36Konu 36 / 49
Geometri

Üçgende Açılar ve Açı–Kenar Bağıntıları

Paralel doğrulardan başlayıp üçgenin iç ve dış açılarını, ikizkenar ve eşkenar üçgenin açı özelliklerini kuruyoruz; ardından uzun kenar ile büyük açı arasındaki bağı ve üç uzunluğun ne zaman üçgen oluşturduğunu söyleyen üçgen eşitsizliğini öğreniyoruz.

9. sınıf
AYT sıklığı
55 dk

LevhaÜçgende Açılar ve Açı–Kenar BağıntılarıÜçgende Açılar ve Açı–Kenar Bağıntıları

Kâğıttan bir üçgen kes, üç köşesini yırt ve sivri uçlarını bir noktada yan yana getir. Üçgen ister dar ister geniş, ister incecik olsun, köşeler her seferinde dümdüz bir çizgi oluşturur. Sahnede köşeleri sürükleyip dene: üçgen değişiyor, alttaki düz çizgi bozulmuyor. Bu sayfa önce bunun nedenini, sonra üçgenin kenarlarının birbirini nasıl sınırladığını anlatıyor.

Isınma

Başlamadan: açılar ve denklem

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Ölçüsü

65^\circ

olan bir açının bütünleri kaç derecedir?

Açıklama

Bütünler iki açının ölçüleri toplamı $180^\circ$ ‘dir: $180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$ . Tümler açılarda toplam $90^\circ$ olur.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Kesişen iki doğrunun oluşturduğu açılardan biri

40^\circ

‘dir. Bu açının ters açısı kaç derecedir?

Açıklama

Ters açılar eştir, çünkü ikisi de aynı komşu açıyı $180^\circ$ ‘ye tamamlar. Kesişen iki doğruda açılar $40^\circ, 140^\circ, 40^\circ, 140^\circ$ diye sıralanır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

x + 2x + 30 = 180

denkleminde

x

kaçtır?

Açıklama

$3x + 30 = 180$ , $3x = 150$ , $x = 50$ . Bu sayfadaki açı sorularının çoğu böyle birinci dereceden bir denklemle biter; ayrıntısı Denklemler ve Eşitsizlikler sayfasında.

Temel

Paralel doğrular, iç açılar ve dış açılar

Açı çeşitleri: kısa hatırlatma

Açıları ölçülerine göre adlandırırız. Aşağıdaki tablo bu sayfada geçecek adların tamamıdır.

Ad	Ölçü
Dar açı	$0^\circ$ ile $90^\circ$ arasında
Dik açı	$90^\circ$
Geniş açı	$90^\circ$ ile $180^\circ$ arasında
Doğru açı	$180^\circ$

Ölçüleri toplamı $90^\circ$ olan iki açı tümler, $180^\circ$ olan iki açı bütünler açılardır. Kesişen iki doğrunun karşılıklı açıları ters açılardır ve eştir.

Bu sayfada kullandığın üçgen, açı, kenar, eşkenar, ikizkenar, taban, yöndeş gibi terimlerin çoğu, Mustafa Kemal Atatürk’ün 1937’de yayımlanan Geometri kitabında önerdiği Türkçe karşılıklardır. Ondan yüzyıllar önce Ebü’l-Vefâ, Bîrûnî ve Nasîrüddin Tûsî gibi bilginler de üçgenin açıları ile kenarları arasındaki ilişkileri inceleyip geliştirmişti.

Paralel iki doğru ve bir kesen

Tren raylarını çapraz geçen bir yolu düşün. Yol iki rayı da aynı eğimle keser; bu yüzden bir rayda oluşan açılar öbür rayda aynen yinelenir. İki paralel doğruyu kesen üçüncü doğruya kesen denir.

d_1 \parallel d_2

ise yöndeş açılar ve iç ters açılar eştir; karşı durumlu açılar bütünlerdir:

\alpha + \beta = 180^\circ

Sahnede iki paralel doğru ve onları kesen bir doğru var. Sürgüyle keseni döndür: sekiz açının yalnızca iki farklı ölçüsü olduğunu, birinin artarken ötekinin aynı miktarda azaldığını gör. Düğmelerle yöndeş, iç ters ve karşı durumlu çiftleri tek tek vurgula.

Pratik özet: paralel iki doğru ve bir kesende yalnızca iki ölçü vardır, $\alpha$ ve $180^\circ - \alpha$ . İki açı aynı türdense (ikisi de dar ya da ikisi de geniş) eştir; biri dar biri genişse toplamları $180^\circ$ ‘dir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Paralel iki doğruyu kesen bir doğrunun oluşturduğu karşı durumlu iki açının ölçüleri

3x

2x + 20^\circ

‘dir.

x

kaç derecedir?

Açıklama

Karşı durumlu açılar bütünlerdir: $3x + 2x + 20^\circ = 180^\circ$ , $5x = 160^\circ$ , $x = 32^\circ$ . Açılar $96^\circ$ ve $84^\circ$ olur.

Paraleller arasında kırık bir çizgi görürsen, kırılma noktasından üçüncü bir paralel çiz. Bu tek çizgi soruyu iki iç ters açıya böler.

d_1 \parallel d_2

; kesikli çizgi

K

noktasından geçen üçüncü paraleldir.

Örnek

kolay

Paraleller arasında kırık çizgi

Şekilde $d_1 \parallel d_2$ ‘dir. $[AK]$ doğru parçası $d_1$ ile $35^\circ$ ‘lik, $[BK]$ doğru parçası $d_2$ ile $50^\circ$ ‘lik açı yapıyor. $m(\widehat{AKB})$ kaç derecedir?

$K$ noktasında hazır bir kural yok, çünkü $K$ ne $d_1$ ne de $d_2$ üzerinde. $K$ ‘den $d_1$ ve $d_2$ ‘ye paralel bir doğru çiz; böylece $\widehat{AKB}$ açısı iki parçaya ayrılır.

Üst parça ile $A$ ‘daki $35^\circ$ ‘lik açı iç ters açılardır ( $d_1$ ile yeni doğru paralel, kesen $AK$ ). Üst parça $35^\circ$ ‘dir.

Alt parça ile $B$ ‘deki $50^\circ$ ‘lik açı da iç ters açılardır ( $d_2$ ile yeni doğru paralel, kesen $BK$ ). Alt parça $50^\circ$ ‘dir.

Sonuç

$m(\widehat{AKB}) = 35^\circ + 50^\circ = 85^\circ$

Üçgenin iç açıları

Kancadaki deneyde üç köşe yan yana gelince düz bir çizgi oluşmuştu. Düz çizgi $180^\circ$ demektir. Şimdi bunun rastlantı olmadığını paralel doğrularla gösterelim.

A

köşesinden

[BC]

kenarına paralel çizilen

d

doğrusu,

\beta

\gamma

açılarını

A

köşesine taşır.

$A$ köşesinden $[BC]$ ‘ye paralel $d$ doğrusunu çiz. $AB$ keseni için $B$ açısı ile $A$ ‘nın solundaki açı iç ters açılardır; ikisi de $\beta$ . $AC$ keseni için $C$ açısı ile $A$ ‘nın sağındaki açı iç ters açılardır; ikisi de $\gamma$ . $A$ köşesinde $\beta$ , $\alpha$ , $\gamma$ yan yana bir doğru açı oluşturur.

Sahnede “Paraleli çiz” düğmesine bas: $A$ köşesinden tabana paralel bir doğru beliriyor, $B$ ve $C$ köşelerindeki renkli açılar kayarak $A$ ‘nın iki yanına yerleşiyor. Sonra $A$ köşesini sürükle. Üç açı tek tek değişiyor ama üstteki doğru açı hep tam doluyor.

