16Konu 16 / 62
Problemler

Hız ve Hareket Problemleri

Yol = hız × zaman bağıntısını birimleri eşleştirerek kuruyoruz; karşılaşma, yetişme, zıt yönde uzaklaşmanın grafiği, dairesel pist, varış farkı, ortalama hız, gidiş-dönüş çizelgesi, hız aralığı ve tanımı verilen oranlarla TYT’nin bağlamlı sorularına hazırlanıyoruz.

9 ve 11. sınıf
TYT sıklığı
40 dk

Görsel anlatımla başla14 adım · sıfırdan başlar · az yazı, bol 3B

LevhaHız ve Hareket ProblemleriHız ve Hareket Problemleri

Bir otobüs saatte $90$ km sabit hızla gidiyor. $40$ dakika sonra başlangıçtan kaç km uzaktadır? Otobüs ilerledikçe arkadaki panoda, yol-zaman grafiğinde nokta düz bir doğru çiziyor: $40$ dakika $\frac{2}{3}$ saattir, yol $90 \cdot \frac{2}{3} = 60$ km.

Isınma

Başlamadan: süre ve kesirli denklem

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

2

saat

24

dakika kaç saattir?

Açıklama

$24$ dk $= \dfrac{24}{60} = 0{,}4$ sa; toplam $2{,}4$ sa.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\dfrac{x}{4} + \dfrac{x}{6} = 5

ise

x

kaçtır?

Açıklama

Payda $12$ : $\dfrac{3x + 2x}{12} = 5 \Rightarrow 5x = 60 \Rightarrow x = 12$ .

Temel

Yol, hız, zaman

Bu sayfa hız ve hareket problemlerini TYT derinliğinde işler. Oran-orantı temeli için Oran, Orantı ve Problemler, denklem kurma için Sayı Problemleri.

1. Yol = Hız × Zaman

Hız, birim zamanda alınan yoldur. Sabit hızla giden araç her saat aynı yolu alır.

Yol-zaman grafiğinde doğrunun dikliği hızdır: üstteki doğru her saat

90

km, alttaki

60

km yükselir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Saatte

72

km hızla giden bir araç

2

saat

30

dakikada kaç km yol alır?

Açıklama

$2$ sa $30$ dk $= 2{,}5$ sa; $x = 72 \cdot 2{,}5 = 180$ km.

2. Birimleri Eşleştir

Hız km/sa ise süre saat, yol km olur. Hız m/sn ise süre saniye, yol metredir.

Yol kenarına $20$ m arayla direkler dikili; araç her saniye bir direk geçiyor, hızı $20$ m/sn. Bir saatte $3600 \cdot 20 = 72\,000$ m yol alır: $20$ m/sn $= 72$ km/sa.

Örnek

kolay

Önce birimi çevir, sonra çarp

Saatte $54$ km hızla giden bir bisikletli $2$ dakikada kaç metre yol alır?

Hız km/sa, süre dakika; ikisini metre ve saniyeye çevir.

$54 \cdot \dfrac{5}{18} = 15$ m/sn; $2$ dk $= 120$ sn.

$x = 15 \cdot 120 = 1800$ m.

Kontrol: $2$ dk $= \dfrac{1}{30}$ sa; $54 \cdot \dfrac{1}{30} = 1{,}8$ km $= 1800$ m.

Sonuç

$1800$ m yol alır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

25

m/sn kaç km/sa’tir?

Açıklama

$25 \cdot 3{,}6 = 90$ km/sa. Bir saatte $25 \cdot 3600 = 90\,000$ m.

3. Birbirine Doğru ve Aynı Yönde

İki hareketli varsa konumlara değil aradaki uzaklığın değişimine bak.

Aralarında $300$ km olan A ve B’den iki araç saatte $70$ ve $80$ km hızla birbirine doğru çıkıyor. Aradaki boşluğu gösteren turuncu şerit her saat $v_1 + v_2 = 150$ km kısalıyor; şerit sıfıra inince, $2$ saat sonra araçlar karşılaşıyor.

Bu kez araçlar aynı yönde gidiyor: arkadaki saatte $90$ , öndeki $60$ km; aralarında $120$ km var. Şerit her saat yalnız $v_1 - v_2 = 30$ km kısalıyor ve $4$ saatte kapanıyor; hızlar eşit olsaydı hiç kısalmazdı.

Örnek

kolay

Yetişme: önce aradaki uzaklığı bul

Bir kamyon saatte $60$ km hızla A kentinden yola çıkıyor. $2$ saat sonra aynı yerden, aynı yönde saatte $90$ km hızla bir otomobil çıkıyor. Otomobil kamyona kaç saatte yetişir?

Seç: otomobilin yola çıkışından yetişmeye kadar geçen süre $t$ saat.

Tabloya yaz:

	Hız	Süre	Yol
Kamyon	$60$	$t + 2$	$60(t + 2)$
Otomobil	$90$	$t$	$90t$

Kur ve çöz: yetiştiği an yollar eşit: $60(t + 2) = 90t \Rightarrow 120 = 30t \Rightarrow t = 4$ .

Kısa yol: otomobil çıkarken ara $60 \cdot 2 = 120$ km; her saat $90 - 60 = 30$ km kapanır: $120 \div 30 = 4$ .

Kontrol: kamyon $6 \cdot 60 = 360$ km, otomobil $4 \cdot 90 = 360$ km.

