14Konu 14 / 49
Fonksiyonlar ve Cebir

İkinci Dereceden Fonksiyonlar:Parabol

İkinci dereceden fonksiyonun grafiği olan parabolü tepe noktası, simetri ekseni ve eksen kesimleriyle çizmeyi, denklemini kurmayı, doğruyla durumunu incelemeyi ve en büyük, en küçük değer problemlerini çözmeyi öğren.

11. sınıf
AYT sıklığı
55 dk

Levhaİkinci Dereceden Fonksiyonlarİkinci Dereceden Fonksiyonlar

Yerden $1$ metre yükseklikten yukarı doğru fırlatılan bir topun $t$ saniye sonraki yüksekliği yaklaşık $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ metredir. Top en fazla kaç metre yükselir ve bunu kaçıncı saniyede yapar?

Yüksekliğin zamana göre grafiği bir paraboldür ve sorunun cevabı bu eğrinin en üst noktasında, tepe noktasında yazılıdır. Bu sayfanın sonunda o noktayı tek satırda bulacaksın.

Isınma

Başlamadan önce

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Parabol, ikinci dereceden denklemler ve fonksiyonlar üzerine kurulur. Üç kısa soruyla hazır mısın, bak.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

x^2 - 5x + 6 = 0

denkleminin kökleri hangileridir?

Açıklama

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ olduğundan kökler $2$ ve $3$ ‘tür. Toplamları $5$ , çarpımları $6$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(x) = x^2 - 3

için

f(-2)

kaçtır?

Açıklama

$f(-2) = (-2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

x^2 - 4x + 4 = 0

denkleminin kaç farklı gerçel kökü vardır?

Açıklama

$\Delta = b^2 - 4ac = 16 - 16 = 0$ . Denklem $(x - 2)^2 = 0$ biçimindedir; tek kökü $x = 2$ ‘dir.

Temel

Parabolü tanı: yön, tepe, simetri

Parabol nedir?

Kuralında $x^2$ bulunan en yalın fonksiyon $f(x) = x^2$ ‘dir. $x$ yerine $-2, -1, 0, 1, 2$ yazınca $4, 1, 0, 1, 4$ çıkar: değerler önce azalır, $0$ ‘da dibe vurur, sonra aynı adımlarla geri yükselir. Bu noktaları birleştiren çanak biçimli eğriye parabol denir.

$a = 0$ olursa $x^2$ ‘li terim kaybolur ve grafik bir doğruya dönüşür; bu yüzden $a \neq 0$ şartı vardır.

$a$ katsayısı: kolların yönü ve açıklığı

Önce en sade aileye bak: $y = ax^2$ . Sahnede $a$ sürgüsünü oynat. $a$ pozitifken kollar yukarı, negatifken aşağı bakar. $\lvert a \rvert$ büyüdükçe kollar $y$ eksenine yaklaşır (parabol daralır), küçüldükçe kollar yayılır.

y = ax^2

ailesi:

a

'nın işareti yönü, büyüklüğü açıklığı belirler.

Neden? $\lvert x \rvert$ büyüdükçe $ax^2$ terimi $bx + c$ ‘yi ezer geçer. $a > 0$ ise bu terim çok büyük pozitif, $a < 0$ ise çok büyük negatif olur; kolların gittiği yönü o belirler.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Aşağıdaki parabollerden hangisinin kolları aşağı doğrudur ve diğer aşağı kollu parabolden daha dardır?

Açıklama

Kolları aşağı bakanlar $a < 0$ olanlardır: $y = -3x^2$ ve $y = -\frac14 x^2$ . Bunlardan $\lvert a \rvert$ değeri büyük olan, yani $y = -3x^2$ daha dardır.

Tepe noktası ve simetri ekseni

Parabolün döndüğü noktaya tepe noktası denir: kollar yukarıysa en alt, aşağıysa en üst noktadır. Tepe noktasından geçen düşey doğru parabolü birbirinin ayna görüntüsü olan iki yarıya böler; bu doğruya simetri ekseni denir.

$y = x^2$ parabolünün tepe noktası $(0, 0)$ ‘dır. Sahnede $r$ ve $k$ sürgüleriyle parabolü sağa sola, yukarı aşağı taşı: biçim hiç değişmez, yalnızca tepe noktası $(r, k)$ noktasına gider. Elde ettiğin eğrinin kuralı $y = (x - r)^2 + k$ olur. Aynı taşımayı $y = ax^2$ parabolüne uygularsan $y = a(x - r)^2 + k$ elde edersin.

Neden $T(r, k)$ ? $(x - r)^2$ hiçbir zaman negatif olmaz ve yalnızca $x = r$ iken sıfırdır. Yani $a > 0$ ise $y$ en az $k$ olur ve bu değeri $x = r$ ‘de alır; $a < 0$ ise $y$ en çok $k$ olur.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

y = (x + 1)^2 + 4

parabolünün tepe noktası hangisidir?

Açıklama

$y = (x - (-1))^2 + 4$ olduğundan $r = -1$ , $k = 4$ ve $T(-1, 4)$ .

$ax^2 + bx + c$ biçiminde tepe noktası

Parabol çoğu zaman açık biçimde, $f(x) = ax^2 + bx + c$ olarak verilir. Simetriyi kullan: $f(0) = c$ ‘dir. Aynı yükseklikteki öteki noktayı bulmak için $ax^2 + bx + c = c$ çöz; $x(ax + b) = 0$ yani $x = 0$ ya da $x = -\frac{b}{a}$ . Simetri ekseni bu iki noktanın tam ortasından geçer ( $b = 0$ ise iki nokta çakışır; eksen $x = 0$ ‘dır).

