İntegral ile Alan Hesabı · Görsel anlatım

Sıfırdan1 / 16

Tünelin ağzına ne kadar branda gerekir?

Taş bir tünelin ağzı parabol biçiminde: tabanı $4$ m, en yüksek yeri $4$ m. Mavi branda ağzı soldan sağa kaplıyor; sayaç kaplanan alanı metrekare olarak sayıyor.

Sıfırdan2 / 16

Üçgenden büyük, dikdörtgenden küçük

İçteki üçgenin alanı $8$ , dıştaki dikdörtgeninki $16$ m². Branda ikisinin arasında kalıyor. Kenarı eğri olduğu için bu iki formülün hiçbiri onu tam vermez.

Hızlı soru

Brandanın alanı $A$ için hangisi kesin doğrudur?

Bölge üçgeni içine alır ve dikdörtgenin içinde kalır. Tam değer $\tfrac{32}{3} \approx 10{,}67$ ; ikisinin ortalaması olan $12$ değil.

Sıfırdan3 / 16

Ağzı düz tahtalarla kapat

Eğri kenarı taklit etmek için ağzı eşit enli düşey tahtalarla kapatıyoruz. Her tahta bir dikdörtgen: eni $\Delta x$ , boyu ortasındaki yükseklik. Tahtaların alanlarını topluyoruz.

A \approx \sum f(x_i)\,\Delta x

Temel4 / 16

Tahtalar inceldikçe toplam yerine oturuyor

Tahta sayısı arttıkça taşan ve eksik kalan köşeler küçülür; toplam $10{,}67$ değerine yerleşir. Bu limitin adı belirli integral.

\lim_{n \to \infty} \sum f(x_i)\,\Delta x = \int_{-2}^{2} (4 - x^2)\,dx

Dene: Şerit sayısını $4$ 'ten $48$ 'e çıkar; toplamı izle.

Temel5 / 16

Tünel ağzı bir grafiğe dönüşüyor

Tabanı $x$ eksenine, tepeyi $(0, 4)$ noktasına koy: kemer $y = 4 - x^2$ eğrisi olur. Branda, bu eğri ile $x$ ekseni arasındaki bölgedir; alanı belirli integraldir.

A = \int_{-2}^{2} (4 - x^2)\,dx = \tfrac{32}{3}

Temel6 / 16

Eksenin altındaki levha eksi sayılır

$f(x) = x^2 - 2x$ eğrisi $0$ ile $2$ arasında eksenin altına iniyor. Orada şeridin yüksekliği negatif; integral kırmızı, gömük levhayı eksi işaretle toplar.

Dene: $b$ 'yi $0$ 'dan $3$ 'e sürükle: integral önce $-\tfrac{4}{3}$ 'e iner, sonra yükselir.

Temel7 / 16

İntegral sıfır, ama alan sıfır değil

$b = 3$ olunca mavi levha da $\tfrac{4}{3}$ büyüklüğe ulaşıyor. İşaretli toplam $-\tfrac{4}{3} + \tfrac{4}{3} = 0$ ; oysa iki levha da yerinde duruyor.

Hızlı soru

$\displaystyle\int_0^3 (x^2 - 2x)\,dx$ kaçtır?

$\left[\tfrac{x^3}{3} - x^2\right]_0^3 = 9 - 9 = 0$ . Bu işaretli alandır; boyalı bölgenin alanı $\tfrac{8}{3}$ .

Temel8 / 16

Kırmızı levha eksenin üstüne katlanıyor

Kırmızı levhayı $x$ ekseni menteşesinde yarım tur çeviriyoruz: biçimi ve büyüklüğü aynı, artık eksenin üstünde. Yeni grafik $y = |f(x)|$ ; alan, mutlak değerin integralidir.

A = \int_0^3 |x^2 - 2x|\,dx = \tfrac{4}{3} + \tfrac{4}{3} = \tfrac{8}{3}

Dene: Katla anahtarını kapatıp aç.

Orta9 / 16

Şeridin boyu: üstteki eksi alttaki

Şimdi tabanı da eğri: üstte $y = x + 2$ , altta $y = x^2$ rayı. Yeşil şeridin tepesi üst rayda, dibi alt rayda; boyu $(x + 2) - x^2$ . Sınırlar rayların kesiştiği $x = -1$ ve $x = 2$ .

