47Konu 47 / 49
Analitik Geometri

Noktanın ve Doğrunun Analitik İncelenmesi

Koordinatlarla geometri yapıyoruz; iki nokta arasındaki uzaklık, orta nokta, oranla bölme ve ağırlık merkezinden başlayıp eğim, doğru denklemi, paralellik ve diklik ile noktanın doğruya uzaklığına kadar ilerliyoruz.

11. sınıf
AYT sıklığı
70 dk

LevhaNoktanın ve Doğrunun Analitik İncelenmesiNoktanın ve Doğrunun Analitik İncelenmesi

Bir kasabanın haritası kareli kâğıda çizilmiş: ev $A(2, 1)$ , okul $B(8, 9)$ noktasında; düz tramvay hattı ise $3x + 4y - 40 = 0$ doğrusu boyunca uzanıyor. Evden okula kuş uçuşu kaç birim, tam yarı yoldaki fırın hangi noktada, evden tramvay hattına en kısa yürüyüş ne kadar? Cetvel yok; elinde yalnızca koordinatlar var.

Isınma

Başlamadan: Pisagor, bölgeler ve doğrusal fonksiyon

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Dik kenarları

5

12

birim olan dik üçgenin hipotenüsü kaç birimdir?

Açıklama

$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ ve $\sqrt{169} = 13$ . Ayrıntısı Dik Üçgen sayfasında.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

P(-3, 2)

noktası analitik düzlemin hangi bölgesindedir?

Açıklama

Apsis ( $x$ ) negatif, ordinat ( $y$ ) pozitif: nokta $y$ ekseninin solunda ve $x$ ekseninin üstündedir. Bölgeler sağ üstten başlayıp saat yönünün tersine I, II, III, IV diye sayılır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(x) = 2x - 6

fonksiyonunun grafiği

x

eksenini hangi noktada keser?

Açıklama

$x$ ekseni üzerinde $y = 0$ ‘dır: $2x - 6 = 0$ , $x = 3$ . Doğrusal fonksiyonun grafiği bir doğrudur; bu sayfada o doğruyu geometri gözüyle inceleyeceğiz.

Temel

Uzaklık, orta nokta, eğim ve doğru denklemi

İki nokta arasındaki uzaklık

Analitik düzlemde her noktanın bir adresi vardır: $P(x, y)$ . İlk sayı apsis (yatay konum), ikinci sayı ordinat (düşey konum). İki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için yeni bir bilgi gerekmez; noktalardan yatay ve düşey çizgiler çizince bir dik üçgen oluşur.

Evden okula: yatay fark

6

, düşey fark

8

; aradaki uzaklık bu dik üçgenin hipotenüsüdür.

Kancadaki ilk soru: $|AB| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$ birim.

Sahnede $A$ ve $B$ noktalarını sürükle. Yatay ve düşey dik kenarlar noktalarla birlikte uzayıp kısalıyor; hipotenüsün üzerindeki sayı her an $\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ değerini gösteriyor. İki noktayı aynı yatay çizgiye getir: üçgen kaybolur, uzaklık yalnızca apsislerin farkı olur.

Örnek

kolay

Negatif koordinatlarla uzaklık

$A(-2, 3)$ ve $B(4, -5)$ noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Önce koordinat farklarını bul, çünkü formül yalnızca bu iki farka bakar. Eksi işaretlerine dikkat et: $4 - (-2) = 6$ ve $-5 - 3 = -8$ .

Farkların karesini topla. Kare alınca işaret kaybolur, bu yüzden hangi noktadan başladığın sonucu değiştirmez: $6^2 + (-8)^2 = 36 + 64 = 100$ .

Sonuç

$|AB| = \sqrt{100} = 10$ birim.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

A(1, 2)

B(4, 6)

noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Açıklama

Farklar $3$ ve $4$ : $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ .

Orta nokta

Bir doğru parçasının tam ortasına gelmek için yatayda da düşeyde de yolun yarısını gidersin. Yarı yol, iki ucun ortalamasıdır.

Kancadaki fırın: $\left(\dfrac{2 + 8}{2}, \dfrac{1 + 9}{2}\right) = (5, 5)$ .

Örnek

kolay

Orta noktadan öbür ucu bulma

$[AB]$ doğru parçasının orta noktası $M(2, 1)$ ve $A(-1, 4)$ ‘tür. $B$ noktasının koordinatlarını bul.

$B(x, y)$ diyelim. Orta noktanın apsisi uçların apsislerinin ortalamasıdır: $\dfrac{-1 + x}{2} = 2$ . Buradan $-1 + x = 4$ , $x = 5$ .

Aynı işi ordinatlar için yap: $\dfrac{4 + y}{2} = 1$ , yani $4 + y = 2$ ve $y = -2$ .

Sağlama: $A$ ‘dan $M$ ‘ye giderken apsis $3$ artmış, ordinat $3$ azalmış. $M$ ‘den aynı adımı bir kez daha atınca $(5, -2)$ çıkar.

Sonuç

$B(5, -2)$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

A(-3, 5)

B(7, 1)

noktalarını birleştiren doğru parçasının orta noktası hangisidir?

Açıklama

$\left(\dfrac{-3 + 7}{2}, \dfrac{5 + 1}{2}\right) = (2, 3)$ .

Eğim açısı ve eğim

Bir yokuşun dikliğini iki biçimde söyleyebilirsin: yatayla yaptığı açıyla ya da “bir adım ileri gidince kaç adım yükseliyorum” oranıyla. Doğrular için ikisi de kullanılır ve birbirine tanjantla bağlıdır.

İki tanım aynı şeyi söyler: uzaklık şeklindeki dik üçgende $\tan \alpha$ , karşı dik kenarın (düşey fark) komşu dik kenara (yatay fark) oranıdır. Evden okula giden doğrunun eğimi $\dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$ ‘tür.

Eğim açısı dar ise eğim pozitif (doğru sağa doğru yükselir), geniş ise negatiftir (sağa doğru alçalır).

Sahnede doğruyu sabit bir nokta çevresinde döndür. $\alpha$ sürgüsü $0^\circ$ ‘den $90^\circ$ ‘ye yaklaşırken eğim sınırsız büyüyor; tam $90^\circ$ ‘de doğru düşeydir ve gösterge “tanımsız” yazıyor. $90^\circ$ ‘yi geçince eğim negatif oluyor. Eğim üçgenine bak: yatayda $1$ birim gidince düşeyde tam $m$ birim değişiyorsun.

$\alpha = 0^\circ$ : doğru yataydır, $m = 0$ .
$0^\circ < \alpha < 90^\circ$ : $m > 0$ .
$\alpha = 90^\circ$ : doğru düşeydir, $\tan 90^\circ$ tanımsız olduğundan eğim tanımsızdır.
$90^\circ < \alpha < 180^\circ$ : $m < 0$ .

Örnek

kolay

İki noktadan eğim ve eğim açısı

$A(-1, 4)$ ve $B(2, 1)$ noktalarından geçen doğrunun eğimini ve eğim açısını bul.

Eğim, ordinat farkının apsis farkına oranıdır. Pay ve paydada noktaları aynı sırayla kullan: $m = \dfrac{1 - 4}{2 - (-1)} = \dfrac{-3}{3} = -1$ .

Eğim negatif çıktı; demek ki eğim açısı geniş açıdır. $\tan \alpha = -1$ ve $0^\circ \leq \alpha < 180^\circ$ koşulunu sağlayan açı $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$ ‘dir.

Sonuç

$m = -1$ ve $\alpha = 135^\circ$ . Doğrunun $x$ ekseniyle yaptığı dar açı $45^\circ$ ‘dir ama eğim açısı o değildir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Eğim açısı

60^\circ

olan doğrunun eğimi kaçtır?