Bu parabolün de bir simetri ekseni olduğunu tam kareye tamamlayarak görürsün:

ax^2 + bx + c = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + c - \dfrac{b^2}{4a}

Yani her $ax^2 + bx + c$ parabolü, $r = -\dfrac{b}{2a}$ olan bir tepe noktası biçimidir.

y = x^2 - 4x + 3

: simetri ekseninden eşit uzaklıktaki noktalar aynı yüksekliktedir.

Örnek

kolay

Tepe noktası ve simetri ekseni

$f(x) = x^2 - 4x + 3$ parabolünün tepe noktasını ve simetri eksenini bul.

Katsayıları oku: $a = 1$ , $b = -4$ , $c = 3$ . Tepe noktasının apsisi için yalnızca $a$ ve $b$ gerekir.

$r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-4}{2 \cdot 1} = 2$ . Simetri ekseni $x = 2$ doğrusudur.

Ordinat, fonksiyonun bu noktadaki değeridir: $k = f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$ .

Sonuç

$T(2, -1)$ , simetri ekseni $x = 2$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

y = x^2 + 6x + 1

parabolünün tepe noktasının apsisi kaçtır?

Açıklama

$r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{6}{2} = -3$ .

Eksenleri kestiği noktalar

Bir grafiğin $y$ eksenini kestiği noktada $x = 0$ , $x$ eksenini kestiği noktalarda $y = 0$ ‘dır. Sahnede parabolü aşağı yukarı kaydır: $y$ eksenini hep tek noktada keser, ama $x$ eksenini iki noktada kesebilir, ona tek noktada değebilir ya da hiç ulaşmayabilir.

Diskriminantın işareti parabolün

x

ekseniyle durumunu söyler.

Kökler varsa simetri ekseni tam ortalarından geçer: $r = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$ . Çarpanlarına ayrılmış bir parabolde tepe apsisini bulmanın en hızlı yolu budur.

Örnek

kolay

Dört noktayla grafik çizimi

$f(x) = -x^2 + 2x + 3$ fonksiyonunun grafiğini çizmek için gereken noktaları bul.

Yön: $a = -1 < 0$ olduğundan kollar aşağı doğrudur.

$y$ eksenini kestiği nokta: $f(0) = 3$ , yani $(0, 3)$ .

$x$ eksenini kestiği noktalar: $-x^2 + 2x + 3 = 0$ denklemini $-1$ ile çarp, $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) = 0$ . Kökler $x = -1$ ve $x = 3$ .

Tepe noktası: apsis köklerin ortasıdır, $r = \dfrac{-1 + 3}{2} = 1$ . Ordinat $k = f(1) = -1 + 2 + 3 = 4$ .

Sonuç

Kollar aşağı; $(-1, 0)$ , $(3, 0)$ , $(0, 3)$ ve tepe noktası $T(1, 4)$

Tepe noktası = en büyük ya da en küçük değer

Tepe noktası parabolün en alt ya da en üst noktası olduğundan, fonksiyonun alabileceği en küçük ya da en büyük değer tepe noktasının ordinatıdır.

Örnek

kolay

En küçük değer

$f(x) = 2x^2 + 12x + 13$ fonksiyonunun en küçük değeri kaçtır? Bu değeri hangi $x$ için alır?

$a = 2 > 0$ olduğundan kollar yukarı doğrudur; en küçük değer vardır ve tepe noktasındadır.

$r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{12}{4} = -3$ .

$k = f(-3) = 2 \cdot 9 - 36 + 13 = -5$ .

Sonuç

En küçük değer $-5$ ‘tir ve $x = -3$ için alınır.

Kancadaki topa dön: $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ için $r = -\dfrac{20}{2 \cdot (-5)} = 2$ ve $h(2) = -20 + 40 + 1 = 21$ . Top $2$ . saniyede en fazla $21$ metreye çıkar.

Orta

Katsayıları oku, denklemi kur, doğruyla karşılaştır

Katsayılar grafiği nasıl değiştirir?

$a$ ‘nın yönü ve açıklığı belirlediğini gördün. Şimdi $a = 1$ sabitken sahnede $b$ ve $c$ sürgülerini tek tek oynat. $c$ değişince parabol biçimini koruyarak düşeyde kayar, çünkü $(0, c)$ noktası $y$ ekseninde kayar. $b$ değişince tepe noktası hem yatayda hem düşeyde yer değiştirir; $b = 0$ olduğunda simetri ekseni $y$ ekseninin kendisidir.

Noktalı eğri, $b$ değişirken tepe noktasının izlediği yoldur.

Grafiği verilen bir parabolün katsayılarının işaretini üç bakışta okursun:

Bakılan yer	Okunan
Kolların yönü	$a$ ‘nın işareti
$y$ eksenini kestiği nokta	$c$ ‘nin işareti
Tepe noktası $y$ ekseninin hangi yanında	$r = -\frac{b}{2a}$ üzerinden $b$ ‘nin işareti

Örnek

orta

Grafikten katsayıların işareti

Aşağıda $f(x) = ax^2 + bx + c$ parabolü verilmiştir. $a$ , $b$ ve $c$ sayılarının işaretlerini bul.

Kollar aşağı doğru: $a < 0$ .

Parabol $y$ eksenini $x$ ekseninin üstünde kesiyor: $f(0) = c > 0$ .

Tepe noktası $y$ ekseninin solunda: $-\dfrac{b}{2a} < 0$ , yani $\dfrac{b}{a} > 0$ . $a$ negatif olduğundan $b$ de negatiftir.

Sonuç

$a < 0$ , $b < 0$ , $c > 0$

Parabolün denklemini yazmak

Üç bilinmeyen katsayı ( $a$ , $b$ , $c$ ) olduğu için parabolü belirlemek üzere üç bilgi gerekir. Program iki durumu ister: tepe noktası ile bir nokta ya da biri $y$ ekseni üzerinde olan üç nokta.

