32Konu 32 / 49
Limit, Türev ve İntegral

Maksimum ve Minimum Problemleri

Bir problemi tek değişkenli fonksiyona çevirip türevle en büyük ya da en küçük değerini buluyoruz; kutu, bahçe, konserve kutusu, gelir ve en kısa uzaklık kalıplarını çalışıyoruz.

12. sınıf
AYT sıklığı
40 dk

Görsel anlatımla başla16 adım · sıfırdan başlar · az yazı, bol 3B

LevhaMaksimum ve Minimum ProblemleriMaksimum ve Minimum Problemleri

Kenarı $12$ cm olan kare kartonun dört köşesinden eş kareler kesip kenarları yukarı katlıyorsun: üstü açık bir kutu oluşuyor. Az kesersen kutu sığ kalır, çok kesersen taban küçülür. Hacim en çok kaç cm³ olabilir? Bu tür “en çok, en az” sorularını türevle çözeceğiz.

Isınma

Başlamadan: türev ve tepe noktası

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(x) = x^3 - 12x

fonksiyonunun türevini sıfır yapan

x

değerleri hangileridir?

Açıklama

$f'(x) = 3x^2 - 12 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(x) = -x^2 + 8x

fonksiyonunun alabileceği en büyük değer kaçtır?

Açıklama

$f'(x) = -2x + 8 = 0 \Rightarrow x = 4$ , $f(4) = -16 + 32 = 16$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Çevresi

20

cm olan dikdörtgenin bir kenarı

x

cm ise diğer kenarı kaç cm’dir?

Açıklama

$2x + 2y = 20 \Rightarrow y = 10 - x$ .

Temel

Modelle, türevi sıfırla

1. Problemi Fonksiyona Çevir

En büyük ya da en küçük olması istenen niceliği tek bir değişkenle yaz. Bu fonksiyona amaç fonksiyonu denir.

Köşelerden kenarı

x

olan kareler kesilince taban kenarı

12 - 2x

, yükseklik

x

olur.

Köşedeki noktayı sürükle ya da sürgüyü kullan. $x$ büyüdükçe kutu derinleşir ama tabanı küçülür. Yandaki ölçü kabı kutunun aldığı suyu gösterir; kabı ağzına kadar dolduran $x$ ’i ara.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Kenarı

20

cm olan kare kartondan aynı yolla yapılan kutunun hacim fonksiyonu ve tanım aralığı hangisidir?

Açıklama

Taban kenarı $20 - 2x$ , yükseklik $x$ : $V(x) = x(20 - 2x)^2$ . $20 - 2x > 0 \Rightarrow x < 10$ .

2. En Büyük Değer: Türevin Sıfır Olduğu Yer

Grafiğin tepesinde teğet yataydır, yani türev sıfırdır. Böyle noktalara kritik nokta denir (Türevle Fonksiyon İncelemesi).

Kutu panonun altında kendi $x$ ’inin hizasında durur; su çubuğu hacmi kadar yükselir. Sürgüyü oynat: teğet tepe noktasında yatay olur, hacim orada en büyüktür.

Örnek

kolay

Kartondan en büyük hacimli kutu

Kenarı $12$ cm olan kare kartonun köşelerinden kenarı $x$ cm olan kareler kesilip kenarlar katlanarak üstü açık bir kutu yapılıyor. Kutunun hacmi en çok kaç cm³ olur?

Hacmi yaz ve aç: $V(x) = x(12 - 2x)^2 = 4x^3 - 48x^2 + 144x$ , $\ 0 < x < 6$ .

Türevi sıfırla: $V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 12(x - 2)(x - 6) = 0$ .

Aralıktaki tek kök $x = 2$ ’dir. $V'$ burada artıdan eksiye geçer: maksimum.

Sonuç

$V(2) = 2 \cdot 8^2 = 128$ cm³

A(x) = x(10 - x)

: tepe noktasının solunda

A' > 0

, sağında

A' < 0

Örnek

kolay

Çevresi belli dikdörtgenin en büyük alanı

Çevresi $20$ cm olan dikdörtgenlerden alanı en büyük olanın alanı kaç cm²’dir?

