dfrac{AB}{6} < 5 \Rightarrow 24 \le AB < 30$ .

3. Beşgen. $4 \le \dfrac{AB}{5} < 5 \Rightarrow 20 \le AB < 25$ .

4. Kesişim. $24 \le AB < 25$ , yani $AB = 24$ ve $A + B = 2 + 4 = 6$ .

Tuzak: sağ ucu kapalı almak. $\dfrac{AB}{5} = 5$ olursa tam kısım $5$ olur; $25$ dışarıda kalır.

Cevap: A

2019 TYTSoru 23

Orta

En kötü durumla kapasite sınırı

Bir asansör, içindeki kişilerin ağırlıkları toplamı yük taşıma kapasitesini aşınca uyarı veriyor. Ağırlıkları $25$ , $40$ , $50$ , $60$ ve $63$ kilogram olan beş kişiyle şu görülmüştür: boş asansöre bu beş kişiden hangi dördü binerse binsin asansör uyarı veriyor, hangi üçü binerse binsin uyarı vermiyor.

Buna göre asansörün yük taşıma kapasitesi kaç kilogram olabilir?

İpucu

“Hangi üçü binerse binsin” için en ağır üçlüyü, “hangi dördü binerse binsin” için en hafif dörtlüyü düşün.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 29)

Çözüm

1. Bilinmeyen. Kapasite $K$ kg; uyarı, toplam $K$ ’yi aşınca verilir.

2. Hiçbir üçlü uyarı vermiyor. En ağır üçlü bile aşmıyor: $63 + 60 + 50 = 173 \le K$ .

3. Her dörtlü uyarı veriyor. En hafif dörtlü bile aşıyor: $25 + 40 + 50 + 60 = 175 > K$ .

4. Sonuç. $173 \le K < 175$ ; seçeneklerden yalnızca $174$ .

Tuzak: rastgele bir üçlü ya da dörtlüyle sınır kurmak. “Her” ve “hiçbir” koşulları en kötü durumla sınanır.

Cevap: C

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Negatifle çarpınca yön değişimi

$-2 < x \le 3$ olduğuna göre $5 - 2x$ ifadesi kaç farklı tam sayı değeri alabilir?

Çözüm

1. $-2$ ile çarp. Yön döner: $-6 \le -2x < 4$ .

2. $5$ ekle. $-1 \le 5 - 2x < 9$ .

3. Say. Tam sayılar $-1, 0, \ldots, 8$ : $8 - (-1) + 1 = 10$ .

Tuzak: dahil-hariç bilgisini uçla birlikte taşımamak. $x = 3$ dahil olduğu için $-1$ dahil, $x = -2$ hariç olduğu için $9$ hariçtir; $9$ ’u sayan $11$ bulur.

Cevap: D

Özgün soru2

Orta

Çarpımın en büyük ve en küçük değeri

$-2 \le x \le 3$ ve $-4 \le y \le 1$ olduğuna göre $x \cdot y$ çarpımının alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?

İpucu

Aralıklar işaret değiştiriyor. Uçların dört çarpımını da hesapla.

Çözüm

1. Dört köşe. $(-2)(-4) = 8$ , $(-2) \cdot 1 = -2$ , $3 \cdot (-4) = -12$ , $3 \cdot 1 = 3$ .

2. Sınırlar. En büyük $8$ , en küçük $-12$ ; uçlar dahil olduğu için ikisi de alınır.

3. Toplam. $8 + (-12) = -4$ .

Tuzak: yalnızca küçük uçları ve büyük uçları çarpmak. $(-2)(-4) = 8$ ile $3 \cdot 1 = 3$ ’ü sınır sanan $11$ bulur.

Cevap: B

Özgün soru3

Orta

Kare ve çıkarmayla aralık

$-3 < a \le 2$ ve $-1 \le b < 4$ olduğuna göre $a^2 - b$ ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

İpucu

$a^2$ ’nin aralığında, aralığın $0$ ’ı içerdiğine ve hangi ucun $0$ ’a daha uzak olduğuna bak. Sonra $-b$ ’nin aralığını ekle.