Sahnede parabolün geçeceği $A$ noktasını aşağı yukarı sürükle; $T$ sürgüsüyle tepe noktasını üç hazır konum arasında değiştir. Tepe noktası $r$ ve $k$ ‘yi sabitler; geriye tek bilinmeyen, $a$ kalır. $A$ noktası yukarı çıktıkça $a$ ‘nın nasıl büyüdüğünü izle.

Örnek

orta

Tepe noktası ve bir noktadan denklem

Tepe noktası $T(2, -3)$ olan ve $A(4, 5)$ noktasından geçen parabolün denklemini yaz.

Tepe noktası bilindiği için tepe noktası biçimi en kısa yoldur: $y = a(x - 2)^2 - 3$ .

$A(4, 5)$ parabolün üzerindedir, denklemi sağlar: $5 = a(4 - 2)^2 - 3$ , buradan $4a = 8$ ve $a = 2$ .

Açık biçim istenirse parantezi aç: $y = 2(x^2 - 4x + 4) - 3 = 2x^2 - 8x + 5$ .

Sonuç

$y = 2(x - 2)^2 - 3 = 2x^2 - 8x + 5$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

y = a(x - 1)^2 + 2

parabolü

(0, 5)

noktasından geçiyor.

a

kaçtır?

Açıklama

$5 = a(0 - 1)^2 + 2 = a + 2$ , buradan $a = 3$ .

Örnek

orta

Biri y ekseninde üç noktadan denklem

$(0, 1)$ , $(1, 2)$ ve $(2, 7)$ noktalarından geçen parabolün denklemini yaz.

$y = ax^2 + bx + c$ yaz. $(0, 1)$ noktası $y$ ekseni üzerindedir ve doğrudan $c = 1$ verir.

$(1, 2)$ : $a + b + 1 = 2$ , yani $a + b = 1$ . $(2, 7)$ : $4a + 2b + 1 = 7$ , yani $2a + b = 3$ .

İkinci denklemden birinciyi çıkar: $a = 2$ . Yerine koy: $b = -1$ .

Sonuç

$y = 2x^2 - x + 1$

Parabol ile doğrunun birbirine göre durumu

Bir parabol ile bir doğrunun ortak noktalarında iki denklem de aynı $y$ değerini verir. O hâlde iki kuralı birbirine eşitle; çıkan ikinci dereceden denklemin her gerçel kökü bir ortak noktanın apsisidir.

Sahnede $y = x^2$ parabolü ile $y = 2x + n$ doğrusu var. $n$ sürgüsüyle doğruyu aşağı indir: iki kesim noktası birbirine yaklaşır, $n = -1$ ‘de tek noktada birleşir (doğru teğet olur), daha aşağıda ortak nokta kalmaz. Ekrandaki $\Delta$ değerinin işaretini izle. Sonra anahtarla doğruyu yatay yap ( $y = n$ ) ve teğetliğin bu kez $n = 0$ ‘da, tepe noktasında olduğunu gör.

y = x^2

ve eğimi 2 olan üç doğru: iki nokta, teğet, kesişmez.

Örnek

orta

Teğetlik koşulu

$y = x^2 - 3x + k$ parabolü $y = x - 2$ doğrusuna teğettir. $k$ kaçtır? Değme noktasını bul.

Ortak noktalar için kuralları eşitle: $x^2 - 3x + k = x - 2$ . Hepsini sola topla: $x^2 - 4x + (k + 2) = 0$ .

Teğetlik tek ortak nokta demektir, yani $\Delta = 0$ : $16 - 4(k + 2) = 0$ , buradan $k = 2$ .

$k = 2$ için denklem $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 = 0$ olur; $x = 2$ . Doğruda yerine koy: $y = 2 - 2 = 0$ .

Sonuç

$k = 2$ , değme noktası $(2, 0)$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

y = x^2 - 2x + 3

parabolü ile

y = 2

doğrusunun kaç ortak noktası vardır?

Açıklama

$x^2 - 2x + 3 = 2$ ise $(x - 1)^2 = 0$ , tek kök $x = 1$ . Doğru parabole tepe noktası $(1, 2)$ ‘de teğettir.

İleri

Modelleme, kısıtlar ve birleşik sorular

En büyük, en küçük değer problemleri

Bir büyüklük tek değişkene bağlı ikinci dereceden bir ifadeyle yazılabiliyorsa en büyük ya da en küçük değeri tepe noktasındadır. İş üç adımdır: değişkeni seç, istenen büyüklüğü o değişkenle yaz, tepe noktasını bul.

$40$ metre çitle dikdörtgen bir bahçe çevrilecek. Bir kenar $x$ ise diğeri $20 - x$ , alan $A(x) = x(20 - x)$ olur. Sahnede $x$ sürgüsünü oynat: dikdörtgen incelip kalınlaşırken alan grafikteki parabol üzerinde gezinir ve kare olduğunda ( $x = 10$ ) tepeye ulaşır.

A(x) = x(20 - x)

: kökler 0 ve 20, tepe apsisi tam ortaları.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Toplamları

10

olan iki gerçel sayının çarpımı en fazla kaçtır?

Açıklama

Sayılar $x$ ve $10 - x$ olsun. $P(x) = x(10 - x)$ parabolünün kökleri $0$ ve $10$ , tepe apsisi $5$ ‘tir. En büyük çarpım $P(5) = 25$ .

Örnek

zor

Fiyat ve gelir

Bir kafe, kahvenin bardağını $60$ TL’den sattığında günde $200$ bardak satıyor. Fiyata yapılan her $5$ TL’lik zam günlük satışı $10$ bardak azaltıyor. Günlük gelirin en fazla olması için bardak fiyatı kaç TL olmalıdır? Bu durumda gelir kaç TL olur?

Değişkeni zam sayısı olarak seç: $k$ kez zam yapılsın. Fiyat $60 + 5k$ TL, satış $200 - 10k$ bardak olur.

