5Konu 5 / 49
Temel Kavramlar

Üslü ve Köklü İfadeler

Tekrarlı çarpmadan üslü ifadeye, karenin kenarından köke geçiyoruz; üs kurallarını, rasyonel üssü, eşlenikle paydayı rasyonel yapmayı, üslü ve köklü denklemleri ve kare almanın getirdiği yabancı kökü öğreniyoruz.

9. sınıf
AYT sıklığı
60 dk

LevhaÜslü ve Köklü İfadelerÜslü ve Köklü İfadeler

$0{,}1$ mm kalınlığında bir kâğıdı ikiye katlarsan kalınlık $0{,}2$ mm, bir daha katlarsan $0{,}4$ mm olur; $n$ katlamadan sonra $0{,}1 \cdot 2^n$ mm. Bunu $42$ kez yapabilseydin kâğıt yığını yaklaşık $440\,000$ km olur, Ay’ı ( $384\,400$ km) geçerdi. Bu sayfa, bu kadar hızlı büyüyen çarpımları yazmanın ve geri almanın dilini kuruyor: üs ve kök.

Isınma

Başlamadan: asal çarpanlar, kareler, özdeşlik

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

72

sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

$72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$ . Asal çarpanlara ayırma Sayılar ve Bölünebilme sayfasının konusudur; burada sürekli kullanacağız.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Karesi

49

olan gerçek sayılar hangileridir?

Açıklama

$7^2 = 49$ ve $(-7)^2 = 49$ . Pozitif bir sayının karesi olan iki gerçek sayı vardır; kök işareti bunlardan hangisini seçecek, birazdan göreceğiz.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

(a - b)(a + b)

çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Açıklama

$(a - b)(a + b) = a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2$ . Bu iki kare farkı özdeşliği, paydadaki kökten kurtulmanın anahtarı olacak.

Temel

Üs ve kök: tekrarlı çarpma ve geri dönüşü

Üslü ifade

Aynı sayıyı art arda çarpmanın kısa yazımı üslü ifadedir. Kâğıdı $5$ kez katlayınca kalınlık $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ katına çıkar; bunu $2^5$ diye yazarız.

Üs sıfır ya da negatif olursa “sıfır tane çarpan” anlamsız kalır. Tanımı kalıbı bozmadan genişletmek gerekir.

Sahnede $2$ ‘nin kuvvetleri yan yana duruyor. Sağa bir adım atınca değer $2$ ile çarpılıyor; sola bir adım atınca $2$ ‘ye bölünüyor. $2^1 = 2$ ‘den bir adım sola git: $2 \div 2 = 1$ , demek ki $2^0 = 1$ . Bir adım daha: $2^{-1} = \dfrac{1}{2}$ . Taban düğmesiyle $3$ , $10$ ve $\dfrac{1}{2}$ için de dene.

Sağa her adım

2

ile çarpar, sola her adım

2

'ye böler; kalıp

2^0

ve negatif üsleri kendiliğinden belirler.

Negatif tabanda işareti üs belirler: çift kuvvet pozitif, tek kuvvet negatif sonuç verir. $(-2)^4 = 16$ , $(-2)^3 = -8$ .

Örnek

kolay

İşaret ve negatif üs

$-3^2 + (-3)^2 + (-2)^3 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}$ işleminin sonucu kaçtır?

$-3^2$ ifadesinde üs yalnızca $3$ ‘e aittir, çünkü parantez yok: $-3^2 = -(3 \cdot 3) = -9$ .

$(-3)^2$ ifadesinde taban $-3$ ‘tür ve üs çifttir: $(-3) \cdot (-3) = 9$ .

$(-2)^3$ ifadesinde üs tek olduğundan sonuç negatiftir: $-8$ .

Negatif üs kesri ters çevirir: $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4$ .

Sonuç

$-9 + 9 - 8 + 4 = -4$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}

ifadesinin değeri kaçtır?

Açıklama

$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2} = \dfrac{9}{4}$ .

Üslü ifadelerin özellikleri

Kuralların hepsi tek bir işten çıkar: çarpanları saymak. $a^3 \cdot a^2$ çarpımında üç tane $a$ ile iki tane $a$ yan yana gelir; toplam beş tane.

Sahnede kesir çizgisinin üstünde $m$ tane, altında $n$ tane $a$ karosu var. Sürgülerle $m$ ve $n$ değerlerini değiştir. Üstteki ve alttaki karolar birer birer sadeleşiyor; geriye $m - n$ tane kalıyor. $n$ , $m$ ‘den büyükse artan karolar paydada kalır: üs negatif olur.

Şimdi karolar bir tablo oluşturuyor: her satırda $m$ tane $a$ , toplam $n$ satır. Tablonun tamamında $m \cdot n$ karo var; bu yüzden $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ . Düğmeyle “yan yana diz” görünümüne geç: aynı $m$ ve $n$ için $a^m \cdot a^n$ yalnızca $m + n$ karo eder.

Kuvvetin kuvvetinde üsler çarpılır (tablo), kuvvetlerin çarpımında üsler toplanır (sıra).

Örnek

kolay

Tabanları eşitleyerek sadeleştirme

$\dfrac{4^5 \cdot 8^{-2}}{2^3}$ işleminin sonucu kaçtır?

Kurallar aynı tabanda çalışır; o yüzden her şeyi $2$ tabanına çevir: $4 = 2^2$ ve $8 = 2^3$ .

Kuvvetin kuvvetinde üsler çarpılır: $4^5 = (2^2)^5 = 2^{10}$ ve $8^{-2} = (2^3)^{-2} = 2^{-6}$ .

Çarpımda üsleri topla, bölümde çıkar: $2^{10 + (-6) - 3} = 2^{1}$ .

Sonuç

Sonuç $2$ ‘dir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

3^5 + 3^5 + 3^5

toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Açıklama

Üç eş terim var: $3 \cdot 3^5 = 3^1 \cdot 3^5 = 3^6$ .

