Üstel Fonksiyon ve Logaritma · Görsel anlatım

Sıfırdan1 / 15

Her saat ikiye katlanan bakteriler

Bir bakteri kolonisi her saat iki katına çıkıyor. 1 küp, bir saat sonra 2 küp; sonra 4, 8, 16. Her saat miktar 2 ile çarpılıyor.

Dene: Sahneyi parmağınla ya da fareyle yana sürükle, bloğu döndür.

Sıfırdan2 / 15

Toplayarak mı, çarparak mı büyüyor?

Sarı kuleye her saat 2 küp eklenir: 1, 3, 5, 7, 9. Mavi kule her saat 2 ile çarpılır: 1, 2, 4, 8, 16. Başta toplama önde, ama 3. saatte çarpma öne geçer ve farkı hızla açar.

Hızlı soru

Mavi kule 5. saatte kaç küp olur?

Her saat 2 ile çarpılıyor: $16 \cdot 2 = 32$ . ( $11$ , sarı kulenin 5. saatteki boyu.)

Sıfırdan3 / 15

Saat sayısı üste çıkıyor

3 saatte küp sayısı $2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8$ olur. Kaç saat geçtiyse 2 o kadar kez çarpılır: $x$ saat sonra $2^x$ küp. Değişkenin üste çıktığı böyle fonksiyonlara üstel fonksiyon denir.

f(x) = 2^x

Sıfırdan4 / 15

Zamanı geri sarınca yarıya iner

Başlangıçta 1 küp vardı: $2^0 = 1$ . Bir saat geriye gidersen miktar yarıya iner: $2^{-1} = \tfrac12$ , sonra $\tfrac14$ , $\tfrac18$ . Küçülür ama hiçbir zaman 0 olmaz.

a^0 = 1 \qquad a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}

Temel5 / 15

Kule tepelerinden bir eğri

Kulelerin tepelerini birleştir: $y = 2^x$ eğrisi çıkar. Sağa doğru hızla yükselir; sola doğru x eksenine yaklaşır ama hiç değmez. Eğri hep x ekseninin üstündedir: $2^x > 0$ .

f(x) = a^x \quad (a > 0,\ a \neq 1)

Temel6 / 15

Taban değişince eğri

Tabanı $a$ ile değiştir. $a > 1$ ise eğri artan, $0 < a < 1$ ise azalan. Hangi tabanı seçersen seç eğri $(0, 1)$ noktasından geçer, çünkü $a^0 = 1$ .

Dene: Sürgüyle $a$ 'yı 1'in iki yanında gezdir.

Hızlı soru

$f(x) = (a - 2)^x$ azalan bir fonksiyon ise $a$ hangi aralıktadır?

Azalan olması için taban 0 ile 1 arasında olmalı: $0 < a - 2 < 1$ , yani $2 < a < 3$ .

Temel7 / 15

Ters soru: kaç kez ikiye katlandı?

Şimdi tersini sor: 8 küpe kaç saatte ulaşılır? 8 yüksekliğinden eğriye git, aşağı in: 3. Üssü soran bu işleme logaritma denir: $\log_2 8 = 3$ .

\log_a x = y \iff a^y = x

Dene: Sürgüyle küp sayısını değiştir: 2, 4, 6, 8.

Temel8 / 15

Sonuç negatif olabilir, iç olamaz

$k = \tfrac14$ için eğriye $x = -2$ 'de ulaşırsın: $\log_2 \tfrac14 = -2$ . Sonuç negatif olabilir. Ama eğri hep x ekseninin üstünde: $k \le 0$ ise kesişme yok, $\log_2 0$ ve $\log_2 (-4)$ tanımsız.

Dene: Sürgüyle $k$ 'yi 0'ın altına indir.

Hızlı soru

$\log_2 \dfrac18$ kaçtır?

$2^{-3} = \dfrac18$ olduğundan $\log_2 \dfrac18 = -3$ .

Temel9 / 15

Ayna: logaritmanın grafiği

Üstel eğriyi $y = x$ doğrusundan katla: $(0, 1)$ noktası $(1, 0)$ 'a, $(1, 2)$ noktası $(2, 1)$ 'e gider. Çıkan eğri $y = \log_2 x$ : logaritma, üstel fonksiyonun tersidir. Yalnızca $x > 0$ için tanımlıdır.

Dene: Katla düğmesiyle aç kapa; sonra $a$ 'yı değiştir.

Orta10 / 15

Çarpınca katlama sayıları toplanır

8 küp, 1 küpün 3 kez ikiye katlanmasıdır (mavi jetonlar). 4 ile çarpmak 2 katlama daha ekler: 32 küp için $3 + 2 = 5$ . Bölmek katlamaları geri alır: $32 : 4$ için $5 - 2 = 3$ .

\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y

Orta11 / 15

Kuvvet alınca katlamalar katlanır

$8^2 = 8 \cdot 8$ : 8'lik bloğu 8 ile çarpmak 3 katlama daha demek. Toplam $3 + 3 = 2 \cdot 3 = 6$ , yani $\log_2 64 = 6$ . Üs, logaritmanın önüne çarpan olarak iner.

\log_a x^n = n \cdot \log_a x

Hızlı soru

$\log_2 24 - \log_2 3$ kaçtır?

Logaritmaların farkı, bölümün logaritmasıdır: $\log_2 \dfrac{24}{3} = \log_2 8 = 3$ .

Orta12 / 15

On tabanı ve doğal logaritma

Bir küp, 10'luk çubuk, 100'lük plaka, 1000'lik küp: her adımda 10 ile çarpma. Bu yüzden $\log 1000 = 3$ . Taban 10 ise yazılmaz: $\log x = \log_{10} x$ . Tabanı $e \approx 2{,}718$ olan doğal logaritma $\ln$ ile gösterilir.

\log x = \log_{10} x \qquad \ln x = \log_e x

Sınav13 / 15

Taban değiştirme: adım boyu değişir

Üç top 1'den 64'e zıplıyor; her zıplamada sayı 2, 4 ya da 8 ile çarpılıyor. Adım sayıları 6, 3, 2. Bir $\times 4$ zıplaması iki $\times 2$ zıplamasına eşit, bu yüzden $\log_4 64 = 6 : 2 = 3$ .

\log_a x = \dfrac{\log_c x}{\log_c a}

Sınav14 / 15

Hangi iki tam sayı arasında?

11, 8 ile 16 arasında. 8'e 3 zıplamada varılır, 16'ya 4'te; 11 arada kalır: $3 < \log_2 11 < 4$ . Sınavda hesap makinesi yok: sayıyı tabanın ardışık kuvvetleri arasına sıkıştır.

Dene: Sürgüyle $n$ 'yi değiştir; hangi iki zıplama arasına düştüğüne bak.

Hızlı soru

$\log_5 100$ hangi iki ardışık tam sayı arasındadır?

$5^2 = 25 < 100 < 125 = 5^3$ olduğundan $2 < \log_5 100 < 3$ .

Sınav15 / 15

Hepsi bir arada

Üstel fonksiyon $a^x$ : $(0, 1)$ 'den geçer, hep pozitiftir. Logaritma üssü sorar; grafiği üstelin $y = x$ 'e göre aynasıdır ve $(1, 0)$ 'dan geçer. Çarpım toplama, bölüm farka, kuvvet çarpana döner.

\log_a x = y \iff a^y = x

Görsel anlatım bitti

Örnekler ve çıkmış sorular Sıradaki: Üstel ve Logaritmik Denklemler, Eşitsizlikler