Açıklama

$m = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$ . Özel açıların tanjantları için Trigonometrik Fonksiyonlar sayfasına bakabilirsin.

Doğrunun denklemi

Bir doğruyu belirlemek için bir nokta ve bir yön yeter. Doğru üzerindeki her $(x, y)$ noktası, bilinen $(x_1, y_1)$ noktasıyla aynı eğimi vermelidir: $\dfrac{y - y_1}{x - x_1} = m$ . İçler dışlar çarpımı yapınca doğrunun denklemi çıkar.

İki noktası verilen doğruda önce eğimi bulur, sonra noktalardan birini bu kurala yerleştirirsin. Bir noktanın doğru üzerinde olması, koordinatlarının denklemi sağlaması demektir.

Sahnede $y = mx + n$ doğrusu var. $m$ sürgüsü doğruyu $y$ eksenini kestiği nokta çevresinde döndürüyor; $n$ sürgüsü doğruyu eğimini bozmadan yukarı aşağı kaydırıyor. $n = 0$ yap: doğru orijinden geçer. $m = 0$ yap: doğru yatay olur. Düğmeyle düşey doğruya geç ve denklemin neden $y = \ldots$ biçiminde yazılamadığını gör.

Örnek

kolay

İki noktadan doğru denklemi

$A(1, -1)$ ve $B(3, 5)$ noktalarından geçen doğrunun denklemini yaz. Bu doğru $x$ eksenini hangi noktada keser?

Denklem için bir eğim gerekir: $m = \dfrac{5 - (-1)}{3 - 1} = \dfrac{6}{2} = 3$ .

Noktalardan birini seç; hangisini seçtiğin fark etmez, çünkü ikisi de aynı doğrunun üzerinde. $A(1, -1)$ ile: $y - (-1) = 3(x - 1)$ , yani $y = 3x - 4$ . Sağlama: $x = 3$ için $y = 5$ , $B$ de denklemi sağlıyor.

$x$ ekseni üzerindeki noktalarda $y = 0$ ‘dır: $0 = 3x - 4$ , $x = \dfrac{4}{3}$ .

Sonuç

Doğru $y = 3x - 4$ ‘tür ve $x$ eksenini $\left(\dfrac{4}{3}, 0\right)$ noktasında keser.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

(2, -3)

noktasından geçen ve

y

eksenine paralel olan doğrunun denklemi hangisidir?

Açıklama

$y$ eksenine paralel doğru düşeydir; üzerindeki bütün noktaların apsisi aynıdır. Nokta $(2, -3)$ olduğundan doğru $x = 2$ ‘dir.

Orta

Oranla bölme, doğruların durumları ve uzaklık

Bir doğru parçasını oranla bölmek

Orta nokta, yolu $1 : 1$ oranında böler. Yolun üçte birinde ya da dörtte üçünde durmak istersen aynı fikir çalışır: apsiste ve ordinatta toplam farkın aynı kesri kadar ilerlersin.

C

noktası

[AB]

'yi içten böler (

|AC| : |CB| = 1 : 2

D

noktası parçanın dışındadır ve dıştan böler (

|AD| : |DB| = 3 : 1

Formülü ezberlemek yerine adım saymak daha güvenlidir. İçten bölmede $|AC| = k \cdot |CB|$ olduğundan $C$ , $A$ ‘dan başlayıp yolun $\dfrac{k}{k + 1}$ kadarını gider. $k = 1$ için bu kesir $\dfrac{1}{2}$ olur ve orta nokta formülü çıkar.

Sahnede $C$ noktasını $AB$ doğrusu boyunca kaydır. $C$ , $A$ ile $B$ arasındayken “içten” yazıyor ve oran göstergesi $|AC| : |CB|$ değerini veriyor; tam ortada oran $1$ . $C$ ‘yi $B$ ‘nin ötesine geçir: artık “dıştan” bölüyor ve oran $1$ ‘den büyük. $A$ ‘nın gerisine götür: oran $1$ ‘den küçük. Oranın hiçbir konumda tam $1$ olmadığına dikkat et; dışarıda iki uca eşit uzaklıkta nokta yoktur.

Örnek

orta

Bisiklet yolunda çeşme ve bank

Bir parkın planında düz bisiklet yolu $A(-2, 1)$ ve $B(10, 7)$ noktaları arasındadır. Yolun üzerine, $A$ ‘ya uzaklığı $B$ ‘ye uzaklığının yarısı olan bir $C$ çeşmesi konacak. Yol $B$ ‘den öteye uzatılıp uzantı üzerine $|AD| = 3 \cdot |DB|$ olacak biçimde bir $D$ bankı yerleştirilecek. $C$ ve $D$ noktalarının koordinatlarını bul.

$A$ ‘dan $B$ ‘ye giderken apsis $10 - (-2) = 12$ , ordinat $7 - 1 = 6$ artar. Bütün hesap bu iki farkın kesirleriyle yapılacak.

Çeşme: $|AC| : |CB| = 1 : 2$ , yani yol $3$ eş parçadır ve $C$ ilk parçanın sonundadır. $A$ ‘dan farkların $\dfrac{1}{3}$ ‘ü kadar ilerle: $C(-2 + 4,\ 1 + 2) = (2, 3)$ .

Bank: $D$ , $B$ ‘nin ötesinde ve $|AD| = 3 \cdot |DB|$ . $|AD| = |AB| + |BD|$ olduğundan $|AB| = 2 \cdot |BD|$ , yani $|BD| = \dfrac{|AB|}{2}$ . $B$ ‘den farkların yarısı kadar daha ilerle: $D(10 + 6,\ 7 + 3) = (16, 10)$ .

Sağlama (formülle, $k = 3$ , dıştan): $\dfrac{-2 - 3 \cdot 10}{1 - 3} = \dfrac{-32}{-2} = 16$ ve $\dfrac{1 - 3 \cdot 7}{1 - 3} = \dfrac{-20}{-2} = 10$ .

Sonuç

$C(2, 3)$ ve $D(16, 10)$

Üçgenin ağırlık merkezi

Üçgenin kenarortayları tek bir noktada kesişir: ağırlık merkezi $G$ . Bu nokta her kenarortayı, köşeye yakın parça uzak parçanın iki katı olacak biçimde böler. Kenarortayın ucu bir orta nokta, $G$ de bu parçayı $2 : 1$ oranında bölen nokta olduğundan koordinatları az önceki araçlarla bulunur.

Neden? $[AB]$ ‘nin orta noktası $M$ olsun. $G$ , $C$ ‘den $M$ ‘ye giden yolun $\dfrac{2}{3}$ ‘ündedir. Apsis için: $x_3 + \dfrac{2}{3}\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2} - x_3\right) = \dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$ .

Sahnede üçgenin köşelerini sürükle. Üç kenarortay her durumda aynı noktada buluşuyor ve o noktanın koordinatları köşelerin ortalaması olarak güncelleniyor. Bir köşeyi yatayda $3$ birim kaydır: $G$ yalnızca $1$ birim kayar.

G

C

köşesinden çıkan kenarortayı

|CG| = 2 \cdot |GM|

olacak biçimde böler.

Örnek

orta

Ağırlık merkezinden köşe ve kenarortay

$ABC$ üçgeninde $A(2, 5)$ , $B(-4, 1)$ ve ağırlık merkezi $G(1, 2)$ ‘dir. $C$ köşesinden çıkan kenarortayın uzunluğu kaç birimdir?

Önce $C(x, y)$ köşesini bul. Ağırlık merkezi ortalama olduğundan köşelerin toplamı $G$ ‘nin $3$ katıdır: $2 + (-4) + x = 3$ ve $5 + 1 + y = 6$ . Buradan $C(5, 0)$ .

