25Konu 25 / 49
Logaritma ve Diziler

Üstel Fonksiyon ve Logaritma

Üstel fonksiyonun grafiğinden logaritmanın tanımına, log ve ln'den çarpım, bölüm, kuvvet ve taban değiştirme kurallarına; AYT'de çıkan soru tipleriyle adım adım.

12. sınıf
AYT sıklığı
75 dk

LevhaÜstel Fonksiyon ve LogaritmaÜstel Fonksiyon ve Logaritma

Bir kâğıdın kalınlığı $0{,}1$ mm. Onu ikiye katlarsan kalınlık $2$ katına, bir daha katlarsan $4$ katına çıkar. $10$ katlamada $1024$ kat, yani yaklaşık $10$ cm eder; $42$ katlama yapabilseydin kâğıt Ay’a ulaşırdı.

Peki soruyu tersinden sor: kalınlığın $1$ km’yi geçmesi için kaç katlama gerekir? İlk soru üstel fonksiyonun, ikincisi logaritmanın işidir.

Isınma

Başlamadan önce

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Bu konu üslü ifadelere ve ters fonksiyona dayanır. Üç kısa soruyla kendini yokla.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

2^{-3}

kaçtır?

Açıklama

$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ olduğundan $2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac18$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

8^{\frac{2}{3}}

kaçtır?

Açıklama

$8 = 2^3$ olduğundan $8^{\frac23} = \left(2^3\right)^{\frac23} = 2^2 = 4$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(x) = 2x + 1

ise

f^{-1}(7)

kaçtır?

Açıklama

$f^{-1}(7)$ , ” $f$ hangi sayıyı $7$ yapar?” sorusudur. $2x + 1 = 7$ ise $x = 3$ .

Temel

Üstel fonksiyon ve logaritmanın tanımı

Üstel fonksiyon: değişken üste çıkınca

$x^2$ ifadesinde değişken tabandadır. Katlama örneğinde ise taban sabittir ( $2$ ), değişen şey üstür: $n$ katlamadan sonra kalınlık $2^n$ katına çıkar. Her adımda aynı sayıyla çarpılan büyüklükler (ikiye bölünen bakteri, her yıl yarıya inen bir madde) bu türden bir fonksiyonla anlatılır.

Taban neden böyle kısıtlı? $a = 1$ olsaydı $1^x = 1$ sabit fonksiyonu çıkardı. $a$ negatif olsaydı $(-2)^{\frac12}$ gibi değerler gerçel sayı olmazdı. Örnek: $f(x) = 2^x$ için $f(3) = 8$ , $f(0) = 1$ , $f(-1) = \dfrac12$ .

Sahnede $y = a^x$ eğrisi var; $a$ sürgüsünü oynat. Taban $1$ ‘den büyükken eğri sağa doğru yükselir, $0$ ile $1$ arasındayken alçalır. Hangi tabanı seçersen seç eğri $(0, 1)$ noktasından geçer ve $x$ ekseninin altına hiç inmez.

a > 1

için artan,

0 < a < 1

için azalan üstel fonksiyon

Birebirliği grafikten oku: $x$ eksenine paralel her doğru eğriyi en çok bir noktada keser. Örtenliği de: $x$ ekseninin üstündeki her yatay doğru eğriyi mutlaka keser. Bu ikisi birlikte, üstel fonksiyonun tersinin de bir fonksiyon olduğunu söyler.

Örnek

kolay

İkiye katlanan bakteri

Bir kültürde başlangıçta $5$ bakteri var ve sayı her saat $2$ katına çıkıyor. $x$ saat sonraki bakteri sayısı $f(x) = 5 \cdot 2^x$ ile veriliyor. $3$ saat sonra kaç bakteri olur? Sayı kaçıncı saatte $160$ olur?

İlk soru için $x = 3$ yaz: $f(3) = 5 \cdot 2^3 = 5 \cdot 8 = 40$ .

İkinci soruda bilinmeyen üstedir: $5 \cdot 2^x = 160$ . İki tarafı $5$ ‘e böl: $2^x = 32$ .

$32 = 2^5$ . Üstel fonksiyon birebir olduğundan $2^x = 2^5$ eşitliği yalnızca $x = 5$ için sağlanır.

Sonuç

$3$ saat sonra $40$ bakteri olur; sayı $5$ . saatte $160$ ‘a ulaşır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(x) = (a - 2)^x

azalan bir üstel fonksiyon ise

a

hangi aralıktadır?

Açıklama

Azalan olması için taban $0$ ile $1$ arasında olmalı: $0 < a - 2 < 1$ , yani $2 < a < 3$ .

Örnek

kolay

Aynı tabana çevirip sıralama

$x = 4^{0{,}6}$ , $y = 8^{0{,}5}$ ve $z = 2^{1{,}3}$ sayılarını küçükten büyüğe sırala.

Tabanlar farklıyken üsleri karşılaştıramazsın. Üçü de $2$ ‘nin kuvveti olduğundan hepsini $2$ tabanında yaz.

$x = \left(2^2\right)^{0{,}6} = 2^{1{,}2}$ ve $y = \left(2^3\right)^{0{,}5} = 2^{1{,}5}$ ; $z = 2^{1{,}3}$ zaten bu tabanda.

Taban $2 > 1$ olduğundan fonksiyon artandır: üssü büyük olan sayı büyüktür. $1{,}2 < 1{,}3 < 1{,}5$ .

Sonuç

$x < z < y$

Logaritma: üssü soran işlem

Sahnede $y = 2^x$ eğrisi ve $k$ yüksekliğinde yatay bir doğru var. Doğru eğriyi tek bir noktada keser; o noktadan aşağı inince bulduğun sayı “ $2$ ‘nin kaçıncı kuvveti $k$ eder?” sorusunun yanıtıdır. $k$ sürgüsünü $8$ ‘e getir: yanıt $3$ . $k = 5$ için yanıt tam sayı değil ama yine tek.

Bu yanıta bir ad veriyoruz: $2$ tabanında $k$ ‘nin logaritması. $2^3 = 8$ demek ile $\log_2 8 = 3$ demek aynı bilginin iki yazılışıdır.

