Bire Bir, Örten, Bileşke ve Ters Fonksiyon · Görsel anlatım

Sıfırdan1 / 13

İki makineli şifre hattı

Arkadaşına gizli bir sayı yolluyorsun. Sayı bantta önce 2 ile çarpan, sonra 1 ekleyen makineden geçiyor: $4 \to 8 \to 9$ . Her makine bir fonksiyondur: giren sayıyı tek bir sayıya çevirir.

Dene: Sahneyi yana sürükleyip hattı döndür.

Sıfırdan2 / 13

Bant geri sarılıyor, şifre çözülüyor

Arkadaşının eline $9$ geçti; bandı geri sarıyor. En son $1$ eklenmişti, önce o çıkar; sonra $2$ 'ye bölünür: $9 \to 8 \to 4$ . Çorap ve ayakkabı gibi: son giyilen ilk çıkar.

Hızlı soru

Aynı hattan karşıya $15$ çıktı. Yollanan sayı kaçtı?

Sondan başa geri al: $15 - 1 = 14$ , sonra $14 : 2 = 7$ . Sağlama: $2 \cdot 7 + 1 = 15$ .

Sıfırdan3 / 13

Geri alınamayan makine

Bu makine sayının karesini alıyor. $3$ de $-3$ de girince $9$ çıkıyor. Arkadaşın $9$ 'u görünce hangisini yolladığını bilemez: bu makine geri alınamaz.

Temel4 / 13

Bire bir: bir kutuda en çok bir top

Toplar girdiler, kutular çıktılar; her top kuralın gösterdiği kutuya düşer. Kare alma kuralında $-1$ ile $1$ aynı kutuda buluşuyor. Farklı girdilere hep farklı çıktı veren fonksiyona bire bir denir.

x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)

Dene: Düğmelerle iki kuralı karşılaştır.

Temel5 / 13

Örten: boş kutu kalmaz

Kutuların tamamı değer kümesi, top düşenler görüntü kümesi. Boş kutu kalmıyorsa fonksiyon örtendir. Kural aynı kalsa bile fazladan bir kutu örtenliği bozar.

f(A) = B

Dene: Düğmeyle kutu sayısını değiştir.

Temel6 / 13

Geri dönüş ne zaman mümkün

Toplar kutulardan geri dönüyor. Her kutudan tam bir top çıkıyorsa geri dönüş de bir fonksiyondur: ters fonksiyon. Bunun için fonksiyon bire bir ve örten olmalı.

Dene: Düğmelerle üç durumu dene.

Temel7 / 13

Yatay doğru testi

Grafikte girdi yatayda, çıktı düşeyde. Yatay ışık grafiği iki yerde kesiyorsa iki farklı girdi aynı çıktıyı veriyor: bire bir değil. Her yatay doğru en çok bir kez kesiyorsa fonksiyon bire birdir.

Dene: Düğmeyle $y = 2x + 1$ doğrusuna geç.

Hızlı soru

Hangisinin grafiğini bir yatay doğru iki noktada kesebilir?

$y = 2$ doğrusu $x^2 + 1$ parabolünü $x = -1$ ve $x = 1$ noktalarında keser. Doğruları her yatay doğru bir kez keser.

Orta8 / 13

Bileşke: art arda iki fonksiyon

Makinelere ad verelim: önce $g(x) = 2x$ , sonra $f(x) = x + 1$ . İkisini art arda çalıştıran tek fonksiyona bileşke denir ve $f \circ g$ yazılır. Sağdan sola okunur: önce $g$ , sonra $f$ .

(f \circ g)(x) = f\bigl(g(x)\bigr) = 2x + 1

Dene: Sürgüyle $x$ 'i değiştir, zinciri izle.

Orta9 / 13

Sıra değişirse sonuç değişir

Makineler yer değiştirdi: önce $1$ ekle, sonra $2$ ile çarp. $4 \to 5 \to 10$ ; az önce $9$ çıkmıştı. Bileşkede değişme özelliği yoktur: genelde $f \circ g \neq g \circ f$ .

(g \circ f)(x) = 2(x + 1) = 2x + 2

Dene: Düğmelerle iki sırayı karşılaştır.

Hızlı soru

$f(x) = x + 1$ ve $g(x) = 2x$ için $(g \circ f)(3)$ kaçtır?

Önce içteki: $f(3) = 4$ . Sonra $g(4) = 8$ . Sırayı ters alırsan $f(g(3)) = 7$ çıkar; bileşke çarpma da değildir.

Orta10 / 13

Ters fonksiyon ve kuralı

Hattın tamamı tek fonksiyon: $h(x) = 2x + 1$ . Onu geri alan makine $h^{-1}$ ile gösterilir; işlemleri sondan başa çözer: önce $1$ çıkar, sonra $2$ 'ye böl. $h$ 'den çıkan sayı $h^{-1}$ 'e girince başladığın sayıya dönersin.

h^{-1}(x) = \dfrac{x - 1}{2}

Dene: Sürgüyle $x$ 'i değiştir: sondaki sayı hep baştaki.

Orta11 / 13

Tersin grafiği: y = x aynası

$h(1) = 3$ ise $h^{-1}(3) = 1$ : $P(1, 3)$ noktası $P'(3, 1)$ olur, koordinatlar yer değiştirir. Bu, $y = x$ doğrusuna göre yansımadır. $h$ doğrusu bu ayna çevresinde dönünce $h^{-1}$ 'in grafiği çıkar.

(a,\ b) \in h \iff (b,\ a) \in h^{-1}

Dene: Sahneyi yana sürükle, doğrunun dönüşünü izle.

Sınav12 / 13

Grafikten bileşke okumak

Sınavda kural yerine çoğu kez grafik verilir. Bu yeni $f$ için içten başla: grafikten $f(3) = 2$ oku. Bu $2$ 'yi yeniden girdi yap ve $f(2) = 1$ oku.

(f \circ f)(3) = f\bigl(f(3)\bigr) = f(2) = 1

Sınav13 / 13

Hepsi bir arada

Bire bir: farklı girdi, farklı çıktı. Örten: boşta değer yok. Bileşke $f \circ g$ : önce $g$ , sonra $f$ ; sıra değiştirilemez, parantez serbesttir. Ters yalnızca bire bir ve örten fonksiyonda vardır; grafiği $y = x$ 'e göre simetriktir.

(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}

Görsel anlatım bitti

Örnekler ve çıkmış sorular Sıradaki: Fonksiyon Grafiklerinin Yorumu ve Dönüşümleri