Belirli İntegral · Görsel anlatım · TYT-AYT-KPSS Hazırlık

Sıfırdan1 / 15

Sabit hızla giden araç

Araç her saniye $2$ metre gidiyor. Panoda hız yatay bir çizgi; araç ilerledikçe altındaki dikdörtgen doluyor. $3$ saniyede yol $2 \cdot 3 = 6$ metre: dikdörtgenin alanı.

\text{yol} = \text{hız} \cdot \text{süre}

Sıfırdan2 / 15

Hızlanan araçta da yol bir alan

Şimdi hız $v(t) = t^2 + 1$ ; araç gittikçe hızlanıyor. Panoda dolan mavi bölge ile yoldaki mavi şerit hep aynı sayıyı gösteriyor: yol, eğrinin altındaki alan. Üst kenar eğri; hazır bir alan formülü yok.

\text{yol} = \text{eğrinin altındaki alan}

Dene: Hızı "Sabit" ile "Değişen" arasında değiştir; sayacı karşılaştır.

Sıfırdan3 / 15

Alanı üç sütunla tahmin et

Süreyi üç eşit parçaya böl, her parçada hızı sabit say. Her sütunun alanı hız çarpı süre: $1 + 2 + 5 = 8$ . Sütunlar eğrinin altında kaldığı için gerçek alan $8$ 'den büyük.

f(0) \cdot 1 + f(1) \cdot 1 + f(2) \cdot 1 = 8

Dene: Yüksekliği sol uçtan orta noktaya, sonra sağ uca çevir.

Hızlı soru

Yükseklikler sağ uçlardan alınırsa üç sütunun toplamı kaç olur?

$f(1) + f(2) + f(3) = 2 + 5 + 10 = 17$ . Bu kez sütunlar eğrinin üstüne taşar.

Sıfırdan4 / 15

Sütunlar inceldikçe toplam 12’ye yaklaşıyor

Parça sayısı $n$ arttıkça sütunlar incelir ve eğriye yapışır; toplam $12$ 'ye yaklaşır. Bu sınır değere belirli integral denir.

\int_0^3 (t^2 + 1)\,dt = 12

Dene: $n$ 'yi $1$ 'den $48$ 'e kaydır; toplamı izle.

Temel5 / 15

Sol ve sağ uçlar alanı sıkıştırıyor

Artan bir eğride sol uçlar alanı eksik, sağ uçlar fazla sayar: biri alt toplam, öbürü üst toplam. $n$ büyüdükçe ikisi de aynı sayıya, $12$ 'ye sıkışır.

\text{alt toplam} \le \int_a^b f(x)\,dx \le \text{üst toplam}

Dene: Sol ve sağ uç arasında geç, sonra $n$ 'yi büyüt.

Temel6 / 15

Eksenin altındaki parça eksi sayılır

$f(x) = x^2 - 4x + 3$ grafiği $1$ ile $3$ arasında eksenin altında. Orada yükseklik eksi, bu yüzden o parça integrale eksi girer. $b = 3$ 'te artı ve eksi parçalar eşit: integral $0$ .

\int_0^3 (x^2 - 4x + 3)\,dx = 0

Dene: $b$ 'yi $0$ 'dan $5$ 'e kaydır; yandaki iki sütunu izle.

Temel7 / 15

İntegral ile toplam alan ayrı şeyler

İntegral işaretli toplamdır: artılar eksi eksiler. Soru alan diyorsa her parça artı sayılır. $b = 4$ iken integral $\tfrac{4}{3}$ , toplam alan $4$ .

\tfrac{8}{3} - \tfrac{4}{3} = \tfrac{4}{3} \qquad \tfrac{8}{3} + \tfrac{4}{3} = 4

Hızlı soru

Grafik $[0, 2]$ 'de eksenin üstünde (alan $5$ ), $[2, 5]$ 'te altında (alan $3$ ). $\int_0^5 f(x)\,dx$ kaçtır?

Üstteki artı, alttaki eksi girer: $5 - 3 = 2$ . Toplam alan ise $5 + 3 = 8$ .