Örnek

kolay

Tanımdan logaritma hesaplama

$\log_2 8$ , $\log_3 \dfrac19$ , $\log_5 1$ ve $\log_4 2$ değerlerini bul.

Her birinde aynı soruyu sor: taban hangi kuvvete yükselirse içerideki sayı çıkar? $2^3 = 8$ olduğundan $\log_2 8 = 3$ .

$\dfrac19 = 3^{-2}$ olduğundan $\log_3 \dfrac19 = -2$ . Logaritmanın sonucu negatif olabilir; bunda bir sakınca yok.

$5^0 = 1$ olduğundan $\log_5 1 = 0$ . Bu her tabanda böyledir, çünkü her tabanın sıfırıncı kuvveti $1$ ‘dir.

$4$ ‘ün hangi kuvveti $2$ eder? $4^{\frac12} = \sqrt4 = 2$ olduğundan $\log_4 2 = \dfrac12$ .

Sonuç

$\log_2 8 = 3$ , $\log_3 \dfrac19 = -2$ , $\log_5 1 = 0$ , $\log_4 2 = \dfrac12$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\log_{\frac12} 8

kaçtır?

Açıklama

$\left(\dfrac12\right)^{y} = 8$ arıyoruz. $\left(\dfrac12\right)^{-3} = 2^3 = 8$ olduğundan $y = -3$ .

Örnek

kolay

Tanım kümesi

$f(x) = \log_2 (x - 1) + \log_2 (7 - x)$ fonksiyonunun tanım kümesinde kaç tam sayı vardır?

Tabanlar sabit ( $2$ ), sorun çıkarmaz. Her logaritmanın içi ayrı ayrı pozitif olmalı, çünkü iki terim de tanımlı olmak zorunda.

$x - 1 > 0$ ise $x > 1$ . $7 - x > 0$ ise $x < 7$ . İkisi birlikte: $1 < x < 7$ .

Uçlar dahil değil, çünkü uçlarda logaritmanın içi sıfır olur. Aralıktaki tam sayılar: $2, 3, 4, 5, 6$ .

Sonuç

Tanım kümesinde $5$ tam sayı vardır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\log_x 16 = 2

ise

x

kaçtır?

Açıklama

Tanımdan $x^2 = 16$ . Taban pozitif olmak zorunda olduğundan $x = 4$ .

Orta

Logaritma fonksiyonu, log, ln ve özellikler

Logaritma fonksiyonu ve grafiği

Üstel fonksiyon birebir ve örten olduğundan tersi vardır. $y = a^x$ kuralında $x$ ‘i yalnız bırakırsan $x = \log_a y$ çıkar; yani ters fonksiyon logaritmadır.

Bir fonksiyonun grafiği ile tersinin grafiği $y = x$ doğrusuna göre simetriktir. Sahnede $y = a^x$ eğrisi bu doğrunun üzerinden katlanıyor: $(0, 1)$ noktası $(1, 0)$ ‘a, $(1, a)$ noktası $(a, 1)$ ‘e gidiyor. Ortaya çıkan eğri $y = \log_a x$ eğrisidir.

y = 2^x

üzerindeki

(p, q)

noktası,

y = \log_2 x

üzerindeki

(q, p)

noktasına karşılık gelir

Simetri her şeyi yer değiştirtir: üstel fonksiyonun tanım kümesi $\mathbb{R}$ , görüntü kümesi $\mathbb{R}^+$ idi; logaritmada tanım kümesi $\mathbb{R}^+$ , görüntü kümesi $\mathbb{R}$ olur. Üstel eğri $x$ eksenine yaklaşıp dokunmuyordu; logaritma eğrisi $y$ eksenine yaklaşır ama dokunmaz.

Şimdi sahnede yalnızca $y = \log_a x$ var. $a$ sürgüsünü $1$ ‘in iki yanında gezdir. $a > 1$ iken eğri yükselir, $0 < a < 1$ iken alçalır. Eğri her durumda $(1, 0)$ noktasından geçer ve $y$ ekseninin solunda hiç görünmez.

a > 1

için artan,

0 < a < 1

için azalan logaritma fonksiyonu

İşaret kuralını grafikten doğrula: $\log_2 8 = 3$ pozitif (ikisi de $1$ ‘den büyük), $\log_2 \dfrac14 = -2$ negatif, $\log_{\frac12} \dfrac14 = 2$ yine pozitif (ikisi de $1$ ‘den küçük).

Örnek

orta

İşaret ve 1 ile karşılaştırma

$a = \log_2 3$ , $b = \log_3 2$ ve $c = \log_{\frac12} 3$ sayılarını küçükten büyüğe sırala.

Değerleri hesaplayamayız; bu yüzden önce işaretlere bak. $c$ ‘de taban $1$ ‘den küçük, sayı $1$ ‘den büyük: farklı yanlardalar, $c < 0$ . $a$ ve $b$ pozitiftir.

$a$ ile $b$ ‘yi ayırmak için ikisini de $1$ ile karşılaştır. $\log_2 x$ artan ve $3 > 2$ olduğundan $a = \log_2 3 > \log_2 2 = 1$ .

$\log_3 x$ artan ve $2 < 3$ olduğundan $b = \log_3 2 < \log_3 3 = 1$ . Yani $0 < b < 1 < a$ .

Sonuç

$c < b < a$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(x) = \log_{(3 - a)} x

artan bir fonksiyon ise

a

için hangisi doğrudur?

Açıklama

Artan olması için taban $1$ ‘den büyük olmalı: $3 - a > 1$ , yani $a < 2$ .

İki özel taban: 10 ve e

Günlük sayı sistemimiz $10$ ‘luk olduğundan en çok kullanılan taban $10$ ‘dur. Doğadaki sürekli büyüme ve azalma olaylarında ise karşımıza hep aynı sayı çıkar: $e$ .

$e$ nereden geliyor? Sahnede $\left(1 + \dfrac1n\right)^n$ ifadesinin değerleri var. $n = 1$ için $2$ , $n = 10$ için yaklaşık $2{,}594$ , $n = 1000$ için yaklaşık $2{,}717$ . $n$ sürgüsünü büyüttükçe değerler artıyor ama bir tavanı aşamıyor; yaklaştıkları sayı $e$ ‘dir.