Bu kuralın iki hızlı sonucu var. Bir üçgende en çok bir dik açı ya da en çok bir geniş açı olabilir; ikincisi toplamı $180^\circ$ ‘nin üstüne çıkarırdı. Üç açısı da dar olan üçgene dar açılı, bir açısı dik olana dik, bir açısı geniş olana geniş açılı üçgen denir.

Örnek

kolay

Açıları bilinmeyenle verilen üçgen

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{A}) = 3x - 10^\circ$ , $m(\widehat{B}) = x + 20^\circ$ ve $m(\widehat{C}) = 2x + 20^\circ$ ‘dir. Üçgenin en büyük açısı kaç derecedir?

Üç açının toplamı $180^\circ$ olmalı, çünkü bunlar bir üçgenin iç açıları:

$(3x - 10^\circ) + (x + 20^\circ) + (2x + 20^\circ) = 180^\circ$

Benzer terimleri topla: $6x + 30^\circ = 180^\circ$ , buradan $6x = 150^\circ$ ve $x = 25^\circ$ .

Hangi açının en büyük olduğunu katsayıya bakarak söyleme; değerleri hesapla. $m(\widehat{A}) = 65^\circ$ , $m(\widehat{B}) = 45^\circ$ , $m(\widehat{C}) = 70^\circ$ . Sağlama: $65 + 45 + 70 = 180$ .

Sonuç

En büyük açı $m(\widehat{C}) = 70^\circ$ ‘dir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir dik üçgenin dar açılarından biri

37^\circ

‘dir. Diğer dar açı kaç derecedir?

Açıklama

Dik açı $90^\circ$ olduğundan öbür iki açıya $90^\circ$ kalır: $90^\circ - 37^\circ = 53^\circ$ . Dik üçgenin dar açıları her zaman tümlerdir.

Dış açı

Üçgenin bir kenarını köşenin ötesine uzat. Uzantı ile komşu kenar arasında, üçgenin dışında kalan açıya o köşedeki dış açı denir.

C

köşesinden

[BA]

'ya paralel çizilen ışın, dış açıyı

\alpha

(iç ters) ve

\beta

(yöndeş) parçalarına ayırır.

Neden? $C$ köşesindeki iç açı $\gamma$ ise dış açı $180^\circ - \gamma$ ‘dır. İç açılar toplamından $\alpha + \beta = 180^\circ - \gamma$ ; ikisi aynı sayı. Üç dış açının toplamı ise $3 \cdot 180^\circ - (\alpha + \beta + \gamma) = 540^\circ - 180^\circ = 360^\circ$ olur.

Sahnede $[BC]$ kenarı $C$ ‘nin ötesine uzatılmış. $A$ köşesini sürükle: dış açının içindeki iki renkli parça, $A$ ve $B$ açılarının birer kopyası olarak onlarla birlikte büyüyüp küçülüyor. “Üç dış açı” düğmesi üçgenin çevresinde bir tam tur atan oku gösterir: üç dönüşün toplamı $360^\circ$ .

Örnek

kolay

Dış açıdan iç açılara

Bir $ABC$ üçgeninde $C$ köşesindeki dış açı $125^\circ$ ‘dir. $m(\widehat{A}) = 2x + 5^\circ$ ve $m(\widehat{B}) = x$ olduğuna göre $m(\widehat{A})$ kaç derecedir?

$C$ köşesindeki dış açıya komşu olmayan iç açılar $A$ ve $B$ ‘dir. Dış açı özelliği bu ikisinin toplamını doğrudan verir; $C$ iç açısını bulmaya gerek yok:

$(2x + 5^\circ) + x = 125^\circ$

$3x = 120^\circ$ , $x = 40^\circ$ . Öyleyse $m(\widehat{B}) = 40^\circ$ ve $m(\widehat{A}) = 2 \cdot 40^\circ + 5^\circ = 85^\circ$ .

Sağlama: $C$ iç açısı $180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$ ve $85 + 40 + 55 = 180$ .

Sonuç

$m(\widehat{A}) = 85^\circ$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir üçgenin iki dış açısı

110^\circ

130^\circ

‘dir. Üçüncü köşedeki iç açı kaç derecedir?

Açıklama

Dış açılar toplamı $360^\circ$ : üçüncü dış açı $360^\circ - 110^\circ - 130^\circ = 120^\circ$ , yanındaki iç açı $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ . Öbür yol: iç açılar $70^\circ$ ve $50^\circ$ , üçüncüsü $60^\circ$ .

Orta

İkizkenar ve eşkenar üçgen, açı–kenar bağıntısı, üçgen eşitsizliği

İkizkenar üçgen

Bir kâğıdı ikiye katlayıp katlı kenardan başlayan eğik tek bir kesik at. Açınca elindeki üçgenin iki kenarı aynı kesiğin iki yüzüdür, yani eşittir. Katlandığında üst üste gelen iki açı da eş olmak zorundadır.

|AB| = |AC|

ise

m(\widehat{B}) = m(\widehat{C})

. Kesikli çizgi katlama (simetri) eksenidir.

Sahnede tepe açısı sürgüsünü oynat. Yan kenarlar eş kaldıkça taban açıları da birbirine eş kalıyor ve ikisi de $90^\circ$ ‘nin altında. “Katla” düğmesi üçgeni simetri ekseninden kapatır: $B$ köşesi tam $C$ ‘nin üstüne gelir. Tepe açısını $60^\circ$ yapınca ne olduğuna bak.

Taban açıları her zaman dardır, çünkü iki tanedirler ve toplamları $180^\circ$ ‘den küçük olmak zorundadır. Bu yüzden ikizkenar bir üçgende dik ya da geniş açı varsa o açı tepe açısıdır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

İkizkenar bir üçgenin açılarından biri

100^\circ

‘dir. Bu üçgenin en küçük açısı kaç derecedir?

Açıklama

Geniş açı taban açısı olamaz; $100^\circ$ tepe açısıdır. Taban açılarının her biri $\dfrac{180^\circ - 100^\circ}{2} = 40^\circ$ ‘dir.

İkizkenar üçgenler çoğu soruda zincir hâlinde gelir: bir üçgenin taban açısı, komşu üçgenin dış açısı olur. Böyle sorularda en küçük açıya bir harf ver ve dış açı özelliğiyle ilerle.

|AB| = |AC|

|AD| = |BD| = |BC|

Örnek

orta

İç içe ikizkenar üçgenler

Şekildeki $ABC$ üçgeninde $|AB| = |AC|$ ‘dir. $D$ noktası $[AC]$ üzerindedir ve $|AD| = |BD| = |BC|$ ‘dir. $m(\widehat{BAC})$ kaç derecedir?

Şekilde üç ikizkenar üçgen var: $ABD$ , $BDC$ ve $ABC$ . Hepsi $A$ açısına bağlı olduğundan $m(\widehat{BAC}) = x$ diyelim ve öbür açıları $x$ cinsinden yazalım.

$ABD$ üçgeninde $|AD| = |BD|$ . Eş kenarların karşısındaki açılar eştir: $m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{BAD}) = x$ .

$\widehat{BDC}$ , $ABD$ üçgeninin $D$ köşesindeki dış açısıdır. Komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir: $m(\widehat{BDC}) = x + x = 2x$ .

$BDC$ üçgeninde $|BD| = |BC|$ olduğundan $m(\widehat{BCD}) = m(\widehat{BDC}) = 2x$ . $ABC$ üçgeninde $|AB| = |AC|$ olduğundan $m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ACB}) = 2x$ .

$ABC$ üçgeninin iç açıları toplamı: $x + 2x + 2x = 180^\circ$ , $5x = 180^\circ$ .