Gelir, fiyat ile satış adedinin çarpımıdır: $G(k) = (60 + 5k)(200 - 10k) = 50(12 + k)(20 - k)$ .

Çarpanlı biçimi açma. Kökler $k = -12$ ve $k = 20$ ; baş katsayı negatif olduğundan kollar aşağıdır ve en büyük değer tepe noktasındadır: $k = \dfrac{-12 + 20}{2} = 4$ .

Fiyat $60 + 5 \cdot 4 = 80$ TL, satış $200 - 40 = 160$ bardak, gelir $80 \cdot 160 = 12\,800$ TL. Kontrol: $75 \cdot 170 = 12\,750$ ve $85 \cdot 150 = 12\,750$ ; ikisi de daha az.

Sonuç

Fiyat $80$ TL olmalıdır; en büyük gelir $12\,800$ TL’dir.

Örnek

zor

Parabol biçimli kemer

Parabol biçimli bir tünel kemerinin tabandaki genişliği $12$ metre, en yüksek noktasının yerden yüksekliği $9$ metredir. Tünelin tam ortasından geçen, $6$ metre genişliğinde ve dikdörtgen kesitli bir aracın yüksekliği en fazla kaç metre olabilir?

Koordinat sistemini kendin kur: zemini $x$ ekseni, kemerin simetri eksenini $y$ ekseni al. Tepe noktası $(0, 9)$ , kemerin yere değdiği noktalar $(-6, 0)$ ve $(6, 0)$ olur.

Tepe noktası biçimi: $y = ax^2 + 9$ . $(6, 0)$ noktasını yerine koy: $36a + 9 = 0$ , $a = -\dfrac{1}{4}$ . Kemer: $y = -\dfrac{x^2}{4} + 9$ .

Araç ortadan geçtiği için kenarları $x = -3$ ve $x = 3$ doğrularındadır. En kritik yer üst köşelerdir; orada kemerin yüksekliği $y = -\dfrac{9}{4} + 9 = \dfrac{27}{4}$ .

Sonuç

Aracın yüksekliği en fazla $\dfrac{27}{4} = 6{,}75$ metre olabilir.

Tanım kümesi kısıtlıysa

Gerçek problemlerde değişken her değeri alamaz. Tepe noktası izin verilen aralığın dışında kalırsa en büyük ve en küçük değerler aralığın uçlarında aranır.

Kısa bir deneme: $f(x) = x^2 - 4x + 1$ için $[0, 5]$ aralığında $r = 2$ aralıktadır. En küçük değer $f(2) = -3$ ; $2$ ‘ye daha uzak uç $5$ olduğundan en büyük değer $f(5) = 6$ ‘dır.

Örnek

zor

Kapalı aralıkta en büyük ve en küçük değer

$f(x) = x^2 - 4x + 1$ fonksiyonunun $[3, 6]$ aralığındaki en küçük ve en büyük değerlerinin toplamı kaçtır?

Tepe apsisi $r = -\dfrac{-4}{2} = 2$ . Bu değer $[3, 6]$ aralığında değildir; $f(2) = -3$ cevaba girmez.

Kollar yukarı olduğundan fonksiyon tepe noktasının sağında, yani $x \geq 2$ için artandır. $[3, 6]$ aralığı bütünüyle bu bölgededir.

Artan fonksiyon en küçük değerini sol uçta, en büyük değerini sağ uçta alır: $f(3) = 9 - 12 + 1 = -2$ ve $f(6) = 36 - 24 + 1 = 13$ .

Sonuç

$-2 + 13 = 11$

Birden çok koşulu birleştirmek

Zor sorular yeni bilgi istemez; iki bildiğini aynı anda kullandırır. Aşağıdaki örnekte teğetlik denklemi iki aday verir, tepe noktasının yeri birini eler.

Örnek

zor

Teğetlik ve tepe noktasının yeri

$y = x^2 + (m - 2)x + 4$ parabolü $x$ eksenine teğettir ve tepe noktası $y$ ekseninin sağındadır. $m$ kaçtır?

$x$ eksenine teğet olmak $\Delta = 0$ demektir: $(m - 2)^2 - 16 = 0$ . Buradan $m - 2 = 4$ ya da $m - 2 = -4$ , yani $m = 6$ ya da $m = -2$ .

İkinci koşul adayları eler. Tepe apsisi $r = -\dfrac{m - 2}{2}$ ‘dir. $m = 6$ için $r = -2$ (solda), $m = -2$ için $r = 2$ (sağda).

Kontrol: $m = -2$ için $y = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$ ; tepe noktası $(2, 0)$ , $x$ eksenine teğet ve $y$ ekseninin sağında.

Sonuç

$m = -2$

Sahnede dene

Sahnede $c = 4$ al ve $b$ sürgüsünü $-4$ ile $4$ arasında gezdir. Parabolün $x$ eksenine iki kez teğet olduğunu, birinde tepe noktasının sağda, diğerinde solda kaldığını gör.

Özet

Parabol: akılda kalacaklar

$f(x) = ax^2 + bx + c$ ( $a \neq 0$ ) fonksiyonunun grafiği paraboldür. $a > 0$ ise kollar yukarı, $a < 0$ ise aşağı; $\lvert a \rvert$ büyüdükçe parabol daralır.
Tepe noktası $T(r, k)$ : $r = -\dfrac{b}{2a}$ , $k = f(r)$ . Simetri ekseni $x = r$ . Kökler varsa $r = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$ .
$y$ eksenini $(0, c)$ ‘de keser. $x$ ekseniyle durumu $\Delta = b^2 - 4ac$ belirler: iki nokta, teğet ya da kesmez.
En küçük ( $a > 0$ ) ya da en büyük ( $a < 0$ ) değer $k$ ‘dir ve $x = r$ ‘de alınır. Aralık kısıtlıysa önce $r$ aralıkta mı, ona bak.
Denklem yazarken: tepe noktası verilmişse $y = a(x - r)^2 + k$ ; kökler verilmişse $y = a(x - x_1)(x - x_2)$ ; $(0, c)$ verilmişse $y = ax^2 + bx + c$ .
Doğruyla durum: kuralları eşitle, tek tarafa topla, çıkan denklemin $\Delta$ ‘sına bak. $\Delta = 0$ teğetlik demektir.
Modelleme: değişkeni seç, büyüklüğü yaz, tepe noktasını bul; sorulanın apsis mi ordinat mı olduğuna dikkat et.