$e$ sayısı nüfus artışı, radyoaktif bozunma, soğuma gibi “değişim hızı o andaki miktarla orantılı” olan olayların modellerinde tabandır; bu modelleri üstel ve logaritmik denklemler konusunda kullanacaksın. Logaritmayı 1614’te hesapları kolaylaştırmak için İskoç matematikçi John Napier yayımladı. Osmanlı’da 18. yüzyılda Gelenbevi İsmail Efendi, logaritma cetvellerini açıklayan bir eser yazarak konuyu tanıttı.

Örnek

orta

log ve ln ile hesap

$\log 0{,}001 + \ln \sqrt{e} + e^{\ln 4}$ işleminin sonucu kaçtır?

Her terimi tabanının kuvveti olarak yazmayı dene, çünkü $\log_a a^n = n$ kuralı işi bitirir. $0{,}001 = 10^{-3}$ olduğundan $\log 0{,}001 = -3$ .

$\sqrt{e} = e^{\frac12}$ olduğundan $\ln \sqrt{e} = \dfrac12$ .

Üçüncü terimde üs alma ile logaritma aynı tabanda ( $e$ ) art arda geliyor; birbirini geri alırlar: $e^{\ln 4} = 4$ .

Sonuç

$-3 + \dfrac12 + 4 = \dfrac32$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\ln e^2 + \log 100 - \ln 1

kaçtır?

Açıklama

$\ln e^2 = 2$ , $\log 100 = \log 10^2 = 2$ , $\ln 1 = 0$ . Toplam $2 + 2 - 0 = 4$ .

Logaritmanın özellikleri

Logaritma bir üstür; üslerin kuralları logaritmaya da yansır. Aynı tabanlı iki kuvveti çarparken üsler toplanıyordu: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ . Bunun logaritma dilindeki karşılığı, çarpımın logaritmasının toplam olmasıdır.

Sahnedeki cetvelde her sayı, $1$ çizgisinden $\log$ ‘u kadar uzağa yazılmış. İkinci bir cetveli kaydırıp $1$ çizgisini üstteki $a$ ‘nın altına getir; alttaki $b$ ‘nin tam üstünde $a \cdot b$ yazıyor. Uzunlukları toplamak sayıları çarpmak demek: $\log a + \log b = \log (a \cdot b)$ .

Logaritmik cetvelde

\log 2

ile

\log 3

uç uca eklenince

\log 6

elde edilir

Neden? $\log_a x = m$ ve $\log_a y = n$ de. O zaman $x = a^m$ , $y = a^n$ ve $x \cdot y = a^{m+n}$ olur; tanıma göre $\log_a (x \cdot y) = m + n$ . Bölüm kuralı $a^m : a^n = a^{m-n}$ eşitliğinden, kuvvet kuralı $\left(a^m\right)^n = a^{mn}$ eşitliğinden aynı yolla çıkar.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\log_2 24 - \log_2 3

kaçtır?

Açıklama

$\log_2 24 - \log_2 3 = \log_2 \dfrac{24}{3} = \log_2 8 = 3$ .

Örnek

orta

İki tuşu çalışan hesap makinesi

Deniz’in hesap makinesinde rakam tuşlarından yalnızca $2$ ve $3$ çalışıyor. Deniz $\log 2 \approx 0{,}301$ ve $\log 3 \approx 0{,}477$ değerlerini okuyabiliyor. Bu değerlerle $\log 7{,}2$ yaklaşık kaçtır?

Elimizde yalnızca $\log 2$ ve $\log 3$ var; $7{,}2$ sayısını $2$ , $3$ ve $10$ cinsinden yazmalıyız. $7{,}2 = \dfrac{72}{10}$ ve $72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$ .

Bölüm kuralı: $\log 7{,}2 = \log 72 - \log 10 = \log 72 - 1$ .

Çarpım ve kuvvet kuralı: $\log 72 = \log 2^3 + \log 3^2 = 3 \log 2 + 2 \log 3$ .

Değerleri yerine yaz: $3 \cdot 0{,}301 + 2 \cdot 0{,}477 = 0{,}903 + 0{,}954 = 1{,}857$ .

Sonuç

$\log 7{,}2 \approx 1{,}857 - 1 = 0{,}857$

Taban değiştirme

Hesap makinelerinde yalnızca $\log$ ve $\ln$ tuşu bulunur. $\log_2 7$ gibi bir değeri bulmak ya da farklı tabanlı logaritmaları bir araya getirmek için tabanı değiştirmek gerekir.

Neden? $\log_a x = y$ ise $a^y = x$ . İki tarafın $c$ tabanında logaritmasını al: $y \cdot \log_c a = \log_c x$ ; $y$ ‘yi yalnız bırakınca kural çıkar.

Sahnede $y = \log_2 x$ ve $y = \log_a x$ eğrileri birlikte çiziliyor. $x$ noktasını sürükle: iki yüksekliğin oranı hiç değişmiyor, hep $\log_2 a$ . Taban değiştirmek eğriyi düşeyde sabit bir sayıyla ölçeklemektir.

\log_4 x = \dfrac{\log_2 x}{\log_2 4} = \dfrac12 \log_2 x

: her noktada yükseklik yarıya iner

Örnek

orta

Zincirleme çarpım

$\log_2 3 \cdot \log_3 5 \cdot \log_5 8$ çarpımının değeri kaçtır?

Tek tek hesaplanamayan logaritmalar var; ama her birinin içindeki sayı, bir sonrakinin tabanı. Bu yapı $\log_a b \cdot \log_b x = \log_a x$ kuralını çağırır.

İlk iki çarpanı birleştir: $\log_2 3 \cdot \log_3 5 = \log_2 5$ .

Sonucu üçüncüyle birleştir: $\log_2 5 \cdot \log_5 8 = \log_2 8$ .

Sonuç

$\log_2 8 = 3$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\log_9 27

kaçtır?