Sonuç

Otomobil $4$ saatte yetişir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Aralarında

300

km bulunan iki kentten saatte

70

km ve

80

km hızla aynı anda birbirine doğru çıkan araçlar kaç saat sonra karşılaşır?

Açıklama

$t = \dfrac{300}{70 + 80} = 2$ saat.

Orta

Oranlar, grafik, pist ve varış farkı

1. Aynı Sürede Yol, Hızla Orantılı

Örnek

orta

Karşılaşma noktası ve orta nokta

A ve B kentlerinden aynı anda birbirine doğru yola çıkan iki aracın hızları oranı $\dfrac{3}{2}$ ’dir. Araçlar AB yolunun orta noktasından $30$ km uzakta karşılaşıyor. AB yolu kaç km’dir?

Aynı sürede gittikleri için yollar da $3 : 2$ oranındadır: A’dan gelen $3k$ , B’den gelen $2k$ km gider; $|AB| = 5k$ .

Orta nokta A’dan $2{,}5k$ , karşılaşma noktası $3k$ uzakta; aradaki fark $0{,}5k$ .

$0{,}5k = 30 \Rightarrow k = 60$ , $|AB| = 300$ .

Kontrol: A’dan gelen $180$ , B’den gelen $120$ km; orta nokta $150$ ’de, fark $30$ .

Sonuç

AB yolu $300$ km’dir.

Hızlar

3 : 2

ise yol

3k

2k

diye bölünür; orta nokta ile karşılaşma noktası arası

0{,}5k

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Aynı anda birbirine doğru çıkan iki araçtan biri karşılaştıktan

9

saat, diğeri

4

saat sonra varacağı kente ulaşıyor. Araçlar yola çıktıktan kaç saat sonra karşılaşmıştır?

Açıklama

$t^2 = 9 \cdot 4 = 36$ , $t = 6$ saat.

2. Zıt Yönde Uzaklaşma ve Grafiği

Aynı noktadan zıt yönlere çıkanların arasındaki uzaklık her dakika $v_1 + v_2$ artar. Grafikte bu, eğimi $v_1 + v_2$ olan bir doğrudur.

Ali ile Can aynı kapıdan zıt yönlere yürüyor; aradaki şerit dakikada $120 + 180 = 300$ m uzuyor. Ali yerine varıp durunca şerit yalnız Can’ın hızıyla, dakikada $180$ m uzar; grafikteki doğru o anda kırılır.

Örnek

orta

Grafikteki kırılma

Ali ile Can aynı anda aynı kapıdan çıkıp zıt yönlerde, sabit hızlarla gidecekleri yere yürüyor; varan duruyor. Aralarındaki uzaklık ilk $5$ dakikada düzgün artarak $1500$ m oluyor, sonraki $3$ dakikada daha yavaş artarak $2040$ m’ye çıkıyor ve sonra değişmiyor. Can’ın gideceği yer daha uzak olduğuna göre iki yer kapıya kaçar metre uzaktadır?

Artışın $5$ . dakikada yavaşlaması birinin vardığını gösterir; yeri yakın olan Ali $5$ dakikada varmıştır.

$5$ ile $8$ . dakikalar arasında yalnız Can yürür: hızı $\dfrac{2040 - 1500}{3} = 180$ m/dk.

İlk $5$ dakikada uzaklık dakikada $\dfrac{1500}{5} = 300$ m arttı; bu iki hızın toplamı. Ali’nin hızı $300 - 180 = 120$ m/dk.

Ali $5 \cdot 120 = 600$ m, Can $8 \cdot 180 = 1440$ m yürüdü. Kontrol: $600 + 1440 = 2040$ .

Sonuç

Ali’nin gideceği yer $600$ m, Can’ınki $1440$ m uzaktadır.

Kırılmadan önce eğim iki hızın toplamı (

300

m/dk), sonra yalnız yürümeye devam edenin hızı (

180

m/dk).

3. Dairesel Pist: Tur ve Geçiş

Çevresi $400$ m olan pistte iki koşucu A’dan zıt yönlere çıkıyor: her karşılaşmaya kadar ikisinin koştuğu yolların toplamı bir tur eder. Sonra aynı yöne koşuyorlar: hızlı olan yavaştan $400$ m fazla koşunca tur bindiriyor.

Örnek

orta

Zıt yön ve aynı yön

Çevresi $400$ m olan dairesel bir pistte A noktasından aynı anda çıkan iki koşucu saniyede $3$ m ve $5$ m koşuyor. Zıt yönlerde koşarlarsa kaç saniye sonra ilk kez karşılaşırlar? Aynı yönde koşarlarsa hızlı olan yavaşa kaç saniye sonra ilk kez tur bindirir?

Zıt yönde: karşılaşana kadar koşulan yolların toplamı bir tur: $3t + 5t = 400 \Rightarrow t = 50$ sn.

Kontrol: biri $150$ m, öbürü $250$ m koştu; toplam $400$ m.

Aynı yönde: hızlı olan bir tur fazla koşunca yetişir: $5t - 3t = 400 \Rightarrow t = 200$ sn.

Sonuç

$50$ saniye sonra karşılaşırlar; $200$ saniye sonra tur bindirir.

Zıt yönde koşanlar karşılaşana kadar toplam bir tur koşar:

150 + 250 = 400

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Dairesel bir pistte hep aynı yönde sabit hızla koşan bir sporcu, başladıktan

5

dakika sonra bayrağın yanından

2

. kez,

11

dakika sonra

5

. kez geçiyor. Bayrağın yanından ilk kez kaçıncı dakikada geçmiştir?