Kenarortayın öbür ucu $[AB]$ ‘nin orta noktasıdır: $M\left(\dfrac{2 - 4}{2}, \dfrac{5 + 1}{2}\right) = (-1, 3)$ .

$|CM| = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ .

Sağlama: $|CG| = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}$ . Kenarortayın tamamı bunun $\dfrac{3}{2}$ katı olmalı: $3\sqrt{5}$ . Tutuyor.

Sonuç

Kenarortayın uzunluğu $3\sqrt{5}$ birimdir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Köşeleri

A(1, 2)

B(5, -1)

C(3, 8)

olan üçgenin ağırlık merkezi hangisidir?

Açıklama

$\left(\dfrac{1 + 5 + 3}{3}, \dfrac{2 - 1 + 8}{3}\right) = (3, 3)$ .

Genel denklem ve eksenleri kesen noktalar

Her doğrunun denklemi $ax + by + c = 0$ biçiminde yazılabilir; buna doğrunun genel denklemi denir. Düşey doğrular da bu biçime uyar ( $b = 0$ ). $b \neq 0$ ise $y$ ‘yi yalnız bırakınca eğim okunur:

$ax + by + c = 0 \quad\Rightarrow\quad y = -\dfrac{a}{b}x - \dfrac{c}{b} \quad\Rightarrow\quad m = -\dfrac{a}{b}$

Doğrunun eksenleri kestiği noktalar için öbür koordinatı sıfır yaparsın: $x$ ekseni için $y = 0$ , $y$ ekseni için $x = 0$ . Eksenleri $(p, 0)$ ve $(0, q)$ noktalarında kesen doğrunun ( $p \neq 0$ , $q \neq 0$ ) denklemi doğrudan $\dfrac{x}{p} + \dfrac{y}{q} = 1$ yazılabilir; iki noktayı yerine koyup denetle.

İki doğrunun birbirine göre durumu

Aynı düzlemdeki iki doğru ya tek noktada kesişir, ya hiç kesişmez (paralel), ya da üst üste biner (çakışık). Hangisinin olduğunu eğimler ve sabit terimler söyler.

Doğrular $y = m_1 x + n_1$ ve $y = m_2 x + n_2$ ya da genel biçimde $a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ ve $a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$ olsun.

Durum	Eğimle	Genel denklemle
Kesişen (tek ortak nokta)	$m_1 \neq m_2$	$\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$
Paralel (ortak nokta yok)	$m_1 = m_2$ ve $n_1 \neq n_2$	$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}$
Çakışık (sonsuz ortak nokta)	$m_1 = m_2$ ve $n_1 = n_2$	$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}$

Kesişen iki doğrunun kesişim noktası iki denklemi birden sağlar; iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek bulunur.

Sahnede $d_1$ doğrusu sabit, $d_2$ doğrusunun eğimini ve sabit terimini sen ayarlıyorsun. Eğimler farklıyken kesişim noktası işaretleniyor ve koordinatları yazıyor. Eğimleri eşitle: nokta sahneden kaçar, doğrular paralel olur. Sonra sabit terimi de eşitle: iki doğru üst üste biner. Son olarak eğimi $m_1 \cdot m_2 = -1$ olacak biçimde ayarla ve kesişimdeki dik açı işaretini gör.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

y = 2x - 1

y = -x + 5

doğrularının kesişim noktası hangisidir?

Açıklama

Kesişim noktasında iki $y$ değeri eşittir: $2x - 1 = -x + 5$ , $3x = 6$ , $x = 2$ . Yerine koy: $y = 3$ . İkinci doğruda da $-2 + 5 = 3$ .

Dik doğrular

Kesişen doğruların en çok sorulan özel durumu dik kesişmedir. Bir doğrunun eğim üçgenini çeyrek tur döndürürsen yatay kenar düşey, düşey kenar yatay olur ve biri yön değiştirir: eğim $m$ iken $-\dfrac{1}{m}$ olur.

1

sağa

2

yukarı giden üçgen çeyrek tur dönünce

2

sola

1

yukarı gider: eğim

2

'den

-\dfrac{1}{2}

'ye dönüşür.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

y = 3x - 1

doğrusuna dik olan bir doğrunun eğimi kaçtır?

Açıklama

$3 \cdot m = -1$ olmalı: $m = -\dfrac{1}{3}$ . Ters çevir ve işaret değiştir.

Örnek

orta

Kütüphaneden tramvay hattına en kısa yol

Kancadaki kasabada tramvay hattı $3x + 4y - 40 = 0$ doğrusudur. $K(1, 3)$ noktasındaki kütüphaneden hatta en kısa yoldan gidecek düz bir yaya yolu yapılacak ve yolun hatta ulaştığı yere durak konacak. Durak hangi noktadadır?

Bir noktadan bir doğruya en kısa yol, doğruya dik olan yoldur. Önce hattın eğimini bul: $4y = -3x + 40$ , yani $m = -\dfrac{3}{4}$ .

Yaya yolu hatta dik olacak; eğimi ters çevir ve işaret değiştir: $\dfrac{4}{3}$ . $K(1, 3)$ ‘ten geçen yolun denklemi: $y - 3 = \dfrac{4}{3}(x - 1)$ . Paydadan kurtul: $3y - 9 = 4x - 4$ , yani $4x - 3y + 5 = 0$ .

Durak iki doğrunun kesişim noktasıdır. İlk denklemi $3$ ile, ikincisini $4$ ile çarp ki $y$ ‘ler birbirini götürsün: $9x + 12y = 120$ ve $16x - 12y = -20$ . Topla: $25x = 100$ , $x = 4$ .

$x = 4$ ‘ü hat denkleminde yerine koy: $12 + 4y = 40$ , $y = 7$ . Sağlama: $4 \cdot 4 - 3 \cdot 7 + 5 = 0$ , nokta yaya yolunun da üzerinde.

Sonuç

Durak $H(4, 7)$ noktasındadır. Yaya yolunun uzunluğu $|KH| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ birimdir.

Bir noktanın bir doğruya uzaklığı

Az önce uzaklığı üç adımda bulduk: dik doğru, kesişim noktası, iki nokta arası uzaklık. Bu üç adım her seferinde aynı sonuca vardığı için tek formüle sığar.

K

'den hatta çizilen parçaların en kısası dik olanıdır; uzaklık bu dikmenin uzunluğudur.

Kütüphane için: $\dfrac{|3 \cdot 1 + 4 \cdot 3 - 40|}{\sqrt{9 + 16}} = \dfrac{25}{5} = 5$ . Kancadaki son soru da aynı yolla çözülür; ev $A(2, 1)$ için $\dfrac{|6 + 4 - 40|}{5} = 6$ birim. Nokta doğrunun üzerindeyse pay sıfır olur; uzaklık da sıfırdır.

Sahnede $P$ noktasını sürükle, $Q$ noktasını da doğru üzerinde kaydır. $|PQ|$ göstergesi, $PQ$ doğruya dik olduğu anda en küçük değerini alıyor ve formülün verdiği sayıyla çakışıyor. $P$ ‘yi doğrunun öbür yanına geçir: mutlak değerin içi işaret değiştiriyor ama uzaklık pozitif kalıyor.

Örnek

orta

Formülü kullanmadan önce genel biçime çevir

$A(3, -2)$ noktasının $y = \dfrac{3}{4}x + 2$ doğrusuna uzaklığı kaç birimdir?

Formül $ax + by + c = 0$ biçimini ister; bütün terimler aynı yanda olmalı. Denklemi $4$ ile çarpıp düzenle: $4y = 3x + 8$ , yani $3x - 4y + 8 = 0$ . Katsayılar: $a = 3$ , $b = -4$ , $c = 8$ .