Açıklama

$9 = 3^2$ ve $27 = 3^3$ : $\log_{3^2} 3^3 = \dfrac32 \log_3 3 = \dfrac32$ . Sağlama: $9^{\frac32} = 27$ .

İleri

Birleşik sorular ve tuzaklar

Bir logaritma hangi iki tam sayı arasında?

Sınavda hesap makinesi yok; $\log_2 7$ gibi bir değerin kendisini bulamazsın ama yerini bulabilirsin. Araç, fonksiyonun artan ya da azalan olmasıdır.

Sahnede $y = \log_2 x$ eğrisi ve $x$ ekseninde $2$ ‘nin kuvvetleri işaretli: $1, 2, 4, 8, 16$ . $n$ sürgüsünü gezdir. $n$ iki ardışık kuvvetin arasındayken $\log_2 n$ de iki ardışık tam sayının arasında kalır; basamak ancak $n$ bir sonraki kuvvete ulaşınca atlar.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\log_5 100

hangi iki ardışık tam sayı arasındadır?

Açıklama

$5^2 = 25 < 100 < 125 = 5^3$ olduğundan $2 < \log_5 100 < 3$ .

Örnek

zor

Farklı tabanlı logaritmaları sıralama

$x = \log_2 7$ , $y = \log_3 30$ ve $z = \log_5 20$ sayılarını küçükten büyüğe sırala.

Tabanlar farklı ve ortak bir tabana çevirmek sayıları tanınmaz hâle getirir. Bunun yerine her birini kendi tabanının ardışık kuvvetleri arasına sıkıştır.

$2^2 = 4 < 7 < 8 = 2^3$ olduğundan $2 < x < 3$ .

$3^3 = 27 < 30 < 81 = 3^4$ olduğundan $3 < y < 4$ .

$5^1 = 5 < 20 < 25 = 5^2$ olduğundan $1 < z < 2$ . Üç aralık birbiriyle çakışmıyor; sıralama belli.

Sonuç

$z < x < y$

Örnek

zor

Kancaya dönüş: kaç katlama?

Kalınlığı $0{,}1$ mm olan bir kâğıt her katlamada iki kat kalınlaşıyor. $\log 2 \approx 0{,}301$ alındığında, kalınlığın $1$ km’yi geçmesi için en az kaç katlama gerekir?

Önce birimleri eşitle. $1$ km $= 1000$ m $= 10^6$ mm. Bu, $0{,}1$ mm’nin $\dfrac{10^6}{0{,}1} = 10^7$ katıdır.

$n$ katlamadan sonra kalınlık $2^n$ katına çıkar. Aranan, $2^n > 10^7$ koşulunu sağlayan en küçük $n$ tam sayısıdır.

Bilinmeyen üstte; iki tarafın $10$ tabanında logaritmasını al. $\log x$ artan olduğundan eşitsizliğin yönü korunur: $n \cdot \log 2 > 7$ .

$n > \dfrac{7}{0{,}301} \approx 23{,}3$ . Bunu sağlayan en küçük tam sayı $24$ ‘tür.

Sonuç

En az $24$ katlama gerekir. (Sağlama: $2^{23} = 8\,388\,608 < 10^7 < 16\,777\,216 = 2^{24}$ .)

Tabanda da değişken varsa

Örnek

zor

Değişken tabanlı logaritmanın tanım kümesi

$f(x) = \log_{(x - 1)} (8 - x)$ fonksiyonunun tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Üç koşulu ayrı ayrı yaz; çünkü taban da artık $x$ ‘e bağlı. İç pozitif: $8 - x > 0$ , yani $x < 8$ .

Taban pozitif: $x - 1 > 0$ , yani $x > 1$ .

Taban $1$ ‘den farklı: $x - 1 \neq 1$ , yani $x \neq 2$ . En çok unutulan koşul budur.

Birleştir: $1 < x < 8$ ve $x \neq 2$ . Tam sayılar $3, 4, 5, 6, 7$ .

Sonuç

$3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25$

Bir logaritmayı başka bir logaritma cinsinden yazma

Örnek

zor

Verilen logaritma cinsinden ifade

$\log_2 3 = a$ olduğuna göre $\log_{12} 18$ ifadesinin $a$ cinsinden eşiti nedir?

Verilen logaritma $2$ tabanında; istenen ifadeyi de $2$ tabanına taşı: $\log_{12} 18 = \dfrac{\log_2 18}{\log_2 12}$ .

Pay ve paydadaki sayıları $2$ ve $3$ ‘ün kuvvetleriyle yaz, çünkü yalnızca $\log_2 2 = 1$ ve $\log_2 3 = a$ değerlerini biliyoruz: $18 = 2 \cdot 3^2$ ve $12 = 2^2 \cdot 3$ .

$\log_2 18 = \log_2 2 + 2 \log_2 3 = 1 + 2a$ ve $\log_2 12 = 2 \log_2 2 + \log_2 3 = 2 + a$ .

Sonuç

$\log_{12} 18 = \dfrac{1 + 2a}{2 + a}$

Özet

Üstel fonksiyon: $f(x) = a^x$ , $a > 0$ , $a \neq 1$ . $(0, 1)$ ‘den geçer, hep pozitiftir; $a > 1$ ise artan, $0 < a < 1$ ise azalan. Birebir ve örtendir.
Logaritma: $\log_a x = y \iff a^y = x$ . İç pozitif, taban pozitif ve $1$ ‘den farklı olmalı.
Logaritma fonksiyonu: üstel fonksiyonun tersidir; grafikleri $y = x$ doğrusuna göre simetriktir. $(1, 0)$ ‘dan geçer; $a > 1$ ise artan, $0 < a < 1$ ise azalan.
Özel tabanlar: $\log x = \log_{10} x$ , $\ln x = \log_e x$ ; $e \approx 2{,}718$ irrasyoneldir.
Özellikler:

\begin{aligned} \log_a (xy) &= \log_a x + \log_a y & \log_a \dfrac{x}{y} &= \log_a x - \log_a y \\ \log_a x^n &= n \log_a x & a^{\log_a x} &= x \\ \log_a x &= \dfrac{\log_c x}{\log_c a} & \log_a b &= \dfrac{1}{\log_b a} \end{aligned}

Yer bulma: $a > 1$ için $a^k \le x < a^{k+1}$ ise $k \le \log_a x < k + 1$ .
Tuzak: $\log (x + y)$ için kural yoktur; logaritmaların bölümü, bölümün logaritması değildir.