Karekök

Üs almanın geri dönüşü köktür. Alanı $9$ olan karenin kenarı $3$ ‘tür; alanı $2$ olan karenin kenarını ise bir tam sayıyla yazamayız. O uzunluğa $\sqrt{2}$ deriz.

Sahnedeki karenin alanını sürgüyle değiştir; kenar uzunluğu her an $\sqrt{\text{alan}}$ olarak yazılıyor. Alanı $50$ yap ve “böl” düğmesine bas: kare, alanı $2$ olan $25$ küçük kareye ayrılıyor. Bir kenar boyunca $5$ küçük kare dizili, her birinin kenarı $\sqrt{2}$ . Yani $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ .

Isınmadaki soruya dönersek: karesi $49$ olan iki sayı var ama $\sqrt{49}$ yalnızca $7$ ‘dir. Kök işareti her zaman negatif olmayanı seçer.

Alanı

50

olan kare

25

tane

2

'lik kareye bölünür: kenar

5\sqrt{2}

Örnek

kolay

Kök dışına çıkarıp toplama

$\sqrt{50} + \sqrt{18} - \sqrt{8}$ işleminin sonucu kaçtır?

Kök içleri farklı göründüğü için doğrudan toplayamayız. Her sayının içindeki en büyük tam kare çarpanı ara: $50 = 25 \cdot 2$ , $18 = 9 \cdot 2$ , $8 = 4 \cdot 2$ .

Tam kareleri kök dışına çıkar, çünkü $\sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b}$ : $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ , $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ , $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ .

Artık kök içleri aynı; katsayıları topla: $(5 + 3 - 2)\sqrt{2}$ .

Sonuç

$6\sqrt{2}$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

x = -3

için

\sqrt{x^2}

ifadesinin değeri kaçtır?

Açıklama

$\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = \lvert -3 \rvert$ . Kural: $\sqrt{x^2} = \lvert x \rvert$ .

Orta

Rasyonel üs, eşlenik ve denklemler

Kök dereceleri ve rasyonel üs

Hacmi $8$ olan küpün ayrıtı $2$ ‘dir, çünkü $2^3 = 8$ . Bu sayıya $8$ ‘in küp kökü denir: $\sqrt[3]{8} = 2$ . Aynı fikir her derece için geçerlidir.

Peki $2^{\frac{1}{2}}$ ne demek? Üs kuralı bozulmasın istersek $2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1} = 2$ olmalı. Karesi $2$ olan pozitif sayı $\sqrt{2}$ ‘dir; demek ki $2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$ .

Sahnede $1$ ‘den $2$ ‘ye giden tek bir " $\times 2$ " adımı var. Sürgüyle bu adımı $n$ eşit çarpma adımına böl. Her küçük adım aynı $k$ sayısıyla çarpıyor ve $n$ adım sonunda $2$ ‘ye varılıyor: $k^n = 2$ , yani $k = \sqrt[n]{2} = 2^{\frac{1}{n}}$ . Ara noktalar $y = 2^x$ eğrisinin üzerine oturuyor.

Yarım adımlar: her biri

\sqrt{2}

ile çarpar, ikisi birlikte

2

ile çarpar.

Örnek

orta

Farklı dereceli kökleri çarpma

$\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt[6]{32}$ işleminin sonucu kaçtır?

Kök dereceleri farklı ( $3$ , $2$ , $6$ ); doğrudan çarpamayız. Hepsini $2$ tabanında rasyonel üsle yazarsak üs toplama kuralı işi bitirir.

$\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2^2} = 2^{\frac{2}{3}}$ , $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ , $\sqrt[6]{32} = \sqrt[6]{2^5} = 2^{\frac{5}{6}}$ .

Üsleri ortak paydada topla: $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{4 + 3 + 5}{6} = 2$ .

Sonuç

$2^2 = 4$

Rasyonel üs, kök derecesini değiştirmeyi de açıklar: $\sqrt[4]{9} = 9^{\frac{1}{4}} = (3^2)^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$ . İç içe köklerde dereceler çarpılır: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = x^{\frac{1}{m \cdot n}} = \sqrt[m \cdot n]{x}$ .

Örnek

orta

Sonlu iç içe kök

$\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}} = 3^k$ olduğuna göre $k$ kaçtır?

İçten dışa ilerle, çünkü her kök içindeki ifadenin tamamına uygulanır. En içteki: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$ .

Ortadaki kökün içi $3 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$ olur. Karekök üssü yarıya indirir: $\left(3^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{4}}$ .

En dıştaki kökün içi $3 \cdot 3^{\frac{3}{4}} = 3^{\frac{7}{4}}$ olur. Yine yarıya indir: $3^{\frac{7}{8}}$ .

Sonuç

$k = \dfrac{7}{8}$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

27^{-\frac{2}{3}}

ifadesinin değeri kaçtır?

Açıklama

$27^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9$ . Negatif üs tersini aldırır: $27^{-\frac{2}{3}} = \dfrac{1}{9}$ .

Eşlenik ve paydayı rasyonel yapma

Paydada kök varken iki kesri toplamak ya da karşılaştırmak zordur. Paydadaki kökü yok etmeye paydayı rasyonel yapma denir. Tek terimli paydada kesri kökün kendisiyle genişletirsin: $\dfrac{6}{\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ .

Payda $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ gibi iki terimliyse kendisiyle çarpmak kökü yok etmez. Bunun yerine iki kare farkı özdeşliğini kullanırız.

Sahnede kenarı $\sqrt{a}$ olan kareden kenarı $\sqrt{b}$ olan köşe karesi kesilmiş; kalan L biçimli bölgenin alanı $a - b$ . “Yeniden diz” düğmesine bas: üstteki parça dönüp sağa yerleşiyor ve bölge, kenarları $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ ile $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ olan bir dikdörtgene dönüşüyor. Alan değişmedi; çarpım $a - b$ .

