39Konu 39 / 49
Geometri

Dik Üçgen:Pisagor ve Öklid Teoremleri

Dik üçgende kenarları birbirine bağlayan iki teoremi kuruyoruz. Pisagor teoremini kareler ve yeniden dizilimle, Öklid teoremini benzerlikle elde ediyor; özel dik üçgenleri, teoremin karşıtını ve iki teoremin birlikte kullanıldığı sınav sorularını çalışıyoruz.

9. sınıf
AYT sıklığı
50 dk

LevhaDik ÜçgenDik Üçgen

$2{,}5$ metrelik bir merdiven duvara dayalı; ayağı duvardan $0{,}7$ metre uzakta. Ayak yerde $0{,}8$ metre daha kayıyor. Tepesi de duvarda $0{,}8$ metre mi iner? Sahnede ayağı sürükle ve tepenin ne kadar indiğini izle; yanıtı hesapla bulmak için tek bir bağıntı yetecek.

Isınma

Başlamadan: kök, benzerlik, açı

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\sqrt{72}

sayısının en sade biçimi hangisidir?

Açıklama

$72 = 36 \cdot 2$ olduğundan $\sqrt{72} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ . Bu sayfada kök içinden tam kare çıkarmayı sık kullanacaksın.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Benzer iki üçgenden küçüğünün iki kenarı

3

4

birimdir. Büyük üçgende

3

birimlik kenara karşılık gelen kenar

6

birim ise

4

birimlik kenara karşılık gelen kenar kaç birimdir?

Açıklama

Benzerlik oranı $\dfrac{6}{3} = 2$ . Karşılıklı bütün kenarlar aynı oranla büyür: $4 \cdot 2 = 8$ . Ayrıntısı Üçgende Eşlik ve Benzerlik sayfasında.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir dik üçgenin dar açılarından biri

35^\circ

ise diğeri kaç derecedir?

Açıklama

İç açılar toplamı $180^\circ$ ve biri $90^\circ$ olduğundan iki dar açının toplamı $90^\circ$ dir: $90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$ .

Temel

Pisagor teoremi ve özel dik üçgenler

Dik üçgenin dili

Bir açısı $90^\circ$ olan üçgene dik üçgen denir. Kenarların adı, dik açıya göre nerede durduklarından gelir.

Dik açı

A

köşesinde:

b

c

dik kenar,

a

hipotenüs.

Kenarların üzerine kareler

Dik kenarları $3$ ve $4$ birim olan bir dik üçgen çiz, hipotenüsü ölç: tam $5$ birim. Bu üç sayı arasındaki bağ, kenarların kendisinde değil karelerinde görünür: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ .

Dik kenarların üzerindeki karelerin alanları toplamı, hipotenüsün üzerindeki karenin alanına eşittir:

9 + 16 = 25

Sahnede dik kenarların uzunluklarını sürgülerle değiştir. Üç karenin alanı her an yazıyor; üçgen hangi biçimi alırsa alsın, iki küçük karenin alanları toplamı büyük karenin alanına eşit kalıyor.

Örnek

kolay

Hipotenüsü bulmak

Dik kenarları $5$ cm ve $12$ cm olan dik üçgenin hipotenüsü kaç cm’dir?

Aranan kenar dik açının karşısında, yani hipotenüs. Teoremde yalnız kalan taraf o olur: $a^2 = 5^2 + 12^2$ .

Kareleri al ve topla: $a^2 = 25 + 144 = 169$ .

Uzunluk pozitif olduğundan karekökün pozitif değerini al: $a = \sqrt{169} = 13$ .

Sonuç

Hipotenüs $13$ cm’dir.

Örnek

kolay

Dik kenarı bulmak

Hipotenüsü $6$ cm, dik kenarlarından biri $4$ cm olan dik üçgenin diğer dik kenarı kaç cm’dir?

Bu kez bilinmeyen bir dik kenar. Hipotenüs yine tek başına bir tarafta durur: $6^2 = 4^2 + c^2$ .

Bilinmeyeni yalnız bırakmak için çıkar: $c^2 = 36 - 16 = 20$ . Dik kenar ararken kareler toplanmaz, büyükten küçük çıkarılır.

$20 = 4 \cdot 5$ olduğundan kök dışına $2$ çıkar: $c = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ .

Sonuç

Diğer dik kenar $2\sqrt{5}$ cm’dir (yaklaşık $4{,}47$ cm; hipotenüsten kısa olması beklenen sonuçtur).

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Hipotenüsü

17

birim, bir dik kenarı

8

birim olan dik üçgenin diğer dik kenarı kaç birimdir?

Açıklama

$17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$ ve $\sqrt{225} = 15$ .

Teorem neden doğru?

Birkaç üçgende ölçüp görmek ispat değildir. Teoremin bütün dik üçgenlerde geçerli olduğunu, alanları iki farklı biçimde sayarak gösterebiliriz.

Sahnede kenarı $b + c$ olan bir karenin içinde dört eş dik üçgen var. Sürgüyü çek: üçgenler kayarak yer değiştiriyor ama büyük kare de üçgenler de aynı kalıyor. İlk dizilimde boş kalan yer kenarı $a$ olan tek bir kare, ikinci dizilimde kenarları $b$ ve $c$ olan iki kare.