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

11 çıkmış soru6 özgün soru

2026 AYTSoru 17

Kolay

Logaritmanın özellikleri

$M$ bir gerçel sayı olmak üzere

\dfrac{\log(10!) - \log(M)}{\log(6!)} = 2

eşitliği sağlanıyor.

Buna göre $M$ kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 32)

Çözüm

Paydayı karşıya at: $\log(10!) - \log M = 2 \log(6!)$ .

Sol tarafta bölüm, sağ tarafta kuvvet özelliğini kullan:

\log \dfrac{10!}{M} = \log (6!)^2 \;\Rightarrow\; \dfrac{10!}{M} = (6!)^2

M = \dfrac{10!}{6! \cdot 6!} = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{720} = \dfrac{5040}{720} = 7

Tuzak: $\dfrac{\log(10!)}{\log(6!)}$ kesrini $\log\dfrac{10!}{6!}$ sanmak. Logaritmaların bölümü, bölümün logaritması değildir.

Cevap: E

2024 AYTSoru 13

Orta

Logaritmanın özellikleri

$a$ , $x$ ve $y$ pozitif gerçel sayılardır. Küçükten büyüğe doğru sıralanmış

\log_a x,\quad \log_a y,\quad \log_a (x + y)

sayıları ardışık tam sayılardır.

Buna göre $\log_a (2a + 1)$ ifadesinin değeri kaçtır?

İpucu

Ardışık tam sayıların farkı 1'dir. İki farkı da bölümün logaritması olarak yaz; $a$ için bir eşitlik çıkar.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 29)

Çözüm

Sayılar ardışık ve küçükten büyüğe sıralı olduğundan

\log_a y - \log_a x = 1 \qquad \log_a (x + y) - \log_a y = 1

Bölüm özelliği: $\log_a \dfrac{y}{x} = 1$ ve $\log_a \dfrac{x + y}{y} = 1$ . Tanımdan $y = a x$ ve $x + y = a y$ .

Birinciyi ikincide yerine yaz: $x + a x = a \cdot a x$ . $x > 0$ olduğundan sadeleştir: $a^2 = a + 1$ .

İstenen ifadenin içini bu eşitlikle dönüştür:

2a + 1 = a + (a + 1) = a + a^2 = a(1 + a) = a \cdot a^2 = a^3

$\log_a (2a + 1) = \log_a a^3 = 3$ .

Not: $a$ 'yı bulmak gerekmez ( $a = \dfrac{1 + \sqrt5}{2}$ olur; pozitif ve 1'den farklıdır).

Cevap: D

2023 AYTSoru 22

Orta

Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi

Kerem matematik sınavına hazırlanıyor. Babası onu çalışmaya özendirmek için evdeki kablosuz internetin şifresini değiştiriyor ve modemin yanına şu notu bırakıyor:

Şifre,
$f(x) = \log_{(x-5)}\left(-x^2 + 14x - 24\right)$
fonksiyonunun tanım kümesindeki tam sayıların toplamı.

Buna göre internet şifresi kaçtır?

İpucu

Üç koşul var: taban pozitif, taban 1'den farklı, logaritması alınan ifade pozitif.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 31)

Çözüm

Taban koşulları: $x - 5 > 0$ ve $x - 5 \ne 1$ , yani $x > 5$ ve $x \ne 6$ .

İç koşulu: $-x^2 + 14x - 24 > 0$ . İki tarafı $-1$ ile çarp (yön değişir): $x^2 - 14x + 24 < 0$ , yani $(x - 2)(x - 12) < 0$ . Çarpım kökler arasında negatiftir: $2 < x < 12$ .

Koşulları birleştir: $5 < x < 12$ ve $x \ne 6$ . Tam sayılar $7, 8, 9, 10, 11$ ; toplam $45$ .

Tuzak: tabanı 1 yapan $x = 6$ değerini atmayı unutursan $51$ , taban koşulunu hiç yazmazsan $63$ bulursun; ikisi de seçeneklerde var.

Cevap: A

2023 AYTSoru 23

Orta

Logaritma fonksiyonunun grafiği

Şekilde dik koordinat düzleminde $f(x) = \log_2 x$ ve $g(x) = \log_{\frac{1}{4}} x$ fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. $A$ ve $D$ noktaları $f$ 'nin, $B$ ve $C$ noktaları $g$ 'nin grafiği üzerindedir. $[AB]$ doğru parçası $(4, 0)$ noktasından geçer; $[AB]$ ve $[CD]$ doğru parçaları $x$ eksenine diktir. $ABC$ üçgeninin alanı 6 birimkaredir.

Buna göre $ACD$ üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

İpucu

$A$ ve $B$ noktalarının apsisi $4$ 'tür; ordinatlarını fonksiyonlardan bul. $[CD]$ 'nin apsisini $ABC$ üçgeninin alanından çıkar.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 31)

Çözüm

$A$ ve $B$ noktaları $x = 4$ doğrusu üzerindedir: $A(4, \log_2 4) = (4, 2)$ ve $B(4, \log_{\frac14} 4) = (4, -1)$ . Öyleyse $|AB| = 2 - (-1) = 3$ .

$C$ ve $D$ noktalarının apsisi $k$ olsun. $ABC$ üçgeninde $[AB]$ kenarına ait yükseklik, $C$ 'nin $x = 4$ doğrusuna uzaklığıdır: $k - 4$ .

\dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot (k - 4) = 6 \;\Rightarrow\; k = 8

$D(8, \log_2 8) = (8, 3)$ . $C$ için $\left(\dfrac14\right)^{y} = 8$ , yani $2^{-2y} = 2^3$ ve $y = -\dfrac32$ : $C\left(8, -\dfrac32\right)$ . Öyleyse $|CD| = 3 + \dfrac32 = \dfrac92$ .