Sonuç

$m(\widehat{BAC}) = 36^\circ$

Eşkenar üçgen

Üç kenarı da eş olan üçgen eşkenar üçgendir. Her kenar çiftine ikizkenar üçgen kuralını uygularsan üç açının da eş olduğunu görürsün; toplam $180^\circ$ olduğundan her biri $60^\circ$ ‘dir.

Son cümlenin nedeni: $60^\circ$ tepe açısıysa taban açıları $\dfrac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ$ ; taban açısıysa öbür taban açısı da $60^\circ$ ve tepeye yine $60^\circ$ kalır. İki durumda da üç açı eştir.

ABCD

kare,

ABE

eşkenar üçgen.

Örnek

orta

Karenin içinde eşkenar üçgen

Şekilde $ABCD$ bir kare, $ABE$ bir eşkenar üçgendir ve $E$ noktası karenin içindedir. $m(\widehat{DEC}) = x$ kaç derecedir?

Soruda uzunluk yok ama eşit uzunluk çok: karenin kenarları ile eşkenar üçgenin kenarları aynı $[AB]$ ‘yi paylaşıyor. Yani $|AD| = |AB| = |AE|$ . Bu, $ADE$ üçgeninin ikizkenar olduğunu söyler.

$ADE$ üçgeninin tepe açısını bul. Karenin açısı $90^\circ$ , eşkenar üçgeninki $60^\circ$ : $m(\widehat{DAE}) = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ .

Taban açıları: $m(\widehat{AED}) = \dfrac{180^\circ - 30^\circ}{2} = 75^\circ$ . Aynı akıl yürütme $BCE$ üçgeni için de geçerlidir: $m(\widehat{BEC}) = 75^\circ$ .

$E$ noktasının çevresindeki dört açı bir tam tur eder: $x + 75^\circ + 60^\circ + 75^\circ = 360^\circ$ .

Sonuç

$x = 150^\circ$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

İkizkenar bir üçgenin tepe açısı, taban açılarından birinin

2

katıdır. Tepe açısı kaç derecedir?

Açıklama

Taban açısı $x$ ise tepe açısı $2x$ : $x + x + 2x = 180^\circ$ , $x = 45^\circ$ . Tepe açısı $90^\circ$ ; bu bir ikizkenar dik üçgendir.

Uzun kenarın karşısında büyük açı

Bir kapıyı ne kadar çok açarsan kapının ucu ile kasa arasındaki aralık o kadar genişler. Üçgende de böyledir: büyük açı, karşısındaki kenarı uzatır.

|AB| > |AC|

iken

|AD| = |AC|

alınırsa

ADC

ikizkenar olur:

m(\widehat{C}) > \theta > \beta

Neden? $|AB| > |AC|$ olsun. $[AB]$ üzerinde $|AD| = |AC|$ olacak biçimde $D$ noktasını al; $ADC$ ikizkenardır, taban açılarına $\theta$ diyelim. $\theta$ , $DBC$ üçgeninin dış açısıdır, yani $\theta = \beta + m(\widehat{DCB})$ ve $\theta > \beta$ . Öte yandan $C$ açısı $\theta$ ‘yı içerir: $m(\widehat{C}) > \theta$ . Sonuç: $m(\widehat{C}) > m(\widehat{B})$ .

Tersi de bundan çıkar. $m(\widehat{C}) > m(\widehat{B})$ iken $|AB| = |AC|$ olsaydı açılar eş olurdu; $|AB|$ daha kısa olsaydı az önceki sonuç $m(\widehat{C})$ ‘yi küçük yapardı. Geriye tek olasılık kalır: $|AB| > |AC|$ .

Sahnede $A$ köşesini sürükle. Her kenar, karşısındaki açıyla aynı renkte. Yandaki iki çubuk grafiği kenarları ve açıları büyüklük sırasına diziyor: renklerin sırası iki grafikte hep aynı kalıyor. İki kenarı eşitlediğin anda karşılarındaki açıların da eşitlendiğini yakala.

İki sonuç hemen kullanılır. Dik üçgende en büyük açı $90^\circ$ olduğundan en uzun kenar hipotenüstür. Geniş açılı üçgende en uzun kenar geniş açının karşısındadır.

Örnek

orta

Açılardan kenar sıralaması

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{A}) = 50^\circ$ ve $m(\widehat{B}) = 70^\circ$ ‘dir. $a = |BC|$ , $b = |AC|$ , $c = |AB|$ uzunluklarını küçükten büyüğe sırala.

Sıralama için üç açı da gerekir; eksik olanı bul: $m(\widehat{C}) = 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ$ .

Her kenarı karşısındaki açıyla eşleştir. Kenarın adında geçmeyen harf karşı köşedir: $[BC]$ ‘nin karşısında $A$ , $[AC]$ ‘nin karşısında $B$ , $[AB]$ ‘nin karşısında $C$ .

Açılar $50^\circ$ , $60^\circ$ , $70^\circ$ sırasıyla $A$ , $C$ , $B$ köşelerinde. Kenarlar aynı sırayı izler: $A$ ‘nın karşısındaki en kısa, $B$ ‘nin karşısındaki en uzun.

Sonuç

$a < c < b$ , yani $|BC| < |AB| < |AC|$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir

ABC

üçgeninde

|AB| = 7

|BC| = 9

|AC| = 5

birimdir. En büyük açı hangi köşededir?

Açıklama

En uzun kenar $[BC]$ ‘dir ve karşısındaki köşe $A$ ‘dır. Açıların sırası: $m(\widehat{A}) > m(\widehat{C}) > m(\widehat{B})$ .

[BD]

köşegeni iki üçgenin ortak kenarıdır.

Örnek

orta

İki üçgenli şekilde en uzun doğru parçası

Şekildeki $ABCD$ dörtgeninde $[BD]$ köşegeni çizilmiştir. $ABD$ üçgeninin açıları $m(\widehat{A}) = 60^\circ$ , $m(\widehat{ABD}) = 70^\circ$ , $m(\widehat{ADB}) = 50^\circ$ ; $BCD$ üçgeninin açıları $m(\widehat{DBC}) = 55^\circ$ , $m(\widehat{C}) = 65^\circ$ , $m(\widehat{BDC}) = 60^\circ$ ‘dir. Şekildeki beş doğru parçasından en uzunu hangisidir?

Açıları doğrudan karşılaştıramayız, çünkü iki ayrı üçgene aitler. Önce $ABD$ üçgenini sırala. En büyük açı $70^\circ$ ( $B$ köşesinde), karşısında $[AD]$ ; sonra $60^\circ$ , karşısında $[BD]$ ; en küçük $50^\circ$ , karşısında $[AB]$ :

$|AD| > |BD| > |AB|$

Şimdi $BCD$ üçgeni. En büyük açı $65^\circ$ ( $C$ köşesinde), karşısında $[BD]$ ; sonra $60^\circ$ , karşısında $[BC]$ ; en küçük $55^\circ$ , karşısında $[CD]$ :

$|BD| > |BC| > |CD|$

İki sıralamayı ortak kenar $[BD]$ üzerinden birleştir: $|AD| > |BD|$ ve $[BD]$ ikinci üçgenin en uzun kenarı. Öyleyse $[AD]$ beşinin de en uzunudur.

Sonuç

En uzun doğru parçası $[AD]$ ‘dir.

Üçgen eşitsizliği

Evden okula dümdüz gitmek, önce markete uğrayıp sonra okula gitmekten kısadır. İki nokta arasındaki en kısa yol doğru parçasıdır; üçgenin bir kenarı, öbür iki kenarın toplamından kısa olmak zorundadır.

Taban hep

8

birim. Kısa iki çubuğun toplamı tabanı geçmedikçe uçlar buluşamaz.