A = \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2)\,dx = \tfrac{9}{2}

Dene: Şeridi $x$ sürgüsüyle sola sağa gezdir.

Orta10 / 16

Raylar birlikte iniyor, levha aynı kalıyor

İki rayı birlikte $k$ kadar aşağı kaydır: levha cam eksen düzleminin altına geçer, ama şeridin boyu değişmez, çünkü fark aynı kalır. Alan yine $\tfrac{9}{2}$ .

Dene: $k$ 'yı $-4{,}5$ 'e kadar indir: levhanın tamamı eksenin altına geçiyor.

Hızlı soru

İki eğri birlikte $3$ birim aşağı kaydırılırsa aralarındaki alan ne olur?

$(x + 2 + k) - (x^2 + k) = x + 2 - x^2$ : $k$ sadeleşir. Eksenin yeri iki eğri arasındaki alanı değiştirmez.

Orta11 / 16

Kesişimlerde sınır direkleri dikiliyor

$y = x^3$ ile $y = x$ üç yerde kesişir: $-1$ , $0$ , $1$ . Solda küp üstte, sağda doğru üstte; tek integral iki parçayı götürür ve $0$ verir. Her kesişimde böl, parçaları ayrı topla.

\int_{-1}^{0} (x^3 - x)\,dx + \int_{0}^{1} (x - x^3)\,dx = \tfrac{1}{2}

Dene: Parçala anahtarını aç.

Orta12 / 16

Alanı 36 yapan çubuk yüksekliği

$y = k$ çubuğu yükseldikçe levha hem genişler hem uzar; alan $k$ ile değil, $k\sqrt{k}$ ile büyür. Yandaki tüp alanı ölçüyor, halka $36$ 'da.

A(k) = 2\int_0^{\sqrt{k}} (k - x^2)\,dx = \tfrac{4}{3}k\sqrt{k}

Dene: $k$ sürgüsüyle tüpü halkaya kadar doldur.

Hızlı soru

Alanın $36$ olması için $k$ kaç olmalı?

$\tfrac{4}{3}k\sqrt{k} = 36 \Rightarrow (\sqrt{k})^3 = 27 \Rightarrow \sqrt{k} = 3$ , yani $k = 9$ .

Sınav13 / 16

Hız grafiğinin altı alınan yoldur

Kırmızı ışıkta duran A aracı $v = 2t$ hızıyla kalkıyor. Grafiğin altı dolarken yoldaki mavi çubuk da aynı sayıyla uzuyor: $T$ saniyede alınan yol $T^2$ metre.

s = \int_0^T 2t\,dt = T^2

Sınav14 / 16

Grafikler arası alan, araçlar arası mesafe

B aracı aynı anda $v_B = \tfrac{t^2}{2}$ hızıyla kalkıyor. Mavi levha A'nın, kırmızı levha B'nin daha hızlı olduğu süre; yoldaki çubuk aradaki farktır. Fark $t = 4$ 'te en büyük.

s_A - s_B = T^2 - \tfrac{T^3}{6}

Dene: Zamanı $4$ s'de durdur, sonra $6$ s'ye götür.

Sınav15 / 16

İki levha eşitlenince B yetişiyor

$T = 6$ 'da kırmızı levha da $\tfrac{16}{3}$ olur ve maviyi götürür: fark sıfır, araçlar yan yana. B, A'yı $6$ . saniyede yakalar.

Hızlı soru

A, B'nin en çok kaç metre önüne geçer?

Fark, hızlar eşitken ( $t = 4$ ) en büyüktür: $16 - \tfrac{64}{6} = \tfrac{16}{3}$ m.

Sınav16 / 16

Eğri kenarlı her bölge bir integral

Eğri ile eksen arası: köklerde böl, $|f(x)|$ 'i integralle. İki eğri arası: üstteki eksi alttaki, sınırlar kesişimler, eksenin yeri önemsiz. Hız grafiğinin altı yoldur.

A = \int_a^b \left|\,\text{üst} - \text{alt}\,\right|\,dx

Görsel anlatım bitti

Örnekler ve çıkmış sorular Sıradaki: Üçgende Açılar ve Açı–Kenar Bağıntıları