Aynı büyük kare, aynı dört üçgen: boş kalan alan solda

a^2

, sağda

b^2 + c^2

Hesapla da görelim. Soldaki karenin alanı $(b + c)^2$ dir; içinde alanı $a^2$ olan kare ile her birinin alanı $\dfrac{b \cdot c}{2}$ olan dört üçgen var:

\begin{aligned} (b + c)^2 &= a^2 + 4 \cdot \dfrac{b \cdot c}{2} \\ b^2 + 2bc + c^2 &= a^2 + 2bc \\ b^2 + c^2 &= a^2 \end{aligned}

Bağıntı adını MÖ 6. yüzyılda Sisam adasında doğan Pisagor’dan (Pythagoras) alır. Bu bağıntıyı sağlayan sayı üçlülerini Babilliler ondan bin yılı aşkın süre önce kil tabletlere yazmıştı. Pisagor ve öğrencilerine atfedilen şey, bağıntının tek tek örneklerde değil her dik üçgende geçerli olduğunu ispatlama düşüncesidir.

Açılarına göre özel dik üçgenler

İki dik üçgen o kadar sık karşına çıkar ki kenar oranlarını her seferinde yeniden hesaplamazsın. İkisi de tanıdık bir şeklin yarısıdır: biri karenin, diğeri eşkenar üçgenin.

Kareyi köşegeni, eşkenar üçgeni yüksekliği ikiye böler.

Sahnede kareyi köşegeninden, eşkenar üçgeni yüksekliğinden kes. $k$ sürgüsüyle şekli büyütüp küçült: uzunluklar değişiyor ama kenarların birbirine oranı hiç değişmiyor, çünkü açılar aynı kalıyor.

Örnek

kolay

Eşkenar üçgenin yüksekliği

Bir kenarı $8$ cm olan eşkenar üçgenin yüksekliği kaç cm’dir?

Yüksekliği çiz. Eşkenar üçgende yükseklik tabanı ortalar; böylece hipotenüsü $8$ , bir dik kenarı $4$ olan bir dik üçgen oluşur.

Bu üçgenin açıları $30^\circ$ , $60^\circ$ , $90^\circ$ dir: $4$ cm’lik kenar $30^\circ$ nin karşısında, yani $k = 4$ . Yükseklik $60^\circ$ nin karşısındadır: $k\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ .

Oranı hatırlamasan da Pisagor aynı sonucu verir: $h^2 = 8^2 - 4^2 = 48$ , $h = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ .

Sonuç

Yükseklik $4\sqrt{3}$ cm’dir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Köşegeni

10

cm olan karenin bir kenarı kaç cm’dir?

Açıklama

Köşegen kareyi iki ikizkenar dik üçgene böler: $k\sqrt{2} = 10$ , yani $k = \dfrac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$ . Sağlama: $(5\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2 = 50 + 50 = 100 = 10^2$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Açıları

30^\circ

60^\circ

90^\circ

olan bir üçgenin hipotenüsü

12

birimdir.

60^\circ

lik açının karşısındaki kenar kaç birimdir?

Açıklama

Hipotenüs $2k = 12$ olduğundan $k = 6$ . $60^\circ$ nin karşısı $k\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ birimdir. Büyük açının karşısında büyük kenar: $6 < 6\sqrt{3} < 12$ .

Bu iki üçgendeki oranlar, $30^\circ$ , $45^\circ$ ve $60^\circ$ nin trigonometrik değerlerinin de kaynağıdır; o kısım Trigonometrik Fonksiyonlar sayfasında.

Orta

Sayı üçlüleri, teoremin karşıtı ve Öklid teoremi

Kenarlarına göre özel dik üçgenler

Bazı dik üçgenlerin üç kenarı da tam sayıdır. Bunları tanırsan karekök almadan sonuca varırsın.

Dik kenar	Dik kenar	Hipotenüs	Sağlama
$3$	$4$	$5$	$9 + 16 = 25$
$5$	$12$	$13$	$25 + 144 = 169$
$8$	$15$	$17$	$64 + 225 = 289$
$7$	$24$	$25$	$49 + 576 = 625$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Dik kenarları

20

48

birim olan dik üçgenin hipotenüsü kaç birimdir?

Açıklama

$20 = 4 \cdot 5$ ve $48 = 4 \cdot 12$ . Üçgen $5$ - $12$ - $13$ üçgeninin $4$ katıdır; hipotenüs $4 \cdot 13 = 52$ . Sağlama: $400 + 2304 = 2704 = 52^2$ .

Örnek

orta

Kayan merdiven

$2{,}5$ metrelik bir merdiven düşey bir duvara dayalıdır ve ayağı duvardan $0{,}7$ metre uzaktadır. Ayak yerde $0{,}8$ metre daha kayarsa merdivenin tepesi kaç metre alçalır?

Duvar yere dik olduğundan merdiven, duvar ve yer bir dik üçgen oluşturur; merdiven hipotenüstür. Merdivenin boyu değişmez, bu yüzden hipotenüs iki durumda da $2{,}5$ tir.

İlk durum: $0{,}7$ ve $2{,}5$ sayıları $7$ - $24$ - $25$ üçlüsünün onda biridir, tepe $2{,}4$ metre yüksektedir. Sağlama: $0{,}49 + 5{,}76 = 6{,}25 = 2{,}5^2$ .

Son durum: ayak duvardan $0{,}7 + 0{,}8 = 1{,}5$ metre uzakta. $1{,}5$ ve $2{,}5$ sayıları $3$ - $4$ - $5$ üçlüsünün yarısıdır, tepe $2$ metre yüksektedir. Sağlama: $2{,}25 + 4 = 6{,}25$ .