Alt sınır üst sınırdan çıkar. $b < a + c$ eşitsizliği $a > b - c$ demektir; $c < a + b$ ise $a > c - b$ . İkisi birlikte $a > |b - c|$ verir. Mutlak değerin ne demek olduğunu hatırlamak istersen: Denklemler ve Eşitsizlikler.

Sahnede $8$ birimlik tabanın uçlarına menteşeli iki çubuk bağlı. Sürgülerle çubukların boyunu değiştir. Her çubuğun ucu bir çember yayı çizer; üçgen ancak iki yay kesişirse kapanır. Boyları $3$ ve $5$ yap: yaylar tabanın üstünde tek noktada değer, üçgen düzleşip yok olur.

Pratik sınama: üç uzunluğun üçgen oluşturup oluşturmadığını anlamak için tek bir karşılaştırma yeter. En uzun olan, öbür ikisinin toplamından küçük mü? Öbür iki eşitsizlik zaten kendiliğinden sağlanır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Aşağıdaki uzunluk üçlülerinden hangisi bir üçgenin kenar uzunlukları olabilir?

Açıklama

Yalnızca en uzun kenara bak: $4 + 6 = 10 > 9$ . Öbür üçlülerde kısa iki uzunluğun toplamı en uzun olanı geçemiyor.

Örnek

orta

Üç çadır arasındaki uzaklık

Bir kamp alanında üç çadır, aynı doğru üzerinde olmayan üç noktaya kurulmuştur. Birinci ile ikinci çadırın arası $5$ metre, ikinci ile üçüncü çadırın arası $9$ metredir. Birinci ile üçüncü çadırın arasındaki uzaklık metre cinsinden bir tam sayı olduğuna göre bu uzaklık kaç farklı değer alabilir?

Çadırlar doğrusal olmadığına göre bir üçgenin köşeleridir. İki kenar $5$ ve $9$ ; üçüncü kenara $x$ diyelim. Üçgen eşitsizliği $x$ için bir aralık verir:

$9 - 5 < x < 9 + 5$

$4 < x < 14$ . Uçlar dahil değildir: $x = 4$ ya da $x = 14$ olsaydı çadırlar aynı doğru üzerinde olurdu.

Aralıktaki tam sayılar $5, 6, \ldots, 13$ ‘tür. Sayısı $13 - 5 + 1 = 9$ .

Sonuç

Uzaklık $9$ farklı tam sayı değeri alabilir.

İleri

Birleşik sorular, tuzaklar ve bağlamlı problemler

İki kenar sabit, üçüncü kenar ne kadar oynar?

Üçgen eşitsizliğinin iki ucu nereden geliyor? İki kenarı bir menteşeyle birleştir ve aradaki açıyı değiştir. Açı sıfıra yaklaşırken karşı kenar $|b - c|$ değerine, $180^\circ$ ‘ye yaklaşırken $b + c$ değerine yaklaşır; arada her değeri bir kez alır.

|AB| = 5

|AC| = 3

sabit.

A

açısı büyüdükçe

a = |BC|

uzar;

2

ile

8

arasında kalır.

Sahnede $b = 5$ ve $c = 8$ birimlik iki kenar $A$ köşesinde menteşeli. Açı sürgüsünü $0^\circ$ ‘den $180^\circ$ ‘ye çek: üçüncü kenarın uzunluğu alttaki sayı doğrusunda $3$ ile $13$ arasında kayıyor. İşaretli iki konuma dikkat et: $a = 5$ ve $a = 8$ . İkincisini geçtiğin andan sonra en büyük açı $A$ köşesindedir.

Bu resim açı–kenar bağıntısıyla üçgen eşitsizliğini birleştirir. Bir soruda hem iki kenar hem de açılar hakkında bir bilgi (en büyük açı, geniş açı, sıralama) veriliyorsa iki koşulu ayrı ayrı yaz ve aralıkların kesişimini al.

Örnek

zor

En büyük açı koşuluyla üçüncü kenar

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 8$ birim ve $|AC| = 5$ birimdir. Üçgenin en büyük açısı $A$ köşesinde olduğuna göre $|BC|$ kaç farklı tam sayı değeri alabilir?

$|BC| = x$ olsun. Önce üçgenin var olma koşulu: $8 - 5 < x < 8 + 5$ , yani $3 < x < 13$ .

Şimdi açı bilgisini kenara çevir. En büyük açı $A$ ‘daysa karşısındaki $[BC]$ en uzun kenardır; öbür iki kenarın ikisinden de uzun olmalı: $x > 8$ ve $x > 5$ . Güçlü olan koşul $x > 8$ ‘dir.

İki koşulu kesiştir: $8 < x < 13$ . Bu aralıktaki tam sayılar $9, 10, 11, 12$ ‘dir.

Sağlama: $x = 8$ alınamaz, çünkü o zaman $|BC| = |AB|$ olur, $A$ ve $C$ açıları eşitlenir ve $A$ tek başına en büyük açı olmaz. $x = 13$ ise üçgen vermez.

Sonuç

$|BC|$ için $4$ farklı tam sayı değeri vardır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Kenar uzunlukları birer tam sayı olan çeşitkenar bir üçgenin iki kenarı

3

7

birimdir. Üçüncü kenar kaç farklı değer alabilir?

Açıklama

$7 - 3 < x < 7 + 3$ , yani $4 < x < 10$ : adaylar $5, 6, 7, 8, 9$ . Çeşitkenar üçgende hiçbir iki kenar eş olamaz; $x = 7$ elenir. Geriye $5, 6, 8, 9$ kalır.

Çevresi belli üçgenleri saymak

Çevre verildiğinde üçgen eşitsizliği daha da sadeleşir: en uzun kenar, çevrenin yarısından kısa olmalıdır. Çünkü en uzun kenar $a$ ise $a < b + c$ koşulunun iki yanına $a$ eklenince $2a < a + b + c$ çıkar.

Örnek

zor

Marangozun üçgen çerçevesi

Bir marangoz $24$ santimetrelik bir çıtayı iki yerinden kesip üç parçayı uç uca ekleyerek ikizkenar üçgen biçiminde bir çerçeve yapacaktır. Parçaların uzunlukları santimetre cinsinden birer tam sayı olacak ve çıtadan parça artmayacaktır. Marangoz kaç farklı çerçeve yapabilir?

Eş kenarlara $a$ , tabana $b$ diyelim. Çıtanın tamamı kullanıldığından $2a + b = 24$ . $2a$ ve $24$ çift olduğundan $b$ de çift olmalı.

Üçgen eşitsizliğini yaz. $a + b > a$ her zaman doğru; anlamlı tek koşul tabanın iki yan kenarın toplamından kısa olmasıdır: $b < 2a$ .

$2a = 24 - b$ yerine koy: $b < 24 - b$ , yani $b < 12$ . Taban çevrenin yarısından kısa olmalı.

$b$ pozitif, çift ve $12$ ‘den küçük: $b \in \{2, 4, 6, 8, 10\}$ . Karşılık gelen yan kenarlar $a = 11, 10, 9, 8, 7$ . Tuzak $b = 12$ , $a = 6$ seçimidir: $6 + 6 = 12$ olduğundan parçalar düz bir çizgiye yatar.

Sonuç

$5$ farklı çerçeve yapılabilir: $(11, 11, 2)$ , $(10, 10, 4)$ , $(9, 9, 6)$ , $(8, 8, 8)$ , $(7, 7, 10)$ . Eşkenar üçgen de ikizkenar sayılır.

Ortak kenarlı iki üçgen

Bir doğru parçası iki üçgenin ortak kenarıysa iki üçgen eşitsizliğini de aynı anda sağlamalıdır. Aralıkları ayrı ayrı bul, sonra kesişimi al.