Açıklama

$2$ . ve $5$ . geçiş arasında $3$ tur: $T = \dfrac{11 - 5}{3} = 2$ dk. İlk geçiş $5 - 2 = 3$ . dakikada.

4. Varış Saatleri Farkından Yol

İki araç 08.00’de aynı yerden çıkıyor; biri saatte $60$ , öbürü $90$ km gidiyor. $180$ km’lik yolun sonuna hızlı olan $2$ , yavaş olan $3$ saatte varıyor: varışlar 10.00 ve 11.00, arada $1$ saat var.

Örnek

orta

Hızı yüzde 20 artırınca

Bir sürücü her gün aynı yolu aynı sabit hızla gidiyor. Bir gün hızını $\%20$ artırınca yolu her zamankinden $30$ dakika erken bitiriyor. Her zamanki hızı saatte $80$ km olduğuna göre yol kaç km’dir?

Ters orantı: yol aynı; hız $\dfrac{6}{5}$ katına çıkınca süre $\dfrac{5}{6}$ katına iner.

Her zamanki süre $t$ ise kazanılan süre $t - \dfrac{5}{6}t = \dfrac{t}{6}$ .

$\dfrac{t}{6} = \dfrac{1}{2}$ sa $\Rightarrow t = 3$ sa; yol $80 \cdot 3 = 240$ km.

Kontrol: $96$ km/sa ile $240 \div 96 = 2{,}5$ sa; fark $0{,}5$ sa.

Sonuç

Yol $240$ km’dir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Aynı yerden aynı anda yola çıkan bisikletli saatte

40

km, motosikletli

60

km hızla gidiyor. Bisikletli varış yerine motosikletliden

1

saat sonra vardığına göre yol kaç km’dir?

Açıklama

$\dfrac{x}{40} - \dfrac{x}{60} = 1 \Rightarrow \dfrac{3x - 2x}{120} = 1 \Rightarrow x = 120$ km.

İleri

Sınav düzeyi: ortalama hız, çizelge, aralık ve tanımlı oranlar

1. Ortalama Hız

Eşit iki yol $v_1$ ve $v_2$ hızlarıyla gidilirse $v_{\text{ort}} = \dfrac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$ olur; süreler eşitse $\dfrac{v_1 + v_2}{2}$ . Gidiş-dönüş örneği Oran, Orantı ve Problemler sayfasında.

$240$ km’lik yolun ilk yarısını saatte $40$ , ikinci yarısını $60$ km hızla giden aracın önünde iki süre çubuğu var: yavaş yarı $3$ , hızlı yarı $2$ saat sürüyor. Araç zamanının çoğunu yavaş yarıda geçirdiği için ortalama hız $50$ değil, $240 \div 5 = 48$ ’dir.

Örnek

zor

Ortalamayı tutturmak

Bir bisikletli yolun ilk yarısını saatte $30$ km hızla gidiyor. Bütün yoldaki ortalama hızının saatte $45$ km olması için yolun ikinci yarısını saatte kaç km hızla gitmelidir?

Yolun yarısı $h$ km olsun. Toplam yol $2h$ ; ortalama $45$ ise toplam süre $\dfrac{2h}{45}$ sa.

İlk yarının süresi $\dfrac{h}{30}$ ; ikinci yarıya kalan süre $\dfrac{2h}{45} - \dfrac{h}{30} = \dfrac{4h - 3h}{90} = \dfrac{h}{90}$ .

İkinci yarının hızı $h \div \dfrac{h}{90} = 90$ km/sa.

Kontrol: $\dfrac{2 \cdot 30 \cdot 90}{30 + 90} = \dfrac{5400}{120} = 45$ . Tuzak: $\dfrac{30 + v}{2} = 45$ yazıp $60$ bulmak.

Sonuç

Saatte $90$ km hızla gitmelidir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir araç

2

saat boyunca saatte

50

km, ardından

3

saat boyunca saatte

75

km hızla gidiyor. Bütün yolculuktaki ortalama hızı kaç km/sa’tir?

Açıklama

$\dfrac{2 \cdot 50 + 3 \cdot 75}{5} = \dfrac{325}{5} = 65$ km/sa.

2. Gidiş-Dönüş, Mola ve Zaman Çizelgesi

Hareket parçalara bölünüyorsa zaman çizelgesi çiz: her gidiş ve her bekleme ayrı bir parçadır. Saatleri ve süreleri çizelgenin üstüne yaz.

Feribot A ile B arasında gidip geliyor, her iskelede $15$ dakika bekliyor. Arkadaki çizelgede yolculuklar eğik, beklemeler yatay parçalar; S şamandırasının hizasında her geçişte bir nokta ve geçiş saati beliriyor.

Örnek

zor

Şamandıradan geçişler

Bir feribot A ve B iskeleleri arasında sabit hızla sefer yapıyor ve her iskelede $15$ dakika bekliyor. AB rotası üzerinde bir S şamandırası vardır. A’dan saat 08.00’de kalkan feribot S’nin yanından ilk kez 08.20’de geçiyor ve A’ya ilk kez 10.15’te dönüyor. Feribot S’nin yanından $3$ . kez saat kaçta geçer?

Seç: A’dan B’ye süre $T$ dakika. Çizelge: gidiş $T$ , bekleme $15$ , dönüş $T$ ; 08.00–10.15 arası $135$ dk: $2T + 15 = 135 \Rightarrow T = 60$ .

A–S süresi $20$ dk, S–B süresi $60 - 20 = 40$ dk.