Sonuç

Tepe $2{,}4 - 2 = 0{,}4$ metre alçalır. Ayak $0{,}8$ metre kaydığı hâlde tepe bunun yarısı kadar iner; iki uzunluk birbirine toplamla değil karelerle bağlıdır.

Hipotenüs sabit (

2{,}5

m): ayak

0{,}7

den

1{,}5

e kayarken tepe

2{,}4

ten

2{,}0

a iner.

Teoremin karşıtı

Pisagor teoremi “üçgen dikse kareler tutar” der. Tersi de doğrudur ve bir üçgenin dik olup olmadığını açı ölçmeden anlamanı sağlar.

Sahnede iki kenar $3$ ve $4$ birimde sabit; aralarındaki açıyı sürgüyle değiştir. Açı küçülürken karşı kenarın karesi $25$ in altına iniyor, büyürken $25$ i aşıyor. Karşı kenarın karesi yalnızca tek bir açıda tam $9 + 16 = 25$ oluyor: $90^\circ$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Kenar uzunlukları verilen üçgenlerden hangisi dik üçgendir?

Açıklama

En uzun kenarın karesini diğer ikisinin kareleri toplamıyla karşılaştır: $81 + 1600 = 1681 = 41^2$ . Yalnızca $9$ - $40$ - $41$ sağlar.

Örnek

orta

Kenarları bilinmeyenli dik üçgen

Kenar uzunlukları $x$ , $x + 7$ ve $x + 8$ birim olan bir dik üçgenin çevresi kaç birimdir?

Önce hipotenüsü belirle, çünkü teoremde yeri farklıdır. Hipotenüs en uzun kenardır: $x + 8$ .

Pisagor teoremini yaz ve aç:

\begin{aligned} x^2 + (x + 7)^2 &= (x + 8)^2 \\ 2x^2 + 14x + 49 &= x^2 + 16x + 64 \\ x^2 - 2x - 15 &= 0 \end{aligned}

Çarpanlara ayır: $(x - 5)(x + 3) = 0$ . Uzunluk negatif olamayacağından $x = 5$ ; kenarlar $5$ , $12$ , $13$ .

Sonuç

Çevre $5 + 12 + 13 = 30$ birimdir.

Hipotenüse inen yükseklik

Dik köşeden hipotenüse bir yükseklik indir. Bu tek çizgi büyük üçgeni iki küçük dik üçgene böler ve üçü de birbirine benzer. Öklid teoremi bu benzerliğin sonucudur.

[AH]

yüksekliği hipotenüsü

p

k

parçalarına ayırır. Aynı harfle işaretli açılar eştir.

Sahnede $H$ noktasını hipotenüs üzerinde kaydır; $A$ köşesi dik açıyı koruyarak yer değiştiriyor. “Üçgenleri hizala” düğmesine bas: iki küçük üçgen dönüp büyük üçgenle aynı duruşa geliyor. Üçünün de açıları aynı: $\beta$ , $\theta$ ve $90^\circ$ .

Neden benzerler? $ABH$ üçgeni ile $ABC$ üçgeninin ikisi de diktir ve $B$ açısı ortaktır; iki açısı eş olan üçgenler benzerdir. Aynı gerekçe $C$ açısını paylaşan $ACH$ için de geçerlidir. Karşılıklı kenarları oranla:

\begin{aligned} ABH \sim CBA &: \quad \dfrac{c}{a} = \dfrac{p}{c} \;\Rightarrow\; c^2 = p \cdot a \\ ACH \sim BCA &: \quad \dfrac{b}{a} = \dfrac{k}{b} \;\Rightarrow\; b^2 = k \cdot a \\ ABH \sim CAH &: \quad \dfrac{p}{h} = \dfrac{h}{k} \;\Rightarrow\; h^2 = p \cdot k \end{aligned}

Örnek

orta

Parçalardan bütün uzunluklara

$A$ açısı dik olan $ABC$ üçgeninde $[AH] \perp [BC]$ , $|BH| = 4$ ve $|HC| = 9$ birimdir. $|AH|$ , $|AB|$ ve $|AC|$ uzunluklarını bul.

Yükseklik dik köşeden hipotenüse iniyor; Öklid teoreminin koşulu sağlanıyor. $p = 4$ , $k = 9$ , $a = 13$ .

Yükseklik iki parçanın çarpımından gelir: $h^2 = 4 \cdot 9 = 36$ , $h = 6$ .

Her dik kenar için kendi tarafındaki parçayı hipotenüsün tamamıyla çarp: $|AB|^2 = 4 \cdot 13 = 52$ ve $|AC|^2 = 9 \cdot 13 = 117$ . Buradan $|AB| = 2\sqrt{13}$ , $|AC| = 3\sqrt{13}$ .

Sağlamayı Pisagor ile yap: $52 + 117 = 169 = 13^2$ .

Sonuç

$|AH| = 6$ , $|AB| = 2\sqrt{13}$ , $|AC| = 3\sqrt{13}$ birimdir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik

6

birimdir ve hipotenüsü biri

3

birim olan iki parçaya ayırır. Diğer parça kaç birimdir?

Açıklama

$h^2 = p \cdot k$ bağıntısından $36 = 3 \cdot k$ , yani $k = 12$ .

Öklid’den Pisagor’a

İki dik kenar bağıntısını taraf tarafa topla:

$b^2 + c^2 = k \cdot a + p \cdot a = a \cdot (k + p) = a \cdot a = a^2$

Pisagor teoremi bu kez benzerlikten çıktı: aynı sonuca götüren ikinci, bağımsız bir yol.