Örnek

zor

Köşegenin alabileceği değerler

Bir $ABCD$ dörtgeninde $|AB| = 4$ , $|BC| = 6$ , $|CD| = 5$ ve $|DA| = 9$ birimdir. $[AC]$ köşegeninin uzunluğu kaç farklı tam sayı değeri alabilir?

$[AC]$ köşegeni dörtgeni $ABC$ ve $ACD$ üçgenlerine ayırır ve ikisinin de kenarıdır. $|AC| = x$ diyelim.

$ABC$ üçgeninde öbür kenarlar $4$ ve $6$ : $6 - 4 < x < 6 + 4$ , yani $2 < x < 10$ .

$ACD$ üçgeninde öbür kenarlar $5$ ve $9$ : $9 - 5 < x < 9 + 5$ , yani $4 < x < 14$ .

İki koşul birlikte sağlanmalı. Alt sınırlardan büyük olanı, üst sınırlardan küçük olanı geçerlidir: $4 < x < 10$ . Tam sayılar $5, 6, 7, 8, 9$ .

Sonuç

$|AC|$ için $5$ farklı tam sayı değeri vardır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir

ABC

üçgeninde

m(\widehat{A}) = 60^\circ

|AB| > |AC|

‘dir. Üçgenin en kısa kenarı hangisidir?

Açıklama

$|AB| > |AC|$ olduğundan $m(\widehat{C}) > m(\widehat{B})$ . Bu iki açının toplamı $120^\circ$ ; öyleyse $m(\widehat{B}) < 60^\circ < m(\widehat{C})$ . En küçük açı $B$ ‘de, karşısındaki $[AC]$ en kısa kenar.

Yön ve paralellik: bağlamlı açı takibi

ÖSYM’nin bu konudaki soruları çoğunlukla bir hikâyenin içine gizlidir: pusula, lazer, katlanan kâğıt, dönen levha. Hepsinde ilk iş hikâyedeki paralel doğruları bulmaktır. Kuzey doğrultusu her noktada aynıdır; farklı noktalardan çizilen kuzey okları birbirine paraleldir. Bir duvarın düşey çizgileri, bir kâğıdın karşılıklı kenarları da öyle.

Sahnede bir yürüyüşçü $A$ ‘dan $B$ ‘ye, $B$ ‘den $C$ ‘ye eşit uzunlukta iki etap yürüyor. Sürgülerle iki etabın kuzeyle yaptığı açıyı değiştir. Her noktadaki kuzey oku paralel kalıyor; $B$ köşesindeki iç açı ve dönüş yönü canlı hesaplanıyor. Başlangıç değerleri aşağıdaki örneğin verileridir.

|AB| = |BC|

. Açılar kuzey okundan saat yönünde ölçülmüştür.

Örnek

zor

Yürüyüşçünün dönüş yönü

Bir yürüyüşçü $A$ noktasından, kuzeyle saat yönünde $50^\circ$ açı yapan doğrultuda yürüyerek $B$ noktasına varıyor. $B$ ‘den, kuzeyle saat yönünde $160^\circ$ açı yapan doğrultuda aynı uzunlukta yürüyerek $C$ noktasına varıyor. $C$ ‘den doğruca $A$ ‘ya dönmek için yürüyeceği doğrultu, kuzeyle saat yönünün tersine kaç derecelik açı yapar?

Üç noktadaki kuzey okları paraleldir. $B$ ‘deki kuzey okunu aşağıya, güneye doğru uzat. $A$ ‘daki $50^\circ$ ile $B$ ‘de bu güney ışını ve $[BA]$ arasındaki açı iç ters açılardır: o açı da $50^\circ$ .

$B$ ‘de kuzey okundan $[BC]$ ‘ye saat yönünde $160^\circ$ var; güney ışını kuzeyden $180^\circ$ ötededir. Demek ki $[BC]$ ile güney ışını arasında $180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$ kalır ve $[BC]$ , güney ışınının öbür yanındadır.

Güney ışını $\widehat{ABC}$ açısının içinden geçer: $m(\widehat{ABC}) = 50^\circ + 20^\circ = 70^\circ$ .

$|AB| = |BC|$ olduğundan $ABC$ ikizkenardır ve tepe açısı $B$ ‘dedir: $m(\widehat{BCA}) = \dfrac{180^\circ - 70^\circ}{2} = 55^\circ$ .

$C$ ‘deki kuzey oku ile $[CB]$ arasındaki açı, $B$ ‘deki $20^\circ$ ‘nin iç tersidir: $20^\circ$ . $A$ noktası $[CB]$ ‘nin batı yanında kaldığından $[CA]$ , $[CB]$ ‘den aynı yöne doğru $55^\circ$ daha açılır. Kuzey okundan $[CA]$ ‘ya saat yönünün tersine $20^\circ + 55^\circ$ döneriz.

Sonuç

Dönüş doğrultusu kuzeyle saat yönünün tersine $75^\circ$ ‘lik açı yapar.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir geminin rotası kuzeyle saat yönünde

70^\circ

açı yapıyor. Gemi rotasını saat yönünde

40^\circ

daha çeviriyor. Yolun kırıldığı noktada, geminin geldiği yol parçası ile gideceği yol parçası arasındaki açı kaç derecedir?

Açıklama

Düz gitseydi iki yol parçası arasındaki açı $180^\circ$ olurdu. $40^\circ$ döndüğü için bu açı $180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$ ‘ye iner. Dönme açısı her zaman bir dış açıdır.

Özet

Bu konudan aklında kalacaklar

Paralel doğrular: yöndeş, iç ters ve dış ters açılar eştir; karşı durumlu açılar bütünlerdir. Kırık çizgide kırılma noktasından paralel çiz.
İç açılar: $m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ$ .
Dış açı: komşu olmayan iki iç açının toplamı; yanındaki iç açının bütünleri. Dış açılar toplamı $360^\circ$ .
İkizkenar üçgen: eş kenarların karşısındaki açılar eş; taban açısı $\dfrac{180^\circ - \alpha}{2}$ ve her zaman dar. Bir açısı verilmişse iki durumu da düşün.
Eşkenar üçgen: her açı $60^\circ$ . Bir açısı $60^\circ$ olan ikizkenar üçgen eşkenardır.
Açı–kenar: aynı üçgende uzun kenarın karşısındaki açı büyük, büyük açının karşısındaki kenar uzun.
Üçgen eşitsizliği: $|b - c| < a < b + c$ ; uçlar dahil değil. Hızlı sınama: en uzun kenar, öbür ikisinin toplamından (çevrenin yarısından) küçük olmalı.

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

5 çıkmış soru6 özgün soru

2024 AYTSoru 32

Zor

Üçgen eşitsizliği

Bir $ABC$ üçgeninde $[AB]$ kenarının uzunluğu, $[BC]$ kenarının uzunluğunun yarısıdır.

Bu üçgenin yüksekliklerinden ikisi $4$ birim ve $10$ birim olduğuna göre, üçüncü yüksekliğin uzunluğu

I. $2$ birim,
II. $5$ birim,
III. $8$ birim

değerlerinden hangileri olabilir?

İpucu

Alan sabit olduğundan kenar ile o kenara ait yüksekliğin çarpımı üç kenar için de aynıdır: kenarlar yüksekliklerle ters orantılıdır. Her aday için kenar oranlarını yaz ve üçgen eşitsizliğini sına.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 34)

Çözüm

$|BC| = a$ , $|AC| = b$ , $|AB| = c$ ve bu kenarlara ait yükseklikler $h_a$ , $h_b$ , $h_c$ olsun. Üçgenin alanı üç biçimde yazılır (Üçgenin Alanı):

$a \cdot h_a = b \cdot h_b = c \cdot h_c$

1. Verilen oran. $a = 2c$ olduğundan $2c \cdot h_a = c \cdot h_c$ , yani $h_c = 2h_a$ . Yüksekliklerden biri öbürünün tam $2$ katıdır.