Pay için noktayı yerine koy: $3 \cdot 3 - 4 \cdot (-2) + 8 = 9 + 8 + 8 = 25$ . Eksi ile eksinin çarpımına dikkat et.

Payda: $\sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{25} = 5$ .

Sonuç

Uzaklık $\dfrac{25}{5} = 5$ birimdir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Orijinin

3x + 4y - 10 = 0

doğrusuna uzaklığı kaç birimdir?

Açıklama

$\dfrac{|3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 - 10|}{\sqrt{9 + 16}} = \dfrac{10}{5} = 2$ .

Paralel iki doğru arasındaki uzaklık

Paralel doğrular birbirinden hep aynı uzaklıktadır. Bu uzaklığı bulmak için doğrulardan birinin üzerinde herhangi bir nokta seçip öbür doğruya uzaklığını hesaplaman yeter. Katsayıları eşitlenmiş iki denklemde sonuç kısa bir formüle iner.

Sahnede paralel iki doğru var; alttakinden üsttekine üç ayrı yol çizili: düşey, yatay ve dik. $c$ sürgüsüyle doğrulardan birini kaydır, $m$ sürgüsüyle ikisini birlikte döndür. Düşey ve yatay aralıklar eğime göre değişiyor ama dik yol her zaman ikisinden de kısa: o, düşey ve yatay aralıkların oluşturduğu dik üçgenin hipotenüse ait yüksekliğidir.

x - y + 2 = 0

x - y - 2 = 0

: düşey aralık

4

, yatay aralık

4

, dik uzaklık

\dfrac{|2 - (-2)|}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

3x - 4y + 5 = 0

6x - 8y - 10 = 0

doğruları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Açıklama

İkinci denklemi $2$ ‘ye böl: $3x - 4y - 5 = 0$ . Artık katsayılar aynı: $\dfrac{|5 - (-5)|}{\sqrt{9 + 16}} = \dfrac{10}{5} = 2$ .

İleri

Sınav düzeyi: parametreler, birleşik sorular ve tuzaklar

Parametreli doğrular

Denklemde bir harf varsa soru çoğu zaman “paralel”, “dik” ya da “kesişir” sözcüklerinden birini denkleme çevirmeni ister. Paralellikte ikinci bir denetim gerekir: bulduğun değer doğruları üst üste bindiriyor olabilir.

Örnek

zor

Paralel mi, çakışık mı?

$k$ bir gerçek sayı olmak üzere $d_1: kx + 2y + 4 = 0$ ve $d_2: 2x + ky + 4 = 0$ doğruları paraleldir. Bu iki doğru arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Paralel doğruların eğimleri eşittir. Genel denklemde bu, $x$ ve $y$ katsayılarının orantılı olması demektir: $\dfrac{k}{2} = \dfrac{2}{k}$ . Buradan $k^2 = 4$ , yani $k = 2$ ya da $k = -2$ .

İki değeri de denetle; çünkü eğimlerin eşitliği çakışık doğrularda da sağlanır. $k = 2$ için iki denklem de $2x + 2y + 4 = 0$ olur: doğrular çakışıktır, paralel değildir. Bu değer atılır.

$k = -2$ için $d_1: -2x + 2y + 4 = 0$ ve $d_2: 2x - 2y + 4 = 0$ . Katsayıları eşitlemek için ilkini $-2$ ‘ye, ikincisini $2$ ‘ye böl: $x - y - 2 = 0$ ve $x - y + 2 = 0$ . Farklı ve paralel iki doğru.

Katsayılar artık aynı: uzaklık $\dfrac{|-2 - 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \dfrac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ .

Sonuç

Doğrular arasındaki uzaklık $2\sqrt{2}$ birimdir (bir önceki şekildeki doğrular).

İki noktaya eşit uzaklıktaki noktalar

$A$ ve $B$ noktalarına eşit uzaklıktaki noktalar nerededir? $[AB]$ ‘nin orta noktası bunlardan biridir. Geri kalanların hepsi, orta noktadan geçen ve $AB$ ‘ye dik olan doğrunun üzerindedir: orta dikme. Böyle bir soruda iki uzaklığı eşitleyip kare almak yerine orta nokta ile dik eğimi kullanmak daha kısadır.

Sahnede $P$ noktasını serbestçe sürükle; $|PA|$ ve $|PB|$ göstergeleri çoğu yerde farklı. Düğmeyle $P$ ‘yi orta dikmeye kilitle ve doğru boyunca kaydır: iki uzaklık her konumda eşit kalıyor. $A$ ya da $B$ ‘yi oynat; orta dikme, orta noktayla birlikte taşınıyor ve $AB$ ‘ye dik kalıyor.

Örnek

zor

Eksen üzerinde eşit uzaklıktaki nokta

$A(1, 2)$ ve $B(7, 4)$ noktalarına eşit uzaklıkta olan ve $x$ ekseni üzerinde bulunan $P$ noktasının apsisi kaçtır?

$A$ ve $B$ ‘ye eşit uzaklıktaki noktalar $[AB]$ ‘nin orta dikmesi üzerindedir. Orta nokta: $M\left(\dfrac{1 + 7}{2}, \dfrac{2 + 4}{2}\right) = (4, 3)$ .

$AB$ doğrusunun eğimi $\dfrac{4 - 2}{7 - 1} = \dfrac{1}{3}$ ‘tür. Orta dikme buna dik olduğundan eğimi $-3$ ‘tür.

Orta dikmenin denklemi: $y - 3 = -3(x - 4)$ , yani $y = -3x + 15$ . $P$ ayrıca $x$ ekseninde olduğundan $y = 0$ : $3x = 15$ , $x = 5$ .

Sağlama (farklı yoldan): $P(5, 0)$ için $|PA|^2 = 4^2 + 2^2 = 20$ ve $|PB|^2 = 2^2 + 4^2 = 20$ . Uzaklıklar eşit.

Sonuç

$P$ noktasının apsisi $5$ ‘tir.

Üçgenin alanı: taban ve yükseklik

Köşeleri verilen bir üçgenin alanı için bir kenarı taban seç; yükseklik, karşı köşenin o kenarı taşıyan doğruya uzaklığıdır. İki kenar birbirine dikse iş daha da kısalır: dik kenarların çarpımının yarısı.

Örnek

zor

Köşeleri verilen üçgenin alanı

Köşeleri $A(1, 1)$ , $B(5, 4)$ ve $C(-1, 7)$ olan üçgenin alanı kaç birimkaredir?

$[AB]$ ‘yi taban alalım, çünkü farklar $4$ ve $3$ olduğundan uzunluğu tam sayı çıkar: $|AB| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ .

Yükseklik için $AB$ doğrusunun genel denklemi gerekir. Eğim $\dfrac{3}{4}$ : $y - 1 = \dfrac{3}{4}(x - 1)$ , yani $4y - 4 = 3x - 3$ ve $3x - 4y + 1 = 0$ .

$C(-1, 7)$ noktasının bu doğruya uzaklığı: $\dfrac{|3 \cdot (-1) - 4 \cdot 7 + 1|}{\sqrt{9 + 16}} = \dfrac{|-30|}{5} = 6$ .

Sağlama: üçgeni içine alan ve kenarları eksenlere paralel dikdörtgenin köşeleri $(-1, 1)$ , $(5, 1)$ , $(5, 7)$ , $(-1, 7)$ ; alanı $6 \cdot 6 = 36$ . Köşelerde kalan üç dik üçgenin alanları $6$ , $9$ ve $6$ ‘dır: $36 - 21 = 15$ .

Sonuç

Alan $\dfrac{5 \cdot 6}{2} = 15$ birimkaredir.