Sahnede hipotenüsün üzerindeki kare, yüksekliğin uzantısıyla iki dikdörtgene bölünüyor: alanları $p \cdot a$ ve $k \cdot a$ . Sürgüyle $H$ noktasını kaydır; her dikdörtgenin alanı, aynı taraftaki dik kenarın üzerine kurulan karenin alanına eşit kalıyor.

Bu parçalama, İskenderiyeli Öklid’in (Euclid, MÖ 300 dolayları) Elemanlar adlı eserinde Pisagor teoremi için verdiği ispatın özüdür. Öklid, on üç kitaplık bu eserde geometriyi az sayıda kabulden başlayıp her adımı ispatlayarak kurdu. Hipotenüse inen yüksekliğin üçgeni benzer üçgenlere ayırdığı ve yüksekliğin iki parçanın “orta orantılısı” olduğu da aynı eserde yer alır.

Örnek

orta

Çatı makası

Bir çatının kesiti, tepe açısı $90^\circ$ olan bir üçgendir. Tepe noktasından tabandaki kirişe dik inen dikme, kirişi $1{,}8$ metre ve $3{,}2$ metrelik iki parçaya ayırıyor. Dikmenin boyu ve iki eğik kirişin uzunlukları kaçar metredir?

Modeli kur: kesit bir dik üçgen, taban kirişi hipotenüs ( $a = 1{,}8 + 3{,}2 = 5$ ), dikme hipotenüse ait yükseklik. Dik köşeden hipotenüse inen yükseklik var; Öklid kullanılabilir.

Dikme: $h^2 = 1{,}8 \cdot 3{,}2 = 5{,}76$ , $h = 2{,}4$ metre.

Eğik kirişler: kısa parçanın tarafındaki için $c^2 = 1{,}8 \cdot 5 = 9$ , $c = 3$ ; uzun parçanın tarafındaki için $b^2 = 3{,}2 \cdot 5 = 16$ , $b = 4$ .

İki ayrı sağlama: $3^2 + 4^2 = 5^2$ ve $a \cdot h = 5 \cdot 2{,}4 = 12 = 3 \cdot 4 = b \cdot c$ .

Sonuç

Dikme $2{,}4$ metre, eğik kirişler $3$ metre ve $4$ metredir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Dik kenarları

6

8

birim olan dik üçgende hipotenüse ait yükseklik kaç birimdir?

Açıklama

Hipotenüs $10$ birimdir ( $6$ - $8$ - $10$ ). $a \cdot h = b \cdot c$ bağıntısından $10 \cdot h = 48$ , $h = 4{,}8$ .

İleri

İki teorem birlikte: birleşik ve bağlamlı sorular

Ortak dik kenar: Pisagor iki kez

Sınav sorularında dik üçgen çoğu zaman tek başına gelmez; bir kenarı paylaşan iki dik üçgen olur. Ortak kenarın karesini iki üçgenden ayrı ayrı yazıp eşitlemek, bilinmeyen kareyi yok eder.

Örnek

zor

İki gergi halatı

Yere dik duran bir direğin tepesinden, direğin iki yanına $13$ metre ve $15$ metre uzunluğunda iki gergi halatı indirilmiştir. Halatların yerdeki uçları ile direğin ayağı aynı doğru üzerindedir ve iki uç arasındaki uzaklık $14$ metredir. Direğin yüksekliği kaç metredir?

Direk yere dik olduğundan iki dik üçgen oluşur ve direk ikisinin de dik kenarıdır. Direğin ayağının $13$ metrelik halatın ucuna uzaklığı $x$ olsun; diğer uca uzaklığı $14 - x$ olur.

Direğin yüksekliğinin karesini iki üçgenden yaz: $h^2 = 13^2 - x^2$ ve $h^2 = 15^2 - (14 - x)^2$ .

İkisini eşitle. $x^2$ terimleri birbirini götürür, denklem birinci dereceye iner:

\begin{aligned} 169 - x^2 &= 225 - (196 - 28x + x^2) \\ 169 &= 29 + 28x \\ x &= 5 \end{aligned}

Yerine koy: $h^2 = 169 - 25 = 144$ , $h = 12$ . Diğer üçgende sağla: $14 - 5 = 9$ ve $9^2 + 12^2 = 225 = 15^2$ .

Sonuç

Direk $12$ metre yüksekliğindedir. İki üçgen tanıdık çıktı: $5$ - $12$ - $13$ ve $9$ - $12$ - $15$ .

Ortak dik kenar

h

13^2 - x^2 = 15^2 - (14 - x)^2

Sahnede direğin ayağını iki halat ucu arasında kaydır. Her konumda $13$ metrelik halatın gerektirdiği yükseklik ile $15$ metrelik halatın gerektirdiği yükseklik ayrı ayrı yazıyor. İkisi yalnızca $x = 5$ konumunda aynı değeri veriyor: $12$ .

Öklid ile ikinci dereceden denklem

Örnek

zor

Parçaların farkı verilince

Bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik $12$ birimdir ve hipotenüsü, uzunlukları farkı $7$ birim olan iki parçaya ayırır. Bu üçgenin çevresi kaç birimdir?

Kısa parça $p$ olsun; uzun parça $p + 7$ olur. Verilen uzunluk yükseklik olduğundan parçaları birbirine bağlayan bağıntı $h^2 = p \cdot k$ dır.