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

8 çıkmış soru5 özgün soru

2026 AYTSoru 12

Orta

Denklem yazma

Dik koordinat düzleminde simetri ekseni $y$ ekseni olan bir parabol, $x$ eksenini aralarındaki uzaklık $2$ birim olan iki noktada kesiyor. Parabol $y$ eksenine paralel olarak $1$ birim yukarı kaydırılınca $x$ eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık $10$ birim oluyor.

Parabol aynı yönde $1$ birim daha yukarı kaydırılırsa $x$ eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık kaç birim olur?

İpucu

Simetri ekseni $y$ ekseni olan parabolün kökleri birbirinin ters işaretlisidir. Parabolü kökleriyle yaz; yukarı kaydırmak kurala sabit eklemektir.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 30)

Çözüm

İlk parabol. Simetri ekseni $y$ ekseni olduğundan kökler $-p$ ve $p$ biçimindedir. Aralarındaki uzaklık $2$ ise kökler $-1$ ve $1$ 'dir:

y = a(x - 1)(x + 1) = a(x^2 - 1)

Birinci kaydırma. $1$ birim yukarı: $y = a(x^2 - 1) + 1$ . Simetri ekseni değişmez; yeni kökler arası uzaklık $10$ olduğundan kökler $\pm 5$ 'tir. $x = 5$ yaz: $24a + 1 = 0$ , $a = -\dfrac{1}{24}$ . (Kollar aşağı; yukarı kaydırınca kökler bu yüzden açılıyor.)

İkinci kaydırma. $y = -\dfrac{1}{24}(x^2 - 1) + 2 = 0$ ise $x^2 - 1 = 48$ , $x^2 = 49$ , $x = \pm 7$ .

Kökler arası uzaklık $7 - (-7) = 14$ birimdir.

Tuzak: uzaklığın her kaydırmada aynı miktarda ( $8$ birim) artacağını sanıp $18$ aramak. Eşit adımlarla artan şey köklerin kendisi değil karesidir: $1$ , $25$ , $49$ .

Cevap: C

2024 AYTSoru 19

Orta

Parabol ile doğrunun durumu

$a$ ve $b$ gerçel sayılardır. Dik koordinat düzleminde $y = x^2 + ax + b$ parabolü hem $x$ eksenine hem de $y = x$ doğrusuna teğettir.

Buna göre $a \cdot b$ çarpımı kaçtır?

İpucu

İki ayrı teğetlik, iki ayrı denklemin diskriminantının sıfır olması demektir. $x$ ekseni de bir doğrudur: $y = 0$ .

ÖSYM kitapçığında gör (s. 30)

Çözüm

$x$ eksenine teğet. $x^2 + ax + b = 0$ denkleminin çift katlı kökü vardır:

a^2 - 4b = 0

$y = x$ doğrusuna teğet. Kuralları eşitle ve tek tarafa topla: $x^2 + ax + b = x$ , yani $x^2 + (a - 1)x + b = 0$ . Bu denklemin de diskriminantı sıfırdır:

(a - 1)^2 - 4b = 0

Birleştir. İki eşitlikte de $4b$ var: $a^2 = (a - 1)^2$ . Açınca $a^2 = a^2 - 2a + 1$ , buradan $a = \dfrac{1}{2}$ .

$b = \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{1}{16}$ ve $a \cdot b = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{32}$ .

Kontrol: $y = x^2 + \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{16} = \left(x + \dfrac14\right)^2$ parabolü $x$ eksenine teğettir; $y = x$ ile eşitlenince $\left(x - \dfrac14\right)^2 = 0$ çıkar.

Cevap: E

2024 AYTSoru 22

Orta

En büyük ve en küçük değer problemleri

Dik koordinat düzleminde $y = 2 + 3x$ ve $y = 12 - x$ doğruları ile pozitif $x$ ve $y$ eksenlerinin sınırladığı boyalı bölge şekilde verilmiştir.

Bu bölgenin içine, bir kenarı $x$ ekseni üzerinde duran ve birer köşesi $y = 2 + 3x$ ile $y = 12 - x$ doğruları üzerinde bulunan dikdörtgenler çiziliyor.

Buna göre bu dikdörtgenlerden alanı en büyük olanın $x$ ekseni üzerindeki kenarı kaç birimdir?

İpucu

Dikdörtgenin üst iki köşesi aynı yüksekliktedir. Değişken olarak bu yüksekliği seç ve iki köşenin apsisini onun cinsinden yaz.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 31)

Çözüm

Değişken. Dikdörtgenin yüksekliği $h$ olsun. Üst köşelerin ikisinin de ordinatı $h$ 'dir.

Sol üst köşe $y = 2 + 3x$ üzerinde: $h = 2 + 3x_1$ , yani $x_1 = \dfrac{h - 2}{3}$ .
Sağ üst köşe $y = 12 - x$ üzerinde: $h = 12 - x_2$ , yani $x_2 = 12 - h$ .

Taban.

x_2 - x_1 = 12 - h - \dfrac{h - 2}{3} = \dfrac{38 - 4h}{3}

Alan. $A(h) = \dfrac{h(38 - 4h)}{3}$ . Bu, kolları aşağı bakan bir paraboldür; kökleri $h = 0$ ve $h = \dfrac{19}{2}$ . En büyük değer köklerin ortasında, $h = \dfrac{19}{4}$ için alınır.