$ACD$ üçgeninde $[CD]$ kenarına ait yükseklik, $A$ 'nın $x = 8$ doğrusuna uzaklığıdır: $8 - 4 = 4$ .

\text{Alan} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{9}{2} \cdot 4 = 9

Cevap: D

2021 AYTSoru 13

Zor

Doğal logaritma ve özellikler

Bir hesap makinesi işlem sonucunu şöyle gösteriyor: sonuç tam sayıysa o sayıyı; ondalıklı bir sayıysa tam kısmını ve virgülden sonraki ilk iki basamağını.

Nevzat bu makinede $\ln(9{,}6)$ işlemini yaptırınca ekranda $2{,}26$ , $\ln(0{,}3)$ işlemini yaptırınca ekranda $-1{,}20$ görüyor.

Nevzat aynı makinede $\ln(0{,}5)$ işlemini yaptırırsa ekranda hangi değeri görür?

İpucu

$\dfrac{9{,}6}{0{,}3}$ bölümünü hesapla; $2$ 'nin bir kuvveti çıkıyor. Makine yuvarlamıyor, basamakları kesiyor: gerçek değerleri aralık olarak yaz.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 29)

Çözüm

$\dfrac{9{,}6}{0{,}3} = 32 = 2^5$ olduğundan bölüm ve kuvvet özellikleriyle

\ln(9{,}6) - \ln(0{,}3) = \ln 32 = 5 \ln 2

Makine basamakları kestiği için ekrandaki değerler birer aralık bildirir:

2{,}26 \le \ln(9{,}6) < 2{,}27 \qquad -1{,}21 < \ln(0{,}3) \le -1{,}20

İkincisini $-1$ ile çarp: $1{,}20 \le -\ln(0{,}3) < 1{,}21$ . Taraf tarafa topla:

3{,}46 \le 5 \ln 2 < 3{,}48 \;\Rightarrow\; 0{,}692 \le \ln 2 < 0{,}696

$\ln(0{,}5) = \ln 2^{-1} = -\ln 2$ olduğundan $-0{,}696 < \ln(0{,}5) \le -0{,}692$ . Bu aralıktaki her sayının ekrandaki görüntüsü $-0{,}69$ 'dur.

Kısa yol: $\dfrac{2{,}26 + 1{,}20}{5} = 0{,}692$ hesabı da aynı seçeneğe götürür; aralık hesabı ise başka seçeneğin mümkün olmadığını gösterir.

Cevap: C

2020 AYTSoru 21

Orta

Logaritmanın tanımı

$n$ bir tam sayı ve $1 < n < 100$ olmak üzere

\log_2(\log_3 n)

ifadesinin değeri pozitif bir tam sayıdır.

Buna göre $n$ 'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

İpucu

İfadeye $k$ de ve logaritmanın tanımını dıştan içe doğru iki kez uygula.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 30)

Çözüm

$\log_2(\log_3 n) = k$ olsun; $k$ pozitif tam sayı.

Tanımı dıştaki logaritmaya uygula: $\log_3 n = 2^k$ . Bir kez daha uygula: $n = 3^{2^k}$ .

$k = 1$ : $n = 3^2 = 9$
$k = 2$ : $n = 3^4 = 81$
$k = 3$ : $n = 3^8 = 6561$ , bu $100$ 'den büyüktür.

Uygun değerler $9$ ve $81$ ; toplam $90$ .

Tuzak: $k = 0$ değerini ( $n = 3$ ) de saymak. Sıfır pozitif değildir.

Cevap: E

2020 AYTSoru 22

Orta

Logaritmanın işareti

1'den farklı $a$ ve $b$ pozitif gerçel sayıları

\log_a 2 < 0 < \log_2 b

eşitsizliğini sağlıyor.

Buna göre

I. $a + b > 1$
II. $b - a > 0$
III. $a \cdot b > 1$

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

İpucu

Bir logaritma, tabanı ile içindeki sayı 1'in farklı yanlarındayken negatif, aynı yanındayken pozitiftir.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 30)

Çözüm

$\log_a 2 < 0$ : içteki sayı $2 > 1$ olduğu hâlde sonuç negatif; öyleyse taban 1'in öbür yanındadır: $0 < a < 1$ .

$\log_2 b > 0$ : taban $2 > 1$ ve sonuç pozitif; öyleyse $b > 1$ .

I. $a > 0$ ve $b > 1$ olduğundan $a + b > 1$ . Her zaman doğru.
II. $a < 1 < b$ olduğundan $b - a > 0$ . Her zaman doğru.
III. $a = \dfrac14$ , $b = 2$ alınırsa $a \cdot b = \dfrac12 < 1$ . Her zaman doğru değil.

Cevap: I ve II.

Cevap: C

2019 AYTSoru 7

Kolay

Logaritmanın özellikleri

Canan bir matematik dersinde aşağıdaki işlemleri sırayla yapıyor.

I. adım: $6 = 1 \cdot 2 \cdot 3 = e^{\ln 1} \cdot e^{\ln 2} \cdot e^{\ln 3}$
II. adım: $e^{\ln 1} \cdot e^{\ln 2} \cdot e^{\ln 3} = e^{\ln 1 + \ln 2 + \ln 3}$
III. adım: $e^{\ln 1 + \ln 2 + \ln 3} = e^{\ln 6}$
IV. adım: $e^{\ln 6} = e^{\ln (2 + 4)}$
V. adım: $e^{\ln (2 + 4)} = e^{\ln 2 + \ln 4}$
VI. adım: $e^{\ln 2 + \ln 4} = e^{\ln 2} \cdot e^{\ln 4}$
VII. adım: $e^{\ln 2} \cdot e^{\ln 4} = 2 \cdot 4 = 8$

Böylece Canan $6 = 8$ sonucuna ulaşıyor.

Buna göre Canan'ın hatası numaralı adımların hangisindedir?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 27)

Çözüm

Adımları sırayla denetle.