Yerine yaz: $p(p + 7) = 144$ , yani $p^2 + 7p - 144 = 0$ . Çarpanlara ayır: $(p - 9)(p + 16) = 0$ . Uzunluk pozitif olduğundan $p = 9$ , diğer parça $16$ , hipotenüs $25$ .

Dik kenarlar için komşu parçayı hipotenüsle çarp: $c^2 = 9 \cdot 25 = 225$ , $c = 15$ ve $b^2 = 16 \cdot 25 = 400$ , $b = 20$ .

Sağla: $15^2 + 20^2 = 625 = 25^2$ ve $a \cdot h = 25 \cdot 12 = 300 = 15 \cdot 20$ .

Sonuç

Çevre $15 + 20 + 25 = 60$ birimdir.

Katlama: eşit uzunlukları gör

Kâğıt katlama sorularında hiçbir uzunluk “verilmemiş” görünür. Anahtar şudur: katlanan parça ile üzerine geldiği parça eştir; katlama çizgisinin iki yanındaki karşılıklı uzunluklar eşittir.

[AE]

boyunca katlanınca

D

köşesi

K

noktasına gelir:

|AK| = |AD|

|EK| = |ED|

Örnek

zor

Köşesi katlanan kâğıt

$ABCD$ dikdörtgeni biçimindeki bir kâğıtta $|AB| = 8$ cm ve $|AD| = 10$ cm’dir. Kâğıt, $[DC]$ kenarı üzerindeki bir $E$ noktası için $[AE]$ boyunca katlandığında $D$ köşesi $[BC]$ kenarı üzerindeki $K$ noktasına geliyor. $|DE|$ kaç cm’dir?

Katlama uzunlukları korur: $|AK| = |AD| = 10$ ve $|EK| = |ED|$ . Ayrıca $D$ köşesindeki dik açı $K$ ye taşınır.

$ABK$ dik üçgeninde hipotenüs $10$ , bir dik kenar $8$ : $6$ - $8$ - $10$ üçgeni, $|BK| = 6$ . Buradan $|KC| = 10 - 6 = 4$ .

$|DE| = x$ olsun. $|DC| = 8$ olduğundan $|EC| = 8 - x$ , katlamadan dolayı $|EK| = x$ . $ECK$ üçgeni $C$ köşesinde diktir; hipotenüsü $[EK]$ dir.

Pisagor teoremini yaz: $x^2 = (8 - x)^2 + 4^2$ . Açınca $x^2 = 64 - 16x + x^2 + 16$ , yani $16x = 80$ ve $x = 5$ .

Sonuç

$|DE| = 5$ cm’dir. Sağlama: $ECK$ üçgeninin kenarları $3$ , $4$ , $5$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Hipotenüsü

10

birim, hipotenüse ait yüksekliği

4{,}8

birim olan dik üçgenin dik kenarlarının çarpımı kaçtır?

Açıklama

$b \cdot c = a \cdot h = 10 \cdot 4{,}8 = 48$ . Dik kenarları tek tek bulmana gerek yok.

Sahnede dene

Kancadaki merdivene dön ve ayağı duvardan $2$ metreye kadar çek. Tepe $1{,}5$ metreye iniyor: yine bir $3$ - $4$ - $5$ katı. Ayağın eşit adımlarla kaymasına karşılık tepenin giderek daha hızlı indiğine dikkat et.

Özet

Pisagor teoremi: dik açı $A$ köşesindeyse $a^2 = b^2 + c^2$ . Hipotenüs aranırken kareler toplanır, dik kenar aranırken çıkarılır.
Karşıtı: en uzun kenarın karesi diğer ikisinin kareleri toplamına eşitse üçgen diktir.
Sayı üçlüleri: $3$ - $4$ - $5$ , $5$ - $12$ - $13$ , $8$ - $15$ - $17$ , $7$ - $24$ - $25$ ve bunların katları.
$45^\circ$ - $45^\circ$ - $90^\circ$ : $k$ , $k$ , $k\sqrt{2}$ . $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ : $k$ , $k\sqrt{3}$ , $2k$ .
Öklid teoremi (yükseklik dik köşeden hipotenüse iner, parçalar $p$ ve $k$ ): $h^2 = p \cdot k$ , $c^2 = p \cdot a$ , $b^2 = k \cdot a$ .
Alandan: $a \cdot h = b \cdot c$ .
Ortak dik kenar: kenarın karesini iki üçgenden yaz, eşitle; kareli terim sadeleşir.
Katlama: katlanan parça ile üzerine geldiği parça eştir.

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

3 çıkmış soru6 özgün soru

2026 AYTSoru 32

Zor

Pisagor teoremi

Çevre uzunlukları sırasıyla $16$ birim ve $21$ birim olan iki üçgen (şekilde I ve II), birer kenarları çakışacak biçimde yan yana getiriliyor. Böylece şekildeki gibi, çevre uzunluğu $24$ birim olan bir ikizkenar üçgen oluşuyor.

Buna göre oluşan ikizkenar üçgenin alanı kaç birimkaredir?

(Kitapçıkta I numaralı üçgen sarı, II numaralı üçgen mavi renkle gösterilmiştir.)