Çözüm

1. $a^2$ . Aralık $0$ ’ı içeriyor; $0$ ’a en uzak uç $-3$ ama dahil değil: $0 \le a^2 < 9$ .

2. $-b$ . $-1$ ile çarp, yön döner: $-4 < -b \le 1$ .

3. Topla. $-4 < a^2 - b < 10$ .

4. En büyük tam sayı. $10$ alınmaz; $9$ alınır: örneğin $a^2 = 8$ , $b = -1$ için $8 + 1 = 9$ .

Tuzak: açık ucu almak ( $10$ ) ya da $-b$ yerine $+b$ eklemek ( $9 + 4 = 13$ ).

Cevap: C

Özgün soru4

Zor

Sözel koşullardan sıralama

Ayşe, Banu, Cem ve Deniz bir tahterevalliye ikişer ikişer oturuyor. İki kişi bir uca, diğer ikisi öbür uca merkezden eşit uzaklıkta oturunca ağır olan uç yere iniyor; ağırlıklar eşitse tahterevalli dengede kalıyor.

Ayşe ile Banu bir uçta, Cem ile Deniz öbür uçtayken Ayşe ile Banu’nun ucu yere iniyor.
Ayşe ile Cem bir uçta, Banu ile Deniz öbür uçtayken Banu ile Deniz’in ucu yere iniyor.
Ayşe ile Deniz bir uçta, Banu ile Cem öbür uçtayken tahterevalli dengede kalıyor.

Ayşe, Banu, Cem ve Deniz’in ağırlıkları sırasıyla $a$ , $b$ , $c$ ve $d$ kilogramdır.

Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

İpucu

Denge bilgisinden $d$ ’yi ötekiler cinsinden yaz ve ilk iki eşitsizliğe koy; ortak terimleri at.

Çözüm

1. Koşullar. $a + b > c + d$ , $a + c < b + d$ , $a + d = b + c$ .

2. Dengeyi kullan. $d = b + c - a$ . Birinciye yaz: $a + b > c + b + c - a \Rightarrow 2a > 2c \Rightarrow a > c$ .

3. İkinciye yaz. $a + c < b + b + c - a \Rightarrow 2a < 2b \Rightarrow a < b$ .

4. $d$ ’nin yeri. $d - c = b - a > 0$ ve $b - d = a - c > 0$ ; yani $c < d < b$ .

5. Sonuç. $c < a < b$ ve $c < d < b$ . $a$ ile $d$ ’nin sırası belli değil: $a = 3$ , $b = 6$ , $c = 1$ için $d = 4$ ; $a = 4$ , $b = 5$ , $c = 1$ için $d = 2$ . Kesinlikle doğru olan $c < a$ ’dır.

Tuzak: $a$ ile $d$ ’yi sıralamaya çalışmak. İki sıra da üç koşulu sağlar.

Cevap: E

Özgün soru5

Kolay

En az kaç: kesin eşitsizlik ve yuvarlama

Bir su deposunda $1200$ litre su var. Depodan her dakika $35$ litre su boşaltılırken aynı anda $15$ litre su dolduruluyor.

Depodaki su ilk kez kaçıncı dakikanın sonunda $500$ litrenin altına iner?

Çözüm

1. Net değişim. Her dakika $35 - 15 = 20$ litre azalır; $t$ dakika sonra $1200 - 20t$ litre kalır.

2. Eşitsizlik. $1200 - 20t < 500 \Rightarrow 20t > 700 \Rightarrow t > 35$ .

3. Tam sayı. $35$ ’ten büyük ilk tam sayı $36$ . Kontrol: $35$ . dakikada tam $500$ litre var (altında değil), $36$ . dakikada $480$ litre.

Tuzak: eşitliği çözüm sanmak ( $35$ ). $60$ , deponun tamamen boşaldığı dakikadır.

Cevap: B