Belirsiz İntegral

Musluk açıldıkça su daha hızlı akıyor: $t$. dakikada akış hızı $2t$ litre/dakika. Soldaki pano akış hızını (debi), ortadaki pano depodaki su miktarını çiziyor. Hızı biliyoruz; miktarı hızdan nasıl buluruz?

Su hızlandıkça miktar eğrisi dikleşir. Ortadaki turuncu teğetin eğimi, soldaki turuncu hız çubuğunun boyuna eşit: miktarın türevi hızdır. Şimdi tersini soruyoruz: türevi $2t$ olan fonksiyon hangisi?

Her noktaya küçük bir eğim çubuğu koyduk: $t$ sütunundaki bütün çubukların eğimi $2t$. Boş depodan başlayan eğri, çubuklara teğet giderek kendini çiziyor. Çıkan eğri $V(t) = t^2$.

Depoda başta $1$ litre su olsaydı (mor), eğri $(0, 1)$ noktasından başlar ve aynı çubukları izlerdi: $V(t) = t^2 + 1$. Türevi $f$ olan her $F$ fonksiyonuna $f$'nin ters türevi denir.

Türevi $2x$ olan eğriler birbirinin düşeyde kaydırılmış kopyasıdır: $x^2 - 1$, $x^2$, $x^2 + 1$ … Sabitin türevi $0$ olduğundan kaydırma türevi değiştirmez. Parlayan raf, sürgüdeki $C$ ile seçilen eğri.

Turuncu teğetler aynı $x$ noktasında, her rafta bir tane. Hepsinin eğimi $2x$; bu yüzden integral tek bir fonksiyon değil, bir ailedir. $C$'ye integral sabiti denir; yazmadan bitirme.

Türevde üs bir azalıp öne iner; integralde tersini yaparız: üssü bir artır, yeni üsse böl. Sağdaki ok çifti iki yönü gösteriyor: $\int$ ile $x^2$'den $\tfrac{x^3}{3}$'e gidilir, türev ($\tfrac{d}{dx}$) geri getirir.

$n = 1$, $2$, $3$ için kural aynı işler: $F$'nin her noktadaki eğimi, $f$'nin o noktadaki değeridir. Kural $n \neq -1$ olan bütün üsler için geçerli; kök ve payda önce üsse çevrilir.

Depoya ilk dakikada $1$ litre su aktı ve 1. dakikada depoda $3$ litre ölçüldü (yeşil halka). Mor su, deponun başlangıçtaki suyu: $C$. Raflardan yalnızca biri $P(1, 3)$ noktasından geçer.

Koşulu yerine yaz: $V(1) = 1 + C = 3$, buradan $C = 2$. Depo başta $2$ litre su içeriyormuş. Türev ile tek bir nokta, aileden tek fonksiyonu seçer: $V(t) = t^2 + 2$.

$\int_0^2 \dfrac{6x}{(x^2+1)^2}\,dx$ için $u = x^2 + 1$ seçtik. Eğrinin altındaki her şerit $u$ ekseninde yeni yerine gider: kimi gerilir, kimi sıkışır; boyu da aynı oranda değişir. Toplam alan $2{,}4$ kalır.

Turuncu şerit $x \approx 1{,}2$ civarında, genişliği $dx$. $u$ ekseninde genişliği $du = 2x\,dx$, yani yaklaşık $2{,}4$ katı; boyu da $2{,}4$'e bölündü. Alan aynı: $f(u)\,du = f(g(x))\,g'(x)\,dx$.

Üstte $f(2x)$, altta $f(u)$. $u = 2x$ köprüleri her $x$ noktasını iki katındaki $u$'ya bağlar: $x = 1 \to u = 2$, $x = 4 \to u = 8$. Yükseklikler aynı, genişlik yarıya iner; alan da yarıya iner.

Akış hızından miktara dönmek türevi geri almaktır: $\int 2t\,dt = t^2 + C$. $C$ başlangıçtaki sudur, bir ölçüm onu belirler. Kuvvet kuralı ve değişken değiştirme bu dönüşü hızlandırır; sınırlar da $u$'ya taşınır.