Maksimum ve Minimum Problemleri

Kenarı $12$ cm olan kare bir kartonun dört köşesinden eş kareler kesip kenarları yukarı katlıyoruz. Ortaya üstü açık bir kutu çıkıyor. Kesilen karenin kenarına $x$ diyelim.

Az kesersen kutu sığ kalır; çok kesersen kutu derinleşir ama tabanı küçülür. İkisinin arasında bir yerde kutu en çok suyu alır.

Yandaki ölçü kabı kutunun aldığı suyu gösteriyor; kabın ağzı $128$ cm³. $x = 1$ iken kutu $100$ cm³, $x = 4$ iken yalnızca $64$ cm³ su alıyor.

Kutunun yüksekliği $x$, tabanı kenarı $12 - 2x$ olan bir kare. Hacim yalnızca $x$'e bağlı. Uzunluklar pozitif olmalı: $x > 0$ ve $12 - 2x > 0$. Bu fonksiyona amaç fonksiyonu denir.

Panodaki eğri her $x$ için hacmi gösteriyor. Kutu panonun altında kendi $x$'inin hizasında duruyor; mavi su çubuğu onun hacmi kadar yükseliyor. Eğri önce çıkıyor, sonra iniyor.

Tepede teğet yataydır, yani türev sıfırdır. $V'(x) = 12(x - 2)(x - 6)$; aralıktaki tek kök $x = 2$. Türev burada artıdan eksiye geçer: en büyük hacim $V(2) = 128$ cm³.

Bir duvarın dibine dikdörtgen bahçe yapılıyor; duvar tarafına çit gerekmiyor. Çit $40$ m: duvara dik kenarlar $x$ ise ön kenar $40 - 2x$ olur. Sabit olan bu bilgiye kısıt denir.

$A'(x) = 40 - 4x = 0$ ise $x = 10$. Türev burada artıdan eksiye geçer: ön kenar $20$ m, alan $200$ m². Kap tam ağzına kadar doldu. Çiti dört kenara dağıtsaydık $100$ m² bulurduk.

Alan grafiğini bahçenin arkasına bir tepe gibi diktik: her $x$ için yüksekliği o bahçenin alanı. Duvar $30$ m ise ön kenar $30$'u geçemez, $x \ge 5$. Çit izinli aralığı çeviriyor; zirve içeride, bayrak $x = 10$'da.

Duvar $16$ m ise $40 - 2x \le 16$, yani $x \ge 12$. Zirve çitin dışında kaldı. İzinli bölgede tepe hep iniyor; en yüksek nokta aralığın ucu.

Kapalı bir aralıkta türevin sıfır olduğu noktalar yalnızca adaydır. Aralığın uçlarındaki değerleri de hesapla ve hepsini karşılaştır. Aralık dışındaki kritik nokta aday değildir.

Hacmi $54\pi$ cm³ olan kapalı bir kutu yapılacak: $h = \tfrac{54}{r^2}$. Yerdeki açılım harcanan sacı gösteriyor: iki kapak ve yan yüz. Sütunda altta kapakların, üstte yan yüzün sacı var.

$S'(r) = 4\pi r - \tfrac{108\pi}{r^2} = 0$ ise $r^3 = 27$, $r = 3$. O zaman $h = 6 = 2r$: kutunun yüksekliği çapına eşit, harcanan sac $54\pi$ cm². Kapaklar büyürken yan yüz küçülüyor; toplam burada dengeleniyor.

$P$ boncuğu $y = \sqrt{x}$ rayında kayıyor; lastik ip $A(3, 0)$ çivisine bağlı. İpin boyu $|AP|$. Karekökten kurtulmak için karesine bak: uzaklık ile karesi aynı yerde en küçük olur.

Bırakılan boncuk ipin en kısa olduğu yere kayar: $2x - 5 = 0$, $x = \tfrac{5}{2}$. Orada ip eğrinin teğetine diktir ve $A$ merkezli çember eğriye değer. En kısa uzaklık $\tfrac{\sqrt{11}}{2} \approx 1{,}66$.

En büyük ya da en küçük olacak niceliği yaz; kısıtla tek değişkene indir. Türevin sıfır olduğu yeri bul, işaretine bak; kapalı aralıkta uçları da karşılaştır. Son olarak soru neyi istiyor, yeniden oku.