19Konu 19 / 62
Problemler

Rutin Olmayan Problemler:Sayısal Akıl Yürütme

Kalıba uymayan TYT problemlerini adı konmuş stratejilerle çözüyoruz; tabloya dökme, durumlara ayırıp sistemli listeleme, deneyip eleme, en az ve en çok için sınır durumu, eşit paylaşım, zaman çizelgesi ve sondan başa çalışma.

9. sınıf
TYT sıklığı
40 dk

Görsel anlatımla başla16 adım · sıfırdan başlar · az yazı, bol 3B

LevhaRutin Olmayan ProblemlerRutin Olmayan Problemler

Para çekme makinesinden $385$ TL çekiyorsun. Makine $5$ , $10$ , $20$ , $50$ , $100$ ve $200$ TL’lik banknotlardan en az sayıda kullanarak ödüyor. Kaç banknot alırsın? Formülü yok ama yöntemi var: makineye bak, banknotlar büyükten küçüğe tek tek masaya düşüyor.

Isınma

Başlamadan: toplam ve saat hesabı

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

1 + 2 + 3 + \dots + 8

toplamı kaçtır?

Açıklama

Uçlardan eşle: $(1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) = 4 \cdot 9 = 36$ . Kısaca $\dfrac{8 \cdot 9}{2} = 36$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Saat

15{.}27

’den

1

saat

48

dakika önce saat kaçtır?

Açıklama

Önce $1$ saat geri: $14{.}27$ . $27$ dakikadan $48$ çıkmaz; bir saati $60$ dakikaya çevir: $13$ saat $87$ dakika. $87 - 48 = 39$ , yani $13{.}39$ .

Temel

Anla, listele, ele

1. Önce Anla: Verilenleri Tabloya Dök

Rutin olmayan problemde hazır formül yoktur; işi bir yöntem görür. Her soruda aynı beş adımı izle.

Her cam sütun $50$ TL: altta $12$ TL’lik defterler, üstte sığdığı kadar $7$ TL’lik kalem. Sürgüyle defter sayısını $1$ ’den $4$ ’e çıkar: yalnızca bir sütunda hiç boşluk kalmaz.

Örnek

kolay

Tam sayı çözümünü tabloyla bulma

Defterin $12$ TL, kalemin $7$ TL olduğu bir kırtasiyede Elif her üründen en az bir tane alıp toplam $50$ TL ödüyor. Elif kaç kalem almıştır?

Bilinmeyenleri seç: $d$ defter, $k$ kalem. Koşul $12d + 7k = 50$ , $d \geq 1$ , $k \geq 1$ .

$d$ ’yi $1$ ’den başlatıp tabloya dök; kalan para $7$ ’nin katı olmalı.

$d$	$1$	$2$	$3$	$4$
$50 - 12d$	$38$	$26$	$14$	$2$
$7$ ’nin katı mı?	hayır	hayır	evet	hayır

Yalnızca $d = 3$ uyar: $7k = 14$ , $k = 2$ . Kontrol: $3 \cdot 12 + 2 \cdot 7 = 50$ .

Sonuç

Elif $2$ kalem almıştır.

Kalan para yalnızca

3

defterde

7

’nin bir katına (

14

) oturur.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Tostun

12

TL, ayranın

5

TL olduğu bir kantinde her üründen en az bir tane alan Can

58

TL ödüyor. Can kaç tost almıştır?

Açıklama

Kalan para $58 - 12t$ : $t = 1, 2, 3, 4$ için $46, 34, 22, 10$ . Yalnızca $10$ , $5$ ’in katıdır: $4$ tost ve $2$ ayran.

2. Durumlara Ayır, Sistemli Listele

Olasılıkları gelişigüzel değil, bir düzene göre yaz: en küçük elemana göre ya da büyükten küçüğe. Böylece hiçbir durumu atlamaz, hiçbirini iki kez saymazsın.

Her üçlü bir küp kulesi: altta en küçük rakam kadar turuncu küp, üstünde öbür iki rakam; her kule $12$ küp. Önce en küçük rakamı $1$ olan kuleler rafa iner, sonra $2$ , sonra $3$ ; her grup ayrı bir rafta.

Örnek

kolay

En küçük elemana göre listeleme

Sıfırdan ve birbirinden farklı üç rakamın toplamı $12$ ’dir. Sıra önemli olmadığına göre bu koşulu sağlayan kaç rakam üçlüsü vardır?

Rakamlara $a < b < c$ de. Sırayı sabitlemek her üçlüyü bir kez yazdırır.

$a = 1$ ise $b + c = 11$ : $\{1, 2, 9\}$ , $\{1, 3, 8\}$ , $\{1, 4, 7\}$ , $\{1, 5, 6\}$ .

$a = 2$ ise $b + c = 10$ : $\{2, 3, 7\}$ , $\{2, 4, 6\}$ . $a = 3$ ise $b + c = 9$ : $\{3, 4, 5\}$ .

$a = 4$ olamaz: en küçük toplam $4 + 5 + 6 = 15 > 12$ . Liste burada biter.

Sonuç

$4 + 2 + 1 = 7$ üçlü vardır.

Durum ağacı: en küçük rakama göre dallan; her dal bir alt durumdur.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Rakamları toplamı

10

olan ve hiçbir rakamı

0

olmayan kaç tane iki basamaklı sayı vardır?

Açıklama

Onlar basamağı $a$ ise birler basamağı $10 - a$ ’dır. $a = 1, 2, \dots, 9$ için $19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91$ : $9$ sayı.

3. Dene, Sına, Ele

Aday sayısı azsa hepsini dene. En kısıtlı koşuldan başla: en az adayı veren koşul listeyi kısa tutar, öbür koşullar eler.

Sayı doğrusunda $1$ ’den $49$ ’a kadar sayılar. Önce $7$ ’nin katları sütun olarak yükselir; sonra $5$ ’e bölümünden $4$ , ardından $3$ ’e bölümünden $2$ kalanını vermeyen sütunlar devrilir. Ayakta tek sütun kalır.

Örnek

kolay

En kısıtlı koşuldan başlayarak eleme

Bir kutudaki bilye sayısı $50$ ’den azdır. Bilyeler $7$ ’şerli gruplanınca hiç artmıyor, $5$ ’erli gruplanınca $4$ , $3$ ’erli gruplanınca $2$ bilye artıyor. Kutuda kaç bilye vardır?

En kısıtlı koşul $7$ ’ye tam bölünmek. Adaylar: $7, 14, 21, 28, 35, 42, 49$ .

$5$ ’e bölümünden kalan $4$ ise son rakam $4$ ya da $9$ ’dur: $14$ ve $49$ kalır.

$3$ ’e bölümünden kalan $2$ olmalı: $14 = 3 \cdot 4 + 2$ uyar, $49 = 3 \cdot 16 + 1$ elenir.

Sonuç

Kutuda $14$ bilye vardır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

50

’den küçük bir doğal sayı

9

’a tam bölünüyor ve

4

’e bölümünden kalan

3

’tür. Bu sayı kaçtır?