İstenen kenar. $\dfrac{38 - 4 \cdot \frac{19}{4}}{3} = \dfrac{19}{3}$ birim.

Geçerlilik: sol köşenin bölgede kalması için $x_1 \geq 0$ , yani $h \geq 2$ gerekir; $h = \dfrac{19}{4}$ bunu sağlar ve doğruların kesiştiği $\dfrac{19}{2}$ yüksekliğinin altındadır.

Tuzak: $h = \dfrac{19}{4}$ değerini cevap sanmak. Sorulan yükseklik değil, tabandır.

Cevap: B

2023 AYTSoru 21

Orta

Katsayıların işareti

$a$ , $b$ ve $c$ gerçel sayıları $a \cdot b \cdot c > 0$ koşulunu sağlıyor. Gerçel sayılarda bir $f$ fonksiyonu

f(x) = ax^2 + bx + c

kuralıyla tanımlanıyor.

Buna göre $f$ fonksiyonunun grafiği, şekildeki I, II ve III numaralı grafiklerden hangileri olabilir?

İpucu

Her grafikte üç işareti ayrı ayrı oku: kolların yönü $a$ 'yı, $y$ eksenindeki kesim $c$ 'yi, tepe noktasının $y$ eksenine göre yeri $b$ 'yi verir.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 30)

Çözüm

Her grafik için üç işareti oku, sonra çarpımın işaretine bak. Tepe noktası $y$ ekseninin sağındaysa $-\dfrac{b}{2a} > 0$ , yani $a$ ile $b$ ters işaretlidir; solundaysa aynı işaretlidir.

Grafik	Kollar	$y$ eksenini kestiği yer	Tepe noktası	$a$ , $b$ , $c$	$a \cdot b \cdot c$
I	yukarı	negatif	sağda	$+$ , $-$ , $-$	$+$
II	aşağı	pozitif	sağda	$-$ , $+$ , $+$	$-$
III	yukarı	pozitif	solda	$+$ , $+$ , $+$	$+$

Çarpım I ve III'te pozitif, II'de negatiftir. Grafik I ya da III olabilir.

Tuzak: yalnızca $a$ ve $c$ 'ye bakıp $b$ 'yi atlamak. II numaralı grafiği eleyen şey $b$ 'nin işaretidir.

Cevap: C

2020 AYTSoru 19

Orta

Katsayıların işareti

$a$ , $b$ ve $c$ gerçel sayılardır.

y = ax^2 + bx + c

parabolü $y = 1$ doğrusunu $B$ ve $C$ noktalarında, $y = 6$ doğrusunu ise yalnızca $A$ noktasında kesiyor. $A$ , $B$ ve $C$ noktalarının dik koordinat düzlemindeki yerleri şekilde verilmiştir.

Buna göre $a$ , $b$ ve $c$ sayılarının işaretleri sırasıyla hangisidir?

İpucu

Yatay bir doğru parabolü yalnızca tek noktada kesiyorsa o nokta parabolün neresidir? Sonra tepe noktasının $y$ eksenine göre yerine bak.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 29)

Çözüm

$A$ tepe noktasıdır. Yatay bir doğru parabolü tek noktada kesiyorsa ona tepe noktasında teğettir. Demek ki tepe noktası $A$ 'dır ve ordinatı $6$ 'dır.

$a$ 'nın işareti. Parabol, tepe noktasının altındaki $y = 1$ doğrusunu iki noktada kesiyor; yani kollar tepeden aşağı iniyor: $a < 0$ .

$b$ 'nin işareti. $A$ noktası $y$ ekseninin solunda: $-\dfrac{b}{2a} < 0$ , yani $a$ ile $b$ aynı işaretli. $a < 0$ olduğundan $b < 0$ .

$c$ 'nin işareti. $c = y(0)$ 'dır. $x = 0$ , tepe noktasının apsisi ile $C$ noktasının apsisi arasındadır; bu aralıkta parabol $6$ 'dan $1$ 'e iner, yani $1 < c < 6$ ve $c > 0$ .

İşaretler sırasıyla $-$ , $-$ , $+$ olur.

Cevap: E

2019 AYTSoru 17

Orta

Eksenleri kestiği noktalar ve tepe noktası

$0 < x_1 < x_2$ olsun. Gerçel sayılarda

f(x) = (x - x_1)(x - x_2)

kuralıyla tanımlı $f$ fonksiyonunun grafiği olan parabol, koordinat eksenlerini şekilde görülen birbirinden farklı $A$ ve $B$ noktalarında kesiyor.

$A$ ile $B$ noktaları orijine eşit uzaklıktadır ve parabol en küçük değerini $x = \dfrac{3}{5}$ için almaktadır.

Buna göre $\dfrac{x_2}{x_1}$ oranı kaçtır?

İpucu

$A$ ve $B$ noktalarının koordinatlarını $x_1$ ve $x_2$ cinsinden yaz. Tepe noktasının apsisi köklerin ortalamasıdır.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 30)

Çözüm

Noktaları adlandır. Parabol $x$ eksenini $x_1$ ve $x_2$ 'de keser. Şekilde $A$ orijine yakın olan kesim noktasıdır: $A(x_1, 0)$ . $y$ eksenini kestiği nokta $B(0, f(0))$ 'dır ve $f(0) = (-x_1)(-x_2) = x_1 x_2$ olduğundan $B(0, x_1 x_2)$ .

Eşit uzaklık. $|OA| = |OB|$ ise $x_1 = x_1 x_2$ . $x_1 > 0$ olduğu için iki tarafı $x_1$ 'e bölebiliriz: $x_2 = 1$ .