Aynı iki parça, iki farklı diziliş:

(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b

Örnek

orta

Çiçek tarhının çevresi

Dikdörtgen biçimindeki bir çiçek tarhının alanı $12$ m², kısa kenarı $(\sqrt{7} - 1)$ m’dir. Tarhın çevresi kaç metredir?

Uzun kenar, alanın kısa kenara bölümüdür: $\dfrac{12}{\sqrt{7} - 1}$ . Bu hâliyle kısa kenarla toplayamayız; önce paydayı rasyonel yapmalıyız.

Payı ve paydayı paydanın eşleniği $\sqrt{7} + 1$ ile çarp. Payda iki kare farkı olur: $(\sqrt{7})^2 - 1^2 = 6$ .

$\dfrac{12}{\sqrt{7} - 1} \cdot \dfrac{\sqrt{7} + 1}{\sqrt{7} + 1} = \dfrac{12(\sqrt{7} + 1)}{6} = 2\sqrt{7} + 2$

Çevre, iki kenarın toplamının iki katıdır: $2 \cdot \left[(\sqrt{7} - 1) + (2\sqrt{7} + 2)\right] = 2 \cdot (3\sqrt{7} + 1)$ .

Sonuç

Çevre $(6\sqrt{7} + 2)$ metredir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\dfrac{4}{\sqrt{2}}

ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Açıklama

Kesri $\sqrt{2}$ ile genişlet: $\dfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \dfrac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ .

Üslü denklemler

Bilinmeyen üsteyse denklem üslü denklemdir. Çözümün dayandığı gözlem şu: $2$ ‘nin farklı kuvvetleri farklı değerler verir. $2^x = 8$ ise $x$ yalnızca $3$ olabilir.

Sahnede $y = 2^x$ eğrisi ve yatay bir hedef çizgisi var. Çizgiyi $8$ hizasına getir: eğriyi tek bir noktada, $x = 3$ ‘te kesiyor. Hangi yüksekliği seçersen seç kesişim tektir; bu yüzden tabanlar eşitken üsler de eşit olmak zorunda. Tabanı $1$ yap: eğri yatay çizgiye dönüşür ve her $x$ aynı değeri verir.

Demek ki ilk iş, iki tarafı aynı tabanın kuvveti olarak yazmaktır.

Örnek

orta

İki bakteri kültürü

Bir laboratuvarda A kültüründeki bakteri sayısı her saat $4$ katına, B kültüründeki bakteri sayısı her saat $8$ katına çıkıyor. Başlangıçta A kültüründe $2^{15}$ , B kültüründe $2^{6}$ bakteri vardır. Kaç saat sonra iki kültürdeki bakteri sayıları eşit olur?

$t$ saat sonra A kültüründe $2^{15} \cdot 4^t$ , B kültüründe $2^{6} \cdot 8^t$ bakteri olur, çünkü her saat aynı sayıyla çarpılıyor.

Eşitliği kur ve tabanları $2$ yap: $4^t = 2^{2t}$ , $8^t = 2^{3t}$ .

$2^{15 + 2t} = 2^{6 + 3t}$

Tabanlar eşit ve $2$ ; o hâlde üsler eşittir: $15 + 2t = 6 + 3t$ , buradan $t = 9$ .

Sonuç

$9$ saat sonra. Sağlama: iki kültürde de $2^{33}$ bakteri olur.

Denklemde toplama ya da çıkarma varsa üsleri doğrudan eşitleyemezsin. Önce en küçük üslü terimi ortak çarpan parantezine al.

Örnek

orta

Toplamı çarpıma çevirme

$2^{x+2} + 2^{x} - 2^{x-1} = 72$ denklemini sağlayan $x$ kaçtır?

Üç terimde de $2$ ‘nin bir kuvveti var; en küçüğü $2^{x-1}$ . Diğerlerini onun cinsinden yaz: $2^{x+2} = 2^{x-1} \cdot 2^3$ ve $2^{x} = 2^{x-1} \cdot 2^1$ .

Ortak çarpan parantezine al:

$2^{x-1} \cdot (8 + 2 - 1) = 72 \quad \Rightarrow \quad 2^{x-1} \cdot 9 = 72$

$2^{x-1} = 8 = 2^3$ . Tabanlar eşit olduğundan $x - 1 = 3$ .

Sonuç

$x = 4$ . Sağlama: $64 + 16 - 8 = 72$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

5^{x-2} = 1

denklemini sağlayan

x

kaçtır?

Açıklama

$1 = 5^0$ olduğundan $5^{x-2} = 5^0$ , yani $x - 2 = 0$ ve $x = 2$ .

Köklü denklemler

Bilinmeyen kök içindeyse denklem köklü denklemdir. Kökten kurtulmanın yolu kare almaktır; ancak kare almak bilgi kaybettirir. $x = -3$ ile $x = 3$ farklı sayılardır ama kareleri aynıdır.

Sahnede $y = \sqrt{x}$ eğrisi ile $y = x - c$ doğrusu var; denklemin kökü ikisinin kesiştiği yerdir. “Kare al” düğmesine bas: kesikli $y = -\sqrt{x}$ kolu da beliriyor, çünkü kare alınmış denklem iki kolu ayırt edemez. Doğrunun kesikli kolu kestiği nokta yabancı köktür. Sürgüyle $c$ değerini değiştir ve yabancı kökün ne zaman ortaya çıktığını izle.

\sqrt{x} = x - 2

denklemi:

x = 4

gerçek kök,

x = 1

kare almanın getirdiği yabancı kök.

Örnek

orta

Kare alma ve sağlama

$\sqrt{x + 3} = x - 3$ denkleminin çözüm kümesini bul.

Kök zaten yalnız. İki tarafın karesini al; sağ tarafta tam kare açılımı gelir: $x + 3 = x^2 - 6x + 9$ .