Açıklama

Adaylar $9, 18, 27, 36, 45$ ; $4$ ’e bölümünden kalanları $1, 2, 3, 0, 1$ . Yalnızca $27$ uyar.

Orta

En az, en çok, paylaşım, zaman, sondan başa

Bu seviyede üç kısa yolu adıyla kullanacaksın.

1. En Az ve En Çok: Sınır Durumu

En az banknot için her adımda kalan tutara sığan en büyük banknotu ver; buna büyükten küçüğe seçim denir. Kancadaki $385$ TL böyle $6$ banknotla ödenir.

385 = 200 + 100 + 50 + 20 + 10 + 5

: her banknottan sonra kalan tutar.

Bir çokluğu en çok yapmak için ötekileri en aza çek; en az yapmak için ötekileri en çoğa çek.

$30$ öğrencinin kitap yığınları, yanda toplamı gösteren tüp. Sürgüyle $5$ kitaplık yığınların sayısını artır; öteki yığınlar $1$ kitapta bekler. Tüp $100$ levhasını aşınca dur.

Örnek

orta

Birini en çok yapmak için ötekileri en aza çek

Bir sınıftaki $30$ öğrencinin her biri tatilde en az $1$ , en çok $5$ kitap okumuş ve sınıfta toplam $100$ kitap okunmuştur. $5$ kitap okuyan öğrenci sayısı en çok kaçtır?

$5$ kitap okuyan $x$ öğrenci olsun. $x$ ’i büyütmek için öbür $30 - x$ öğrenciye en az kitabı, $1$ ’er kitabı ver.

Koşul: $5x + (30 - x) \leq 100$ , yani $4x \leq 70$ ve $x \leq 17{,}5$ . Öğrenci sayısı tam sayı: $x \leq 17$ .

Kontrol: $17 \cdot 5 = 85$ ; kalan $13$ öğrenci $15$ kitap okur ( $11$ kişi $1$ , $2$ kişi $2$ kitap). Bütün koşullar sağlanır.

Sonuç

En çok $17$ öğrenci $5$ kitap okumuştur.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir makine

5

10

20

50

100

200

TL’lik banknotlardan en az sayıda kullanarak ödüyor.

470

TL için kaç banknot verir?

Açıklama

$470 = 200 + 200 + 50 + 20$ : $4$ banknot.

2. Eşit Paylaşım ve Denge

Eşitleme sorusunda önce toplamı, sonra kişi başı payı bul. Payın üstündeki kişi fazlasını verir, altındaki eksiğini alır.

Parçalar bölünemiyorsa (torba, paket) verilecek miktarı eldeki parçalarla kurmaya çalış.

İki masada üst üste torba yığınları; aralarında $21$ yüksekliğinde saydam bir düzlem var. Ali’nin $6$ ’lık torbası Veli’ye, Veli’nin $4$ ’lük torbası Ali’ye geçer ve iki yığın düzlemde buluşur.

Örnek

orta

Torba alışverişiyle eşitleme

Ali’nin içinde $6$ , $8$ ve $9$ ; Veli’nin içinde $3$ , $4$ ve $12$ ceviz bulunan torbaları vardır. Torbalar açılmadan, her biri ötekine bir torba veriyor ve ikisinin ceviz sayıları eşit oluyor. Ali’nin verdiği torbada kaç ceviz vardır?

Toplamlar: Ali $23$ , Veli $19$ . Toplam-fark kısa yolu: $T = 42$ , $F = 4$ ; pay $21$ ve Ali net $\dfrac{F}{2} = 2$ ceviz vermeli.

Ali $a$ ’lık torbayı verip $v$ ’lik torbayı alırsa $a - v = 2$ olmalı.

Dene: $a = 6$ için $v = 4$ var; $a = 8$ için $6$ ’lık, $a = 9$ için $7$ ’lik torba Veli’de yok.

Kontrol: Ali $8 + 9 + 4 = 21$ , Veli $3 + 12 + 6 = 21$ .

Sonuç

Ali’nin verdiği torbada $6$ ceviz vardır.

Önce

23

19

;

6

’lık ve

4

’lük torbalar yer değiştirince ikisi de

21

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Dört arkadaşın sırasıyla

13

9

7

11

TL’si var. Paraları eşitlemek için en çok parası olan kişi kaç TL vermelidir?

Açıklama

Toplam $40$ , pay $40 : 4 = 10$ . En çok parası olan $13 - 10 = 3$ TL verir.

3. Zaman Çizelgesi: Çakışan Aralıklar

Her olayı zaman çizelgesinde bir aralık olarak çiz. İki aralığın ortak bölümü büyük başlangıçtan küçük bitişe kadardır.

Fırının önünde bir zaman cetveli: pasta çubuğu sabit, kurabiye çubuğu sürgüyle kayar. Ortak bölüm renklenir; $10$ dakikayı tam iki konumda yakalarsın.

Örnek

orta

Bilinmeyen başlangıçta durumlara ayırma

Bir fırında pasta $40$ , kurabiye $15$ dakikada pişer ve piştiği an çıkarılır. Pasta saat $10{.}00$ ’da fırına konmuştur. İkisinin birlikte fırında kaldığı süre $10$ dakika olduğuna göre kurabiye saat kaçta fırına konmuş olabilir?

$10{.}00$ ’ı $0$ al. Pasta $[0, 40]$ , kurabiye $[t, t + 15]$ aralığındadır.

Kurabiye tümüyle pastanın içinde kalırsa ( $0 \leq t \leq 25$ ) ortak süre $15$ dakikadır; uymaz.

Kurabiye önce girerse ( $t < 0$ ): ortak süre $t + 15 = 10$ , $t = -5$ , yani $09{.}55$ .

Kurabiye pastadan sonra çıkarsa ( $t > 25$ ): ortak süre $40 - t = 10$ , $t = 30$ , yani $10{.}30$ .

Sonuç

Kurabiye $09{.}55$ ’te ya da $10{.}30$ ’da fırına konmuştur.

Kurabiye çubuğu ya pastanın başından ya sonundan taşar; ortak bölüm iki durumda da

10

dakika.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir toplantı

10{.}40

’ta başlayıp

12{.}15

’te, ikinci toplantı

11{.}50

’de başlayıp

13{.}05

’te bitiyor. İki toplantının çakıştığı süre kaç dakikadır?

Açıklama

Büyük başlangıç $11{.}50$ , küçük bitiş $12{.}15$ : ortak süre $10$ dakika $+ 15$ dakika $= 25$ dakika.

4. Sondan Başa Çalış

Son durum verilmiş, başlangıç soruluyorsa geriye yürü. İşlemleri ters sırayla ve tersiyle uygula: yarısını harcamanın tersi $2$ ile çarpmak, $30$ çıkarmanın tersi $30$ eklemektir.

Merdivenin alt basamağında $45$ TL’lik para destesi duruyor. Her basamakta bir ters işlem yazılı; deste $\times \tfrac{4}{3}$ , $+30$ ve $\times 2$ ile yukarı çıkıp başlangıç parasına ulaşır.