Kenarlar $x$ ve $10 - x$ olur: $A(x) = x(10 - x) = 10x - x^2$ , $\ 0 < x < 10$ .

Türevi sıfırla: $A'(x) = 10 - 2x = 0 \Rightarrow x = 5$ .

$x < 5$ için $A' > 0$ , $x > 5$ için $A' < 0$ : $x = 5$ ’te maksimum var.

Sonuç

$A(5) = 5 \cdot 5 = 25$ cm² (dikdörtgen bir karedir)

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Toplamı

12

olan iki pozitif sayının çarpımı en çok kaçtır?

Açıklama

$P(x) = x(12 - x)$ , $P'(x) = 12 - 2x = 0 \Rightarrow x = 6$ , $P(6) = 36$ .

3. Tek Değişkene İndirgeme: Kısıt

Nicelik çoğu zaman iki değişkenle yazılır. Sorudaki sabit bilgi, yani kısıt, değişkenlerden birini diğerine bağlar.

$40$ m çitle duvar dibine dikdörtgen bir bahçe çevriliyor. Sürgüyle $x$ ’i değiştir: ön kenar $40 - 2x$ olur, alan önce büyür, sonra küçülür. Sağdaki kap alanı gösterir.

Duvar kenarına çit çekilmez:

2x + y = 40

Örnek

kolay

Duvar dibindeki bahçe

Bir kenarı duvar olan dikdörtgen bahçenin diğer üç kenarına toplam $40$ m çit çekilecek. Bahçenin alanı en çok kaç m² olur?

Duvara dik kenarlar $x$ , duvara paralel kenar $y$ : $2x + y = 40 \Rightarrow y = 40 - 2x$ , $\ 0 < x < 20$ .

Alanı yaz ve türevi sıfırla: $A(x) = 40x - 2x^2$ , $A'(x) = 40 - 4x = 0 \Rightarrow x = 10$ .

$A'$ burada artıdan eksiye geçer: maksimum. Kenarlar $10$ m ve $20$ m olur.

Sonuç

$A(10) = 10 \cdot 20 = 200$ m²

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir kenarı duvar olan dikdörtgen bahçe

24

m çitle çevrilecek. Duvara dik kenar

x

ise alan fonksiyonu hangisidir?

Açıklama

$2x + y = 24 \Rightarrow y = 24 - 2x$ , $A(x) = x(24 - 2x)$ .

Orta

Kritik nokta mı, uç nokta mı?

1. Kapalı Aralıkta Adaylar: Kritik Noktalar ve Uçlar

Değişken kapalı bir aralıkta kalıyorsa en büyük değer aralığın ucunda da alınabilir. Türevin sıfır olduğu noktalar yalnızca adaydır.

[0, 5]

aralığında en büyük değer yerel maksimumda değil, sağ uçta alınıyor.

Örnek

orta

Kapalı aralıkta en büyük ve en küçük değer

$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ fonksiyonunun $[0, 5]$ aralığındaki en büyük ve en küçük değerlerini bul.

Kritik noktalar: $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 1,\ x = 3$ ; ikisi de aralıkta.

Adayları hesapla: $f(0) = 0$ , $f(1) = 4$ , $f(3) = 0$ , $f(5) = 20$ .

Yerel maksimum $f(1) = 4$ en büyük değer değildir; sağ uçtaki değer daha büyük.

Sonuç

En büyük değer $20$ , en küçük değer $0$

Bahçe problemine dön; ama duvar artık kısa. Arkadaki tepe alan grafiğidir, çitli kısmı izinli aralıktır. Duvarı $20$ m’nin altına indir: zirve çitin dışında kalır, bayrak (en büyük alan) aralığın ucuna kayar.

Duvar $16$ m ise $40 - 2x \le 16$ , yani $x \ge 12$ olmalı. Bu aralıkta $A$ azalandır; en büyük alan $A(12) = 12 \cdot 16 = 192$ m² olur.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(x) = x^2 - 4x

fonksiyonunun

[3, 5]

aralığındaki en küçük değeri kaçtır?