Tepe noktası. Parabol en küçük değerini tepe noktasında alır; tepe apsisi köklerin ortalamasıdır:

\dfrac{x_1 + x_2}{2} = \dfrac{3}{5} \;\Rightarrow\; x_1 + 1 = \dfrac{6}{5} \;\Rightarrow\; x_1 = \dfrac{1}{5}

Sonuç. $\dfrac{x_2}{x_1} = \dfrac{1}{1/5} = 5$ .

Tuzak: $B$ noktasının ordinatını $x_2$ sanmak. $y$ eksenindeki kesim her zaman $f(0)$ 'dır.

Cevap: D

2018 AYTSoru 13

Zor

Tepe noktası ve simetri ekseni

$a$ ve $b$ pozitif gerçel sayılardır. Dik koordinat düzleminde orijinden geçen

p(x) = (x - a)^2 - b

parabolünden yararlanılarak

p(x + a) + b, \qquad p(x + a) - b, \qquad p(x - a) - b

kurallarıyla üç parabol tanımlanıyor. Bu üç parabolün tepe noktaları, alanı $16$ birimkare olan bir üçgenin köşeleridir.

Buna göre $a + b$ toplamı kaçtır?

İpucu

Önce "orijinden geçer" bilgisini kullan. Sonra üç kuralı tek tek $(x - r)^2 + k$ biçiminde yazıp tepe noktalarını oku.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

Orijinden geçme. $p(0) = 0$ olmalı: $a^2 - b = 0$ , yani $b = a^2$ .

Üç parabolün tepe noktaları. $p(x) = (x - a)^2 - b$ kuralında $x$ yerine istenen ifadeyi yaz:

$p(x + a) + b = x^2 - b + b = x^2$ ; tepe noktası $(0, 0)$ .
$p(x + a) - b = x^2 - 2b$ ; tepe noktası $(0, -2b)$ .
$p(x - a) - b = (x - 2a)^2 - 2b$ ; tepe noktası $(2a, -2b)$ .

Üçgen. $(0, 0)$ , $(0, -2b)$ ve $(2a, -2b)$ noktaları, dik kenarları $2b$ ve $2a$ olan bir dik üçgen oluşturur:

\dfrac{2a \cdot 2b}{2} = 2ab = 16 \;\Rightarrow\; ab = 8

Sonuç. $b = a^2$ yazınca $a^3 = 8$ , $a = 2$ ve $b = 4$ . $a + b = 6$ .

Tuzak: $p(x - a)$ ifadesinde parantez $(x - a - a)^2 = (x - 2a)^2$ olur; tepe apsisi $a$ değil $2a$ 'dır.

Cevap: A

2018 AYTSoru 22

Orta

En büyük ve en küçük değer problemleri

Bir internet şirketinin hizmet verebileceği müşteri sayısı en çok $1000$ 'dir ve şirket bu sayıya aylık ücret $40$ TL iken ulaşmaktadır. Şirket, aylık ücrete yaptığı her $5$ TL'lik zammın ardından müşteri sayısının $50$ azaldığını gözlemlemiştir.

Şirketin aylık ücretlerden elde ettiği toplam gelirin en fazla olması için aylık ücret kaç TL olmalıdır?

İpucu

Değişken olarak zam sayısını seç. Gelir, ücret ile müşteri sayısının çarpımıdır; çarpanlı biçimde bırakırsan kökler hazırdır.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 30)

Çözüm

Değişken. Ücrete $k$ kez $5$ TL zam yapılsın. Ücret $40 + 5k$ TL, müşteri sayısı $1000 - 50k$ olur.

Gelir.

G(k) = (40 + 5k)(1000 - 50k) = 250(8 + k)(20 - k)

Tepe noktası. Bu, kolları aşağı bakan bir paraboldür; kökleri $k = -8$ ve $k = 20$ . En büyük değer köklerin ortasında alınır:

k = \dfrac{-8 + 20}{2} = 6

Sonuç. Ücret $40 + 5 \cdot 6 = 70$ TL olmalıdır.

Kontrol: $70$ TL için $700$ müşteri ve $49\,000$ TL gelir; $65$ ve $75$ TL için gelir $48\,750$ TL'dir.

Tuzak: soru en büyük geliri değil, o geliri veren ücreti soruyor.

Cevap: D

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Tepe noktası ve simetri ekseni

$f(x) = -2x^2 + 12x - 13$ parabolünün tepe noktası $T(r, k)$ 'dir.

Buna göre $r + k$ toplamı kaçtır?

Çözüm

$a = -2$ , $b = 12$ için tepe noktasının apsisi

r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{12}{2 \cdot (-2)} = 3

Ordinat, fonksiyonun bu noktadaki değeridir: $k = f(3) = -18 + 36 - 13 = 5$ .

$r + k = 3 + 5 = 8$ .

Sık yapılan hatalar: $k$ 'yi doğru bulup $r$ 'nin işaretini ters yazmak ( $-3 + 5 = 2$ çıkar) ve $k$ yerine sabit terim $-13$ 'ü yazmak (toplam $-10$ çıkar).

Cevap: E

Özgün soru2

Orta

Denklem yazma

Tepe noktası $T(1, -4)$ olan bir parabol $A(3, 4)$ noktasından geçmektedir.

Buna göre bu parabol $y$ eksenini ordinatı kaç olan noktada keser?

İpucu

Tepe noktası verildiğinde $y = a(x - r)^2 + k$ biçimi tek bilinmeyen bırakır.

Çözüm

Tepe noktası biçimini yaz: $y = a(x - 1)^2 - 4$ .

$A(3, 4)$ noktası denklemi sağlar: $4 = a(3 - 1)^2 - 4$ , buradan $4a = 8$ ve $a = 2$ .