Örnek

orta

Ters işlemlerle başlangıcı bulma

Ayşe parasının yarısıyla kitap aldı. Kalan parasıyla $30$ TL’lik sinema bileti aldı. Sonra kalan parasının $\dfrac{1}{4}$ ’ünü kardeşine verdi ve $45$ TL’si kaldı. Ayşe’nin başlangıçta kaç TL’si vardı?

Son adım: $\dfrac{1}{4}$ ’ünü verince $\dfrac{3}{4}$ ’ü kaldı. $\dfrac{3}{4}$ ’ü $45$ ise tamamı $45 \cdot \dfrac{4}{3} = 60$ TL.

Biletten önce: $60 + 30 = 90$ TL.

Kitaptan önce: $90$ TL paranın yarısıdır; tamamı $90 \cdot 2 = 180$ TL.

Kontrol: $180 \to 90 \to 60 \to 60 - 15 = 45$ .

Sonuç

Ayşe’nin başlangıçta $180$ TL’si vardı.

Üstte ileri işlemler, altta ters sırayla ters işlemler:

45 \to 60 \to 90 \to 180

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir sayı

2

ile çarpılıyor, sonuca

6

ekleniyor ve elde edilen sayı

4

’e bölününce

5

bulunuyor. Sayı kaçtır?

Açıklama

Sondan başa: $5 \cdot 4 = 20$ , $20 - 6 = 14$ , $14 : 2 = 7$ . Kontrol: $(7 \cdot 2 + 6) : 4 = 5$ .

İleri

Konuşmalar, ipuçları ve birleşik problemler

1. Konuşmadan Koşul Çıkar

Konuşmalı soruda her cümle bir elemedir. Cümleleri sırayla koşula çevir ve her cümleden sonra aday listesini küçült.

Masada iki zarın bütün çiftleri ( $21$ çift) dizili. Birinci cümle, çarpımı tek bir çifte ait olanları masadan indirir; kalan $6$ çift çarpımlarına göre öne dizilir. İkinci cümle toplamı $7$ ve üstü olanları, üçüncü cümle çarpımı $4$ olan iki çifti indirir. Tek çift kalır.

Örnek

zor

Konuşmadaki her cümle bir eleme

Ahmet iki zar atıyor ve üst yüzlerdeki sayıların çarpımını Burak’a söylüyor. Ardından şu konuşma geçiyor:

Burak: Bu bilgiyle zarları bulamam.
Ahmet: Sayıların toplamı $7$ ’den küçük.
Burak: Şimdi buldum.

Zarlarda hangi sayılar gelmiştir?

Zarları sırasız $(a, b)$ , $a \leq b$ diye yaz. Çarpımı birden çok çifte ait olanlar yalnızca şunlar: $4 = 1 \cdot 4 = 2 \cdot 2$ , $6 = 1 \cdot 6 = 2 \cdot 3$ , $12 = 2 \cdot 6 = 3 \cdot 4$ .

Birinci cümle: Burak bulamadığına göre çarpım $4$ , $6$ ya da $12$ ’dir; öbür bütün çiftler elenir.

İkinci cümle: toplamı $7$ ’den küçük olanlar $(1, 4)$ , $(2, 2)$ , $(2, 3)$ kalır.

Üçüncü cümle: çarpım $4$ olsaydı Burak $(1, 4)$ ile $(2, 2)$ arasında kalırdı. Çarpım $6$ ise tek aday $(2, 3)$ ’tür.

Sonuç

Zarlarda $2$ ve $3$ gelmiştir.

2. Birleşik Problemler: Denklem ve Sınır Birlikte

Zor sorular birkaç stratejiyi art arda ister. Önce denklemlerle bilinmeyen sayısını azalt, sonra kalan bilinmeyeni sınır koşullarıyla sıkıştır ve tabloya dök.

Örnek

zor

Masa sayılarında en çok

Bir kafede $2$ , $4$ ve $6$ kişilik masalar vardır. Toplam $15$ masada $58$ kişilik yer bulunuyor ve her türden en az $2$ masa var. $6$ kişilik masa sayısı en çok kaçtır?

$a$ , $b$ , $c$ sırasıyla $2$ , $4$ ve $6$ kişilik masa sayıları: $a + b + c = 15$ ve $2a + 4b + 6c = 58$ .

İkinci denklemi $2$ ’ye böl: $a + 2b + 3c = 29$ . Birinciyi çıkar: $b + 2c = 14$ . Buradan $b = 14 - 2c$ ve $a = 1 + c$ .

Sınır: $b \geq 2$ olmalı, yani $14 - 2c \geq 2$ ve $c \leq 6$ .

Kontrol $c = 6$ : $a = 7$ , $b = 2$ ; $7 \cdot 2 + 2 \cdot 4 + 6 \cdot 6 = 58$ ve $7 + 2 + 6 = 15$ .

Sonuç

$6$ kişilik masa sayısı en çok $6$ ’dır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Yaşları birbirinden farklı tam sayılar olan

7

kişinin yaşları toplamı

70

’tir. En yaşlı kişi en az kaç yaşındadır?

Açıklama

En yaşlıyı küçük tutmak için yaşları birbirine yaklaştır: ardışık yedi sayı, ortadaki $70 : 7 = 10$ . Yaşlar $7, 8, \dots, 13$ . En yaşlı $12$ olsaydı toplam en çok $6 + 7 + \dots + 12 = 63 < 70$ olurdu.

Özet

Bu konudan aklında kalacaklar

Beş adım: bilinmeyeni seç, tabloya dök, koşulu kur, çöz (listele, dene, ele), kontrol et.
Sistemli listele: en küçük elemana göre ya da büyükten küçüğe; fark iki yönlüdür, iki durumu da yaz.
Dene ve ele: en kısıtlı koşuldan başla; “olamaz” sorusunda olabilenleri bul, kalanı seç.
En az ve en çok: en az banknot için büyükten küçüğe seç; birini en çok yapmak için ötekileri en aza çek.
Eşit paylaşım: toplam, pay, fazlası olan verir. Toplam-fark: büyük $\dfrac{T + F}{2}$ , küçük $\dfrac{T - F}{2}$ .
Zaman: ortak süre $= \min(\text{bitişler}) - \max(\text{başlangıçlar})$ .
Sondan başa: işlemleri ters sırayla ve tersiyle uygula.
Konuşma: her cümle bir eleme; “bulamam” da bilgidir.

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

15 çıkmış soru5 özgün soru

2026 TYTSoru 27

Orta

Eşit paylaşım ve denge kurma

Hayri, Kâmil ve Mert’in her birinin içinde top bulunan beşer paketi vardır. Paketlerin üzerinde içlerindeki top sayısı yazılıdır; paketler şekilde gösterilmiştir.

Hayri Kâmil’e, Kâmil Mert’e, Mert de Hayri’ye paketlerinden birer tanesini veriyor. Bu alışverişten sonra üç arkadaşın paketlerindeki toplam top sayıları birbirine eşit oluyor.

Buna göre Hayri’nin Kâmil’e verdiği pakette kaç top vardır?