Açıklama

$f'(x) = 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2 \notin [3, 5]$ . Adaylar: $f(3) = -3$ ve $f(5) = 5$ .

2. Geometri Problemleri

Şekil bir eğrinin altına çiziliyorsa köşenin koordinatı değişkendir. Bütün uzunlukları o koordinatla yaz.

Taban

2x

, yükseklik

12 - x^2

Örnek

orta

Parabolün altındaki dikdörtgen

$y = 12 - x^2$ parabolü ile $x$ ekseni arasına, bir kenarı $x$ ekseni üzerinde ve iki köşesi parabol üzerinde olan dikdörtgenler çiziliyor. Bu dikdörtgenlerin alanı en çok kaç birimkaredir?

Sağ üst köşe $P(x,\ 12 - x^2)$ olsun. Simetriden taban $2x$ , yükseklik $12 - x^2$ ; $\ 0 < x < 2\sqrt{3}$ .

Alanı yaz ve türevi sıfırla: $A(x) = 24x - 2x^3$ , $A'(x) = 24 - 6x^2 = 0 \Rightarrow x = 2$ .

$x < 2$ için $A' > 0$ , $x > 2$ için $A' < 0$ : maksimum. Taban $4$ , yükseklik $8$ olur.

Sonuç

$A(2) = 4 \cdot 8 = 32$ birimkare

Hacmi $54\pi$ cm³ olan kapalı bir konserve kutusu. $r$ sürgüsünü oynat: kutu basıklaşır ya da uzar. Yerdeki açılım ve yanındaki sütun harcanan sacı gösterir; en az sac, yükseklik çapa eşitken harcanır.

Örnek

orta

En az tenekeyle konserve kutusu

Hacmi $54\pi$ cm³ olan kapalı silindir biçiminde bir konserve kutusu yapılacak. Kutunun yüzey alanının en az olması için taban yarıçapı kaç cm olmalıdır?

Kısıt: $\pi r^2 h = 54\pi \Rightarrow h = \dfrac{54}{r^2}$ .

Yüzey alanı: $S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + \dfrac{108\pi}{r}$ , $\ r > 0$ .

Türevi sıfırla: $S'(r) = 4\pi r - \dfrac{108\pi}{r^2} = 0 \Rightarrow r^3 = 27 \Rightarrow r = 3$ .

$r < 3$ için $S' < 0$ , $r > 3$ için $S' > 0$ : minimum. Bu durumda $h = 6 = 2r$ .

Sonuç

$r = 3$ cm (yüzey alanı $54\pi$ cm²)

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

S(r) = 2\pi r^2 + \dfrac{108\pi}{r}

fonksiyonunun türevi hangisidir?

Açıklama

$\left(\dfrac{1}{r}\right)' = -\dfrac{1}{r^2}$ olduğundan $S'(r) = 4\pi r - \dfrac{108\pi}{r^2}$ .

3. Maliyet ve Verim Problemleri

Malzeme ve maliyet problemlerinde bir terim büyürken diğeri küçülür. En küçük toplam, ikisinin dengelendiği noktadadır.

Taban sacı

x^2

artar, yan yüzlerin sacı

\dfrac{128}{x}

azalır; toplam

x = 4

’te en az.

Örnek

orta

En az sacla su deposu

Tabanı kare olan, üstü açık dikdörtgenler prizması biçiminde, hacmi $32$ m³ olan bir su deposu sacdan yapılacak. En az kaç m² sac gerekir?

Taban kenarı $x$ , yükseklik $h$ olsun. Kısıt: $x^2 h = 32 \Rightarrow h = \dfrac{32}{x^2}$ .

Sac alanı (taban ve dört yan yüz): $S(x) = x^2 + 4xh = x^2 + \dfrac{128}{x}$ , $\ x > 0$ .

Türevi sıfırla: $S'(x) = 2x - \dfrac{128}{x^2} = 0 \Rightarrow x^3 = 64 \Rightarrow x = 4$ .

$x < 4$ için $S' < 0$ , $x > 4$ için $S' > 0$ : minimum.