$2$ . geçiş: B’ye 09.00’da varış, 09.15’te kalkış, $40$ dk sonra 09.55.

$3$ . geçiş: A’ya 10.15’te varış, 10.30’da kalkış, $20$ dk sonra 10.50. Tuzak: beklemeyi unutup 10.35 bulmak.

Sonuç

Feribot S’nin yanından $3$ . kez 10.50’de geçer.

Konum-zaman çizelgesi: eğik parçalar yolculuk, yatay parçalar bekleme; S hizasındaki noktalar geçiş saatleri.

3. Hız Aralığı ve Eşitsizlik

Örnek

zor

Tam sayı hızlar

Bir bisikletli $36$ km’lik yolu sabit hızla, $2$ saatten fazla ve $2{,}5$ saatten az bir sürede alıyor. Hızı saatte tam sayı km olduğuna göre kaç farklı değer alabilir?

$v = \dfrac{36}{t}$ ve $2 < t < 2{,}5$ .

Ters çevir, yönü değiştir: $\dfrac{36}{2{,}5} < v < \dfrac{36}{2}$ , yani $14{,}4 < v < 18$ .

Tam sayılar $15$ , $16$ , $17$ ; uç dahil olmadığı için $18$ alınmaz.

Sonuç

$3$ farklı değer alabilir.

4. Tanımı Verilen Oranlar

Soru yeni bir oran tanımlıyorsa onu $x = v \cdot t$ gibi kullan: tanımdaki bölümü çarpıma çevir.

Örnek

zor

Hızlandırılmış video

Hızlandırılmış bir videoda bir bölümün hızlandırma katsayısı, o bölümün gerçek süresinin videodaki süresine oranıdır. Bir bitkinin $14$ saatlik büyümesi $5$ dakikalık bir videoya dönüştürülüyor: ilk kısım $240$ , kalan kısım $120$ katsayıyla hızlandırılıyor. İlk kısım gerçekte kaç saat sürmüştür?

Tanımı çarpıma çevir: video süresi $=$ gerçek süre $\div$ katsayı.

Seç: ilk kısım $s$ saat, yani $60s$ dakika. Kur: $\dfrac{60s}{240} + \dfrac{60(14 - s)}{120} = 5$ .

Çöz: $\dfrac{s}{4} + \dfrac{14 - s}{2} = 5 \Rightarrow s + 28 - 2s = 20 \Rightarrow s = 8$ .

Kontrol: $\dfrac{480}{240} + \dfrac{360}{120} = 2 + 3 = 5$ dk.

Sonuç

İlk kısım $8$ saat sürmüştür.

Özet

Bu konudan aklında kalacaklar

Temel bağıntı: $x = v \cdot t$ ; birimleri eşleştir: $1$ km/sa $= \frac{5}{18}$ m/sn, $1$ m/sn $= 3{,}6$ km/sa.
Karşılaşma: $t = \dfrac{d}{v_1 + v_2}$ ; yetişme: $t = \dfrac{d}{v_1 - v_2}$ .
Orantı: eşit sürede yol hızla doğru, eşit yolda süre hızla ters orantılı; karşılaşmadan sonra $t^2 = t_1 t_2$ .
Uzaklık grafiği: zıt yönde eğim $v_1 + v_2$ ; kırılma, birinin durduğu an.
Pist: zıt yönde $\dfrac{L}{v_1 + v_2}$ , aynı yönde $\dfrac{L}{v_1 - v_2}$ ; $k$ . geçiş $t_0 + (k - 1)T$ .
Varış farkı: $\dfrac{x}{v_2} - \dfrac{x}{v_1} = \Delta t$ .
Ortalama hız: toplam yol bölü toplam süre (mola dahil); eşit yollarda $\dfrac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$ .
Çizelge: gidiş, bekleme, dönüş parçalarını sırayla yaz; bitiş biliniyorsa ters çalış.
Aralık: $a < t < b \Rightarrow \dfrac{x}{b} < v < \dfrac{x}{a}$ .

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

9 çıkmış soru5 özgün soru

2026 TYTSoru 22

Zor

Gidiş-dönüş ve zaman çizelgesi

A ve C şehirleri doğrusal bir yol üzerindedir; B ilçesi bu iki şehrin arasındadır. Bir otobüs A ile C arasında sabit hızla sefer yapıyor: iki şehirden birine vardıktan yarım saat sonra aynı yoldan, aynı sabit hızla öbür şehre doğru yola çıkıyor.

A şehrinden saat 08.00’de hareket eden otobüs, aynı gün B ilçesinden $2$ . kez saat 11.30’da, $3$ . kez saat 14.40’ta geçiyor.

Buna göre otobüs B ilçesinden $4$ . kez saat kaçta geçer?

İpucu

A–B süresine $x$ , B–C süresine $y$ de. Her geçişe kadarki yolculukları ve yarım saatlik beklemeleri bir zaman çizelgesine diz.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 31)

Çözüm

1. Bilinmeyenler. A–B süresi $x$ , B–C süresi $y$ dakika; A–C süresi $T = x + y$ . Her uçta $30$ dk bekleme var.

2. İkinci geçiş. $1$ . geçiş A’dan C’ye giderken olur. $2$ . geçiş: C’ye varış, bekleme, C’den B’ye. 08.00–11.30 arası $210$ dk: $T + 30 + y = 210$ , yani $T + y = 180$ .