İpucu

Sonunda her birinde kaç top olmalı? Hayri ve Kâmil için birer denklem yaz, sonra paketleri dene.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 32)

Çözüm

1. Toplam ve pay. Hayri $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ , Kâmil $1 + 2 + 4 + 6 + 7 = 20$ , Mert $1 + 2 + 3 + 6 + 7 = 19$ top. Toplam $54$ , kişi başı $18$ .

2. Denklemler. Hayri $h$ , Kâmil $k$ , Mert $m$ toplu paketi verirse Hayri için $15 - h + m = 18$ , Kâmil için $20 - k + h = 18$ . Buradan $m = h + 3$ ve $k = h + 2$ .

3. Dene. $h$ Hayri’de, $k$ Kâmil’de, $m$ Mert’te bulunan bir paket olmalı.

$h$	$k = h + 2$	$m = h + 3$	Sonuç
$1$	$3$	$4$	Kâmil’de $3$ yok
$2$	$4$	$5$	Mert’te $5$ yok
$3$	$5$	$6$	Kâmil’de $5$ yok
$4$	$6$	$7$	uygun
$5$	$7$	$8$	Mert’te $8$ yok

Kontrol: Hayri $15 - 4 + 7 = 18$ , Kâmil $20 - 6 + 4 = 18$ , Mert $19 - 7 + 6 = 18$ .

Tuzak: yalnızca Hayri’nin toplamına bakıp $m$ ’nin de bir paket olması gerektiğini unutmak.

Cevap: D

2026 TYTSoru 28

Zor

Durumlara ayırma ve sistemli listeleme

Şekildeki koridor köşede birleşen iki kanattan oluşuyor. Koridorda $1$ ’den $8$ ’e kadar olan rakamlarla rastgele numaralandırılmış $8$ oda (her kanatta $4$ oda) ve her kanadın ucunda bir çıkış kapısı vardır.

Aslı ile Burcu bu odalardan farklı ikisinde kalıyor. İkisi de odasından çıkıp kendi kanadındaki çıkış kapısına doğru ok yönünde yürüyor ve kendi odası dışında önünden geçtiği odaların numaralarını topluyor. Biri $5$ , öteki $20$ sonucunu buluyor.

Buna göre Aslı ile Burcu’nun oda numaralarının toplamı aşağıdakilerden hangisi olamaz?

İpucu

$20$ ’yi bulan kişi kaç odanın önünden geçmiş olmalı? Önce onun kanadını ve odasını belirle.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 33)

Çözüm

1. $20$ ’yi bulan. Bir kişi en çok $3$ odanın önünden geçer. İki oda en çok $8 + 7 = 15$ eder; demek ki $3$ oda geçmiştir ve toplamı $20$ olan üç farklı rakam yalnızca $5, 7, 8$ ’dir. Bu kişi kanadın köşedeki odasındadır; numarası $x \in \{1, 2, 3, 4, 6\}$ .

2. $5$ ’i bulan aynı kanattaysa önünden yalnızca $5$ numaralı oda geçer; kendi odası $7$ ya da $8$ ’dir. Toplam $x + 7$ ya da $x + 8$ , yani en az $8$ .

3. $5$ ’i bulan öteki kanattaysa orada $5$ numaralı oda yoktur ve üç oda en az $1 + 2 + 3 = 6$ eder. Önünden geçen iki oda $\{1, 4\}$ ya da $\{2, 3\}$ ’tür. Odasının numarası $y$ ise toplamın $6$ olması için $(x, y) = (2, 4)$ ya da $(4, 2)$ gerekir. İkisinde de bu ikililerden biri $x$ ’i, öteki $y$ ’yi içerir; ikisi de önden geçilen odalar olamaz. Toplam $6$ elde edilemez.

4. Öbür seçenekler kurulabilir. $x = 1$ , $y = 4$ , önünde $2$ ve $3$ : toplam $5$ . $x = 1$ , $y = 6$ , önünde $2$ ve $3$ : toplam $7$ . Aynı kanatta $x = 1$ ya da $x = 2$ ve oda $7$ : toplam $8$ ya da $9$ .

Tuzak: tek bir düzen deneyip bırakmak. "Olamaz" sorusunda her seçenek için bir düzen kurmaya çalış; kurulamayan cevaptır.

Cevap: B

2025 TYTSoru 9

Zor

Durumlara ayırma ve sistemli listeleme

Beş farklı türden toplam $35$ meyve, şekildeki gibi $15$ pakete konmuştur.

Ayşenur, Cansu, Merve, Rabia ve Sibel bu paketleri, her biri $3$ paket alacak ve her birinin paketlerinde toplam $7$ meyve olacak biçimde paylaşıyor. Ayşenur’un paketlerindeki meyve türleri Cansu’nunkilerle tamamen aynıdır. Merve’nin paketlerindeki meyve türlerinin hiçbiri Rabia’nın paketlerinde yoktur.

Buna göre Sibel’in paketlerinde hangi türlerde meyveler vardır?

İpucu

Toplamı $7$ olan üç paketlik bileşimleri listele; paket sayıları bu bileşimlerden hangilerine izin veriyor?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 26)

Çözüm

1. Tabloya dök. $5$ ’lik paket (çilek) $1$ tane, $4$ ’lük (elma) $2$ , $3$ ’lük (armut) $3$ , $2$ ’lik (muz) $4$ , $1$ ’lik (ananas) $5$ tane.

2. Toplamı $7$ olan üç paket: $5 + 1 + 1$ , $4 + 2 + 1$ , $3 + 3 + 1$ , $3 + 2 + 2$ .

3. Paket sayılarıyla dağıt. Tek $5$ ’lik bir kişide: $5 + 1 + 1$ . İki $4$ ’lük iki ayrı kişide: iki kez $4 + 2 + 1$ . Kalan iki $2$ ’lik birlikte: $3 + 2 + 2$ . Kalan iki $3$ ’lük: $3 + 3 + 1$ . $1$ ’likler $2 + 1 + 1 + 1 = 5$ eder, tutar.

4. Türler: çilek-ananas; elma-muz-ananas (iki kişi); armut-muz; armut-ananas.

5. Koşullar. Türleri aynı olan Ayşenur ile Cansu, elma-muz-ananas alan iki kişidir. Kalan üç kişiden ortak türü olmayan tek ikili çilek-ananas ile armut-muz’dur: Merve ve Rabia. Sibel’e armut-ananas kalır.

Tuzak: bileşimleri listeleyip paket sayılarını denetlememek; örneğin iki kişiye $3 + 2 + 2$ vermek $2$ ’lik paketleri aşar.

Cevap: A

2025 TYTSoru 18

Orta

En az ve en çok, sınır durumları

Efe bir basketbol antrenmanında altı atış yapıyor. Her atıştan sonra o ana kadarki atışlarının kaçta kaçının isabetli olduğunu not ediyor. Not ettiği altı sayının en büyüğü $\dfrac{3}{4}$ ’tür.

Efe’nin tam olarak dört atışı isabetli olduğuna göre kaçıncı atışları isabetsiz olmuştur?