Sonuç

$S(4) = 16 + 32 = 48$ m²

İleri

Sınav düzeyi: bağlamlı modeller

1. Gelir Problemleri: Fiyat Düşer, Satış Artar

Gelir, birim fiyat ile satış sayısının çarpımıdır. İkisini aynı değişkenle yaz; kapasite gibi sınırları tanım aralığına işle.

Gelir, fiyat doğrusunun altındaki dikdörtgenin alanıdır; en iyi nokta

(450, 45)

salona sığmaz.

Örnek

zor

Kapasitesi sınırlı salonda en yüksek gelir

$400$ kişilik bir tiyatro salonunda bilet $60$ TL iken $300$ seyirci geliyor. Fiyattaki her $1$ TL’lik indirim $10$ seyirci daha getiriyor. Gelirin en fazla olması için bilet fiyatı kaç TL olmalıdır?

$t$ TL indirim yapılsın: fiyat $60 - t$ , seyirci sayısı $300 + 10t$ olur.

Kapasite sınırı: $300 + 10t \le 400 \Rightarrow 0 \le t \le 10$ .

$G(t) = (60 - t)(300 + 10t) = 18\,000 + 300t - 10t^2$ , $G'(t) = 300 - 20t = 0 \Rightarrow t = 15$ ; aralığın dışında.

$[0, 10]$ aralığında $G' > 0$ : gelir artandır, en büyük değer sağ uçta, $t = 10$ ’da alınır.

Sonuç

Fiyat $50$ TL (gelir $50 \cdot 400 = 20\,000$ TL)

2. En Kısa Uzaklık

$P$ boncuğu $y = \sqrt{x}$ rayında, lastik ip $A(3, 0)$ çivisine bağlı. Sürgüyle $P$ ’yi gezdir ya da boncuğu bırak: $|AP|$ en kısa olduğunda ip eğriye diktir, $A$ merkezli çember eğriye değer.

En yakın noktada çember eğriye teğettir.

Örnek

zor

Eğrinin bir noktaya en yakın noktası

$y = \sqrt{x}$ eğrisinin $A(3, 0)$ noktasına en yakın noktasının bu noktaya uzaklığı kaç birimdir?

Eğri üzerindeki nokta $P(x, \sqrt{x})$ , $\ x \ge 0$ . Uzaklığın karesi: $d^2 = (x - 3)^2 + x = x^2 - 5x + 9$ .

$g(x) = x^2 - 5x + 9$ için $g'(x) = 2x - 5 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{5}{2}$ ; türev eksiden artıya geçer: minimum.

En küçük değer: $g\!\left(\dfrac{5}{2}\right) = \dfrac{25}{4} - \dfrac{25}{2} + 9 = \dfrac{11}{4}$ .

Sonuç

$d = \dfrac{\sqrt{11}}{2}$ birim

3. Birim Başına Tüketim

Fonksiyon saatlik tüketimi veriyor ama yol sabitse önce süreyle çarp: toplam tüketim, saatlik tüketim çarpı süredir.

Örnek

zor

Sabit yolda en az yakıt

Bir tekne saatte $v$ km sabit hızla giderken saatte $\dfrac{v^2}{40} + 10$ litre yakıt harcıyor. Bu teknenin $80$ km’lik yolu en az yakıtla gitmesi için hızı saatte kaç km olmalıdır?

Yol $\dfrac{80}{v}$ saat sürer.

Toplam yakıt: $T(v) = \dfrac{80}{v}\left(\dfrac{v^2}{40} + 10\right) = 2v + \dfrac{800}{v}$ , $\ v > 0$ .

Türevi sıfırla: $T'(v) = 2 - \dfrac{800}{v^2} = 0 \Rightarrow v^2 = 400 \Rightarrow v = 20$ .

$v < 20$ için $T' < 0$ , $v > 20$ için $T' > 0$ : minimum.

Sonuç

$v = 20$ km/sa (toplam yakıt $T(20) = 40 + 40 = 80$ litre)

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Saatte

v

km hızla giden bir aracın saatlik yakıt tüketimi

f(v)

litredir.

100

km’lik yol için toplam tüketim hangisidir?