İpucu

İki küçük üçgenin çevrelerini topla: büyük üçgenin çevresinden fazla olan kısım, ortak kenarın iki katıdır. Sonra tepeden tabana yükseklik indir ve Pisagor teoremini hem eş kenar hem ortak kenar için yaz.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 35)

Çözüm

1. Adlandır. Eş kenarlar $s$ , ortak kenar $d$ , tabanın I numaralı üçgendeki parçası $p$ , II numaralı üçgendeki parçası $q$ olsun:

$s + p + d = 16 \qquad s + q + d = 21 \qquad 2s + p + q = 24$

2. Ortak kenar. İlk iki eşitliği topla: $(2s + p + q) + 2d = 37$ . Parantezin içi $24$ olduğundan $d = \dfrac{13}{2}$ . Buradan $p = \dfrac{19}{2} - s$ ve $q = \dfrac{29}{2} - s$ .

3. Yükseklik indir. İkizkenar üçgende tepeden inen yükseklik $h$ tabanı ortalar; yükseklik ayağı tabanın uçlarına $\dfrac{p + q}{2}$ , ortak kenarın ayağına $\dfrac{q - p}{2}$ uzaklıktadır. İki dik üçgende Pisagor:

$s^2 = h^2 + \left(\dfrac{p + q}{2}\right)^2 \qquad d^2 = h^2 + \left(\dfrac{q - p}{2}\right)^2$

Taraf tarafa çıkarınca $h^2$ gider ve iki kare farkı kalır: $s^2 - d^2 = p \cdot q$ .

4. Çöz.

\begin{aligned} s^2 - \dfrac{169}{4} &= \left(\dfrac{19}{2} - s\right)\left(\dfrac{29}{2} - s\right) \\ s^2 - \dfrac{169}{4} &= \dfrac{551}{4} - 24s + s^2 \\ 24s &= 180 \end{aligned}

$s = \dfrac{15}{2}$ , $p = 2$ , $q = 7$ ; taban $9$ birim.

5. Alan. $h^2 = \dfrac{225}{4} - \dfrac{81}{4} = 36$ , $h = 6$ . Alan $\dfrac{9 \cdot 6}{2} = 27$ birimkare.

Sağlama. Çevreler: $7{,}5 + 2 + 6{,}5 = 16$ , $7{,}5 + 7 + 6{,}5 = 21$ , $7{,}5 + 7{,}5 + 9 = 24$ . Ortak kenar: $6^2 + 2{,}5^2 = 42{,}25 = 6{,}5^2$ .

Tuzak: ortak kenarı yükseklik sanmak. Şekilde ortak kenar tabana dik değildir; yüksekliği ayrıca indirmen gerekir.

Cevap: B

2023 AYTSoru 34

Zor

Uygulama problemleri

Bir masa takviminin ön ve arka yüzü kare biçiminde eş birer beyaz kartondan, tabanı ise dikdörtgen biçiminde turuncu bir kartondan oluşuyor. Şekil 1'de görülen bu takvimin yüksekliği $12$ cm'dir.

Takvim, taban kartonunun ortasındaki kesikli çizgi boyunca dışa doğru katlanıyor; katlama bittiğinde önden bakılınca Şekil 2'deki görünüm elde ediliyor. Bu görünümde ön yüzdeki beyaz kartonun çevre uzunluğu, turuncu kartonun çevre uzunluğundan $12$ cm fazladır.

Buna göre Şekil 1'deki turuncu kartonun çevre uzunluğu kaç cm'dir?

(Kitapçıkta katlama anı ayrı bir şekille gösterilmiş, son görünüm Şekil 3 olarak adlandırılmıştır. Şekiller ölçekli değildir.)

İpucu

Takvime yandan bak: eş kenarları karenin kenarı, tabanı turuncu kartonun kısa kenarı, yüksekliği $12$ olan bir ikizkenar üçgen görürsün. Katlanınca turuncu kartonun görünen yüksekliği yarıya iner.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 34)

Çözüm

1. Adlandır. Beyaz karelerin kenarı $a$ , turuncu dikdörtgenin kenarları $a$ ve $b$ olsun ( $b$ , ön ve arka yüzün alt kenarları arasındaki uzaklık).

2. Yandan görünüm. Takvim yandan bakıldığında eş kenarları $a$ , tabanı $b$ , yüksekliği $12$ olan bir ikizkenar üçgendir. Yükseklik tabanı ortalar; oluşan dik üçgende

$a^2 = 12^2 + \left(\dfrac{b}{2}\right)^2$

3. Çevre koşulu. Taban ortasından katlanınca turuncu karton üst üste gelen iki yarıya ayrılır; Şekil 2'de kenarları $a$ ve $\dfrac{b}{2}$ olan bir dikdörtgen görünür. Karenin çevresi $4a$ :

\begin{aligned} 4a &= 2\left(a + \dfrac{b}{2}\right) + 12 \\ b &= 2a - 12 \\ \dfrac{b}{2} &= a - 6 \end{aligned}

4. Yerine yaz.

\begin{aligned} a^2 &= 144 + (a - 6)^2 \\ a^2 &= 144 + a^2 - 12a + 36 \\ a &= 15 \end{aligned}

Buradan $b = 18$ . Yandaki dik üçgen $9$ - $12$ - $15$ çıkar ( $3$ - $4$ - $5$ in $3$ katı).

5. İstenen. Açık hâldeki turuncu kartonun çevresi $2(a + b) = 2 \cdot 33 = 66$ cm'dir.

Tuzak: çevre koşulunda turuncu kartonun açık hâlini ( $a$ ve $b$ kenarlı) kullanmak. Koşul katlanmış görünüm için verilmiştir; istenen çevre ise açık hâle aittir.