Düzenle ve çarpanlarına ayır: $x^2 - 7x + 6 = 0$ , $(x - 1)(x - 6) = 0$ . Adaylar $x = 1$ ve $x = 6$ .

$x = 1$ için sol taraf $\sqrt{4} = 2$ , sağ taraf $1 - 3 = -2$ . Eşit değil; karekök negatif olamaz. $x = 1$ yabancı köktür.

$x = 6$ için sol taraf $\sqrt{9} = 3$ , sağ taraf $6 - 3 = 3$ . Sağlıyor.

Sonuç

Çözüm kümesi $\{6\}$ ‘dır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\sqrt{x} = -3

denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi nedir?

Açıklama

Karekök hiçbir zaman negatif değildir; sol taraf en az $0$ iken sağ taraf $-3$ ‘tür. Denklemin kökü yoktur. Kare alsaydın çıkan $x = 9$ yabancı kök olurdu.

İleri

Birleşik sorular, tuzaklar ve bağlamlı problemler

Tabanın yeri sıralamayı değiştirir

Bir sayının kuvvetleri büyüdükçe değer her zaman büyümez. $2$ ‘nin kuvvetleri $2, 4, 8$ diye artar; $\dfrac{1}{2}$ ‘nin kuvvetleri $\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}$ diye azalır. Negatif tabanda ise işaret her adımda değişir.

Sayı doğrusunda $x$ noktasını sürükle; $x^2$ , $x^3$ , $-x$ ve $-\dfrac{1}{x}$ noktaları onunla birlikte hareket ediyor. $x$ , $-1$ , $0$ ve $1$ sınırlarından her geçtiğinde noktaların sırası değişiyor. Dört bölgenin her birinde ortadaki noktanın hangisi olduğuna bak; AYT 2025’in 6. sorusu tam olarak bunu soruyor.

Örnek

zor

Farklı dereceli kökleri sıralama

$a = \sqrt{2}$ , $b = \sqrt[3]{3}$ ve $c = \sqrt[5]{5}$ sayılarını küçükten büyüğe sırala.

Sayıları rasyonel üsle yaz: $a = 2^{\frac{1}{2}}$ , $b = 3^{\frac{1}{3}}$ , $c = 5^{\frac{1}{5}}$ . Hem tabanlar hem üsler farklı; doğrudan karşılaştıramayız.

Üçü de pozitif olduğundan aynı pozitif kuvvete yükseltmek sırayı bozmaz. Paydalardan kurtulmak için $2$ , $3$ ve $5$ ‘in en küçük ortak katını seç: $30$ .

$a^{30} = 2^{15} = 32\,768$ , $b^{30} = 3^{10} = 59\,049$ , $c^{30} = 5^{6} = 15\,625$ .

$15\,625 < 32\,768 < 59\,049$ olduğundan $c^{30} < a^{30} < b^{30}$ .

Sonuç

$c < a < b$ , yani $\sqrt[5]{5} < \sqrt{2} < \sqrt[3]{3}$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

0 < x < 1

olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi en büyüktür?

Açıklama

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ . Taban $1$ ‘den küçükken üs küçüldükçe değer büyür: $x^3 < x^2 < x < x^{\frac{1}{2}}$ . $x = \dfrac{1}{4}$ ile dene: $\dfrac{1}{64} < \dfrac{1}{16} < \dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{2}$ .

Sonucu 1 olan kuvvetler

“Tabanlar eşitse üsler eşittir” kuralı $-1$ , $0$ ve $1$ tabanlarını dışarıda bırakmıştı. Taban da bilinmeyen içeriyorsa bu özel değerleri ayrı ayrı yoklaman gerekir.

Örnek

zor

Tabanı da üssü de değişken olan denklem

$(x - 2)^{x + 3} = 1$ denklemini sağlayan $x$ tam sayılarının toplamı kaçtır?

Bir tam sayı kuvvetinin $1$ etmesinin üç yolu vardır; hepsini sırayla dene. Birincisi: taban $1$ . $x - 2 = 1$ ise $x = 3$ ; $1^6 = 1$ sağlar.

İkincisi: üs $0$ ve taban sıfırdan farklı. $x + 3 = 0$ ise $x = -3$ ; taban $-5 \neq 0$ olduğundan $(-5)^0 = 1$ sağlar.

Üçüncüsü: taban $-1$ ve üs çift. $x - 2 = -1$ ise $x = 1$ ; üs $1 + 3 = 4$ çifttir, $(-1)^4 = 1$ sağlar.

Sonuç

Çözümler $3$ , $-3$ ve $1$ ; toplamları $1$ ‘dir.

Rasyonel üsle modelleme

Örnek

zor

A4 kâğıdının kenarı

A serisi kâğıtlarda her boyut, bir öncekinin uzun kenarının ortasından ikiye katlanmasıyla elde edilir (A0, A1, A2, A3, A4) ve bütün boyutlarda uzun kenarın kısa kenara oranı $\sqrt{2}$ ‘dir. A0 kâğıdının alanı $1$ m²’dir. A4 kâğıdının uzun kenarı $2^k$ metre olduğuna göre $k$ kaçtır?

A0’ın kısa kenarına $s$ de; uzun kenarı $s\sqrt{2}$ olur. Alan $1$ olduğundan $s \cdot s\sqrt{2} = 1$ , yani $s^2 = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = 2^{-\frac{1}{2}}$ .

$s$ pozitif olduğundan iki tarafın karekökünü al: $s = 2^{-\frac{1}{4}}$ . Uzun kenar $s \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{-\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{4}}$ metredir.

Katlayınca eski kısa kenar yeni uzun kenar olur. Kısa kenar, uzun kenarın $\sqrt{2}$ ‘ye bölümüdür; yani her katlamada uzun kenar $2^{-\frac{1}{2}}$ ile çarpılır.