Açıklama

Süre $\dfrac{100}{v}$ saattir; toplam tüketim $\dfrac{100}{v} \cdot f(v)$ olur.

Özet

Bu konudan aklında kalacaklar

Model: en büyük ya da en küçük olacak niceliği yaz, kısıtla tek değişkene indir.
Tanım aralığı: uzunluklar pozitiftir; kapasite gibi sınırlar aralığı daraltır.
Kritik nokta: $f'(x_0) = 0$ . İşaret artıdan eksiye geçerse maksimum, eksiden artıya geçerse minimum.
Kapalı aralık: kritik noktalardaki ve uçlardaki değerleri karşılaştır.
Kalıplar: $A = x(40 - 2x)$ , $V = x(12 - 2x)^2$ , $S = x^2 + \dfrac{128}{x}$ , gelir $=$ fiyat $\times$ adet, uzaklığın karesi.
Son kontrol: soru $x$ ’i mi, en büyük değeri mi istiyor?

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

3 çıkmış soru5 özgün soru

2024 AYTSoru 22

Zor

Geometri problemi

Dik koordinat düzleminde $y = 2 + 3x$ ve $y = 12 - x$ doğruları ile pozitif $x$ ve $y$ eksenleri arasında kalan boyalı bölge şekilde gösterilmiştir.

Bu bölgenin içine, bir kenarı $x$ ekseni üzerinde olan ve birer köşesi $y = 2 + 3x$ ile $y = 12 - x$ doğruları üzerinde bulunan dikdörtgenler çiziliyor.

Buna göre alanı en büyük olan dikdörtgenin $x$ ekseni üzerindeki kenarının uzunluğu kaç birimdir?

İpucu

Üst iki köşe aynı yüksekliktedir. Değişken olarak dikdörtgenin yüksekliğini seç; köşelerin apsislerini onunla yaz.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 31)

Çözüm

1. Değişkeni seç. Dikdörtgenin yüksekliği $h$ olsun; üst köşelerden biri $y = 2 + 3x$ , diğeri $y = 12 - x$ doğrusu üzerindedir.

2. Köşelerin apsisleri. $h = 2 + 3x_1 \Rightarrow x_1 = \dfrac{h - 2}{3}$ ve $h = 12 - x_2 \Rightarrow x_2 = 12 - h$ .

3. Taban ve alan. Taban $x_2 - x_1 = \dfrac{38 - 4h}{3}$ , alan $A(h) = \dfrac{h(38 - 4h)}{3}$ .

4. Türevi sıfırla. $A'(h) = \dfrac{38 - 8h}{3} = 0 \Rightarrow h = \dfrac{19}{4}$ ; türev artıdan eksiye geçer, maksimum.

5. İsteneni hesapla. Taban $\dfrac{38 - 19}{3} = \dfrac{19}{3}$ birimdir.

Tuzak: bulunan $h$ yüksekliktir; soru $x$ ekseni üzerindeki kenarı istiyor.

Cevap: B

2021 AYTSoru 21

Orta

Birim başına tüketim

Saatte $V$ kilometre sabit hızla giden bir roketin $1$ saatte harcadığı yakıt miktarı, birim cinsinden

f(V) = \dfrac{V^3}{20} - 7 \cdot V^2 + 265 \cdot V

fonksiyonuyla hesaplanıyor.

Buna göre roketin sabit bir hızla alacağı $100$ kilometrelik yol için harcaması gereken yakıt miktarı en az kaç birimdir?

İpucu

$f(V)$ bir saatlik tüketimdir. $100$ km’lik yol kaç saat sürer?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 31)

Çözüm

1. Süreyi bul. $V$ km/sa hızla $100$ km yol $\dfrac{100}{V}$ saat sürer.

2. Toplam yakıtı yaz.

T(V) = \dfrac{100}{V} \cdot f(V) = 5V^2 - 700V + 26\,500

3. Türevi sıfırla. $T'(V) = 10V - 700 = 0 \Rightarrow V = 70$ ; türev eksiden artıya geçer, minimum.

4. Değeri hesapla. $T(70) = 24\,500 - 49\,000 + 26\,500 = 2000$ birim.

Tuzak: $f(V)$ saatlik tüketimdir; küçültülecek olan, yol boyunca harcanan toplam yakıttır.