I: $e^{\ln a} = a$ olduğundan doğru.
II: tabanlar aynıyken çarpımda üsler toplanır; doğru.
III: $\ln 1 + \ln 2 + \ln 3 = \ln(1 \cdot 2 \cdot 3) = \ln 6$ ; doğru.
IV: $6 = 2 + 4$ ; doğru.
V: $\ln(2 + 4) = \ln 2 + \ln 4$ yazılmış. Oysa $\ln 2 + \ln 4 = \ln(2 \cdot 4) = \ln 8$ olur; bu $\ln 6$ değildir. Hata buradadır.
VI ve VII kendi içinde doğrudur.

Tuzağın adı: toplamın logaritması, logaritmaların toplamı değildir. Logaritmaların toplamı çarpımın logaritmasıdır.

Cevap: D

2019 AYTSoru 14

Orta

Taban değiştirme

1'den büyük bir $x$ tam sayısı için

$\dfrac{64}{x}$ oranı bir tam sayıdır,
$\dfrac{\ln 64}{\ln x}$ oranı bir tam sayı değildir.

Buna göre $x$ 'in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

İpucu

İkinci oranı taban değiştirme kuralıyla tek bir logaritma olarak yaz: $\dfrac{\ln 64}{\ln x} = \log_x 64$ .

ÖSYM kitapçığında gör (s. 29)

Çözüm

İlk koşul: $x$ , $64 = 2^6$ sayısının 1'den büyük bir bölenidir. Yani $x = 2^k$ ve $k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ .

İkinci koşul için kuvvet özelliğini kullan:

\dfrac{\ln 64}{\ln x} = \dfrac{\ln 2^6}{\ln 2^k} = \dfrac{6 \ln 2}{k \ln 2} = \dfrac{6}{k}

$\dfrac{6}{k}$ sayısı $k = 1, 2, 3, 6$ için tam sayıdır; $k = 4$ ve $k = 5$ için değildir.

Öyleyse $x = 2^4 = 16$ ya da $x = 2^5 = 32$ ; toplam $16 + 32 = 48$ .

Cevap: C

2019 AYTSoru 15

Orta

Logaritmanın tam kısmı

Ada, bilimsel hesap makinesiyle $n \le 32$ koşulunu sağlayan her $n$ pozitif tam sayısı için $\log_2 n$ değerini hesaplıyor. Ekrandaki değer tam sayıysa o sayıyı, ondalıklı bir sayıysa yalnızca tam kısmını bir kâğıda yazıyor ve sonunda kâğıttaki sayıları topluyor.

Buna göre Ada'nın bulduğu toplam kaçtır?

İpucu

$2^k \le n < 2^{k+1}$ ise $\log_2 n$ sayısı $k$ ile $k + 1$ arasındadır; kâğıda $k$ yazılır. Her $k$ için kaç tane $n$ olduğunu say.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 29)

Çözüm

$\log_2 x$ artan bir fonksiyondur. Bu yüzden $2^k \le n < 2^{k+1}$ ise $k \le \log_2 n < k + 1$ olur ve kâğıda $k$ yazılır.

$n$	Yazılan sayı	Kaç tane
$1$	$0$	$1$
$2, 3$	$1$	$2$
$4, \dots, 7$	$2$	$4$
$8, \dots, 15$	$3$	$8$
$16, \dots, 31$	$4$	$16$
$32$	$5$	$1$

Toplam: $0 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 8 + 4 \cdot 16 + 5 \cdot 1 = 2 + 8 + 24 + 64 + 5 = 103$ .

Tuzak: $n = 32$ sayısını da $4$ 'lü gruba katmak ( $\log_2 32 = 5$ tam sayıdır) ya da $n = 1$ için $0$ yazıldığını unutup sayımı kaydırmak.

Cevap: D

2018 AYTSoru 10

Orta

Logaritmanın özellikleri

Özel bir cetvelin üzerine 1'den 50'ye kadar tam sayılar öyle yerleştirilmiştir ki her $n$ tam sayısının 1 çizgisine uzaklığı $\log n$ birimdir.

Bu cetvelden iki özdeş tane alınıp şekildeki gibi alt alta konuyor. Üstteki cetvelin 42 çizgisi alttaki cetvelin 28 çizgisiyle, üstteki cetvelin 33 çizgisi ise alttaki cetvelin $x$ çizgisiyle aynı hizaya geliyor. (Şekil ölçekli değildir.)

Buna göre $x$ kaçtır?

İpucu

Aynı cetvel üzerindeki iki sayının arasındaki uzaklık, logaritmalarının farkıdır. İki kesikli çizgi arasındaki uzaklığı her iki cetvelde ayrı ayrı yaz.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 27)

Çözüm

Bir cetvelde $m$ ve $n$ çizgileri arasındaki uzaklık $\log m - \log n$ birimdir, çünkü ikisi de 1 çizgisinden ölçülür.

İki kesikli çizgi arasındaki uzaklık üst cetvelde $\log 42 - \log 33$ , alt cetvelde $\log 28 - \log x$ olarak okunur. Aynı uzaklık olduğundan

\log 42 - \log 33 = \log 28 - \log x \;\Rightarrow\; \log\dfrac{42}{33} = \log\dfrac{28}{x}

Logaritma fonksiyonu birebir olduğundan içler eşittir: $\dfrac{42}{33} = \dfrac{28}{x}$ , yani $x = \dfrac{28 \cdot 33}{42} = 22$ .

Tuzak: uzaklıkları sayıların farkı gibi düşünüp $42 - 33 = 28 - x$ yazmak $x = 19$ verir. Bu cetvelde eşit uzaklık eşit oran demektir, eşit fark değil.

Cevap: E

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Logaritma hesaplama

\log_3 54 - \log_3 2 + \log_{\sqrt{2}} 4

işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm

İlk iki terim aynı tabanda; bölüm özelliği: $\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 27 = 3$ .

Üçüncü terim için tanımı kullan: $\left(\sqrt2\right)^{y} = 4$ . $\left(\sqrt2\right)^2 = 2$ ve $\left(\sqrt2\right)^4 = 4$ olduğundan $y = 4$ .

Sonuç: $3 + 4 = 7$ .

Tuzak: $\log_{\sqrt2} 4$ ifadesini $\log_2 4 = 2$ gibi okumak $5$ sonucunu verir.