2. Olası durumlar. $4$ ile $10$ arasında iki kat ilişkisi yok; demek ki ikisinden biri $h_b$ 'dir, öbürü $h_a$ ya da $h_c$ 'dir. $(h_a, h_c, h_b)$ için dört olasılık vardır:

$(4, 8, 10), \quad (2, 4, 10), \quad (5, 10, 4), \quad (10, 20, 4)$

Üçüncü yükseklik sırasıyla $8$ , $2$ , $5$ ve $20$ olur. Sıra üçgen eşitsizliğinde.

3. Kenar oranları. Kenarlar yüksekliklerin tersleriyle orantılıdır: $a : c : b = \dfrac{1}{h_a} : \dfrac{1}{h_c} : \dfrac{1}{h_b}$ .

$(4, 8, 10)$ : $a : c : b = 10 : 5 : 4$ . $5 + 4 < 10$ , üçgen oluşmaz. III olamaz.
$(2, 4, 10)$ : $a : c : b = 10 : 5 : 2$ . $5 + 2 < 10$ , üçgen oluşmaz. I olamaz.
$(5, 10, 4)$ : $a : c : b = 4 : 2 : 5$ . En uzun kenar için $5 < 4 + 2$ , üçgen oluşur. II olabilir.
$(10, 20, 4)$ : $a : c : b = 2 : 1 : 5$ . $2 + 1 < 5$ , üçgen oluşmaz.

Üçüncü yükseklik yalnızca $5$ birim olabilir.

Tuzak: yükseklikleri bulup durmak. Bulunan üç yüksekliğe karşılık gelen kenarların gerçekten bir üçgen oluşturup oluşturmadığını sınamadan I ve III elenemez.

Cevap: B

2023 AYTSoru 33

Orta

İkizkenar üçgen ve paralel doğrular

Işıl; mavi, pembe ve sarı renkli, birbirine eş üç ikizkenar üçgeni dikdörtgen biçimindeki bir kâğıda yapıştıracaktır. Önce mavi üçgeni, bir kenarı kâğıdın alt kenarıyla $48^\circ$ 'lik açı yapacak biçimde şekildeki gibi yapıştırıyor. Ardından pembe üçgeni, bir kenarının bir kısmı mavi üçgenin bir kenarının bir kısmıyla çakışacak biçimde; sarı üçgeni de bir kenarının bir kısmı pembe üçgenin bir kenarının bir kısmıyla çakışacak biçimde şekildeki gibi yapıştırıyor.

Son durumda sarı üçgenin eş uzunluktaki kenarlarından biri kâğıdın üst kenarına paralel olduğuna göre, sarı üçgenin eş olan açılarından biri kaç derecedir?

İpucu

Her üçgenin tepe açısına $\alpha$ de. Mavi üçgenin alt uzun kenarından başlayıp sarı üçgenin üst uzun kenarına kadar, her üçgende yatayla yapılan açının nasıl değiştiğini izle.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 33)

Çözüm

Üçgenler eş ve ikizkenar olduğundan her birinin tepe açısı $\alpha$ , taban açıları $\beta$ olsun. Şekilde işaretli açılar taban açılarıdır; birbirine yapışan kenarlar eş uzunluktaki yan kenarlardır.

1. Mavi üçgen. Alt yan kenarı kâğıdın alt kenarıyla, yani yatayla $48^\circ$ yapıyor. Üst yan kenarı bu kenardan tepe açısı kadar, $\alpha$ kadar yatığa döner: yatayla $48^\circ - \alpha$ yapar.

2. Pembe üçgen. Alt yan kenarı mavinin üst yan kenarıyla aynı doğru üzerindedir, yani yatayla $48^\circ - \alpha$ yapar. Üst yan kenarı yine $\alpha$ kadar döner: $48^\circ - 2\alpha$ .

3. Sarı üçgen. Aynı adım bir kez daha: üst yan kenarı yatayla $48^\circ - 3\alpha$ yapar.

4. Paralellik. Kâğıdın üst ve alt kenarları paraleldir. Sarı üçgenin üst yan kenarı üst kenara paralel olduğuna göre yatayla yaptığı açı sıfırdır:

$48^\circ - 3\alpha = 0 \implies \alpha = 16^\circ$

5. Taban açısı.

$\beta = \dfrac{180^\circ - 16^\circ}{2} = 82^\circ$

Tuzak: soru tepe açısını değil, eş olan açılardan birini soruyor; $16$ bulup durmak ya da $48^\circ$ 'yi doğrudan taban açısı sanmak yanlışa götürür.

Cevap: E

2022 AYTSoru 32

Zor

Paralel doğrularda açılar

Bir müzede bir tablonun asılı olduğu duvara $A$ ve $B$ lazer cihazları yerleştirilmiştir. Her cihaz birinci ışınını duvar yüzeyi boyunca, yere dik ve yukarı doğru gönderir; sonraki her seferde o cihaza özgü sabit bir açı kadar dönerek bir sonraki ışınını yine duvar yüzeyi boyunca gönderir.

Şekildeki gibi $A$ cihazı saat yönünde, $B$ cihazı saat yönünün tersine dönmektedir. Cihazların her biri toplam $180^\circ$ döndükten sonra son ışınını gönderip durmuştur.

$A$ cihazının 2. ışını ile $B$ cihazının 3. ışını birbirine diktir; $A$ cihazının 8. ışını ile $B$ cihazının 5. ışını da birbirine diktir.

Buna göre $A$ cihazının gönderdiği toplam ışın sayısı kaçtır?

İpucu

İki cihazın birinci ışınları paraleldir. Bir cihazın $k$ . ışını, kendi birinci ışınıyla $(k - 1)$ dönüşlük açı yapar. Zıt yönlere dönen iki ışın arasındaki açı bu açıların toplamıdır.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 34)

Çözüm

$A$ cihazı her seferinde $\alpha$ , $B$ cihazı $\beta$ kadar dönsün.

1. Işınların düşeyle açısı. $k$ . ışın, birinci (düşey) ışından $(k - 1)$ dönüş uzaktadır. $A$ 'nın 2. ışını düşeyle saat yönünde $\alpha$ , 8. ışını $7\alpha$ ; $B$ 'nin 3. ışını düşeyle ters yönde $2\beta$ , 5. ışını $4\beta$ açı yapar.

2. İki ışın arasındaki açı. Birinci ışınlar paraleldir ve cihazlar zıt yönlere döner; bu yüzden iki ışının doğrultuları arasındaki açı, düşeyle yaptıkları açıların toplamıdır. Dik olmaları için bu toplam $90^\circ$ ya da $270^\circ$ olmalıdır.

3. Birinci diklik. $7\alpha \leq 180^\circ$ ve $4\beta \leq 180^\circ$ olduğundan $\alpha + 2\beta$ toplamı $270^\circ$ 'ye ulaşamaz:

$\alpha + 2\beta = 90^\circ$

4. İkinci diklik. $7\alpha + 4\beta = 5\alpha + 2(\alpha + 2\beta) = 5\alpha + 180^\circ$ . Bu toplam $180^\circ$ 'den büyüktür; $90^\circ$ olamaz:

$5\alpha + 180^\circ = 270^\circ \implies \alpha = 18^\circ, \quad \beta = 36^\circ$

5. Işın sayısı. $A$ cihazı $\dfrac{180^\circ}{18^\circ} = 10$ kez döner. Dönmeden gönderdiği birinci ışınla birlikte $10 + 1 = 11$ ışın gönderir.