Temel8 / 15

Biriken alan üst panoda eğri çiziyor

Sağ sınırı $x$ ile kaydırıyoruz. Alttaki alan doldukça üst panodaki çubuk o alan kadar uzuyor; ucu $A(x)$ eğrisini çiziyor. $A(x)$ , $x$ anına kadar alınan yoldur.

A(x) = \int_0^x f(t)\,dt

Orta9 / 15

İnce şerit üst eğriyi yükseltiyor

Sınır $dx$ kadar ilerleyince alana genişliği $dx$ , yüksekliği $f(x)$ olan ince bir şerit eklenir. Üstte $A$ da yaklaşık $f(x)\,dx$ yükselir. $dx$ küçüldükçe eğim tam $f(x)$ olur.

A'(x) = f(x)

Dene: $dx$ 'i küçült: iki sayı birbirine yaklaşıyor.

Orta10 / 15

Alan, ters türevin iki uçtaki farkı

$A$ , $f$ 'nin bir ters türevi: $F(t) = \tfrac{t^3}{3} + t$ . $a$ ile $b$ arasındaki alan, üst panoda $F(b)$ ile $F(a)$ arasındaki yükseklik farkına eşit.

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

Dene: $a$ ile $b$ 'yi oynat: mavi çubuk hep alan kadar.

Hızlı soru

$\int_0^2 (t^2 + 1)\,dt$ kaçtır?

$F(2) - F(0) = \tfrac{8}{3} + 2 - 0 = \tfrac{14}{3}$ .

Orta11 / 15

Bıçak alanı iki parçaya bölüyor

$f(x) = x^2 - 4x + 5$ altında $[1, 4]$ arasındaki alan $6$ . Bıçağı $c$ ile gezdir: iki parça değişir, toplamları hep $6$ .

\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f

Dene: $c$ 'yi $1$ ile $4$ arasında gezdir.

Orta12 / 15

Sınırlar yer değiştirince işaret değişir

$c$ , $4$ 'ü geçince $\int_1^c f$ fazladan bir parça alır. $\int_c^4 f$ ters yönde gider; o parçayı eksi sayıp geri verir. Toplam yine $6$ .

\int_c^4 f = -\int_4^c f

Hızlı soru

$\int_1^5 f = 7$ ve $\int_3^5 f = 4$ ise $\int_1^3 f$ kaçtır?

$\int_1^5 f = \int_1^3 f + \int_3^5 f$ , yani $7 = \int_1^3 f + 4$ ; sonuç $3$ .

Sınav13 / 15

Türevin alanı fonksiyonu değiştiriyor

Altta $f'$ , üstte $f$ var; $f(0) = 1$ . $x$ ilerledikçe taranan işaretli alan $f$ 'ye eklenir: mavi parçalar $f$ 'yi yükseltir, kırmızı parça alçaltır.

f(b) - f(a) = \int_a^b f'(x)\,dx

Dene: $x$ 'i $0$ 'dan $8$ 'e kaydır; üstteki çubuğu izle.

Sınav14 / 15

Türev işaret değiştirince tepe ve çukur

$f'$ ekseni $x = 2$ 'de artıdan eksiye keser: $f$ orada tepe yapar, $f(2) = 1 + 4 = 5$ . $x = 5$ 'te eksiden artıya geçer: çukur, $f(5) = 5 - 6 = -1$ .

f(8) = -1 + 3 = 2

Hızlı soru

$f$ 'nin $[0, 8]$ aralığındaki en büyük değeri kaçtır?

Adaylar uçlar ve tepe: $f(0) = 1$ , $f(2) = 5$ , $f(8) = 2$ . En büyük değer $5$ .

Sınav15 / 15

Yol, alan ve ters türev aynı sayı

Belirli integral, eğri ile eksen arasındaki işaretli alandır; sütun toplamlarının sınırıdır ve ters türevle hesaplanır. Araç $3$ saniyede $F(3) - F(0) = 12$ metre gider.

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

Görsel anlatım bitti

Örnekler ve çıkmış sorular Sıradaki: İntegral ile Alan Hesabıgörsel