Parabol: $y = 2(x - 1)^2 - 4$ . $y$ eksenini kestiği noktada $x = 0$ :

y = 2 \cdot (0 - 1)^2 - 4 = -2

Sık yapılan hatalar: $a$ 'yı bulmadan $a = 1$ kabul etmek ( $y = -3$ çıkar), tepe noktasının ordinatı $k = -4$ 'ü $y$ eksenindeki kesim sanmak ( $-4$ ) ve son adımda $-4$ yerine $+4$ yazmak ( $2 + 4 = 6$ ).

Cevap: C

Özgün soru3

Orta

Parabol ile doğrunun durumu

$m$ bir tam sayıdır. Dik koordinat düzleminde $y = x^2 - 4x + m$ parabolü ile $y = 2x - 3$ doğrusunun ortak noktası yoktur.

Buna göre $m$ 'nin alabileceği en küçük değer kaçtır?

İpucu

Ortak nokta olmaması, iki kuralı eşitleyince çıkan denklemin gerçel kökünün olmaması demektir.

Çözüm

Kuralları eşitle ve tek tarafa topla:

x^2 - 4x + m = 2x - 3 \;\Rightarrow\; x^2 - 6x + (m + 3) = 0

Ortak nokta yoksa bu denklemin gerçel kökü yoktur, $\Delta < 0$ :

36 - 4(m + 3) < 0 \;\Rightarrow\; 24 - 4m < 0 \;\Rightarrow\; m > 6

$m$ tam sayı olduğundan en küçük değer $7$ 'dir.

Tuzaklar: $m = 6$ için $\Delta = 0$ olur, doğru parabole teğettir (bir ortak nokta vardır). Parabolün kendi diskriminantına bakarsan ( $16 - 4m < 0$ ) yanlışlıkla $5$ bulursun; o koşul $x$ ekseniyle ilgilidir.

Cevap: D

Özgün soru4

Orta

En büyük ve en küçük değer problemleri

Bir çiftçi, düz bir duvarın önüne dikdörtgen biçiminde bir ağıl kuracak ve ağılı duvara dik bir çitle iki bölmeye ayıracaktır. Duvar boyunca çit çekilmeyecek; duvara dik üç parça ve duvara paralel bir parça için toplam $60$ metre çit kullanılacaktır.

Buna göre ağılın alanı en fazla kaç metrekare olabilir?

İpucu

Duvara dik parçaların her birine $x$ de. Duvara paralel parçanın uzunluğunu $x$ cinsinden yaz, alanı çarpanlı biçimde bırak.

Çözüm

Duvara dik üç parçanın her biri $x$ metre olsun. Duvara paralel parça için $60 - 3x$ metre çit kalır.

Alan:

A(x) = x(60 - 3x) = 3x(20 - x)

Kolları aşağı bakan bu parabolün kökleri $x = 0$ ve $x = 20$ ; en büyük değer köklerin ortasında, $x = 10$ için alınır:

A(10) = 10 \cdot 30 = 300

Ağıl $10$ metreye $30$ metre olur ve alanı en fazla $300$ metrekaredir.

Tuzak: ara bölmeyi unutup $x(60 - 2x)$ yazarsan $450$ bulursun. Çit kullanılan her parçayı say.

Cevap: B

Özgün soru5

Zor

En büyük ve en küçük değer problemleri

$m$ bir gerçel sayı olmak üzere

f(x) = x^2 - 2mx + m + 6

parabolü veriliyor. $m$ değiştikçe parabolün tepe noktası da yer değiştirmektedir.

Buna göre tepe noktasının ordinatının alabileceği en büyük değer kaçtır?

İpucu

Tepe noktasının ordinatını $m$ cinsinden yaz. Elde ettiğin ifade de $m$ 'ye bağlı ikinci dereceden bir fonksiyondur.

Çözüm

Tepe noktası. $a = 1$ , $b = -2m$ için $r = -\dfrac{-2m}{2} = m$ . Ordinat:

k = f(m) = m^2 - 2m^2 + m + 6 = -m^2 + m + 6

İkinci parabol. $k$ , $m$ 'nin ikinci dereceden bir fonksiyonudur ve baş katsayısı negatiftir; en büyük değerini kendi tepe noktasında alır:

m = -\dfrac{1}{2 \cdot (-1)} = \dfrac{1}{2}

Değer. $k = -\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} + 6 = \dfrac{25}{4}$ .

Kontrol: $m = 0$ için $k = 6$ , $m = 1$ için $k = 6$ ; ikisi de $\dfrac{25}{4} = 6{,}25$ 'ten küçüktür.

Tuzak: $f(m)$ hesabında $-2m \cdot m$ terimini $-2m$ bırakmak ya da $m = \dfrac{1}{2}$ değerini bulduktan sonra yerine koyarken $-m^2$ terimini atlayıp $m + 6$ hesaplamak ( $\dfrac{13}{2}$ çıkar).

Cevap: C

Parabol nedir?

aaa katsayısı: kolların yönü ve açıklığı

Tepe noktası ve simetri ekseni

ax2+bx+cax^2 + bx + cax2+bx+c biçiminde tepe noktası

Tepe noktası ve simetri ekseni

Eksenleri kestiği noktalar

Dört noktayla grafik çizimi

Tepe noktası = en büyük ya da en küçük değer

En küçük değer

Katsayılar grafiği nasıl değiştirir?

Grafikten katsayıların işareti

Parabolün denklemini yazmak

Tepe noktası ve bir noktadan denklem

Biri y ekseninde üç noktadan denklem

Parabol ile doğrunun birbirine göre durumu

Teğetlik koşulu

En büyük, en küçük değer problemleri

Fiyat ve gelir

Parabol biçimli kemer

Tanım kümesi kısıtlıysa

Kapalı aralıkta en büyük ve en küçük değer

Birden çok koşulu birleştirmek

Teğetlik ve tepe noktasının yeri

Özgün sorular

$a$ katsayısı: kolların yönü ve açıklığı

$ax^2 + bx + c$ biçiminde tepe noktası