İpucu

Oran hangi atış sayısında tam $\dfrac{3}{4}$ olabilir? Her adımda isabet sayısının üst sınırını yaz.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

$k$ atıştan sonraki isabet sayısı $i_k$ olsun. Her $k$ için $\dfrac{i_k}{k} \leq \dfrac{3}{4}$ ve bir $k$ için eşitlik var.

1. Eşitlik nerede? $\dfrac{i_k}{k} = \dfrac{3}{4}$ için $k$ , $4$ ’ün katı olmalı; $k \leq 6$ olduğundan $k = 4$ ve $i_4 = 3$ .

2. 1. atış. $i_1 \leq 0{,}75$ , yani $i_1 = 0$ : 1. atış isabetsiz. $i_4 = 3$ olduğundan 2., 3. ve 4. atışlar isabetli.

3. 5. atış. $i_5 \leq 5 \cdot \dfrac{3}{4} = 3{,}75$ , yani $i_5 = 3$ : 5. atış isabetsiz.

4. 6. atış. Toplam $4$ isabet için 6. atış isabetli; $\dfrac{4}{6} < \dfrac{3}{4}$ olduğundan sınır bozulmaz.

İsabetsiz atışlar 1. ve 5. atışlardır.

Tuzak: en büyük oranın son atışta olduğunu sanmak; son oran $\dfrac{4}{6}$ , $\dfrac{3}{4}$ ’ten küçüktür.

Cevap: B

2025 TYTSoru 20

Orta

Deneyerek sınama ve eleme

$1$ ’den $8$ ’e kadar olan sekiz rakam iki gruba ayrılıyor. İki gruptaki rakamların toplamları birbirine eşittir. Ayrıca her grubun rakam sayısı, o gruptaki rakamlardan birine eşittir.

Buna göre aşağıdaki rakamlardan hangisi $7$ ile aynı gruptadır?

İpucu

Bir grupta $k$ rakam varsa $k$ rakamı o gruptadır. $k$ ’yi küçük değerlerden başlayarak dene.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 29)

Çözüm

1. Pay. $1 + 2 + \dots + 8 = 36$ ; her grubun toplamı $18$ .

2. Grup büyüklüğü. Gruplar $k$ ve $8 - k$ rakamlıdır; $k$ rakamı birinci grupta, $8 - k$ rakamı ikinci grupta olmalı. $k = 4$ olamaz, çünkü $4$ iki grupta birden bulunamaz.

3. Dene. $k = 1$ : grup $\{1\}$ , toplamı $18$ değil. $k = 2$ : grupta $2$ var, öteki rakam $16$ olmalı; olmaz. $k = 3$ : $3 + a + b = 18$ , $a + b = 15$ , yani $\{3, 7, 8\}$ . Öbür grup $\{1, 2, 4, 5, 6\}$ : $5$ rakamlı, $5$ ’i içeriyor, toplamı $18$ . Uygun. ( $k = 5, 6, 7$ aynı ayırmanın öbür yüzüdür.)

$7$ ile aynı grupta $3$ ve $8$ vardır; seçeneklerde $3$ .

Tuzak: "rakam sayısı gruptaki bir rakama eşit" koşulunu unutup yalnızca toplamı $18$ yapmak; o zaman birçok ayırma çıkar.

Cevap: B

2024 TYTSoru 21

Zor

Problemi anlama, verilenleri tabloya dökme

$19$ kişilik bir sınıf, üç sorudan oluşan bir sınava giriyor. Sorulardan biri $1$ , biri $2$ , biri $3$ puan değerindedir. Her öğrencinin puanı, yalnızca doğru cevapladığı soruların puanları toplanarak hesaplanıyor. Sınav sonuçlarıyla ilgili şunlar biliniyor:

En düşük puan $3$ ’tür.
$6$ öğrenci $3$ puan, $5$ öğrenci $6$ puan almıştır.
$5$ puan alan öğrenci sayısı, $4$ puan alan öğrenci sayısına eşittir.

$1$ puanlık soruyu doğru cevaplayan öğrenci sayısı $11$ olduğuna göre $3$ puanlık soruyu doğru cevaplayan öğrenci sayısı kaçtır?

İpucu

Her puanı, doğru cevaplanan soruların bir bileşimi olarak yaz. $3$ puan kaç farklı yolla alınabilir?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 30)

Çözüm

1. Puan dağılımı. Puanlar $3$ ile $6$ arasındadır. $4$ ve $5$ puan alanlar $k$ ’şar kişi ise $6 + 5 + 2k = 19$ , $k = 4$ .

2. Tabloya dök.

Puan	Doğru cevaplanan sorular	Öğrenci
$3$	$\{3\}$ ya da $\{1, 2\}$	$6$
$4$	$\{1, 3\}$	$4$
$5$	$\{2, 3\}$	$4$
$6$	$\{1, 2, 3\}$	$5$

3. $1$ puanlık soru. $3$ puan alanlardan $\{1, 2\}$ yapan $m$ kişi olsun: $m + 4 + 5 = 11$ , $m = 2$ . Demek ki $3$ puan alanlardan $4$ kişi yalnızca $3$ puanlık soruyu yapmış.

4. $3$ puanlık soru: $4 + 4 + 4 + 5 = 17$ öğrenci.

Tuzak: $3$ puanın yalnızca $3$ puanlık soruyla alındığını sanmak; $1 + 2$ ile de alınabilir.

Cevap: E

2024 TYTSoru 28

Zor

Konuşma ve ipuçlarından koşul çıkarma

Akın ile Gökay, $1$ ’den $10$ ’a kadar numaralanmış $10$ topun bulunduğu bir torbayla oyun oynuyor. Akın torbadan iki top çekiyor ve topların numaralarının çarpımını Gökay’a söylüyor. Ardından aralarında şu konuşma geçiyor:

Akın: Çektiğim topların numaralarını bulabilir misin?
Gökay: Bu bilgi yetmiyor, birden fazla çözüm var.
Akın: Numaraların toplamı $11$ desem?
Gökay: Tamam, şimdi kesin olarak buldum.

Buna göre Akın’ın çektiği topların numaraları farkı aşağıdakilerden hangisi olamaz?

İpucu

Toplamı $11$ olan çiftleri listele. Hangisinin çarpımı yalnızca o çifte aittir?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 33)

Çözüm

1. Toplamı $11$ olan çiftler: $(1, 10)$ , $(2, 9)$ , $(3, 8)$ , $(4, 7)$ , $(5, 6)$ .

2. Birinci cümle: çarpım tek başına yetmemeli; aynı çarpımı veren başka bir çift bulunmalı.

$10 = 1 \cdot 10 = 2 \cdot 5$
$18 = 2 \cdot 9 = 3 \cdot 6$
$24 = 3 \cdot 8 = 4 \cdot 6$
$28 = 4 \cdot 7$ ; başka çift yok
$30 = 5 \cdot 6 = 3 \cdot 10$

$(4, 7)$ elenir: çarpım $28$ söylenseydi Gökay hemen bulurdu.

3. İkinci cümle: kalan her çiftte çarpım ile toplam birlikte çifti tek belirler.