A0’dan A4’e dört katlama var: $2^{\frac{1}{4}} \cdot \left(2^{-\frac{1}{2}}\right)^4 = 2^{\frac{1}{4} - 2} = 2^{-\frac{7}{4}}$ .

Sonuç

$k = -\dfrac{7}{4}$ . Bu uzunluk yaklaşık $0{,}297$ metredir; elindeki A4 kâğıdının uzun kenarı gerçekten $29{,}7$ cm’dir.

Eşlenikle zincirleme sadeleşme

Örnek

zor

Teleskopik toplam

$\dfrac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \ldots + \dfrac{1}{\sqrt{8} + \sqrt{9}}$ toplamı kaçtır?

Sekiz kesrin paydaları farklı; ortak payda aramak çıkmaz yoldur. Her kesrin paydasını kendi eşleniğiyle rasyonel yapmayı dene.

Genel terim için payda $(\sqrt{n+1})^2 - (\sqrt{n})^2 = 1$ olur:

$\dfrac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} \cdot \dfrac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$

Toplamı bu biçimde yaz: $(\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + \ldots + (\sqrt{9} - \sqrt{8})$ . Her terimin artısı bir sonrakinin eksisiyle sadeleşir; geriye ilk eksi ve son artı kalır.

Sonuç

$\sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2$

İki köklü denklem

Örnek

zor

İki kez kare alma

$\sqrt{3x + 1} - \sqrt{x + 4} = 1$ denklemini sağlayan $x$ değerlerinin toplamı kaçtır?

İki kök aynı yandayken kare almak ortaya $2\sqrt{\ldots}\sqrt{\ldots}$ çarpımı çıkarır. Bunun yerine köklerden birini karşıya at: $\sqrt{3x + 1} = 1 + \sqrt{x + 4}$ .

Kare al: $3x + 1 = 1 + 2\sqrt{x + 4} + x + 4$ . Kalan kökü yalnız bırak: $2x - 4 = 2\sqrt{x + 4}$ , yani $x - 2 = \sqrt{x + 4}$ .

Bir kez daha kare al: $x^2 - 4x + 4 = x + 4$ , buradan $x^2 - 5x = 0$ ve adaylar $x = 0$ , $x = 5$ .

İlk denklemde dene. $x = 0$ : $\sqrt{1} - \sqrt{4} = -1 \neq 1$ , yabancı kök. $x = 5$ : $\sqrt{16} - \sqrt{9} = 4 - 3 = 1$ , sağlıyor.

Sonuç

Tek kök $x = 5$ ‘tir; istenen toplam $5$ ‘tir.

Özet

Bu konudan aklında kalacaklar

$a^n$ , $n$ tane $a$ ‘nın çarpımıdır. $a \neq 0$ için $a^0 = 1$ ve $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ . $-3^2 = -9$ , $(-3)^2 = 9$ .
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ , $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ , $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ , $(ab)^n = a^n b^n$ . Toplamda üsler toplanmaz; ortak çarpan parantezine alınır.
$\sqrt{a}$ negatif olamaz; $\sqrt{x^2} = \lvert x \rvert$ . $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ , $\sqrt{a^2 b} = a\sqrt{b}$ ; kök toplamaya dağılmaz.
$x > 0$ için $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$ . Farklı dereceli kökleri rasyonel üsle yazıp üs kurallarını uygula.
Eşlenik: $(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b$ . Paydayı rasyonel yapmak için eşlenikle genişlet.
Üslü denklem: tabanları eşitle, sonra üsleri eşitle ( $a \neq -1, 0, 1$ ). Sonuç $1$ ise taban $1$ , üs $0$ , taban $-1$ ve üs çift durumlarını yokla.
Köklü denklem: kökü yalnız bırak, kare al, her adayı ilk denklemde dene; sağlamayan yabancı köktür.

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

6 çıkmış soru7 özgün soru

2026 AYTSoru 2

Kolay

Köklü denklemler

$x$ ve $y$ gerçel sayıları

$\begin{aligned} \sqrt{x} + 1 &= \sqrt{x + 7} \\ 2\sqrt{y} - 2\sqrt{x} &= \sqrt{y + 36} \end{aligned}$

eşitliklerini sağlamaktadır.

Buna göre $x + y$ toplamı kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

1. İlk eşitlikte kare al. Sol tarafta tam kare açılımı gelir:

$x + 2\sqrt{x} + 1 = x + 7 \Rightarrow 2\sqrt{x} = 6 \Rightarrow \sqrt{x} = 3 \Rightarrow x = 9$

Sağlama: $\sqrt{9} + 1 = 4 = \sqrt{16}$ .

2. İkinci eşitlikte $\sqrt{x} = 3$ yaz. $2\sqrt{y} - 6 = \sqrt{y + 36}$ . Yazımı kolaylaştırmak için $t = \sqrt{y}$ de ( $t \geq 0$ , $y = t^2$ ) ve kare al:

$(2t - 6)^2 = t^2 + 36 \Rightarrow 4t^2 - 24t + 36 = t^2 + 36 \Rightarrow 3t(t - 8) = 0$

Adaylar $t = 0$ ve $t = 8$ .

3. Adayları ilk hâlinde dene.

$t = 0$ : sol taraf $-6$ , sağ taraf $\sqrt{36} = 6$ . Sağlamaz; yabancı kök.
$t = 8$ : sol taraf $16 - 6 = 10$ , sağ taraf $\sqrt{64 + 36} = 10$ . Sağlar.

Öyleyse $y = 64$ ve

$x + y = 9 + 64 = 73$

Tuzak: $t = 0$ adayını elemeden $y = 0$ almak. Kare aldığın her denklemde sağlama yap.

