Katı Cisimler:Prizma ve Piramit

Küpün ayrıtı $a$ olsun. Çıkarılan prizma küpün bir düşey ayrıtını içerir ve küpü boydan boya geçer; ayrıtları $x$, $y$ ve $a$'dır ($x < a$, $y < a$).

Yüzey alanı. Üst ve alt yüzlerden $x \cdot y$'şer birimkare eksilir. Yan yüzlerden $x \cdot a$ ve $y \cdot a$'lık iki şerit kaybolur, ama oyukta tam bunlara eş iki yeni yüz açılır; yanal alan değişmez.

$2xy = 40 \Rightarrow xy = 20$

Hacim. Azalma, çıkarılan parçanın hacmidir:

$x \cdot y \cdot a = 180 \Rightarrow 20a = 180 \Rightarrow a = 9$

$x$ ve $y$ tam sayı, çarpımları $20$ ve ikisi de $9$'dan küçük: yalnızca $4$ ve $5$ uyar ($2 \cdot 10$ ve $1 \cdot 20$ küpe sığmaz).

Çıkarılan parça $4 \times 5 \times 9$ boyutludur:

$2 \cdot (4 \cdot 5 + 4 \cdot 9 + 5 \cdot 9) = 2 \cdot 101 = 202$

Tuzak: Yüzey alanındaki azalmayı çıkarılan parçanın yüzey alanı sanmak. Azalan yalnızca üstteki ve alttaki iki dikdörtgendir.

Taban ayrıtı $a$, yükseklik $h$ olsun.

Bir bant üst yüzde $a$, iki yan yüzün her birinde $h$ birim yol alır. Genişliği $1$ olduğundan alanı $a + 2h$ birimkaredir. İki bant üst yüzde birbirini dik keser ve $1 \times 1$'lik bir karede üst üste gelir; bu kare bir kez sayılmalıdır:

$2(a + 2h) - 1 = 25 \Rightarrow a + 2h = 13$

Yüzey alanı iki kare taban ve dört yan yüzdür:

$2a^2 + 4ah = 182 \Rightarrow a(a + 2h) = 91 \Rightarrow 13a = 91 \Rightarrow a = 7$

Buradan $h = 3$ bulunur.

$V = a^2 \cdot h = 49 \cdot 3 = 147$

Tuzak: Kesişim karesini çıkarmazsan $a + 2h = 12{,}5$ çıkar ve $a$ tam bölünmez.

Parçalar özdeş olduğundan basamak, $10$ birimlik ayrıtın ortasındadır: her parçanın $5$ birim uzunluğunda kalın, $5$ birim uzunluğunda ince bir kısmı vardır. İnce kısmın kalınlığı $t$ olsun; yükseklik $6$ olduğundan kalın kısmın kalınlığı $6 - t$ olur. Genişlik $8$ birimdir.

Yeni dizilişte parçalar uç uca kaydırılmış, ince kısımlar ortada üst üste gelmiştir. Uzunluk $5 + 5 + 5 = 15$, genişlik yine $8$ birimdir.

Cismin dikdörtgenler prizması olması için ortadaki yükseklik ($2t$) uçlardaki yüksekliğe ($6 - t$) eşit olmalıdır:

$2t = 6 - t \Rightarrow t = 2$

Yeni yükseklik $4$ birimdir. Hacimle kontrol: $6 \cdot 8 \cdot 10 = 480$ ve $15 \cdot 8 \cdot 4 = 480$.

$\text{Yüzey alanı} = 2 \cdot (15 \cdot 8 + 15 \cdot 4 + 8 \cdot 4) = 2 \cdot 212 = 424$

Tuzak: Parçalar yer değiştirince hacim korunur ama yüzey alanı korunmaz; ilk prizmanın alanı $376$ birimkaredir.

Üç küp iki farklı biçimde birleşir: yan yana dizilerek $1 \times 1 \times 3$ boyutlu dikdörtgenler prizması ya da L biçimli bir cisim.

Köşeleri tam sayı koordinatlı alalım. İki köşenin koordinat farkları $p$, $q$, $r$ ise aralarındaki uzaklık, cisim köşegeni bağıntısındaki gibi $\sqrt{p^2 + q^2 + r^2}$ olur.

Prizmada farklar en çok $3$, $1$, $1$ olabilir:

• $3^2 + 0 + 0 = 9$
• $3^2 + 1^2 + 0 = 10$
• $3^2 + 1^2 + 1^2 = 11$

L biçimli cisimde iki kolun uç köşeleri arasında farklar $2$, $2$, $0$ olabilir: $2^2 + 2^2 = 8$.