Olası farklar $9, 7, 5, 1$ ; fark $3$ olamaz.

Tuzak: Gökay’ın ilk cevabını bilgi saymamak. "Birden fazla çözüm var" cümlesi $(4, 7)$ ’yi eler.

Cevap: B

2023 TYTSoru 9

Kolay

Durumlara ayırma ve sistemli listeleme

Bir otelin girişinde A, B ve C kentlerinin yerel saatlerini gösteren birer dijital saat var. Bu saatlere bakan bir müşteri, A ile B kentlerinin yerel saatleri arasında $4$ saat, B ile C kentlerininkiler arasında $3$ saat fark olduğunu görüyor.

A kentinin saati $14{.}00$ ’ı gösterirken C kentinin saati aşağıdakilerden hangisini gösteremez?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 25)

Çözüm

Farkların yönü verilmemiştir; her fark iki durum doğurur.

1. B’nin saati $14 + 4 = 18$ ya da $14 - 4 = 10$ : $18{.}00$ ya da $10{.}00$ .

2. C’nin saati $18 \pm 3$ ise $21{.}00$ ya da $15{.}00$ ; $10 \pm 3$ ise $13{.}00$ ya da $07{.}00$ .

$17{.}00$ bu dört saatten biri değildir.

Tuzak: farkı yalnızca ileri yönde almak; o zaman yalnızca $21{.}00$ bulunur ve dört seçenek birden "olamaz" görünür.

Cevap: D

2022 TYTSoru 21

Orta

Sondan başa çalışma

Bir dijital saatin ilk iki hanesi saati, son iki hanesi dakikayı gösteriyor. Örneğin saat $11{.}05$ iken saat hanesinde $11$ , dakika hanesinde $05$ görünüyor.

Melis katıldığı toplantı bittiğinde duvardaki dijital saate bakıyor ve saat hanesinde $15$ sayısını görüyor. Arkadaşı ona, toplantı boyunca saat hanesinde $15$ görünen sürenin toplantı süresinin $\%25$ ’i olduğunu söylüyor.

Toplantı $108$ dakika sürdüğüne göre toplantı saat kaçta başlamıştır?

İpucu

Toplantı $15$ ’li saatte bittiyse saat hanesindeki $15$ ne zaman görünmeye başlamıştır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 30)

Çözüm

1. Orantı. Saat hanesinde $15$ görünen süre $108 \cdot \dfrac{25}{100} = 27$ dakikadır.

2. Bitiş. $15$ hanesi saat $15{.}00$ ’te görünmeye başlar ve toplantı bu saatte bitmiştir; demek ki toplantı $15{.}27$ ’de bitmiştir.

3. Sondan başa. $108$ dakika $= 1$ saat $48$ dakika. $15{.}27$ ’den $1$ saat geri $14{.}27$ ; $48$ dakika daha geri $13{.}39$ .

Tuzak: $27$ dakikayı toplantının başına koymak. $15$ hanesi toplantının sonunda görülmüştür.

Cevap: A

2022 TYTSoru 26

Zor

Zaman aralıklarının çakışması

Bir fırında yiyecekler ister tek başına ister birlikte pişirilsin, pişme süreleri değişmiyor ve her yiyecek piştiği an fırından alınıyor. Bazı yiyeceklerin bu fırında $200\,^\circ\text{C}$ sıcaklıktaki pişme süreleri aşağıdadır.

Yiyecek	Pişme süresi
Pasta	$35$ dakika
Kek	$25$ dakika
Börek	$40$ dakika

Bu üç yiyecek $200\,^\circ\text{C}$ sıcaklıktaki fırına konuyor: pasta saat $11{.}55$ ’te, kek saat $12{.}05$ ’te. Üç yiyeceğin birlikte fırında olduğu süre $15$ dakika, yalnızca bir yiyeceğin fırında olduğu süre de $15$ dakikadır.

Buna göre ilk yiyeceğin fırına konması ile son yiyeceğin fırından alınması arasında kaç dakika geçmiştir?

İpucu

Böreğin konma anına $t$ de. Börek kekten sonra, pastayla kek arasında ve pastadan önce konmuş olabilir; üç durumu ayrı ayrı incele.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 31)

Çözüm

1. Zaman çizelgesi. $11{.}55$ ’i $0$ al. Pasta $[0, 35]$ , kek $[10, 35]$ ; ikisi de $35$ ’te ( $12{.}30$ ) çıkar. Börek $[t, t + 40]$ .

2. Börek kekten sonra konsaydı ( $t \geq 10$ ): üçlü süre $35 - t = 15$ , $t = 20$ . Bu durumda yalnız pasta $[0, 10]$ ve yalnız börek $[35, 60]$ ; tek yiyecekli süre $10 + 25 = 35$ dakika olur. Uymaz.

3. Börek pastayla kek arasında konsaydı ( $0 \leq t < 10$ ): üçlü süre $[10, 35]$ , yani $25$ dakika. Uymaz.

4. Börek önce konmuş ( $t < 0$ ): üçlü süre $10$ ’dan böreğin çıktığı $t + 40$ ’a kadardır: $t + 30 = 15$ , $t = -15$ ( $11{.}40$ ).

Kontrol: yalnız börek $[-15, 0]$ , $15$ dakika; üçü birlikte $[10, 25]$ , $15$ dakika.

5. İlk konma $11{.}40$ , son çıkış $12{.}30$ : $50$ dakika.

Tuzak: böreğin en son konduğunu varsaymak. Bilinmeyen başlangıç her zaman durumlara ayrılır.

Cevap: A

2021 TYTSoru 23

Orta

Konuşma ve ipuçlarından koşul çıkarma

Bir sitede iki apartman var: birinin daireleri $01$ ’den $72$ ’ye, ötekinin daireleri $01$ ’den $88$ ’e kadar ardışık sayılarla numaralanmış. Bu sitede oturan Onur, evine çağırdığı Engin’e sitenin adresini, apartmanını ve daire numarasını mesajla gönderiyor. Engin siteye vardıktan sonra telefonda şöyle yazışıyorlar:

Engin: Bu apartmanda yazdığın numarada bir daire yok.
Onur: Yanlış apartmana gitmiş olmalısın. Öbür apartmanda benim daire numaramda bir daire yok.
Engin: İki apartmana da baktım, bu numarada ikisinde de daire yok. Daire numarasını yanlış yazmış olabilir misin?
Onur: Yeniden baktım, haklısın. Daire numarasının rakamlarının yerini yanlışlıkla değiştirmişim.

Buna göre Onur’un daire numarasının rakamları toplamı kaçtır?

İpucu

Her cümleyi bir sayı aralığına çevir: gerçek numara hangi aralıkta, rakamları yer değiştirmiş numara hangi aralıkta?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 32)

Çözüm

1. Onur’un ikinci cümlesi. Gerçek numarası öbür apartmanda yok. $72$ daireli apartmanda olmayan numaralar $73$ – $88$ ’dir; Onur $88$ daireli apartmanda oturur ve numarası $73$ ile $88$ arasındadır.