Cevap: A

2023 AYTSoru 3

Kolay

Üslü denklemler

$x$ ve $y$ birer tam sayıdır ve

$2^{3x-1} - 8^{x-1} = 3^{y+3} \cdot 4^{x+1}$

eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre $x \cdot y$ çarpımı kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 25)

Çözüm

1. Her şeyi asal tabana çevir. $8^{x-1} = (2^3)^{x-1} = 2^{3x-3}$ ve $4^{x+1} = (2^2)^{x+1} = 2^{2x+2}$ .

2. Sol tarafı çarpıma çevir. Küçük üslü terim $2^{3x-3}$ 'tür ve $2^{3x-1} = 2^{3x-3} \cdot 2^2$ :

$2^{3x-3} \cdot (2^2 - 1) = 3^1 \cdot 2^{3x-3}$

3. Asal tabanların üslerini eşitle. $3^1 \cdot 2^{3x-3} = 3^{y+3} \cdot 2^{2x+2}$ eşitliğinde $x$ ve $y$ tam sayı olduğundan $2$ 'nin ve $3$ 'ün üsleri ayrı ayrı eşittir:

$y + 3 = 1 \Rightarrow y = -2 \qquad 3x - 3 = 2x + 2 \Rightarrow x = 5$

$x \cdot y = -10$

Sağlama: $2^{14} - 8^4 = 16384 - 4096 = 12288$ ve $3^1 \cdot 4^6 = 3 \cdot 4096 = 12288$ .

Tuzak: parantezden çıkan $3$ çarpanını unutmak. Sol tarafta $3$ 'ün üssü $1$ 'dir; $y + 3 = 0$ değil, $y + 3 = 1$ yazılır.

Cevap: A

2022 AYTSoru 1

Kolay

Üslü denklemler

$a$ , $b$ ve $c$ pozitif tam sayılardır.

$\begin{aligned} 2^a + 3^b &= 17 \\ 2^b + 3^c &= 85 \end{aligned}$

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre $a + b + c$ toplamı kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 26)

Çözüm

Tabanlar farklı olduğu için üsleri eşitleyemeyiz; ama üsler pozitif tam sayı ve sayılar küçük. Olası kuvvetleri denemek yeter.

1. İlk eşitlik. $3^b < 17$ olmalı; $3^b$ yalnızca $3$ ya da $9$ olabilir.

$3^b = 3$ ise $2^a = 14$ ; $14$ , $2$ 'nin kuvveti değildir.
$3^b = 9$ ise $2^a = 8 = 2^3$ .

Öyleyse $a = 3$ , $b = 2$ .

2. İkinci eşitlik. $b = 2$ yaz: $2^2 + 3^c = 85$ , $3^c = 81 = 3^4$ , $c = 4$ .

$a + b + c = 3 + 2 + 4 = 9$

Sağlama: $8 + 9 = 17$ ve $4 + 81 = 85$ .

Cevap: C

2021 AYTSoru 1

Kolay

Üslü ifadelerin özellikleri

$a$ , $b$ ve $c$ birbirinden farklı doğal sayılardır.

$\dfrac{6^a \cdot 15^b}{9^b \cdot 10^c}$

ifadesinin değeri bir tam sayıdır.

Buna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 26)

Çözüm

1. Tabanları asal çarpanlarına ayır. $6 = 2 \cdot 3$ , $15 = 3 \cdot 5$ , $9 = 3^2$ , $10 = 2 \cdot 5$ .

$\dfrac{2^a \cdot 3^a \cdot 3^b \cdot 5^b}{3^{2b} \cdot 2^c \cdot 5^c}$

2. Her asal için üsleri çıkar.

$2^{a-c} \cdot 3^{a+b-2b} \cdot 5^{b-c} = 2^{a-c} \cdot 3^{a-b} \cdot 5^{b-c}$

3. Tam sayı olma koşulu. $2$ , $3$ ve $5$ farklı asallar olduğundan birinin paydada kalması ötekilerle sadeleşemez. Sonucun tam sayı olması için üç üs de negatif olmamalıdır: $a \geq c$ , $a \geq b$ , $b \geq c$ .

4. Sayılar farklı. Eşitlik durumları düşer: $c < b < a$ .

Sağlama: $a = 2$ , $b = 1$ , $c = 0$ için ifade $\dfrac{36 \cdot 15}{9 \cdot 1} = 60$ olur.

Cevap: E

2020 AYTSoru 3

Kolay

Üslü denklemler

$x$ ve $y$ birer tam sayıdır ve

$9^x - 3^{2x-2} = 2^y \cdot 3^6$

eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre $x + y$ toplamı kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 25)

Çözüm

1. Tabanı tek tür yap. $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$ . Sol taraf $3^{2x} - 3^{2x-2}$ olur.

2. Küçük üslü terimi ortak çarpan parantezine al. Fark olduğu için üsleri doğrudan birleştiremeyiz; $3^{2x} = 3^{2x-2} \cdot 3^2$ yazılır:

$3^{2x-2} \cdot (3^2 - 1) = 3^{2x-2} \cdot 8 = 2^3 \cdot 3^{2x-2}$

3. Asal tabanların üslerini eşitle. $2^3 \cdot 3^{2x-2} = 2^y \cdot 3^6$ eşitliğinde $x$ ve $y$ tam sayı olduğundan iki taraf aynı sayının asal çarpanlara ayrılmış biçimidir; $2$ 'nin ve $3$ 'ün üsleri ayrı ayrı eşit olmalıdır:

$y = 3 \qquad 2x - 2 = 6 \Rightarrow x = 4$

$x + y = 7$

Sağlama: $9^4 - 3^6 = 6561 - 729 = 5832$ ve $2^3 \cdot 3^6 = 8 \cdot 729 = 5832$ .

Tuzak: $9^x - 3^{2x-2}$ farkında üsleri çıkarıp $3^2$ yazmak. Üsler bölmede çıkarılır, çıkarmada değil.