3. Üçüncü geçiş. A’ya dönüş, bekleme, A’dan B’ye. 08.00–14.40 arası $400$ dk: $2T + 60 + x = 400$ , yani $2T + x = 340$ .

4. Çöz. İki eşitliği topla: $3T + (x + y) = 4T = 520 \Rightarrow T = 130$ ; $y = 50$ , $x = 80$ .

5. Dördüncü geçiş. $3$ . geçişten sonra B’den C’ye $50$ , bekleme $30$ , C’den B’ye $50$ dk: $130$ dk sonra. 14.40 + $2$ sa $10$ dk = 16.50.

Kontrol: $1$ . geçiş 09.20; C’ye varış 10.10, kalkış 10.40, $2$ . geçiş 11.30; A’ya varış 12.50, kalkış 13.20, $3$ . geçiş 14.40.

Tuzak: beklemeleri unutmak ya da $4$ . geçişi $3$ . geçişten bir tam gidiş-dönüş ( $2T + 60$ ) sonra sanmak. B’den sonra C’ye gidip dönmek yeter.

Cevap: A

2026 TYTSoru 24

Orta

Hız aralığı ve eşitsizlik

Bisikletle dünya turuna çıkan bir gezgin, aynı sabit hızla bisiklet sürdüğü iki günün birinde $88$ km, öbüründe $108$ km yol alıyor. Bu iki günün her birinde gezginin bisiklet sürmediği sürenin, bisiklet sürdüğü süreye oranı $2$ ile $3$ arasındadır.

Buna göre gezginin bu iki günde bisikletle bir saatte aldığı yolun uzunluğu kilometre cinsinden aşağıdakilerden hangisi olabilir?

İpucu

Bir gün $24$ saattir. Sürüş süresi $t$ ise oran koşulunu $t$ için bir aralığa çevir; sonra iki günün hız aralıklarını kesiştir.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 31)

Çözüm

1. Sürüş süresi. Sürüş $t$ saat ise sürmediği süre $24 - t$ : $2 < \dfrac{24 - t}{t} < 3 \Rightarrow 3 < \dfrac{24}{t} < 4 \Rightarrow 6 < t < 8$ .

2. Birinci gün. $t = \dfrac{88}{v}$ : $6 < \dfrac{88}{v} < 8 \Rightarrow 11 < v < 14{,}\overline{6}$ .

3. İkinci gün. $t = \dfrac{108}{v}$ : $6 < \dfrac{108}{v} < 8 \Rightarrow 13{,}5 < v < 18$ .

4. Ortak aralık. $13{,}5 < v < 14{,}\overline{6}$ ; seçeneklerden yalnız $14$ .

Kontrol: $v = 14$ için sürüş süreleri $\dfrac{88}{14} \approx 6{,}29$ ve $\dfrac{108}{14} \approx 7{,}71$ saat; ikisi de $6$ ile $8$ arasında.

Tuzak: yalnız bir günün aralığına bakmak ( $12$ ve $13$ yalnız birinci günü, $15$ ve $16$ yalnız ikinci günü sağlar) ya da ters çevirince eşitsizliğin yönünü değiştirmemek.

Cevap: C

2025 TYTSoru 22

Orta

Konum tablosundan uzaklık

A, B, C, D ve E şehirleri şekildeki gibi doğrusal bir yol üzerindedir; A ile E arası $300$ km’dir.

Ela, aracıyla A şehrinden saatte $90$ km sabit hızla yola çıkıyor ve bu yolu kullanarak mola vermeden E şehrine gidecek. Annesi, Ela’dan yolculuk boyunca canlı konum paylaşmasını istiyor; ara ara bu paylaşıma bakıp Ela’nın A’dan çıktıktan kaç dakika sonra nerede olduğunu aşağıdaki tabloya yazıyor.

Geçen süre	Bulunulan konum
$10$ dakika sonra	A ve B şehirlerinin tam ortasında
$40$ dakika sonra	B ve C şehirlerinin tam ortasında
$140$ dakika sonra	D ve E şehirlerinin tam ortasında

Buna göre C ve D şehirleri arası kaç kilometredir?

İpucu

Hızı km/dk’ya çevir ve her satırda Ela’nın A’ya uzaklığını bul. İki şehrin tam ortasının konumu, iki şehrin konumlarının ortalamasıdır.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 30)

Çözüm

1. Birim. $90$ km/sa $= 1{,}5$ km/dk. A’ya uzaklıklar: $10$ dk $\to 15$ km, $40$ dk $\to 60$ km, $140$ dk $\to 210$ km.

2. B. AB’nin ortası $15$ km’de; B, A’dan $30$ km uzakta.

3. C. BC’nin ortası $60$ km’de: $\dfrac{30 + c}{2} = 60$ , C $90$ km’de.

4. D. DE’nin ortası $210$ km’de, E $300$ km’de: $\dfrac{d + 300}{2} = 210$ , D $120$ km’de.

5. Fark. $|CD| = 120 - 90 = 30$ km.

Tuzak: şekildeki aralıkları ölçekli sanmak. Şehirlerin yeri yalnız tablodan bulunur; AB $30$ , BC $60$ , CD $30$ km’dir.

Cevap: A

2023 TYTSoru 22

Kolay

Dairesel pist

Şekildeki dairesel parkur eşit uzunlukta beş parçaya ayrılmıştır. Bir sporcu A noktasından ok yönünde, yüksek tempoda sabit hızla koşarak $60$ saniyede B noktasına varıyor. Ardından B noktasından yine ok yönünde, düşük tempoda sabit hızla koşarak $320$ saniyede A noktasına varıyor ve parkuru tamamlıyor.

