Fonksiyon Kavramı ve Grafikleri

Bu bir sayı makinesi: üstten bir sayı atıyorsun, alttan yeni bir sayı çıkıyor. İçeride bir kural çalışıyor: 2 ile çarp, 1 ekle. $0$ girince $1$, $3$ girince $7$ çıkıyor.

Makineye girdi olarak $3$'ü üç kez atıyoruz. Üçünde de çıktı $7$. Kuralı belli bir makine aynı girdiye her seferinde aynı, tek bir çıktı verir.

Bu makineye $2$'yi iki kez atınca bir kez $5$, bir kez $3$ çıkıyor. Aynı yol için bir gün $190$, ertesi gün $230$ TL yazan taksimetre gibi: hangisine güveneceğin belli değil. Böyle bir makine işe yaramaz.

Her girdiye tek bir çıktı veren kurala fonksiyon denir. Makineye $f$ adını verelim: girdi $x$ ise çıktı $f(x)$. $f(3) = 7$ demek, makineye $3$ atınca $7$ çıkması demek.

Yeni kural: $f(x) = x^2$, yani sayının karesi. Atılabilecek bütün girdiler soldaki kapta: tanım kümesi $A$. Çıktıların düşebileceği sağdaki kap değer kümesi $B$; her girdiden tek ok çıkıyor.

$-1$ ile $1$ aynı çıktıya gidiyor; bu serbest. $2$ ile $3$'e hiç ok gelmiyor; bu da serbest. Oklarla ulaşılan çıktıların kümesi görüntü kümesi: $f(A) = \{0, 1, 4\}$.

Bir eşleme iki yoldan bozulur. $A$'da açıkta eleman kalırsa: $g(x) = x + 3$ için $g(2) = 5$, ama $5$ sayısı $B$'de yok. Ya da bir elemandan iki ok çıkarsa.

Kurala dönelim: $f(x) = 2x + 1$. Girdiyi yatay eksende, çıktıyı düşey eksende işaretle; ikisinin buluştuğu yer bir nokta, örneğin $(2, 5)$. Her girdi–çıktı çifti düzlemde bir nokta olur.

Kesirli girdileri de at: $0{,}5$ girerse $2$ çıkar. Noktalar sıklaştıkça bir doğru belirir. Bütün $(x, f(x))$ noktalarının oluşturduğu bu çizgi, $f$'nin grafiğidir.

Düşey bir ışık grafiği soldan sağa tarıyor. Her konumda grafiği en çok bir noktada kesiyorsa bu bir fonksiyon grafiğidir. İki noktada kestiği an o $x$'e iki çıktı düşer: fonksiyon değil.

$f(x) = ax + b$ biçimindeki doğrusal fonksiyonun grafiği doğrudur; $b$, doğrunun $y$ eksenini kestiği yer. $a = 0$ ise her girdiye aynı sayı çıkar: sabit fonksiyon. $f(x) = x$ ise girdi aynen çıkar: birim fonksiyon.

Bu makinede iki kural var: girdi $1$'den küçükse $x + 1$, değilse $4 - x$. Önce girdinin hangi koşula uyduğuna bak. $x = 1$ ikinci kurala gider, $f(1) = 3$; içi boş nokta grafiğe ait değil.

Çift fonksiyonda sol kol, $y$ ekseni çevresinde katlanınca sağ kolun üstüne oturur: $f(-x) = f(x)$. Tek fonksiyonda sol kol, orijin çevresinde yarım tur dönünce oturur: $f(-x) = -f(x)$.

Grafiği $x$ eksenine bastır (izdüşür): kapladığı aralık tanım kümesi, $[-2, 4]$. $y$ eksenine bastır: görüntü kümesi, $[-1, 3]$. Uçlarda değer $-1$, ama grafik arada $3$'e çıkıyor: görüntü uçlardan okunmaz.

$f(f(2))$ için içten başla: grafikten $f(2) = 3$ oku. Bu $3$'ü yeniden girdi yap ve $f(3) = 1$ oku. Yani $f(f(2)) = 1$.

Fonksiyon, her girdiye tek çıktı veren kuraldır. Girdiler tanım kümesi, gerçekten çıkanlar görüntü kümesi. Grafik $(x, f(x))$ noktalarıdır; her düşey doğru onu en çok bir kez keser.