Cevap: E

2020 AYTSoru 12

Orta

Asal sayıların kuvvetleri

$a$ ve $b$ asal sayılar olmak üzere, yan yana iki kutudan oluşan iki sembol tanımlanıyor:

Üstü çizgili $\overline{\boxed{a}\;\boxed{b}}$ sembolü, $a$ ile $b$ 'nin kuvvetlerinin çarpımı biçiminde yazılabilen en büyük iki basamaklı doğal sayıyı,
altı çizgili $\underline{\boxed{a}\;\boxed{b}}$ sembolü, $a$ ile $b$ 'nin kuvvetlerinin çarpımı biçiminde yazılabilen en küçük üç basamaklı doğal sayıyı

gösteriyor. Örnek olarak

$\overline{\boxed{3}\;\boxed{7}} = 3^4 \cdot 7^0 = 81 \qquad \underline{\boxed{3}\;\boxed{7}} = 3^1 \cdot 7^2 = 147$

veriliyor.

Buna göre

$\underline{\boxed{3}\;\boxed{5}} - \overline{\boxed{2}\;\boxed{3}}$

işleminin sonucu kaçtır?

İpucu

Örnekteki $7^0$ çarpanına dikkat et: üs $0$ olabilir. Aradığın sayılara $100$ 'ün iki yanından, en yakından başlayarak bak.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 27)

Çözüm

Örnekte $81 = 3^4 \cdot 7^0$ yazıldığına göre üsler $0$ olabilir; aranan sayılar $a^m \cdot b^n$ ( $m, n \geq 0$ tam sayı) biçimindedir, yani $a$ ve $b$ dışında asal çarpanı yoktur.

1. Altı çizgili $3$ , $5$ : en küçük üç basamaklı $3^m \cdot 5^n$ . Bu biçimdeki sayıları küçükten büyüğe diz: $1, 3, 5, 9, 15, 25, 27, 45, 75, 81, 125, 135, \ldots$ İki basamaklıların sonuncusu $81$ 'dir; $100$ ile $124$ arasında bu biçimde sayı yoktur. $100$ 'ü geçen ilk sayı $125 = 3^0 \cdot 5^3$ 'tür.

2. Üstü çizgili $2$ , $3$ : en büyük iki basamaklı $2^m \cdot 3^n$ . $99$ 'dan geriye doğru dene: $99 = 3^2 \cdot 11$ , $98 = 2 \cdot 7^2$ olmaz; $97$ asaldır, olmaz; $96 = 2^5 \cdot 3$ olur.

$125 - 96 = 29$

Tuzak: üssün en az $1$ olması gerektiğini sanıp $3^3 \cdot 5 = 135$ almak; o zaman sonuç $39$ çıkar ve seçeneklerde yoktur. Örnek satırı bunun için verilmiştir.

Cevap: B

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Köklü ifadelerin özellikleri

$\dfrac{\sqrt{75} - \sqrt{27}}{\sqrt{12}}$

işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm

Üç sayının da içinde $3$ çarpanı ve bir tam kare var: $75 = 25 \cdot 3$ , $27 = 9 \cdot 3$ , $12 = 4 \cdot 3$ .

$\sqrt{75} = 5\sqrt{3} \qquad \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \qquad \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

$\dfrac{5\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1$

Çeldiriciler: $2$ , paydadaki $\sqrt{12}$ 'yi $\sqrt{3}$ gibi alınca; $2\sqrt{3}$ , payı bulup paydaya bölmeyi unutunca çıkar. Kök içlerini çıkarıp $\sqrt{48}$ yazmak ise kökün çıkarmaya dağılmadığını gözden kaçırmaktır.

Cevap: B

Özgün soru2

Kolay

Rasyonel üs

$\left(\dfrac{8}{27}\right)^{-\frac{2}{3}} + 16^{\frac{3}{4}}$

işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm

1. Negatif üs kesri ters çevirir. $\left(\dfrac{8}{27}\right)^{-\frac{2}{3}} = \left(\dfrac{27}{8}\right)^{\frac{2}{3}}$ .

2. Rasyonel üste payda kök derecesidir. Önce küp kökü al, sonra karesini:

$\left(\dfrac{27}{8}\right)^{\frac{2}{3}} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2} = \dfrac{9}{4}$

3. İkinci terim. $16 = 2^4$ olduğundan $16^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8$ .

$\dfrac{9}{4} + 8 = \dfrac{41}{4}$

Çeldiriciler: kesri ters çevirmeyince $\dfrac{4}{9} + 8 = \dfrac{76}{9}$ ; küp kökten sonra kare almayınca $\dfrac{3}{2} + 8 = \dfrac{19}{2}$ ; $16^{\frac{3}{4}}$ yerine $16 \cdot \dfrac{3}{4} = 12$ yazınca $\dfrac{57}{4}$ çıkar.

Cevap: C

Özgün soru3

Orta

Paydayı rasyonel yapma

$\dfrac{4}{\sqrt{5} - 1} - \dfrac{4}{\sqrt{5} + 1}$

işleminin sonucu kaçtır?

İpucu

İki paydanın çarpımı iki kare farkıdır. Her kesri kendi paydasının eşleniğiyle genişlet.

Çözüm

$(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1) = 5 - 1 = 4$ olduğundan her iki kesirde de payda eşlenikle çarpılınca $4$ olur ve paydaki $4$ ile sadeleşir.

$\dfrac{4}{\sqrt{5} - 1} = \dfrac{4(\sqrt{5} + 1)}{4} = \sqrt{5} + 1 \qquad \dfrac{4}{\sqrt{5} + 1} = \dfrac{4(\sqrt{5} - 1)}{4} = \sqrt{5} - 1$

$(\sqrt{5} + 1) - (\sqrt{5} - 1) = 2$

Tuzak: ikinci parantezi açarken işareti değiştirmemek. $\sqrt{5} + 1 - \sqrt{5} - 1 = 0$ ya da iki kesri toplayıp $2\sqrt{5}$ bulmak bu hatadan doğar.