Buna göre sporcunun parkurun tamamını düşük tempoda koşma süresi ile yüksek tempoda koşma süresi arasındaki fark kaç saniyedir?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 29)

Çözüm

1. Parça sayısı. Ok yönünde A’dan B’ye $1$ parça, B’den A’ya $4$ parça var.

2. Yüksek tempo. $1$ parça $60$ sn; tam tur $5 \cdot 60 = 300$ sn.

3. Düşük tempo. $4$ parça $320$ sn, $1$ parça $80$ sn; tam tur $5 \cdot 80 = 400$ sn.

4. Fark. $400 - 300 = 100$ sn.

Tuzak: B’den A’ya kalan yolu $1$ parça sanmak ya da $320 - 60$ farkını doğrudan almak. Önce parça başına süreyi bul.

Cevap: C

2022 TYTSoru 18

Orta

Tanımı verilen oran (oynatma hızı)

Bir videonun bir bölümünün oynatma hızı, o bölümün normal süresinin, izlenirken geçen süreye oranı olarak tanımlanıyor.

Örneğin bir filmin normal süresi $100$ dakika olan bir bölümü $2$ oynatma hızıyla izlenirse $50$ dakika sürer.

Cansu, normal süresi $135$ dakika olan bir filmi saat 12.00’de $1{,}25$ oynatma hızıyla izlemeye başlıyor ve bir süre sonra $20$ dakikalık yemek molası veriyor. Moladan sonra filmi kaldığı yerden $1{,}5$ oynatma hızıyla izliyor ve saat 14.00’te bitiriyor.

Buna göre Cansu yemek molasına saat kaçta başlamıştır?

İpucu

Tanımdan izleme süresi $=$ normal süre $\div$ oynatma hızı. 12.00–14.00 arasındaki sürenin ne kadarı izlemeye gitti?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 29)

Çözüm

1. İzleme süresi. 12.00–14.00 arası $120$ dk; moladan sonra izlemeye $120 - 20 = 100$ dk kalır.

2. Denklemi kur. Molaya kadar filmin ilk $x$ dakikası izlendi: $\dfrac{x}{1{,}25} + \dfrac{135 - x}{1{,}5} = 100$ .

3. Çöz. $0{,}8x + 90 - \dfrac{2x}{3} = 100 \Rightarrow \dfrac{2x}{15} = 10 \Rightarrow x = 75$ .

4. Saat. İlk bölümün izlenmesi $\dfrac{75}{1{,}25} = 60$ dk sürdü; mola 13.00’te başladı.

Kontrol: ikinci bölüm $\dfrac{60}{1{,}5} = 40$ dk; $60 + 20 + 40 = 120$ dk.

Tuzak: molayı toplam süreden çıkarmamak ya da normal süreyi oynatma hızıyla çarpmak. İzleme süresi, normal sürenin oynatma hızına bölümüdür.

Cevap: C

2022 TYTSoru 23

Orta

Aradaki uzaklığın grafiği

Aynı evde oturan Burcu ile Esra’nın okulları evden zıt yönlerdedir. İkisi aynı anda evden çıkıyor ve sabit hızlarla okullarına doğru gidiyor. Şekildeki grafik, ikisi de okuluna varana kadar geçen sürede aralarındaki uzaklığın zamana göre nasıl değiştiğini gösteriyor.

Esra’nın okulu eve daha uzak olduğuna göre Burcu’nun okulu eve kaç metre uzaktadır?

İpucu

Grafiğin $4$ . dakikada kırılması ne anlama gelir? Kırılmadan sonra yalnız kim yürüyor?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 31)

Çözüm

1. Kırılma. Eğim $4$ . dakikada azalıyor: biri okuluna varmış. Okulu yakın olan Burcu $4$ dakikada varmıştır.

2. Esra’nın hızı. $4$ ile $6$ . dakikalar arasında yalnız Esra yürür: $\dfrac{1700 - 1400}{2} = 150$ m/dk.

3. Burcu’nun hızı. İlk $4$ dakikada uzaklık dakikada $\dfrac{1400}{4} = 350$ m artıyor; zıt yönde gittikleri için bu iki hızın toplamıdır. Burcu: $350 - 150 = 200$ m/dk.

4. Uzaklık. Burcu’nun okulu $4 \cdot 200 = 800$ m uzakta.

Kontrol: Esra $6 \cdot 150 = 900$ m yürüdü; $800 + 900 = 1700$ .

Tuzak: ilk eğimi ( $350$ ) Burcu’nun hızı sanmak ya da Burcu için Esra’nın hızıyla $4 \cdot 150 = 600$ bulmak.

Cevap: E

2021 TYTSoru 21

Orta

Dairesel pist

Dairesel bir parkurda hep aynı yönde ve sabit hızla ilerleyen bir araç A noktasından harekete başlıyor. Araç, harekete başladıktan

$3$ dakika sonra B noktasından $3$ . kez,
$8$ dakika sonra B noktasından $7$ . kez

geçiyor.

Buna göre araç, A noktasından harekete başladıktan kaç saniye sonra B noktasından ilk kez geçmiştir?

İpucu

Araç B noktasından her tur süresinde bir kez geçer. $3$ . ile $7$ . geçiş arasında kaç tur vardır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 32)

Çözüm

1. Tur süresi. $3$ . ile $7$ . geçiş arasında $7 - 3 = 4$ tur var: $4T = 8 - 3 = 5$ dk, $T = 1{,}25$ dk.

2. İlk geçiş. $3$ . geçiş ilk geçişten $2$ tur sonradır: $t_0 = 3 - 2 \cdot 1{,}25 = 0{,}5$ dk.