Cevap: B

2018 AYTSoru 22

Orta

Gelir problemi

Bir internet şirketinin hizmet verebileceği müşteri sayısı en çok $1000$ ’dir ve şirket aylık ücreti $40$ TL yaptığında bu sayıya ulaşmaktadır. Şirket, aylık ücrette yaptığı her $5$ TL’lik artışın müşteri sayısını $50$ azalttığını gözlemlemiştir.

Buna göre şirketin aylık ücretlerden elde ettiği toplam gelirin en fazla olması için aylık ücret kaç TL olmalıdır?

İpucu

Ücrete $k$ kez zam yapıldığını düşün; ücreti ve müşteri sayısını $k$ cinsinden yaz, sonra çarp.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 30)

Çözüm

1. Değişkeni seç. Ücrete $k$ kez $5$ TL zam yapılsın: ücret $40 + 5k$ TL, müşteri sayısı $1000 - 50k$ olur.

2. Geliri yaz.

G(k) = (40 + 5k)(1000 - 50k) = 250(160 + 12k - k^2)

3. Türevi sıfırla. $G'(k) = 250(12 - 2k) = 0 \Rightarrow k = 6$ ; türev artıdan eksiye geçer, maksimum.

4. İsteneni hesapla. Ücret $40 + 5 \cdot 6 = 70$ TL olur (müşteri $700$ , gelir $49\,000$ TL).

Tuzak: soru $k$ ’yi ya da geliri değil, ücreti istiyor.

Cevap: D

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Tek değişkene indirgeme

Bir kenarı duvar olan dikdörtgen biçimindeki bir kümesin diğer üç kenarı toplam $60$ m tel örgüyle çevrilecektir.

Buna göre kümesin alanı en çok kaç m² olur?

Çözüm

1. Kısıtı yaz. Duvara dik kenarlar $x$ ise duvara paralel kenar $60 - 2x$ olur; $0 < x < 30$ .

2. Alanı yaz. $A(x) = x(60 - 2x) = 60x - 2x^2$ .

3. Türevi sıfırla. $A'(x) = 60 - 4x = 0 \Rightarrow x = 15$ ; türev artıdan eksiye geçer, maksimum.

4. Değeri hesapla. $A(15) = 15 \cdot 30 = 450$ m².

Tuzak: teli dört kenara dağıtıp kare çizersen $15 \cdot 15 = 225$ bulursun; duvar kenarına tel gitmez.

Cevap: C

Özgün soru2

Orta

Kutu problemi

Kısa kenarı $8$ cm, uzun kenarı $15$ cm olan dikdörtgen biçimindeki bir kartonun dört köşesinden kenarı $x$ cm olan kareler kesiliyor ve kalan parça katlanarak üstü açık bir kutu yapılıyor.

Buna göre kutunun hacminin en büyük olması için $x$ kaç olmalıdır?

İpucu

Taban kenarları $8 - 2x$ ve $15 - 2x$ olur. $x$ kısa kenarın yarısını geçemez.

Çözüm

1. Hacmi yaz. Taban kenarları $8 - 2x$ ve $15 - 2x$ , yükseklik $x$ ; $0 < x < 4$ .

V(x) = x(8 - 2x)(15 - 2x) = 4x^3 - 46x^2 + 120x

2. Türevi sıfırla. $V'(x) = 12x^2 - 92x + 120 = 4(3x - 5)(x - 6) = 0 \Rightarrow x = \dfrac{5}{3}$ ya da $x = 6$ .

3. Aralığa bak. $x = 6$ tanım aralığının dışındadır. $V'$ işareti $x = \dfrac{5}{3}$ ’te artıdan eksiye geçer: maksimum.

Tuzak: iki kökten yalnızca $0 < x < 4$ aralığındaki cevaptır.