Köşesi bir doğru üzerinde olan kare

ÖSYM’nin sevdiği bir kalıp: bir kare ya da dikdörtgenin köşesi bir doğrunun üzerindedir. Çözüm hep aynı fikre dayanır: köşenin koordinatlarını kenar uzunluğu cinsinden yaz ve doğru denkleminde yerine koy.

Örnek

zor

Üçgen panoya kare ekran

Bir sahne dekorunun planında üçgen biçimli panonun kenarları $y = 2x$ doğrusu, $2x + y = 24$ doğrusu ve $x$ ekseni üzerindedir. Panoya, alt kenarı $x$ ekseninde, üst köşeleri panonun eğik kenarlarında olan kare bir ekran yerleştirilecek. Ekranın alanı kaç birimkaredir?

Karenin kenar uzunluğuna $a$ de. Kare $x$ ekseninin üzerine oturduğundan üst köşelerinin ordinatı $a$ ‘dır. Bilinmeyeni tek harfe indirmek için sol üst köşeyi doğrusundan bul.

Sol üst köşe $y = 2x$ üzerindedir ve ordinatı $a$ ‘dır: $a = 2x$ , $x = \dfrac{a}{2}$ . Köşe: $\left(\dfrac{a}{2}, a\right)$ .

Sağ üst köşe bundan $a$ birim sağdadır: $\left(\dfrac{a}{2} + a,\ a\right) = \left(\dfrac{3a}{2}, a\right)$ . Bu nokta $2x + y = 24$ doğrusunu sağlamalı: $2 \cdot \dfrac{3a}{2} + a = 24$ , yani $4a = 24$ ve $a = 6$ .

Sağlama: üst köşeler $(3, 6)$ ve $(9, 6)$ . İlki için $6 = 2 \cdot 3$ , ikincisi için $2 \cdot 9 + 6 = 24$ . İkisi de doğrularının üzerinde.

Sonuç

Ekranın alanı $6^2 = 36$ birimkaredir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

A(0, 4)

B(6, 0)

noktalarına eşit uzaklıkta olan noktaların oluşturduğu doğrunun eğimi kaçtır?

Açıklama

Bu noktalar $[AB]$ ‘nin orta dikmesi üzerindedir. $AB$ ‘nin eğimi $\dfrac{0 - 4}{6 - 0} = -\dfrac{2}{3}$ ; dik doğrunun eğimi $\dfrac{3}{2}$ ‘dir.

Özet

Bu konudan aklında kalacaklar

Uzaklık: $|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ ; Pisagor bağıntısıdır.
Orta nokta: uçların ortalaması. Ağırlık merkezi: üç köşenin ortalaması; kenarortayı köşeden başlayarak $2 : 1$ oranında böler.
Oranla bölme: $\dfrac{|AC|}{|CB|} = k$ için içten $\dfrac{x_1 + k x_2}{1 + k}$ , dıştan $\dfrac{x_1 - k x_2}{1 - k}$ (ordinatlar da aynı biçimde). Adım sayarak sağla.
Eğim: $m = \tan \alpha = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ . Yatay doğruda $0$ , düşey doğruda tanımsız.
Doğru denklemi: $y - y_1 = m(x - x_1)$ ; $y = mx + n$ ; $ax + by + c = 0$ ise $m = -\dfrac{a}{b}$ . Özel doğrular: $y = b$ , $x = a$ , $y = mx$ .
İki doğru: $m_1 \neq m_2$ ise tek noktada kesişir; $m_1 = m_2$ ise paralel ya da çakışık; $m_1 \cdot m_2 = -1$ ise dik.
Noktanın doğruya uzaklığı: $\dfrac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ . Paralel doğrular: $\dfrac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ , önce katsayıları eşitle.
$A$ ve $B$ ‘ye eşit uzaklıktaki noktalar $[AB]$ ‘nin orta dikmesindedir.

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

14 çıkmış soru6 özgün soru

2026 AYTSoru 36

Orta

Paralel doğrular arasındaki uzaklık

Dik koordinat düzleminde $d_1$ ve $d_2$ doğruları birbirine paraleldir. Bu doğruların $x$ eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık $30$ birim, $y$ eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık $40$ birimdir.

Buna göre, $d_1$ ve $d_2$ doğruları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

İpucu

Doğrulardan birinin $x$ eksenini kestiği noktadan öbür doğruya yatay ve düşey doğrultuda git. Oluşan dik üçgenin hangi elemanı aranan uzaklıktır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 37)

Çözüm

1. Bir dik üçgen kur. $d_1$ doğrusunun $x$ eksenini kestiği nokta $T$ olsun. $T$ 'den yatay gidilince $d_2$ 'ye $30$ birimde ulaşılır (iki doğrunun $x$ eksenini kestiği noktalar arası). Doğrular paralel olduğundan düşey aralık her yerde aynıdır ve $y$ eksenindeki aralığa eşittir: $T$ 'den düşey gidilince $d_2$ 'ye $40$ birimde ulaşılır.

2. Hipotenüs $d_2$ üzerindedir. Bu iki ulaşma noktası $d_2$ üzerinde olduğundan, dik kenarları $30$ ve $40$ olan dik üçgenin hipotenüsü $d_2$ 'nin bir parçasıdır: $\sqrt{30^2 + 40^2} = 50$ .

3. Aranan uzaklık hipotenüse ait yüksekliktir. $T$ noktasının $d_2$ doğrusuna uzaklığı, dik açının köşesinden hipotenüse inen yüksekliktir. Alan iki yoldan yazılır:

$\dfrac{30 \cdot 40}{2} = \dfrac{50 \cdot h}{2} \quad\Rightarrow\quad h = 24$

Sağlama (formülle): eğimin mutlak değeri $\dfrac{40}{30} = \dfrac{4}{3}$ 'tür. Doğrular $4x - 3y + c_1 = 0$ ve $4x - 3y + c_2 = 0$ biçiminde yazılırsa $y$ eksenindeki aralık $\dfrac{|c_1 - c_2|}{3} = 40$ , yani $|c_1 - c_2| = 120$ ; uzaklık $\dfrac{120}{\sqrt{16 + 9}} = 24$ .

Cevap: A

2026 AYTSoru 37

Zor

Orijinden geçen doğru

Dik koordinat düzleminde köşeleri $A(4, 0)$ , $B(9, 0)$ , $C(9, 2)$ ve $D(4, 2)$ olan bir dikdörtgen çiziliyor. Ardından, bir kenarı bu dikdörtgenin uzun kenarlarından birinin üzerinde olan ve alanı $1$ birimkare olan bir kare çiziliyor. Son olarak orijinden geçen bir doğru çiziliyor; bu doğrunun kareyi de dikdörtgeni de yalnızca birer noktada kestiği ve bu iki noktanın birbirinden farklı olduğu görülüyor.

Buna göre, karenin orijine en uzak noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

İpucu

Orijinden geçen bir doğru dikdörtgene hangi durumda tek noktada dokunur? Doğruyu bulduktan sonra karenin uzun kenarlara göre dört olası konumunu tek tek dene.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 37)

Çözüm

1. Doğruyu bul. Dikdörtgen $4 \leq x \leq 9$ , $0 \leq y \leq 2$ bölgesidir. Orijinden geçen $y = mx$ doğrusu $m = 0$ iken $[AB]$ kenarını bütünüyle içerir; $0 < m < \dfrac{1}{2}$ iken dikdörtgenin içinden geçer; $m > \dfrac{1}{2}$ ya da $m < 0$ iken dikdörtgene değmez (düşey doğru $x = 0$ da değmez). Tek ortak nokta yalnızca doğru $D(4, 2)$ köşesinden geçerken olur: $m = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ , doğru $y = \dfrac{x}{2}$ .