Sağlama (yaklaşık): $\dfrac{4}{1{,}236} - \dfrac{4}{3{,}236} \approx 3{,}236 - 1{,}236 = 2$ .

Cevap: D

Özgün soru4

Orta

Üslü ifadelerin özellikleri

$x$ bir gerçel sayı olmak üzere $3^x = 2$ eşitliği veriliyor.

Buna göre $9^{x+1} + 27^{x}$ ifadesinin değeri kaçtır?

İpucu

$x$ 'i bulmaya çalışma. $9$ ve $27$ 'yi $3$ 'ün kuvveti olarak yaz ve her terimde $3^x$ çarpanını ortaya çıkar.

Çözüm

$x$ bir tam sayı değildir; değerini bulmak gerekmez. İstenen ifadeyi $3^x$ cinsinden yazmak yeter.

1. Birinci terim. $9^{x+1} = 9 \cdot 9^x = 9 \cdot (3^2)^x = 9 \cdot (3^x)^2 = 9 \cdot 2^2 = 36$ .

2. İkinci terim. $27^x = (3^3)^x = (3^x)^3 = 2^3 = 8$ .

$36 + 8 = 44$

Burada $(3^2)^x = 3^{2x} = (3^x)^2$ geçişi kuvvetin kuvveti kuralıdır: üsler çarpıldığı için sıraları değişebilir.

Çeldiriciler: $9^x$ 'i $3^x$ ile aynı sayıp $9 \cdot 2 = 18$ alınca $18 + 8 = 26$ ; $27^x$ 'i $(3^x)^2 = 4$ diye hesaplayınca $36 + 4 = 40$ ; ikinci terimi unutunca $36$ çıkar.

Cevap: E

Özgün soru5

Zor

Köklü denklemler

$\sqrt{x + \sqrt{x + 2}} = 2$

denklemini sağlayan $x$ gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

İpucu

Dıştaki kökten kurtulunca içeride bir kök daha kalır; onu yalnız bırakıp bir kez daha kare al. Bulduğun adayları ara adımda da dene.

Çözüm

1. Dış kök. İki taraf da negatif değil; kare al: $x + \sqrt{x + 2} = 4$ .

2. Kalan kökü yalnız bırak ve kare al. $\sqrt{x + 2} = 4 - x$ .

$x + 2 = 16 - 8x + x^2 \Rightarrow x^2 - 9x + 14 = 0 \Rightarrow (x - 2)(x - 7) = 0$

Adaylar $x = 2$ ve $x = 7$ .

3. Sağlama.

$x = 2$ : $\sqrt{2 + \sqrt{4}} = \sqrt{4} = 2$ . Sağlar.
$x = 7$ : $\sqrt{7 + \sqrt{9}} = \sqrt{10} \neq 2$ . Sağlamaz. (Ara adımda da görülür: $\sqrt{9} = 3$ iken $4 - 7 = -3$ .)

Tek kök $x = 2$ 'dir; istenen toplam $2$ 'dir.

Tuzak: sağlama yapmadan ikinci dereceden denklemin kökler toplamını ( $9$ ) işaretlemek.

Cevap: A

Özgün soru6

Orta

Rasyonel üs

Piyano akordunda bir oktav $12$ eşit aralığa (yarım ses) bölünür. Bir tuştan bir sonrakine geçildiğinde sesin frekansı her seferinde aynı pozitif sayıyla çarpılır ve $12$ tuş sonra frekans tam $2$ katına çıkar.

La sesinin frekansı $440$ Hz olduğuna göre, bu sesten $6$ tuş sonraki sesin frekansı kaç Hz'dir?

İpucu

Her tuşta frekans $k$ ile çarpılıyorsa $12$ tuşta $k^{12}$ ile çarpılır. Önce $k$ 'yi rasyonel üsle yaz.

Çözüm

1. Çarpanı bul. Her tuşta frekans $k$ ile çarpılsın. $12$ tuşta $k^{12} = 2$ olur; $k$ pozitif olduğundan $k = 2^{\frac{1}{12}}$ .

2. Altı tuş. Frekans $k^6$ ile çarpılır:

$k^6 = \left(2^{\frac{1}{12}}\right)^6 = 2^{\frac{6}{12}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$

3. Sonuç. $440 \cdot \sqrt{2}$ Hz (yaklaşık $622$ Hz).

Tuzak: $660$ , artışı toplama gibi düşünmenin sonucudur ( $440$ ile $880$ 'in tam ortası). Oysa her adım aynı sayıyı eklemez, aynı sayıyla çarpar; yarı yolda frekans $2$ 'nin yarısı kadar değil, $\sqrt{2}$ katı kadar artar. $\sqrt[6]{2}$ seçeneği $\dfrac{6}{12}$ yerine $\dfrac{1}{6}$ yazınca çıkar.

Cevap: C

Özgün soru7

Zor

Eşlenik

$\left(\sqrt{3} + \sqrt{2}\right)^{10} \cdot \left(\sqrt{3} - \sqrt{2}\right)^{8}$

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

İpucu

İki taban birbirinin eşleniğidir; çarpımları çok yalın bir sayıdır. Üsleri eşit olan kısmı ayır.

Çözüm

1. Üsleri eşit olan kısmı ayır. $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^{10} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{8} \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{2}$ .

2. Aynı üslü çarpanları birleştir. $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ kuralıyla

$(\sqrt{3} + \sqrt{2})^{8} \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{2})^{8} = \left[(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})\right]^{8} = (3 - 2)^8 = 1$

3. Kalan çarpan. $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}$ .

Sonuç $5 + 2\sqrt{6}$ 'dır.

Çeldiriciler: $1$ , kalan iki çarpanı unutunca; $5$ , tam kare açılımında ortadaki $2\sqrt{3}\sqrt{2}$ terimini atıp $(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2$ yazınca; $5 - 2\sqrt{6}$ , fazla olan üssü yanlış tabana verince çıkar.

Cevap: B