Cevap: D

Özgün soru3

Orta

Kritik nokta ve uç değerler

Bir atölye günde en çok $40$ ürün üretebilmektedir. Günde $x$ ürün üretilip satıldığında elde edilen kâr, TL cinsinden

K(x) = -x^2 + 100x - 900

fonksiyonuyla hesaplanıyor.

Buna göre atölyenin bir günde elde edebileceği kâr en çok kaç TL’dir?

İpucu

Türevi sıfır yapan değer üretim sınırının içinde mi?

Çözüm

1. Tanım aralığı. Üretim sınırı nedeniyle $0 \le x \le 40$ .

2. Kritik nokta. $K'(x) = -2x + 100 = 0 \Rightarrow x = 50$ ; aralığın dışında.

3. Aralıktaki davranış. $[0, 40]$ aralığında $K'(x) > 0$ : kâr artandır, en büyük değer sağ uçta alınır.

4. Değeri hesapla. $K(40) = -1600 + 4000 - 900 = 1500$ TL.

Tuzak: $K(50) = 1600$ değeri parabolün tepesidir ama atölye $50$ ürün üretemez.

Cevap: B

Özgün soru4

Zor

Geometri problemi

Yarıçapı $3$ birim olan bir kürenin içine, tepesi ve taban çemberi küre yüzeyinde olacak biçimde dik koniler çiziliyor. Şekilde kürenin ve bir koninin, eksenden geçen kesiti verilmiştir.

Buna göre bu konilerin hacmi en çok kaç birimküptür?

İpucu

Küre merkezi, taban merkezi ve taban çemberi üzerindeki bir nokta dik üçgen oluşturur. $r^2$ değerini $h$ cinsinden yaz.

Çözüm

1. Kısıtı kur. Koninin yüksekliği $h$ , taban yarıçapı $r$ olsun. Küre merkezinin tabana uzaklığı $|h - 3|$ olduğundan Pisagor bağıntısıyla

r^2 = 9 - (h - 3)^2 = 6h - h^2, \qquad 0 < h < 6

2. Hacmi yaz. $V(h) = \dfrac{\pi}{3} r^2 h = \dfrac{\pi}{3}\left(6h^2 - h^3\right)$ .

3. Türevi sıfırla. $V'(h) = \dfrac{\pi}{3}\left(12h - 3h^2\right) = \pi h(4 - h) = 0 \Rightarrow h = 4$ ; türev artıdan eksiye geçer, maksimum.

4. Değeri hesapla. $V(4) = \dfrac{\pi}{3}(96 - 64) = \dfrac{32\pi}{3}$ birimküp.

Tuzak: tabanı kürenin merkezinden geçirmek ( $h = 3$ ) en büyük tabanı verir ama hacim $9\pi$ ’de kalır.

Cevap: C

Özgün soru5

Zor

En kısa uzaklık

Dik koordinat düzleminde $y = x^2$ parabolü üzerindeki noktaların $A\left(0, \dfrac{5}{2}\right)$ noktasına uzaklığı en az kaç birimdir?

İpucu

Uzaklığın karesini yaz. Türevi sıfır yapan her noktadaki değeri karşılaştır.

Çözüm

1. Uzaklığın karesini yaz. Parabol üzerindeki nokta $P(x, x^2)$ olsun.

g(x) = x^2 + \left(x^2 - \dfrac{5}{2}\right)^2 = x^4 - 4x^2 + \dfrac{25}{4}

2. Türevi sıfırla. $g'(x) = 4x^3 - 8x = 4x(x^2 - 2) = 0 \Rightarrow x = 0$ ya da $x = \pm\sqrt{2}$ .

3. Adayları karşılaştır. $g(0) = \dfrac{25}{4}$ ve $g\left(\pm\sqrt{2}\right) = 4 - 8 + \dfrac{25}{4} = \dfrac{9}{4}$ ; en küçük değer $\dfrac{9}{4}$ .

4. Uzaklığı bul. $\sqrt{\dfrac{9}{4}} = \dfrac{3}{2}$ birim.

Tuzak: $x = 0$ da kritik noktadır ama orada uzaklık $\dfrac{5}{2}$ ile yerel olarak en büyüktür.

Cevap: C