2. Engin’in ikinci cümlesi. Yazılan numara, yani rakamları yer değiştirmiş hâli, iki apartmanda da yok; $88$ ’den büyüktür.

3. Dene. $73 \to 37$ , $74 \to 47$ , …, $78 \to 87$ : hepsi $88$ ’den küçük. $79 \to 97$ uygun. $80$ – $88$ ’in tersleri $08$ ile $88$ arasındadır. Tek aday $79$ .

Rakamlar toplamı $7 + 9 = 16$ .

Tuzak: konuşmayı okuyup koşula çevirmeden seçenek denemek. Her cümle bir aralık verir.

Cevap: E

2020 TYTSoru 6

Kolay

En az ve en çok, büyükten küçüğe seçim

Bir para çekme makinesi, istenen tutarı $5$ TL, $10$ TL, $20$ TL, $50$ TL ve $100$ TL’lik kâğıt paralardan en az sayıda kullanarak veriyor. Makinede her kâğıt paradan yeterince var. Bu makineden Ahmet $495$ TL, Buse $265$ TL, Cansu $550$ TL çekiyor.

Makinenin Ahmet’e, Buse’ye ve Cansu’ya verdiği kâğıt para sayıları sırasıyla $P_A$ , $P_B$ ve $P_C$ olduğuna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 25)

Çözüm

En az kâğıt para için her adımda kalan tutara sığan en büyük parayı ver.

$495 = 4 \cdot 100 + 50 + 2 \cdot 20 + 5$ : $P_A = 8$ .
$265 = 2 \cdot 100 + 50 + 10 + 5$ : $P_B = 5$ .
$550 = 5 \cdot 100 + 50$ : $P_C = 6$ .

Sıralama $P_B < P_C < P_A$ .

Tuzak: tutar büyüdükçe kâğıt para sayısının da büyüdüğünü sanmak; $550$ TL, $495$ TL’den az kâğıtla ödenir.

Cevap: D

2020 TYTSoru 9

Orta

Eşit paylaşım ve denge kurma

Fatma ile Uğur’un bayram ziyaretlerinde topladıkları $10$ , $15$ ve $30$ gramlık çikolatalar şekilde gösterilmiştir. İkisinin topladığı çikolatalar toplam $255$ gramdır.

Eve dönünce ikisi de çikolatalarının bir kısmını kardeşleri Nilay’a veriyor. Sonunda üç kardeşin her birinde eşit ağırlıkta çikolata bulunuyor.

Nilay’ın başlangıçta hiç çikolatası olmadığına göre son durumda kaç çikolatası vardır?

İpucu

Önce kişi başı payı bul. Sonra her birinin vermesi gereken gramı elindeki çikolatalarla oluştur.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 26)

Çözüm

1. Toplam ve pay. Fatma $3 \cdot 10 + 15 + 3 \cdot 30 = 135$ g, Uğur $3 \cdot 10 + 4 \cdot 15 + 30 = 120$ g. Pay $255 : 3 = 85$ g.

2. Fatma $135 - 85 = 50$ g verir. Elindekilerle $50$ g yalnızca $10 + 10 + 30$ biçiminde olur: $3$ çikolata.

3. Uğur $120 - 85 = 35$ g verir. Elindekilerle $35$ g yalnızca $10 + 10 + 15$ biçiminde olur: $3$ çikolata.

Nilay’da $3 + 3 = 6$ çikolata olur.

Tuzak: $85$ g’lık payı cevap sanmak; soru çikolatanın ağırlığını değil sayısını istiyor.

Cevap: B

2020 TYTSoru 26

Orta

Problemi anlama, verilenleri tabloya dökme

A, B ve C ilçeleri ile aralarındaki kara yolları şekilde gösterilmiştir. Yollar üzerindeki D ve E noktalarında bulunan tabelalar, bu noktaların bazı ilçelere olan kara yolu uzaklıklarını gösteriyor.

Buna göre C ilçesinin B ilçesine olan kara yolu uzaklığı ile A ilçesine olan kara yolu uzaklığı arasındaki fark kaç km’dir?

İpucu

Kavşağa bir ad ver ve yolları parçalara böl. İstenen farkı parçalar cinsinden yaz; her parçayı tek tek bulman gerekmez.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 31)

Çözüm

1. Bilinmeyenleri adlandır. Kavşak $K$ olsun: $|KC| = c$ , $|KD| = p$ , $|KE| = q$ , $|DA| = r$ , $|EB| = s$ .

2. Tabelaları denkleme çevir. D’deki tabela: $p + c = 40$ ve $p + q + s = 94$ . E’deki tabela: $q + c = 66$ ve $q + p + r = 106$ .

3. İstenen fark. $|CB| - |CA| = (c + q + s) - (c + p + r) = (q + s) - (p + r)$ . Tabelalardan $q + s = 94 - p$ ve $p + r = 106 - q$ ; fark $= (q - p) - 12$ .

4. İlk iki denklemden $q - p = 66 - 40 = 26$ . Fark $26 - 12 = 14$ km.

Tuzak: beş parçayı ayrı ayrı bulmaya çalışmak; dört denklem buna yetmez ama istenen fark yeter.

Cevap: E

2019 TYTSoru 24

Orta

Eşit paylaşım ve denge kurma

Barış’ın elinde $3$ , $4$ , $5$ , $6$ ve $10$ kilogramlık birer ağırlık ile bir miktar $1$ kilogramlık ağırlık var. Barış bütün ağırlıkları, eşit kollu bir terazinin başta boş olan iki kefesine, kefelerdeki ağırlıkların çarpımları birbirine eşit olacak biçimde yerleştiriyor ve terazi dengeye geliyor.

Buna göre Barış’ın elindeki $1$ kilogramlık ağırlıkların sayısı en az kaçtır?

İpucu

$1$ kilogramlıklar çarpımı değiştirmez. Önce onları bir kenara koy: çarpım koşulu hangi ayırmayı zorunlu kılıyor?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 30)

Çözüm

1. Çarpım. $1$ kilogramlıklar çarpımı değiştirmez. $3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 10 = 3600 = 60^2$ ; her kefedeki çarpım $60$ olmalı.

2. Listele. $10$ ’u içeren kefede çarpımın $60$ olması için yanına yalnızca $6$ gelebilir ( $10 \cdot 3 = 30$ , $10 \cdot 4 = 40$ , $10 \cdot 5 = 50$ , $10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$ ). Kefeler $\{6, 10\}$ ve $\{3, 4, 5\}$ ’tir.

3. Denge. Eşit kollu terazi dengedeyse kefelerdeki toplam ağırlıklar eşittir. Toplamlar $16$ ve $12$ ; hafif kefeye en az $16 - 12 = 4$ tane $1$ kilogramlık eklenir.

Tuzak: yalnızca çarpım koşuluna bakıp terazinin dengesinin toplamlarla kurulduğunu unutmak.

Cevap: D

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Sondan başa çalışma

Bir bilgi yarışmasında her turun sonunda yarışmacının puanı önce $2$ ile çarpılıyor, sonra elde edilen puandan $3$ çıkarılıyor. Deniz $3$ tur sonunda $19$ puana ulaşıyor.