Cevap: D

Özgün soru2

Orta

Üstel fonksiyon ve tersi

$a$ , 1'den farklı pozitif bir gerçel sayı olmak üzere $f(x) = a^x$ fonksiyonunun grafiği $A(-2, 9)$ noktasından geçmektedir. $f$ 'nin ters fonksiyonu $g$ 'dir.

$g(k) = 3$ olduğuna göre $k$ kaçtır?

İpucu

Önce $a$ 'yı bul; üssün negatif olduğuna dikkat et. $g(k) = 3$ demek $f(3) = k$ demektir.

Çözüm

Nokta grafiğin üzerinde: $f(-2) = a^{-2} = 9$ , yani $\dfrac{1}{a^2} = 9$ ve $a^2 = \dfrac19$ . $a > 0$ olduğundan $a = \dfrac13$ .

$g$ , $f$ 'nin tersidir: $g(k) = 3 \iff f(3) = k$ . (Logaritma diliyle $g(x) = \log_{\frac13} x$ .)

$k = \left(\dfrac13\right)^3 = \dfrac{1}{27}$ .

Tuzak: eksi üssü görmeyip $a = 3$ almak $k = 27$ verir. $f(-2) = 9 > 1$ olması, fonksiyonun azalan olduğunu, yani tabanın 1'den küçük olduğunu zaten söyler.

Cevap: B

Özgün soru3

Orta

Logaritmada sıralama

a = \log_{\frac12} 3 \qquad b = \log_3 \dfrac12 \qquad c = \log_2 3

sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

İpucu

Her sayıyı önce işaretiyle, sonra $-1$ ve $1$ ile karşılaştır. $\log_2 3$ ile $\log_3 2$ sayılarından hangisi 1'den büyüktür?

Çözüm

$c = \log_2 3$ : $2^1 < 3 < 2^2$ olduğundan $1 < c < 2$ .

$a = \log_{\frac12} 3 = \log_{2^{-1}} 3 = -\log_2 3 = -c$ . Öyleyse $-2 < a < -1$ .

$b = \log_3 \dfrac12 = -\log_3 2$ . $3^0 < 2 < 3^1$ olduğundan $0 < \log_3 2 < 1$ , yani $-1 < b < 0$ .

Sıralama: $a < -1 < b < 0 < c$ , yani $a < b < c$ .

Cevap: B

Özgün soru4

Orta

Verilenler cinsinden yazma

$\log 2 = a$ ve $\log 3 = b$ olduğuna göre

\log_6 15

ifadesinin $a$ ve $b$ cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

İpucu

10 tabanına geç. $\log 5$ verilmemiş ama $5 = \dfrac{10}{2}$ .

Çözüm

Taban değiştir: $\log_6 15 = \dfrac{\log 15}{\log 6}$ .

Payda: $\log 6 = \log 2 + \log 3 = a + b$ .

Pay: $\log 15 = \log 3 + \log 5$ . Burada $\log 5 = \log \dfrac{10}{2} = \log 10 - \log 2 = 1 - a$ . Öyleyse $\log 15 = b + 1 - a$ .

\log_6 15 = \dfrac{1 - a + b}{a + b}

Tuzak: $\log 6 = \log 2 \cdot \log 3$ yazmak (D seçeneği) ya da kesri ters kurmak (A seçeneği).

Cevap: C

Özgün soru5

Orta

Logaritmanın tam kısmı

1'den büyük bir tam sayının basamak sayısı, o sayının 10 tabanındaki logaritmasının tam kısmından 1 fazladır. Örneğin $\log 375 \approx 2{,}57$ olduğundan $375$ sayısı $2 + 1 = 3$ basamaklıdır.

Elif'in hesap makinesi $5^{40}$ sayısını ekrana sığdıramıyor. Elif yalnızca $\log 2 \approx 0{,}301$ değerini biliyor.

Buna göre $5^{40}$ sayısı kaç basamaklıdır?

İpucu

$\log 5^{40} = 40 \cdot \log 5$ . $\log 5$ değerini $\log 2$ 'den elde edebilirsin.

Çözüm

$\log 5 = \log \dfrac{10}{2} = 1 - \log 2 \approx 1 - 0{,}301 = 0{,}699$ .

Kuvvet özelliği: $\log 5^{40} = 40 \cdot \log 5 \approx 40 \cdot 0{,}699 = 27{,}96$ .

Tam kısım $27$ olduğundan basamak sayısı $27 + 1 = 28$ .

Tuzak: tam kısmı basamak sayısı sanmak ( $27$ ) ya da $\log 5$ yerine $\log 2$ ile çarpmak ( $40 \cdot 0{,}301 = 12{,}04$ , yani $13$ ).

Cevap: C

Özgün soru6

Zor

Taban değiştirme

$a$ ve $b$ , 1'den büyük gerçel sayılar ve $a < b$ olmak üzere

\log_a b + \log_b a = \dfrac{10}{3} \qquad a \cdot b = 256

eşitlikleri sağlanıyor.

Buna göre $a + b$ toplamı kaçtır?

İpucu

$\log_b a = \dfrac{1}{\log_a b}$ . $\log_a b = t$ de; $a < b$ ve $a > 1$ olması $t$ hakkında ne söyler?

Çözüm

$\log_a b = t$ olsun. Taban ile sayı yer değiştirince logaritma ters çevrilir: $\log_b a = \dfrac1t$ .

t + \dfrac{1}{t} = \dfrac{10}{3} \;\Rightarrow\; 3t^2 - 10t + 3 = 0 \;\Rightarrow\; (3t - 1)(t - 3) = 0

$t = 3$ ya da $t = \dfrac13$ . $a > 1$ ve $b > a$ olduğundan $\log_a b > \log_a a = 1$ ; öyleyse $t = 3$ , yani $b = a^3$ .

$a \cdot b = a \cdot a^3 = a^4 = 256 = 4^4$ ve $a > 0$ olduğundan $a = 4$ , $b = 64$ .

$a + b = 68$ . Sağlama: $\log_4 64 = 3$ , $\log_{64} 4 = \dfrac13$ , toplam $\dfrac{10}{3}$ ; $4 \cdot 64 = 256$ .

Cevap: C