2. Karenin konumları. Alanı $1$ olan karenin kenarı $1$ birimdir. Bir kenarı $[AB]$ ya da $[DC]$ üzerindedir; kare bu kenarın altında ya da üstünde olabilir. Sol kenarı $x = t$ doğrusunda olsun ( $4 \leq t \leq 8$ ).

$[AB]$ 'nin altında ( $-1 \leq y \leq 0$ ) ya da üstünde ( $0 \leq y \leq 1$ ): doğru bu şeritlerde $x \leq 2$ bölgesindedir, kare ise $x \geq 4$ bölgesinde. Ortak nokta yok.
$[DC]$ 'nin altında ( $1 \leq y \leq 2$ ): doğru bu şeritte $2 \leq x \leq 4$ arasındadır; kareye ancak $D(4, 2)$ noktasında değebilir. Bu, dikdörtgenle ortak olan noktanın aynısıdır; soru farklı iki nokta istiyor.
$[DC]$ 'nin üstünde ( $2 \leq y \leq 3$ ): doğru bu şeritte $(4, 2)$ 'den $(6, 3)$ 'e gider. $t < 6$ ise doğru karenin içinden geçer ya da kareye $D$ noktasında değer; $t > 6$ ise kareye değmez. Yalnızca $t = 6$ iken kareye tek noktada, sol üst köşesi $(6, 3)$ 'te değer.

3. Kare ve en uzak köşesi. Kare $6 \leq x \leq 7$ , $2 \leq y \leq 3$ bölgesidir. Orijine en uzak noktası, iki koordinatı da en büyük olan $(7, 3)$ köşesidir.

$7 + 3 = 10$

Tuzak: kareyi dikdörtgenin içine çizmek. İçerideki hiçbir konum iki farklı tek nokta koşulunu sağlamaz.

Cevap: A

2025 AYTSoru 35

Kolay

Doğru denklemi ve orta nokta

Dik koordinat düzleminde bir köşesi orijinde, öbür iki köşesi eksenlerin üzerinde olan $OAB$ üçgeni ile $P(6, -3)$ ve $R(-2, 9)$ noktalarını birleştiren $[PR]$ doğru parçası şekildeki gibi çizilmiştir. $[PR]$ doğru parçası hem $[OA]$ 'nın hem $[OB]$ 'nin orta noktasından geçmektedir.

Buna göre, $OAB$ üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 35)

Çözüm

1. $PR$ doğrusunun denklemi. Eğim $\dfrac{9 - (-3)}{-2 - 6} = \dfrac{12}{-8} = -\dfrac{3}{2}$ . $P(6, -3)$ noktasıyla:

$y + 3 = -\dfrac{3}{2}(x - 6) \quad\Rightarrow\quad y = -\dfrac{3}{2}x + 6$

2. Orta noktalar eksenlerin üzerindedir. $[OA]$ $x$ ekseninde, $[OB]$ $y$ ekseninde olduğundan orta noktaları, doğrunun eksenleri kestiği noktalardır. $y = 0$ için $x = 4$ ; $x = 0$ için $y = 6$ .

3. Köşeler. Orta nokta $(4, 0)$ ise $A(8, 0)$ ; orta nokta $(0, 6)$ ise $B(0, 12)$ .

$\text{Alan} = \dfrac{8 \cdot 12}{2} = 48$

Çeldirici: orta noktaları köşe sanıp $\dfrac{4 \cdot 6}{2} = 12$ bulmak; bu değer seçeneklerde yoktur ve hatayı fark ettirir.

Cevap: C

2025 AYTSoru 36

Orta

Eğim açısı

$a$ ve $b$ pozitif gerçel sayılardır. Dik koordinat düzleminde $y = -\sqrt{3}\,x$ doğrusu, $y = ax + b$ doğrusu ve $x$ ekseni arasında kalan bölge bir eşkenar üçgendir ve alanı $9\sqrt{3}$ birimkaredir.

Buna göre, $a \cdot b$ çarpımı kaçtır?

İpucu

Eşkenar üçgenin bütün açıları $60^\circ$ 'dir. Tabanı $x$ ekseninde olduğuna göre öbür iki kenarın eğim açılarını düşün.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 35)

Çözüm

1. Birinci doğru. $y = -\sqrt{3}\,x$ orijinden geçer; eğimi $-\sqrt{3} = \tan 120^\circ$ olduğundan $x$ ekseniyle $60^\circ$ 'lik dar açı yapar ve ikinci bölgeye doğru yükselir. Üçgenin bir köşesi orijindir, tabanı $x$ ekseninin negatif kısmındadır.

2. İkinci doğrunun eğimi. Üçgen eşkenar olduğundan bu doğru da $x$ ekseniyle $60^\circ$ yapar. $a > 0$ verildiğinden eğim açısı $60^\circ$ 'dir:

$a = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$

3. Kenar uzunluğu. Kenarı $s$ olan eşkenar üçgenin alanı $\dfrac{s^2\sqrt{3}}{4}$ 'tür: $\dfrac{s^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ , $s^2 = 36$ , $s = 6$ .

4. $b$ değeri. Taban, orijin ile $y = \sqrt{3}\,x + b$ doğrusunun $x$ eksenini kestiği nokta arasındadır. $y = 0$ için $x = -\dfrac{b}{\sqrt{3}}$ ; taban uzunluğu $\dfrac{b}{\sqrt{3}} = 6$ , yani $b = 6\sqrt{3}$ .

$a \cdot b = \sqrt{3} \cdot 6\sqrt{3} = 18$

Sağlama: köşeler $(0, 0)$ , $(-6, 0)$ ve iki doğrunun kesişimi $(-3, 3\sqrt{3})$ ; üç kenar da $6$ birimdir.

Cevap: A

2024 AYTSoru 35

Orta

Ağırlık merkezi

Dik koordinat düzleminde $A(9, 2)$ , $B(10, 1)$ , $C$ , $D(4, 13)$ , $E(3, 6)$ ve $F$ noktaları alınıyor.

$ABC$ üçgeni ile $DEF$ üçgeninin ağırlık merkezleri aynı nokta olduğuna göre, $C$ ile $F$ noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

İpucu

$C$ ve $F$ noktalarını tek tek bulamazsın; buna gerek de yok. Uzaklık formülü yalnızca koordinat farklarını ister.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 35)

Çözüm

1. Ağırlık merkezleri eşitse köşe toplamları eşittir. Ağırlık merkezi köşe koordinatlarının toplamının $3$ 'e bölümüdür. $C(x_1, y_1)$ ve $F(x_2, y_2)$ olsun.

Apsisler: $9 + 10 + x_1 = 4 + 3 + x_2$ , buradan $x_2 - x_1 = 12$ .

Ordinatlar: $2 + 1 + y_1 = 13 + 6 + y_2$ , buradan $y_1 - y_2 = 16$ .

2. Uzaklık yalnızca farklara bakar.

$|CF| = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$

Sağlama: $C(0, 16)$ ve $F(12, 0)$ seçilirse iki ağırlık merkezi de $\left(\dfrac{19}{3}, \dfrac{19}{3}\right)$ olur ve $|CF| = 20$ 'dir.

Cevap: E

2024 AYTSoru 37

Orta

Doğruların sınırladığı üçgen

Dik koordinat düzleminde $2x - y = 0$ , $x + 2y = 0$ ve $x - 8y + 30 = 0$ doğruları üçgensel bir bölgeyi sınırlamaktadır.

Bu bölgenin alanı kaç birimkaredir?