Cevap: C

2020 AYTSoru 31

Orta

Uygulama problemleri

Bir aracın arka tarafındaki sensör, araç geri giderken bir cisme olan uzaklığına göre ötüyor. Araç başlangıçta Şekil 1'deki gibi arkasındaki duvara dik konumda duruyor; bu durumda sensör ile çubuk arasındaki uzaklık $170$ santimetredir. Araç doğrultusunu değiştirmeden $60$ santimetre geri gidince sensör ötmeye başlıyor ve araç Şekil 2'deki konumda duruyor. Son durumda sensör ile çubuk arasındaki uzaklık $130$ santimetredir.

Buna göre son durumda çubuğun araca olan dik uzaklığı kaç santimetredir?

(Şekiller ölçekli değildir; araç şematik olarak çizilmiştir.)

İpucu

Araç düz geri gittiği için çubuğun, sensörün izlediği doğruya olan yan uzaklığı değişmez. Bu ortak dik kenarın karesini iki konum için ayrı ayrı yaz.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 32)

Çözüm

1. Modeli kur. Son durumda çubuğun araca dik uzaklığı $h$ olsun. Araç $60$ cm geri geldiğine göre başlangıçta bu uzaklık $h + 60$ idi. Çubuğun, sensörün hareket ettiği doğruya uzaklığı $d$ ise iki konumda da aynıdır.

2. İki dik üçgen, ortak dik kenar. Sensör, çubuk ve dikme ayağı her iki konumda birer dik üçgen oluşturur:

$d^2 + (h + 60)^2 = 170^2 \qquad d^2 + h^2 = 130^2$

3. Taraf tarafa çıkar. $d^2$ ve $h^2$ birlikte gider:

\begin{aligned} (h + 60)^2 - h^2 &= 170^2 - 130^2 \\ 120h + 3600 &= (170 - 130)(170 + 130) = 12\,000 \\ h &= 70 \end{aligned}

Sağlama. $d^2 = 130^2 - 70^2 = 12\,000$ ve $12\,000 + 130^2 = 28\,900 = 170^2$ .

Tuzak: $170 - 130 = 40$ farkını ya da $60$ 'ı doğrudan cevap sanmak. Uzaklıklar eğik ölçülmüştür; dik uzaklıkla aralarındaki bağ karelerle kurulur.

Cevap: D

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Öklid teoremi

$ABC$ üçgeninde $m(\widehat{BAC}) = 90^\circ$ , $[AH] \perp [BC]$ , $|BH| = 2$ birim ve $|HC| = 6$ birimdir.

Buna göre $|AC| = x$ kaç birimdir?

Çözüm

Yükseklik dik köşeden hipotenüse iniyor; Öklid teoremi kullanılır. Hipotenüs $|BC| = 2 + 6 = 8$ .

$[AC]$ kenarı $C$ köşesinden çıkar; ona komşu parça $|HC| = 6$ 'dır. Dik kenarın karesi, komşu parça ile hipotenüsün tamamının çarpımıdır:

$x^2 = 6 \cdot 8 = 48 \;\Rightarrow\; x = 4\sqrt{3}$

Sağlama. $|AB|^2 = 2 \cdot 8 = 16$ ve $16 + 48 = 64 = 8^2$ .

Çeldiriciler: $2\sqrt{3}$ yüksekliktir ( $h^2 = 2 \cdot 6$ ), $4$ diğer dik kenardır, $8$ hipotenüstür.

Cevap: D

Özgün soru2

Kolay

Özel dik üçgenler

Hipotenüsünün uzunluğu $8$ cm olan bir ikizkenar dik üçgen veriliyor.

Bu üçgenin alanı kaç santimetrekaredir?

Çözüm

İkizkenar dik üçgende dik kenarlar $k$ ise hipotenüs $k\sqrt{2}$ dir:

$k\sqrt{2} = 8 \;\Rightarrow\; k = \dfrac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$

Dik kenarlar birbirine dik olduğundan biri taban, diğeri yüksekliktir:

$\text{Alan} = \dfrac{k \cdot k}{2} = \dfrac{(4\sqrt{2})^2}{2} = \dfrac{32}{2} = 16$

Kısa yol: $k^2 + k^2 = 64$ olduğundan $k^2 = 32$ ; alan $\dfrac{k^2}{2} = 16$ . $k$ değerini bulmaya bile gerek yok.

Çeldiriciler: $32$ yalnızca $k^2$ dir (ikiye bölme unutulmuş); $64$ hipotenüsün karesidir.

Cevap: A

Özgün soru3

Orta

Hipotenüse ait yükseklik

$ABC$ üçgeninde $m(\widehat{BAC}) = 90^\circ$ , $[AH] \perp [BC]$ , $|AB| = 2\sqrt{5}$ birim ve $|AC| = 4\sqrt{5}$ birimdir.

Buna göre $|AH| = x$ kaç birimdir?

İpucu

Önce hipotenüsü bul. Sonra üçgenin alanını iki farklı taban-yükseklik çiftiyle yaz.

Çözüm

1. Hipotenüs. $|BC|^2 = (2\sqrt{5})^2 + (4\sqrt{5})^2 = 20 + 80 = 100$ , $|BC| = 10$ .

2. Alanı iki yoldan yaz. Dik kenarlarla alan $\dfrac{2\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{5}}{2}$ , hipotenüs ve yükseklikle $\dfrac{10 \cdot x}{2}$ dir. Yani $a \cdot h = b \cdot c$ :

$10 \cdot x = 2\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{5} = 40 \;\Rightarrow\; x = 4$

Sağlama (Öklid ile). $|BH| = \dfrac{|AB|^2}{|BC|} = \dfrac{20}{10} = 2$ , $|HC| = 8$ ve $x^2 = 2 \cdot 8 = 16$ .