Buna göre Deniz’in yarışmaya başlarken kaç puanı vardı?

Çözüm

Son durumdan geriye yürü; her turu tersiyle ve ters sırayla geri al: önce $3$ ekle, sonra $2$ ’ye böl.

1. turdan önce: $(19 + 3) : 2 = 11$ .
1. turdan önce: $(11 + 3) : 2 = 7$ .
1. turdan önce: $(7 + 3) : 2 = 5$ .

Kontrol: $5 \to 2 \cdot 5 - 3 = 7 \to 11 \to 19$ .

Çeldirici: $7$ , ikinci turun başındaki puandır; bir tur eksik geri gidersen onu bulursun.

Cevap: C

Özgün soru2

Orta

Problemi anlama, verilenleri tabloya dökme

Kalemin $8$ TL, defterin $15$ TL olduğu bir kırtasiyeden Mert her üründen en az bir tane alıyor ve toplam $121$ TL ödüyor.

Buna göre Mert toplam kaç ürün almıştır?

İpucu

$8k$ her zaman çifttir. $121$ tek olduğuna göre defter sayısı tek mi çift mi?

Çözüm

1. Koşul. $k$ kalem, $d$ defter: $8k + 15d = 121$ , $k \geq 1$ , $d \geq 1$ .

2. Tek-çift. $8k$ çift, $121$ tek; öyleyse $15d$ tek, yani $d$ tektir. Ayrıca $15d < 121$ , yani $d \leq 7$ .

3. Tabloya dök.

$d$	$1$	$3$	$5$	$7$
$121 - 15d$	$106$	$76$	$46$	$16$
$8$ ’in katı mı?	hayır	hayır	hayır	evet

$d = 7$ , $k = 16 : 8 = 2$ . Toplam $2 + 7 = 9$ ürün.

Kontrol: $2 \cdot 8 + 7 \cdot 15 = 16 + 105 = 121$ .

Cevap: B

Özgün soru3

Orta

En az ve en çok, sınır durumları

Bir basketbol takımındaki $7$ oyuncunun yaşları birbirinden farklı birer tam sayıdır. Oyuncuların yaş ortalaması $24$ , en genç oyuncunun yaşı $19$ ’dur.

Buna göre en yaşlı oyuncu en çok kaç yaşında olabilir?

İpucu

Birini en çok yapmak için ötekileri en aza çek; yaşların farklı olduğunu unutma.

Çözüm

1. Toplam. Yaşlar toplamı $7 \cdot 24 = 168$ .

2. Sınır durumu. En yaşlıyı büyütmek için öbür altı oyuncunun yaşlarını olabildiğince küçük tut. En genç $19$ ve yaşlar farklı: $19, 20, 21, 22, 23, 24$ . Bunların toplamı $129$ .

3. En yaşlı oyuncu en çok $168 - 129 = 39$ yaşındadır.

Tuzak: altı oyuncuyu da $19$ yaşında almak ( $168 - 6 \cdot 19 = 54$ ). Yaşlar farklı olduğu için bu düzen kurulamaz.

Cevap: E

Özgün soru4

Zor

Sondan başa çalışma

Ali, Berk ve Can arasında sırasıyla şu ceviz alışverişleri oluyor:

Ali cevizlerinin yarısını Berk’e veriyor.
Berk elindeki cevizlerin $\dfrac{1}{3}$ ’ünü Can’a veriyor.
Can elindeki cevizlerden $6$ tanesini Ali’ye veriyor.

Sonunda üçünün de $14$ ’er cevizi oluyor.

Buna göre başlangıçta Ali’nin kaç cevizi vardı?

İpucu

Son durumdan başla ve alışverişleri ters sırayla geri al: kim kime ne verdiyse geri ver.

Çözüm

Son durumdan başlayıp alışverişleri ters sırayla geri al.

Durum	Ali	Berk	Can
Son	$14$	$14$	$14$
Can vermeden önce	$8$	$14$	$20$
Berk vermeden önce	$8$	$21$	$13$
Başlangıç	$16$	$13$	$13$

Can $6$ ceviz vermeden önce: Ali $14 - 6 = 8$ , Can $14 + 6 = 20$ .
Berk $\dfrac{1}{3}$ ’ünü verince $\dfrac{2}{3}$ ’ü kaldı: $\dfrac{2}{3} \cdot b = 14$ , $b = 21$ . Verdiği $7$ ceviz Can’dan geri alınır: Can $13$ .
Ali yarısını verince yarısı kaldı: $8 \cdot 2 = 16$ . Verdiği $8$ ceviz Berk’ten geri alınır: Berk $13$ .

Kontrol: $16 + 13 + 13 = 42 = 3 \cdot 14$ .

Tuzak: Berk’in verdiğini bulurken $14$ ’ün üçte birini almak. $14$ , Berk’te kalan $\dfrac{2}{3}$ ’tür.

Cevap: C

Özgün soru5

Zor

Zaman aralıklarının çakışması

Bir kütüphanede Ada saat $13{.}20$ ile $15{.}10$ , Bora saat $14{.}00$ ile $16{.}30$ arasında çalışmıştır. Cem de kütüphanede tam $1$ saat çalışmıştır. Cem kütüphanedeyken Ada ile Bora’dan en az biri her an oradadır ve üçünün birlikte kütüphanede bulunduğu süre $25$ dakikadır.

Buna göre Cem kütüphaneye saat kaçta gelmiş olabilir?

İpucu

Cem’in bir saatlik aralığını zaman çizelgesinde kaydır. Üçlü ortak süre, Bora’nın gelişine mi Ada’nın çıkışına mı bağlı?

Çözüm

1. Zaman çizelgesi. $12{.}00$ ’ı $0$ al ve dakikayla çalış: Ada $[80, 190]$ , Bora $[120, 270]$ , Cem $[c, c + 60]$ .

2. Yalnız kalmama. Cem’in aralığı $[80, 270]$ ’in içinde olmalı: $80 \leq c \leq 210$ .

3. Üçlü ortak süre $\min(c + 60, 190) - \max(c, 120)$ :

$c \leq 120$ ise $c + 60 - 120 = 25$ , $c = 85$ : saat $13{.}25$ .
$120 \leq c \leq 130$ ise ortak süre $60$ dakika; uymaz.
$c \geq 130$ ise $190 - c = 25$ , $c = 165$ : saat $14{.}45$ .

4. Cem $13{.}25$ ’te ya da $14{.}45$ ’te gelmiş olabilir; seçeneklerde $14{.}45$ var.

Kontrol: $14{.}45$ ile $15{.}45$ arası Bora hep orada; üçü birlikte $14{.}45$ – $15{.}10$ , yani $25$ dakika.

Çeldiriciler: $13{.}15$ ’te gelen Cem $5$ dakika yalnız kalır; $13{.}35$ ’te gelenin üçlü süresi $35$ , $14{.}05$ ’te gelenin $60$ , $15{.}05$ ’te gelenin $5$ dakikadır.

Cevap: D