İpucu

İlk iki doğrunun eğimlerini çarp. Üçgenin köşeleri doğruların ikişer ikişer kesişim noktalarıdır.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 35)

Çözüm

1. İlk iki doğru dik. $2x - y = 0$ doğrusunun eğimi $2$ , $x + 2y = 0$ doğrusunun eğimi $-\dfrac{1}{2}$ 'dir; çarpımları $-1$ . İkisi de orijinden geçtiğinden üçgenin dik açısı $O(0, 0)$ köşesindedir.

2. Öbür iki köşe.

$y = 2x$ ile $x - 8y + 30 = 0$ : $x - 16x + 30 = 0$ , $x = 2$ , $y = 4$ . Köşe $P(2, 4)$ .
$x = -2y$ ile $x - 8y + 30 = 0$ : $-2y - 8y + 30 = 0$ , $y = 3$ , $x = -6$ . Köşe $Q(-6, 3)$ .

3. Dik kenarlar.

$|OP| = \sqrt{4 + 16} = 2\sqrt{5} \qquad |OQ| = \sqrt{36 + 9} = 3\sqrt{5}$

$\text{Alan} = \dfrac{2\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5}}{2} = \dfrac{30}{2} = 15$

Sağlama: $O$ noktasının üçüncü doğruya uzaklığı $\dfrac{30}{\sqrt{1 + 64}} = \dfrac{30}{\sqrt{65}}$ , $|PQ| = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65}$ ; taban çarpı yükseklik bölü iki yine $15$ verir.

Cevap: C

2023 AYTSoru 37

Orta

İki nokta arasındaki uzaklık

Birim karelerden oluşan bir mahalle krokisinde okul, belediye, hastane, market, park ve kütüphanenin yerleri şekildeki altı noktayla işaretlenmiştir. Hangi noktanın hangi yapıya ait olduğu yazılmamıştır; ancak şunlar bilinmektedir:

Birbirine en uzak olan iki nokta hastane ile kütüphanedir.
Belediyenin okula uzaklığı ile parka uzaklığı eşittir.
Parkın markete uzaklığı ile kütüphaneye uzaklığı eşittir.

Buna göre; belediye ile okul arasındaki uzaklığın, market ile kütüphane arasındaki uzaklığa oranı kaçtır?

İpucu

Krokinin sol alt köşesini orijin al ve altı noktanın koordinatlarını yaz. Uzaklıkları karşılaştırırken karekök almana gerek yok; uzaklıkların karelerini karşılaştır.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 35)

Çözüm

1. Koordinat ver. Sol alt köşe $(0, 0)$ alınırsa noktalar: $(2, 6)$ , $(5, 6)$ , $(1, 4)$ , $(3, 4)$ , $(6, 3)$ , $(2, 1)$ .

2. En uzak çift. Karşılıklı duran $(5, 6)$ ile $(2, 1)$ için uzaklığın karesi $3^2 + 5^2 = 34$ 'tür; öbür bütün çiftlerde bu değer daha küçüktür (sonraki en büyük değer $(2, 6)$ ile $(2, 1)$ için $25$ ). Hastane ve kütüphane bu iki noktadır.

3. Kütüphane $(5, 6)$ olabilir mi? Park, kütüphane ile markete eşit uzaklıkta olmalı. $(6, 3)$ noktası $(5, 6)$ ve $(3, 4)$ 'e eşit uzaklıktadır (kareler $10$ ve $10$ ); park $(6, 3)$ , market $(3, 4)$ olur. Geriye belediye ve okul için $(2, 6)$ ile $(1, 4)$ kalır. Belediye okula ve parka eşit uzaklıkta olmalı; ama bu iki noktanın birbirine uzaklığının karesi $5$ , $(6, 3)$ 'e uzaklıklarının kareleri $25$ ve $26$ 'dır. Olmaz.

4. Öyleyse kütüphane $(2, 1)$ , hastane $(5, 6)$ . $(3, 4)$ noktası $(2, 1)$ ve $(6, 3)$ 'e eşit uzaklıktadır (kareler $10$ ve $10$ ): park $(3, 4)$ , market $(6, 3)$ . Kalan $(2, 6)$ ve $(1, 4)$ noktalarından $(2, 6)$ , hem $(1, 4)$ 'e hem $(3, 4)$ 'e $\sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ uzaklıktadır: belediye $(2, 6)$ , okul $(1, 4)$ . (Park $(2, 6)$ seçilseydi kalan $(1, 4)$ ve $(3, 4)$ belediye koşulunu sağlamazdı.)

5. Oran.

$\dfrac{\text{belediye–okul}}{\text{market–kütüphane}} = \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{4^2 + 2^2}} = \dfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \dfrac{1}{2}$

Cevap: A

2022 AYTSoru 33

Kolay

Dik doğrular

$a$ ve $b$ gerçel sayılardır. Dik koordinat düzleminde

$3y = 2x + a$

$by = 3x - 12$

doğruları birbirine diktir ve $y$ ekseni üzerindeki bir noktada kesişmektedir.

Buna göre, $a + b$ toplamı kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 34)

Çözüm

1. Eğimler. $3y = 2x + a$ doğrusunda $y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{a}{3}$ ; eğim $\dfrac{2}{3}$ . $by = 3x - 12$ doğrusunda $y = \dfrac{3}{b}x - \dfrac{12}{b}$ ; eğim $\dfrac{3}{b}$ .

2. Diklik.

$\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{b} = -1 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{2}{b} = -1 \quad\Rightarrow\quad b = -2$

3. Kesişim $y$ ekseninde. $y$ ekseni üzerinde $x = 0$ 'dır; iki doğru burada aynı ordinatı vermelidir. İkinci doğruda $x = 0$ için $-2y = -12$ , $y = 6$ . Birinci doğruda $x = 0$ için $3y = a$ ; $y = 6$ olacağından $a = 18$ .

$a + b = 18 + (-2) = 16$

Tuzak: ikinci doğrunun eğimini $\dfrac{b}{3}$ almak. Eğimi okumadan önce $y$ 'yi yalnız bırak.

Cevap: A

2021 AYTSoru 34

Orta

Dik doğrular

Dik koordinat düzleminde iki doğru $A(3, 4)$ noktasında dik kesişmektedir ve bu doğruların eğimlerinin toplamı $\dfrac{3}{2}$ 'dir.

Bu iki doğru $x$ eksenini $B$ ve $C$ noktalarında kestiğine göre, $ABC$ üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

İpucu

Dik doğruların eğimleri çarpımı $-1$ 'dir. Toplamı ve çarpımı bilinen iki sayıyı bul; sonra her doğrunun $x$ eksenini kestiği noktayı hesapla.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 35)

Çözüm

1. Eğimler. $m_1 + m_2 = \dfrac{3}{2}$ ve diklikten $m_1 \cdot m_2 = -1$ . İkinci eşitlikten $m_2 = -\dfrac{1}{m_1}$ yazılıp ilkinde yerine konursa

$m_1 - \dfrac{1}{m_1} = \dfrac{3}{2} \quad\Rightarrow\quad 2m_1^2 - 3m_1 - 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad (2m_1 + 1)(m_1 - 2) = 0$

Eğimler $2$ ve $-\dfrac{1}{2}$ 'dir.

2. $x$ eksenini kestikleri noktalar. İki doğru da $A(3, 4)$ 'ten geçer.

$y - 4 = 2(x - 3)$ : $y = 0$ için $x - 3 = -2$ , $x = 1$ .
$y - 4 = -\dfrac{1}{2}(x - 3)$ : $y = 0$ için $x - 3 = 8$ , $x = 11$ .

3. Alan. Taban $x$ ekseni üzerindedir: $|BC| = 11 - 1 = 10$ . Yükseklik, $A$ noktasının $x$ eksenine uzaklığı, yani ordinatı $4$ 'tür.