Çeldiriciler: $5$ hipotenüsün yarısıdır; yükseklik hipotenüsü ortalamaz (üçgen ikizkenar değil). $2\sqrt{5}$ ise kısa dik kenarın kendisidir.

Cevap: B

Özgün soru4

Orta

Uygulama problemleri

Düz bir zemine dik duran $24$ metre yüksekliğindeki bir direğin tepesinden zemine gergin bir çelik halat bağlanacaktır. Halatın boyu, halatın zemindeki ucunun direğin ayağına uzaklığından $12$ metre fazladır.

Buna göre halatın boyu kaç metredir?

İpucu

Halatın ucunun direğe uzaklığına $x$ de; halat $x + 12$ olur. Direk, zemin ve halat bir dik üçgen oluşturur.

Çözüm

Halatın zemindeki ucunun direğin ayağına uzaklığı $x$ metre olsun; halat $x + 12$ metredir. Direk zemine dik olduğundan halat hipotenüstür:

\begin{aligned} x^2 + 24^2 &= (x + 12)^2 \\ x^2 + 576 &= x^2 + 24x + 144 \\ x &= 18 \end{aligned}

Halatın boyu $18 + 12 = 30$ metredir.

Sağlama. $18$ - $24$ - $30$ , $3$ - $4$ - $5$ üçgeninin $6$ katıdır: $324 + 576 = 900$ .

Çeldiriciler: $36 = 24 + 12$ (fark yanlış kenara eklenmiş); $26$ , $10$ - $24$ - $26$ üçgeninden gelir ama orada fark $16$ dır, $12$ değil.

Cevap: B

Özgün soru5

Zor

Öklid teoremi

$ABC$ üçgeninde $m(\widehat{BAC}) = 90^\circ$ , $[AH] \perp [BC]$ , $|AB| = 6$ birim ve $|HC| = 5$ birimdir.

Buna göre $ABC$ üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

İpucu

Verilen parça, verilen dik kenara komşu değil. $|BH| = p$ de ve $[AB]$ için dik kenar bağıntısını yaz; ikinci dereceden bir denklem çıkar.

Çözüm

1. Bilinmeyeni seç. $|BH| = p$ olsun; hipotenüs $|BC| = p + 5$ olur. $[AB]$ kenarına komşu parça $p$ dir:

$|AB|^2 = p \cdot (p + 5) \;\Rightarrow\; 36 = p^2 + 5p$

2. Denklemi çöz. $p^2 + 5p - 36 = 0$ , yani $(p - 4)(p + 9) = 0$ . Uzunluk pozitiftir: $p = 4$ , $|BC| = 9$ .

3. Yükseklik. $h^2 = p \cdot k = 4 \cdot 5 = 20$ , $h = 2\sqrt{5}$ .

4. Alan. Hipotenüs ve ona ait yükseklikle:

$\dfrac{9 \cdot 2\sqrt{5}}{2} = 9\sqrt{5}$

Sağlama. $|AC|^2 = 5 \cdot 9 = 45$ , $|AC| = 3\sqrt{5}$ ; dik kenarlarla alan $\dfrac{6 \cdot 3\sqrt{5}}{2} = 9\sqrt{5}$ . Ayrıca $36 + 45 = 81 = 9^2$ .

Tuzak: $|AB|^2 = |BH| \cdot |HC|$ yazmak. İki parçanın çarpımı yüksekliğin karesidir; dik kenar için komşu parça hipotenüsün tamamıyla çarpılır. $18\sqrt{5}$ ise ikiye bölmeyi unutanların cevabıdır.

Cevap: C

Özgün soru6

Orta

Uygulama problemleri

Düz bir zeminde, aralarındaki uzaklık $50$ metre olan iki direk zemine dik durmaktadır. Direklerin yükseklikleri $20$ metre ve $30$ metredir. Zeminde, direklerin ayaklarını birleştiren doğru parçası üzerinde bulunan $P$ noktası iki direğin tepesine eşit uzaklıktadır.

Buna göre $P$ noktasının $20$ metrelik direğin ayağına uzaklığı kaç metredir?

İpucu

$P$ noktasının kısa direğe uzaklığına $x$ de. İki tepeye olan uzaklıkların karelerini Pisagor teoremiyle yaz ve eşitle.

Çözüm

$P$ noktasının $20$ metrelik direğin ayağına uzaklığı $x$ olsun; diğer direğin ayağına uzaklığı $50 - x$ olur. Direkler zemine dik olduğundan iki dik üçgen oluşur; tepelere uzaklıklar bu üçgenlerin hipotenüsleridir. Uzaklıklar eşitse kareleri de eşittir:

\begin{aligned} x^2 + 20^2 &= (50 - x)^2 + 30^2 \\ x^2 + 400 &= 2500 - 100x + x^2 + 900 \\ 100x &= 3000 \\ x &= 30 \end{aligned}

Sağlama. Kısa direğin tepesine uzaklığın karesi $30^2 + 20^2 = 1300$ ; uzun direğin tepesine $20^2 + 30^2 = 1300$ .

Yorum: $P$ noktası kısa direkten uzakta, uzun direğe yakındır; yükseklik farkını yatay uzaklık dengeler. Çeldiriciler: $25$ orta noktadır (direkler eş boyda olsaydı doğru olurdu); $20$ ise $P$ noktasının uzun direğe uzaklığıdır.

Cevap: E