Tuzak iki tanedir: ikinci diklikte toplamı yine $90^\circ$ almak (negatif açı çıkar) ve ışın sayısını dönüş sayısına eşit saymak.

Cevap: B

2020 AYTSoru 32

Zor

İkizkenar ve eşkenar üçgen

Engin'in ders kitabındaki bir soruda şekildeki $ABC$ dik üçgeni verilmiştir: $E$ noktası $[AC]$ , $D$ noktası $[BC]$ üzerindedir; $m(\widehat{ACB}) = 28^\circ$ ve $m(\widehat{AEB}) = x$ 'tir. Soruda uzunlukları birbirine eşit, farklı üç doğru parçası da yazılıdır; ancak sayfa yırtık olduğu için bu bilgi yalnızca

$|BE| = |BD| = |E\,\square\,|$

kadarıyla okunabilmekte, bir ucu $E$ olan üçüncü doğru parçasının öbür ucu görünmemektedir. Kitaptaki soru $x$ 'in kaç derece olduğunu sormaktadır.

Engin, okunamayan doğru parçası yerine bir ucu $E$ , öbür ucu $A$ , $D$ ve $C$ noktalarından biri olan bir doğru parçasını rastgele seçip soruyu işlem hatası yapmadan çözüyor. Cevap anahtarına bakınca bulduğu sonucun doğru olmadığını görüyor.

Cevap anahtarı hatasız olduğuna göre, Engin'in bulduğu sonuç ile doğru cevap arasındaki fark kaç derecedir?

İpucu

Üç olasılığı da ayrı ayrı çöz: üçüncü doğru parçası $[EA]$ , $[ED]$ ya da $[EC]$ olabilir. Kaç farklı sonuç çıkıyor?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 33)

Çözüm

Dik açı $B$ 'de olduğundan $m(\widehat{BAC}) = 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ$ .

1. Üçüncü doğru parçası $[EC]$ ise. $|BE| = |EC|$ olduğundan $EBC$ ikizkenardır: $m(\widehat{EBC}) = m(\widehat{ECB}) = 28^\circ$ . $\widehat{AEB}$ , $EBC$ üçgeninin $E$ köşesindeki dış açısıdır:

$x = 28^\circ + 28^\circ = 56^\circ$

2. Üçüncü doğru parçası $[EA]$ ise. $|BE| = |EA|$ olduğundan $ABE$ ikizkenardır: $m(\widehat{ABE}) = m(\widehat{BAE}) = 62^\circ$ ve

$x = 180^\circ - 2 \cdot 62^\circ = 56^\circ$

3. Üçüncü doğru parçası $[ED]$ ise. $|BE| = |BD| = |ED|$ olduğundan $BDE$ eşkenardır: $m(\widehat{EBC}) = 60^\circ$ . Yine dış açıdan

$x = 60^\circ + 28^\circ = 88^\circ$

4. Karşılaştır. Olası sonuçlar yalnızca $56^\circ$ ve $88^\circ$ 'dir. Engin'in sonucu yanlış çıktığına göre biri onun bulduğu, öbürü doğru cevaptır. Hangisinin hangisi olduğunu bilmeye gerek yok:

$88 - 56 = 32$

Tuzak: üç seçim üç farklı sonuç vermez; $[EA]$ ve $[EC]$ aynı sonucu verir. Bu yüzden fark tektir.

Cevap: C

2018 AYTSoru 30

Zor

Paralel doğrular ve ikizkenar üçgen

Bir tekne kaptanı yolcularını sabah $A$ adasından $B$ adasına, öğlen $B$ adasından $C$ adasına, akşam da $C$ adasından $A$ adasına taşıyacaktır. İskeleler, $|AB| = |BC|$ olan bir $ABC$ üçgeninin köşeleridir.

Kaptan, $A$ 'dan $B$ 'ye ve $B$ 'den $C$ 'ye giderken pusulasının kuzeyi gösteren ibresi ile gittiği yön arasındaki açıyı not etmiştir. Şekildeki iki pusulada kesikli ok gidiş yönünü, kalın ok kuzeyi gösterir: $A$ 'dan $B$ 'ye giderken kuzey ibresi gidiş yönünün solunda ve onunla $90^\circ$ , $B$ 'den $C$ 'ye giderken gidiş yönünün sağında ve onunla $110^\circ$ açı yapmaktadır.

Seçeneklerdeki beş pusulanın hepsinde gidiş yönü $C$ 'den $A$ 'ya doğrudur ve kuzey ibresi gidiş yönünün sağında (saat yönünde) kalır; pusulalar yalnızca ibre ile gidiş yönü arasındaki açının ölçüsüyle birbirinden ayrılır.

Buna göre kaptan $C$ 'den $A$ 'ya giderken pusulada bu açı kaç derece olmalıdır?

İpucu

Kuzey doğrultusu her noktada aynıdır; üç iskeleden çizilen kuzey okları paraleldir. Önce $B$ köşesindeki iç açıyı bul.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 33)

Çözüm

1. Yolların yönü. $A$ 'dan $B$ 'ye giderken kuzey tam solda ( $90^\circ$ ) kalıyor; demek ki $[AB]$ kuzey doğrultusuna diktir ve kaptan doğuya gitmektedir.

2. $B$ köşesindeki açı. $B$ 'den $C$ 'ye giderken kuzey, gidiş yönünün sağında $110^\circ$ 'de kalıyor. $B$ 'den batıya, yani $A$ 'ya doğru bakan ışın kuzeyle $90^\circ$ yapar; $[BC]$ ise kuzeyle $110^\circ$ yapar ve aynı yandadır. Aradaki fark üçgenin iç açısıdır:

$m(\widehat{ABC}) = 110^\circ - 90^\circ = 20^\circ$

3. İkizkenar üçgen. $|AB| = |BC|$ olduğundan tepe açısı $B$ 'dedir ve taban açıları eştir:

$m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{BCA}) = \dfrac{180^\circ - 20^\circ}{2} = 80^\circ$

4. $C$ noktasındaki kuzey. $B$ ve $C$ 'deki kuzey okları paraleldir, $BC$ doğrusu kesendir. $B$ 'de kuzey ile $[BC]$ arasındaki açı $110^\circ$ olduğundan, $C$ 'de kuzey ile $[CB]$ arasındaki açı karşı durumlu açı olarak $180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$ 'dir.

5. Dönüş yönü. $A$ noktası $B$ 'nin batısında olduğundan $[CA]$ , $[CB]$ 'nin batı yanındadır ve onunla $80^\circ$ yapar. Kuzey oku $[CB]$ 'den aynı yana $70^\circ$ uzaktadır; $80^\circ > 70^\circ$ olduğundan $[CA]$ kuzeyi $80^\circ - 70^\circ = 10^\circ$ geçer. Kuzey, gidiş yönünün sağında ve onunla $10^\circ$ açı yapar.

Tuzak: $110^\circ$ 'yi doğrudan üçgenin bir açısı sanmak. Pusuladaki açılar kuzeyle ölçülür; üçgenin açısına ancak paralel kuzey oklarıyla geçilir.

Cevap: A

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

İç ve dış açılar

Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri $2$ , $3$ ve $4$ sayılarıyla orantılıdır.

Buna göre bu üçgenin en büyük dış açısı kaç derecedir?

Çözüm

1. İç açılar. Açılar $2k$ , $3k$ ve $4k$ olsun. Toplamları $180^\circ$ 'dir: $9k = 180^\circ$ , $k = 20^\circ$ . İç açılar $40^\circ$ , $60^\circ$ ve $80^\circ$ 'dir.

2. En büyük dış açı. Dış açı, yanındaki iç açının bütünleridir; bu yüzden en büyük dış açı en küçük iç açının yanındadır:

$180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$

Sağlama: bu dış açı komşu olmayan iki iç açının toplamıdır, $60^\circ + 80^\circ = 140^\circ$ .