3. Saniyeye çevir. $0{,}5$ dk $= 30$ sn.

Kontrol: $0{,}5 + 6 \cdot 1{,}25 = 8$ dk; $7$ . geçiş tutuyor.

Tuzak: iki geçiş arasındaki tur sayısını geçiş sayısı kadar ( $5$ ) saymak ya da sonucu dakika olarak bırakmak; soru saniye istiyor.

Cevap: A

2020 TYTSoru 19

Orta

Karşılaşma

A ve B kentlerindeki iki araç, bu kentleri birleştiren yol üzerinde aynı anda ve sabit hızlarla birbirine doğru yola çıkıyor ve bir süre sonra karşılaşıyor. Karşılaştıktan sonra A kentinden çıkan araç $250$ dakikada B kentine, B kentinden çıkan araç ise $160$ dakikada A kentine varıyor.

Buna göre araçlar, yola çıktıktan kaç dakika sonra karşılaşmıştır?

İpucu

Karşılaşmaya kadar araçlardan birinin aldığı yolu öbürü karşılaşmadan sonra alır. Bunu iki eşitlik olarak yaz ve taraf tarafa çarp.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 29)

Çözüm

1. Bilinmeyenler. Karşılaşma $t$ dakikada olsun; hızlar $v_A$ ve $v_B$ .

2. Aynı yollar. Karşılaşma noktası ile B arasını B’den çıkan araç $t$ , A’dan çıkan araç $250$ dakikada alır: $v_B \cdot t = v_A \cdot 250$ . Karşılaşma noktası ile A arasını A’dan çıkan araç $t$ , B’den çıkan araç $160$ dakikada alır: $v_A \cdot t = v_B \cdot 160$ .

3. Taraf tarafa çarp. $v_A v_B \cdot t^2 = v_A v_B \cdot 250 \cdot 160 \Rightarrow t^2 = 40\,000 \Rightarrow t = 200$ .

Kontrol: ilk eşitlikten $\dfrac{v_A}{v_B} = \dfrac{200}{250} = \dfrac{4}{5}$ , ikinciden $\dfrac{v_A}{v_B} = \dfrac{160}{200} = \dfrac{4}{5}$ ; tutarlı.

Tuzak: $250$ ile $160$ ’ın aritmetik ortalamasını ( $205$ ) aramak. Karşılaşma süresi bu iki sürenin geometrik ortalamasıdır: $t = \sqrt{250 \cdot 160}$ .

Cevap: D

2019 TYTSoru 26

Orta

Varış saatleri farkı

A şehrinde oturan Kerem, B şehrindeki Aslı’ya gitmeyi planlıyor. Haritada iki şehir arasındaki yolu belirleyen Kerem, planladığı saatte yola çıkıp aracını saatte $100$ km hızla sürerse saat 09.00’da, saatte $60$ km hızla sürerse aynı gün saat 11.00’de B şehrine varacağını hesaplıyor.

Buna göre Kerem, planladığı saatte yola çıkıp aynı gün saat 10.00’da B şehrine varmak isterse aracının hızı saatte kaç km olmalıdır?

İpucu

İki hızla varış saatleri arasındaki $2$ saatlik fark, aynı yolun iki sürüş süresi arasındaki farktır. Önce yolu, sonra çıkış saatini bul.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 30)

Çözüm

1. Yolu bul. Yol $x$ km: $\dfrac{x}{60} - \dfrac{x}{100} = 2 \Rightarrow \dfrac{5x - 3x}{300} = 2 \Rightarrow x = 300$ .

2. Çıkış saati. Saatte $100$ km ile $300$ km $3$ saat sürer; Kerem 09.00’dan $3$ saat önce, 06.00’da yola çıkıyor.

3. İstenen hız. 06.00–10.00 arası $4$ saat: $\dfrac{300}{4} = 75$ km/sa.

Kontrol: saatte $60$ km ile $300$ km $5$ saat sürer; 06.00 + $5$ sa = 11.00.

Tuzak: 10.00, 09.00 ile 11.00’in tam ortası diye hızların ortalamasını ( $80$ ) almak. Ortalanan şey hız değil süredir ( $3$ ile $5$ saatin ortası $4$ saat).

Cevap: B

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Birim dönüşümü

Otoyolda saatte $72$ km sabit hızla giden bir sürücü, telefonuna gelen bildirime bakmak için gözünü yoldan $3$ saniye ayırıyor.

Buna göre araç bu $3$ saniyede kaç metre yol alır?

Çözüm

1. Birimi çevir. $72 \cdot \dfrac{5}{18} = 20$ m/sn.

2. Yol. $20 \cdot 3 = 60$ m.

Kontrol: $3$ sn $= \dfrac{3}{3600}$ sa; $72 \cdot \dfrac{3}{3600} = 0{,}06$ km $= 60$ m.

Tuzak: birimi çevirmeden $72 \cdot 3 = 216$ yazmak ya da hızın m/sn karşılığını ( $20$ ) yol sanmak.

Cevap: D

Özgün soru2

Orta

Yetişme

Bir otobüs saat 08.00’de A kentinden saatte $75$ km sabit hızla yola çıkıyor. Saat 09.20’de aynı yerden, aynı yönde bir otomobil saatte $100$ km sabit hızla yola çıkıyor.