Geriye $7$ kalıyor. Kareler yalnızca $0$, $1$, $4$, $9$ olabilir ve bunlardan üçünün toplamı $7$ etmez: $4 + 1 + 1 = 6$, $4 + 4 + 0 = 8$. Hangi cisim kurulursa kurulsun uzaklık $\sqrt{7}$ olamaz.

Tuzak: Yalnızca düz dizilişi düşünürsen $\sqrt{8}$ de elde edilemez görünür; L biçimini unutma.

Tabanın hipotenüsü $\sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ birimdir. Taban çevresi $5 + 12 + 13 = 30$ birim, taban alanı $\dfrac{5 \cdot 12}{2} = 30$ birimkaredir.

Yanal alan $= \text{Ç} \cdot h = 30 \cdot 10 = 300$ birimkare.

Yüzey alanı $= 300 + 2 \cdot 30 = 360$ birimkare.

Tuzak: $300$ yalnızca yanal alandır (aynı zamanda hacmin sayısal değeridir); iki tabanı eklemeyi unutma. Taban alanında ikiye bölmeyi unutursan $420$ bulursun.

Tabanın merkezinin taban ayrıtına uzaklığı $\dfrac{12}{2} = 6$ birimdir. Yükseklik, bu uzaklık ve yan yüz yüksekliği bir dik üçgen oluşturur:

$h = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$

$V = \dfrac{T \cdot h}{3} = \dfrac{144 \cdot 8}{3} = 384$

Tuzak: Yan yüz yüksekliğini doğrudan yükseklik alırsan $\dfrac{144 \cdot 10}{3} = 480$ bulursun. Üçe bölmeyi unutursan $1152$ çıkar.

Taban altı eşkenar üçgenden oluşur: $T = 6 \cdot \dfrac{2^2\sqrt{3}}{4} = 6\sqrt{3}$ birimkare.

$V = T \cdot h \Rightarrow 18\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \cdot h \Rightarrow h = 3$

Düzgün altıgenin en uzun köşegeni merkezden geçer ve kenarın iki katıdır: $2 \cdot 2 = 4$ birim. Bu köşegenin bir ucundaki alt köşe ile diğer ucunun üstündeki üst köşe, dik kenarları $4$ ve $3$ olan bir dik üçgenin hipotenüsünü verir:

$\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$

Tuzak: Tabanın kısa köşegenini ($2\sqrt{3}$) kullanırsan $\sqrt{21}$, bir taban ayrıtını kullanırsan $\sqrt{13}$ bulursun; bunlar da köşeler arası uzaklıktır ama en büyüğü değildir.

Ayrıtlar $a$, $b$, $c$ olsun: $ab = 12$, $bc = 20$, $ac = 15$.

Üç eşitliği taraf tarafa çarp:

$(abc)^2 = 12 \cdot 20 \cdot 15 = 3600 \Rightarrow abc = 60$

Hacim $60$ birimküptür. Kontrol: $a = 3$, $b = 4$, $c = 5$ üç eşitliği de sağlar.

Tuzak: Üç alanı toplarsan $47$, toplamın iki katını alırsan yüzey alanını ($94$) bulursun; soru hacmi istiyor.

Piramidin taban ayrıtı $6$, yüksekliği de küpün ayrıtı kadar, yani $6$ birimdir.

Merkezin taban ayrıtına uzaklığı $3$ birimdir. Yan yüz yüksekliği:

$y = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

Bir yan yüzün alanı $\dfrac{6 \cdot 3\sqrt{5}}{2} = 9\sqrt{5}$, dört yan yüzün alanı $36\sqrt{5}$ birimkaredir.

Yüzey alanı $= 36 + 36\sqrt{5}$ birimkare.

Tuzak: Yan yüz yüksekliğini $6$ alırsan $36 + 4 \cdot 18 = 108$ bulursun. Yan yüz eğiktir; yüksekliği piramidin yüksekliğinden büyüktür.

Ayrıtlar $a$, $b$, $c$ olsun. Prizmada her ayrıttan dörder tane vardır:

$4(a + b + c) = 44 \Rightarrow a + b + c = 11$

Cisim köşegeni: $a^2 + b^2 + c^2 = 7^2 = 49$.

Tam kare açılımı:

$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$

$121 = 49 + 2(ab + bc + ca) \Rightarrow 2(ab + bc + ca) = 72$

Sol taraf tam olarak yüzey alanıdır: $72$ birimkare. Kontrol: ayrıtları $2$, $3$, $6$ olan prizma verilenleri sağlar ve alanı $2(6 + 18 + 12) = 72$ olur.

Tuzak: Ayrıt toplamını $a + b + c = 44$ almak; prizmanın $12$ ayrıtı vardır.