Tuzak: en büyük iç açının yanındaki dış açıyı almak ( $180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$ ) en küçük dış açıyı verir.

Cevap: C

Özgün soru2

Kolay

Açı–kenar bağıntıları

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{A}) = 72^\circ$ ve $m(\widehat{B}) = 41^\circ$ 'dir.

Buna göre bu üçgenin kenar uzunluklarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm

1. Üçüncü açı. $m(\widehat{C}) = 180^\circ - 72^\circ - 41^\circ = 67^\circ$ .

2. Kenarları karşılarındaki açılarla eşleştir. $[BC]$ 'nin karşısında $A$ ( $72^\circ$ ), $[AB]$ 'nin karşısında $C$ ( $67^\circ$ ), $[AC]$ 'nin karşısında $B$ ( $41^\circ$ ) vardır.

3. Sırala. Aynı üçgende büyük açının karşısındaki kenar daha uzundur. Açılar $41^\circ < 67^\circ < 72^\circ$ olduğundan

$|AC| < |AB| < |BC|$

Tuzak: açının adındaki harfi kenarda aramak. $A$ açısının karşısındaki kenar, adında $A$ geçmeyen $[BC]$ 'dir.

Cevap: D

Özgün soru3

Orta

İkizkenar ve eşkenar üçgen

Şekildeki $ABC$ üçgeninde $D$ noktası $[BC]$ kenarı üzerindedir.

$|AB| = |AD| = |DC|$

$m(\widehat{BAC}) = 105^\circ$

Buna göre $m(\widehat{ABC})$ kaç derecedir?

İpucu

En küçük açıya, yani $C$ açısına $x$ de. $ADC$ ikizkenar üçgeninden başlayıp dış açı özelliğiyle $B$ 'ye doğru ilerle.

Çözüm

$m(\widehat{ACB}) = x$ olsun.

1. $ADC$ üçgeni. $|AD| = |DC|$ olduğundan eş kenarların karşısındaki açılar eştir: $m(\widehat{DAC}) = x$ .

2. Dış açı. $\widehat{ADB}$ , $ADC$ üçgeninin $D$ köşesindeki dış açısıdır: $m(\widehat{ADB}) = x + x = 2x$ .

3. $ABD$ üçgeni. $|AB| = |AD|$ olduğundan $m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{ADB}) = 2x$ .

4. $ABC$ üçgeninin iç açıları.

$105^\circ + 2x + x = 180^\circ \implies x = 25^\circ$

$m(\widehat{ABC}) = 2x = 50^\circ$

Sağlama: $m(\widehat{BAD}) = 180^\circ - 4x = 80^\circ$ ve $80^\circ + 25^\circ = 105^\circ$ .

Tuzak: $x = 25$ bulup durmak. Bu $C$ açısıdır; soru $B$ açısını soruyor.

Cevap: E

Özgün soru4

Orta

Üçgen eşitsizliği

Kenar uzunlukları birer tam sayı olan çeşitkenar bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 6$ birim ve $|AC| = 11$ birimdir.

Buna göre bu üçgenin çevresi kaç farklı değer alabilir?

İpucu

Önce üçüncü kenarın aralığını üçgen eşitsizliğiyle bul, sonra "çeşitkenar" sözcüğünün hangi değerleri elediğine bak.

Çözüm

$|BC| = x$ olsun. Çevre $17 + x$ olduğundan çevrenin değer sayısı $x$ 'in değer sayısına eşittir.

1. Üçgen eşitsizliği.

$11 - 6 < x < 11 + 6 \implies 5 < x < 17$

Tam sayılar $6, 7, \ldots, 16$ ; toplam $11$ değer.

2. Çeşitkenar koşulu. Hiçbir iki kenar eş olamaz: $x \neq 6$ ve $x \neq 11$ . İkisi de aralığın içinde olduğundan iki değer elenir.

$11 - 2 = 9$

Tuzak: uçları saymak ( $5$ ve $17$ ile $13$ değer) ya da çeşitkenar koşulunu atlamak ( $11$ değer).

Cevap: B

Özgün soru5

Orta

Açı–kenar bağıntıları

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 5$ birim, $|AC| = 12$ birim ve

$m(\widehat{B}) > m(\widehat{A}) > m(\widehat{C})$

olduğu biliniyor.

Buna göre $|BC|$ uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

İpucu

Açı sıralamasını kenar sıralamasına çevir: her açının karşısındaki kenarı yaz. Sonra bunu üçgen eşitsizliğinin verdiği aralıkla kesiştir.

Çözüm

$|BC| = x$ olsun.

1. Açıları kenara çevir. $B$ 'nin karşısında $[AC]$ , $A$ 'nın karşısında $[BC]$ , $C$ 'nin karşısında $[AB]$ vardır. Büyük açının karşısındaki kenar uzun olduğundan

$|AC| > |BC| > |AB| \implies 12 > x > 5$

2. Üçgen eşitsizliği. $12 - 5 < x < 12 + 5$ , yani $7 < x < 17$ .

3. Kesişim. İki koşul birlikte: $7 < x < 12$ . Tam sayılar $8, 9, 10, 11$ .

$8 + 9 + 10 + 11 = 38$

Tuzak: yalnızca açı koşuluyla yetinmek ( $6$ ve $7$ de alınır, toplam $51$ olur). $x = 6$ için $5 + 6 < 12$ , $x = 7$ için $5 + 7 = 12$ olduğundan bu değerlerde üçgen oluşmaz.

Cevap: A

Özgün soru6

Zor

Paralel doğrular ve ikizkenar üçgen

Alt ve üst kenarları birbirine paralel olan bir kâğıt şerit, alt kenarı üzerindeki $K$ noktası ile üst kenarı üzerindeki $L$ noktasını birleştiren $[KL]$ boyunca şekildeki gibi katlanıyor. Katlanan parçanın alt kenarı, şeridin üst kenarını $M$ noktasında kesiyor. Şekilde şeridin katlanmadan önceki konumu kesikli çizgiyle gösterilmiştir; $x$ , $[KL]$ ile alt kenarın katlanmadan önceki konumu arasındaki açıdır.

$m(\widehat{KML}) = 48^\circ$

Buna göre $x$ kaç derecedir?

İpucu

Katlama bir açıyı kat çizgisinin öbür yanına aynen taşır. Şeridin kenarları paralel olduğundan bir de iç ters açı çifti var. $KLM$ üçgeninin iki açısını $x$ cinsinden yaz.

Çözüm

1. Katlama açıyı korur. Alt kenarın katlanmadan önceki konumu $[KL]$ ile $x$ açısı yapıyordu. Katlanınca bu kenar $[KL]$ 'nin öbür yanına geçer ama $[KL]$ ile yaptığı açı değişmez. Katlanan kenar $K$ 'den $M$ 'ye uzandığına göre

$m(\widehat{LKM}) = x$

2. Paralel kenarlar. Şeridin üst kenarı alt kenarına paraleldir ve $KL$ bunları keser. $\widehat{KLM}$ ile katlanmadan önceki $x$ açısı iç ters açılardır:

$m(\widehat{KLM}) = x$

3. $KLM$ üçgeni. İki açısı eş olduğundan ikizkenardır; tepe açısı $M$ 'dedir.

$x + x + 48^\circ = 180^\circ \implies x = 66^\circ$

Tuzak: $48^\circ$ 'yi iç ters açı diye doğrudan $x$ 'e eşitlemek. $M$ 'deki açının iç tersi, katlanan kenar ile alt kenar arasındaki $180^\circ - 2x$ açısıdır; $x$ değil.

Cevap: D