Buna göre otomobil otobüse saat kaçta yetişir?

İpucu

Otomobil yola çıktığında aradaki uzaklık ne kadar? Bu uzaklık her saat kaç km kapanır?

Çözüm

1. Aradaki uzaklık. 08.00–09.20 arası $80$ dk $= \dfrac{4}{3}$ sa; otobüs $75 \cdot \dfrac{4}{3} = 100$ km önde.

2. Yetişme süresi. Ara her saat $100 - 75 = 25$ km kapanır: $\dfrac{100}{25} = 4$ sa.

3. Saat. 09.20 + $4$ sa = 13.20.

Kontrol: 13.20’de otobüs $\dfrac{16}{3}$ saatte $400$ km, otomobil $4$ saatte $400$ km gitmiş olur.

Tuzak: $4$ saati otobüsün çıkış saatine eklemek (12.00) ya da $1$ sa $20$ dk’yı $1{,}2$ sa almak.

Cevap: C

Özgün soru3

Zor

Ortalama hız ve mola

Bir sürücü A kentinden B kentine saatte $60$ km sabit hızla gidiyor, B’de $30$ dakika mola veriyor ve aynı yoldan saatte $90$ km sabit hızla A’ya dönüyor. Mola da dahil bütün yolculuğun ortalama hızı saatte $60$ km’dir.

Buna göre A ile B arası kaç km’dir?

İpucu

Ortalama hız, toplam yolun toplam süreye bölümüdür; mola da toplam süreye girer.

Çözüm

1. Seç. $|AB| = x$ km; toplam yol $2x$ .

2. Toplam süre. $\dfrac{x}{60} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{x}{90}$ sa.

3. Kur. Toplam yol $=$ ortalama hız $\times$ toplam süre: $2x = 60\left(\dfrac{x}{60} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{x}{90}\right) = x + 30 + \dfrac{2x}{3}$ .

4. Çöz. $2x - x - \dfrac{2x}{3} = 30 \Rightarrow \dfrac{x}{3} = 30 \Rightarrow x = 90$ .

Kontrol: gidiş $1{,}5$ sa, mola $0{,}5$ sa, dönüş $1$ sa; $\dfrac{180}{3} = 60$ km/sa.

Tuzak: molayı toplam süreye katmamak. O zaman ortalama hız her uzunlukta $\dfrac{2 \cdot 60 \cdot 90}{150} = 72$ çıkar ve denklem çözümsüz kalır.

Cevap: B

Özgün soru4

Orta

Bağıl hız (yürüyen bant)

Bir havalimanındaki yürüyen bandın üzerinde, bandın hareket yönünde kendi sabit hızıyla yürüyen Selin bandın başından sonuna $40$ saniyede ulaşıyor. Bant çalışmazken aynı hızla yürüyen Selin, bandın başından sonuna $60$ saniyede ulaşıyor.

Buna göre Selin çalışan bandın üzerinde hiç yürümeden dursaydı bandın başından sonuna kaç saniyede ulaşırdı?

İpucu

Bant çalışırken Selin’in yere göre hızı, kendi yürüme hızı ile bandın hızının toplamıdır.

Çözüm

1. Seç. Bandın uzunluğu $L$ ; Selin’in yürüme hızı $\dfrac{L}{60}$ , bantla birlikte hızı $\dfrac{L}{40}$ .

2. Bandın hızı. $\dfrac{L}{40} - \dfrac{L}{60} = \dfrac{3L - 2L}{120} = \dfrac{L}{120}$ .

3. Süre. Yalnız bantla $L \div \dfrac{L}{120} = 120$ sn.

Kontrol: $L = 120$ m alınırsa Selin $2$ m/sn, bant $1$ m/sn; birlikte $3$ m/sn ile $120$ m $40$ sn sürer.

Tuzak: süreleri çıkarmak ( $20$ ) ya da toplamak ( $100$ ). Toplanıp çıkarılan şey süreler değil hızlardır.

Cevap: E

Özgün soru5

Zor

Dairesel pist

Çevresi $600$ m olan dairesel bir pistin A noktasından aynı anda, sabit hızlarla ve zıt yönlerde koşmaya başlayan Arda ile Burak $75$ saniye sonra ilk kez karşılaşıyor. İkisi A noktasından aynı anda ve aynı yönde koşmaya başlasaydı Arda, Burak’a $5$ dakika sonra ilk kez tur bindirecekti.

Buna göre Burak’ın hızı saniyede kaç metredir?

İpucu

Zıt yönde hızlar toplanır, aynı yönde çıkarılır. Hızların toplamını ve farkını bulup toplam-fark kısa yolunu kullan.

Çözüm

1. Toplam. Zıt yönde ilk karşılaşmaya kadar ikisi toplam bir tur koşar: $v_A + v_B = \dfrac{600}{75} = 8$ m/sn.

2. Fark. Aynı yönde $5$ dk $= 300$ sn’de Arda bir tur fazla koşar: $v_A - v_B = \dfrac{600}{300} = 2$ m/sn.

3. Toplam-fark. $v_B = \dfrac{8 - 2}{2} = 3$ m/sn ( $v_A = 5$ m/sn).

Kontrol: $75 \cdot (5 + 3) = 600$ ve $300 \cdot (5 - 3) = 600$ .

Tuzak: Arda’nın hızını ( $5$ ) işaretlemek ya da dakikayı saniyeye çevirmeden farkı $\dfrac{600}{5}$ almak.

Cevap: A