$\text{Alan} = \dfrac{10 \cdot 4}{2} = 20$

Sağlama: $|AB| = \sqrt{4 + 16} = 2\sqrt{5}$ , $|AC| = \sqrt{64 + 16} = 4\sqrt{5}$ ; dik kenarlardan alan $\dfrac{2\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{5}}{2} = 20$ .

Cevap: B

2020 AYTSoru 37

Orta

Köşesi doğru üzerinde olan kare

Dik koordinat düzleminde $ABCD$ karesinin iki köşesi $A(0, a)$ ve $B(0, b)$ noktalarıdır; kare şekildeki gibi çizilmiştir.

Karenin $C$ köşesi $y = \dfrac{x}{3}$ doğrusunun üzerindedir.

$a + b = 15$ olduğuna göre, $D$ noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

İpucu

Karenin kenar uzunluğu $a - b$ 'dir. $C$ köşesinin koordinatlarını $a$ ve $b$ ile yaz, sonra doğru denkleminde yerine koy.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 35)

Çözüm

1. Köşeleri yaz. $A$ üstte, $B$ altta ve ikisi de $y$ ekseninde olduğundan kenar uzunluğu $|AB| = a - b$ 'dir. $[BC]$ ve $[AD]$ kenarları yataydır:

$C(a - b,\ b) \qquad D(a - b,\ a)$

2. $C$ doğrunun üzerinde. $y = \dfrac{x}{3}$ denkleminde yerine yazılır: $b = \dfrac{a - b}{3}$ , yani $3b = a - b$ ve $a = 4b$ .

3. Verilen toplamı kullan. $a + b = 15$ ve $a = 4b$ : $5b = 15$ , $b = 3$ , $a = 12$ . Kenar uzunluğu $9$ 'dur.

$D(9, 12) \quad\Rightarrow\quad 9 + 12 = 21$

Sağlama: $C(9, 3)$ için $\dfrac{9}{3} = 3$ ; nokta doğrunun üzerinde.

Cevap: C

2020 AYTSoru 38

Kolay

Dik doğrular

Dik koordinat düzleminde bir $d$ doğrusu $A(-4, 1)$ noktasından geçmektedir ve $2x - y = 5$ doğrusuna diktir.

$d$ doğrusu $x$ eksenini $(a, 0)$ , $y$ eksenini $(0, b)$ noktasında kestiğine göre, $a + b$ toplamı kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 35)

Çözüm

1. Verilen doğrunun eğimi. $2x - y = 5$ denkleminden $y = 2x - 5$ ; eğim $2$ 'dir.

2. Dik doğrunun eğimi. Eğimler çarpımı $-1$ olmalı: $d$ doğrusunun eğimi $-\dfrac{1}{2}$ 'dir.

3. $d$ doğrusunun denklemi. $A(-4, 1)$ noktasından geçer:

$y - 1 = -\dfrac{1}{2}(x + 4) \quad\Rightarrow\quad y = -\dfrac{x}{2} - 1$

4. Eksenleri kestiği noktalar. $y = 0$ için $\dfrac{x}{2} = -1$ , $x = -2$ ; yani $a = -2$ . $x = 0$ için $y = -1$ ; yani $b = -1$ .

$a + b = -2 + (-1) = -3$

Tuzak: $x - (-4)$ ifadesini $x - 4$ yazmak. Noktanın apsisi negatifse parantezin içi $x + 4$ olur.

Cevap: A

2019 AYTSoru 34

Orta

İki doğrunun kesişimi

$m$ bir gerçel sayıdır. Dik koordinat düzleminde

eğimi $m$ olan bir doğru $(0, 1)$ noktasından,
eğimi $2m$ olan bir doğru $(0, 0)$ noktasından,
eğimi $3m$ olan bir doğru $(1, 0)$ noktasından

geçmektedir ve bu üç doğru tek bir noktada kesişmektedir.

Buna göre, $m$ değeri kaçtır?

İpucu

Üç doğrunun denklemini yaz. İkisinin kesişim noktasını $m$ cinsinden bul; bu nokta üçüncü doğruyu da sağlamalı.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 34)

Çözüm

1. Denklemler. Nokta ve eğimden:

$d_1: y = mx + 1 \qquad d_2: y = 2mx \qquad d_3: y = 3m(x - 1)$

2. İlk iki doğrunun kesişimi. $mx + 1 = 2mx$ , yani $mx = 1$ . ( $m = 0$ olsaydı $d_1$ ve $d_2$ paralel olurdu; öyleyse $m \neq 0$ .) Bu noktada $y = 2mx = 2$ 'dir.

3. Üçüncü doğru aynı noktadan geçer. $y = 3mx - 3m$ denkleminde $mx = 1$ ve $y = 2$ yazılır:

$2 = 3 - 3m \quad\Rightarrow\quad m = \dfrac{1}{3}$

Sağlama: $m = \dfrac{1}{3}$ için doğrular $y = \dfrac{x}{3} + 1$ , $y = \dfrac{2x}{3}$ ve $y = x - 1$ olur; üçü de $(3, 2)$ noktasından geçer.

Cevap: B

2018 AYTSoru 31

Orta

Ağırlık merkezi

Dik koordinat düzleminde bir üçgenin köşelerinden biri orijindedir; öbür iki köşesinden biri $y = x$ , diğeri $y = -x$ doğrusunun üzerindedir. Bu üçgenin kenarortaylarının kesiştiği nokta $(2, 4)$ 'tür.

Buna göre, üçgenin alanı kaç birimkaredir?

İpucu

Kenarortayların kesiştiği nokta ağırlık merkezidir. Doğruların üzerindeki köşeleri birer harfle yaz: $(p, p)$ ve $(q, -q)$ .

ÖSYM kitapçığında gör (s. 33)

Çözüm

1. Köşeleri harflendir. $y = x$ üzerindeki köşe $A(p, p)$ , $y = -x$ üzerindeki köşe $B(q, -q)$ , üçüncü köşe $O(0, 0)$ .

2. Ağırlık merkezi köşelerin ortalamasıdır.

$\dfrac{0 + p + q}{3} = 2 \qquad \dfrac{0 + p - q}{3} = 4$

$p + q = 6$ ve $p - q = 12$ . Taraf tarafa toplanırsa $2p = 18$ , $p = 9$ ve $q = -3$ . Köşeler: $A(9, 9)$ ve $B(-3, 3)$ .

3. Alan. $y = x$ ve $y = -x$ doğrularının eğimleri çarpımı $1 \cdot (-1) = -1$ olduğundan bu doğrular diktir; üçgenin dik açısı $O$ köşesindedir.

$|OA| = \sqrt{81 + 81} = 9\sqrt{2} \qquad |OB| = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}$

$\text{Alan} = \dfrac{9\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}}{2} = \dfrac{54}{2} = 27$

Tuzak: $q$ negatif çıkar; $B$ köşesi ikinci bölgededir. Köşeleri birinci ve dördüncü bölgede aramak çözümü kilitler.

Cevap: C

2018 AYTSoru 33

Kolay

Doğru denklemi

Dik koordinat düzleminde şekildeki kare çizilmiştir. Eğimi $\dfrac{-1}{4}$ olan bir doğru bu kareyi alanları eşit iki bölgeye ayırmaktadır.

Bu doğru $x$ eksenini $(a, 0)$ noktasında kestiğine göre, $a$ kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 34)

Çözüm

1. Doğru karenin merkezinden geçer. Kare, merkezine göre simetriktir; merkezden geçen her doğru kareyi eş iki parçaya ayırır. Merkezden geçmeyen bir doğru ise merkezi içeren parçayı büyük bırakır. Merkez, köşegenlerin orta noktasıdır: $\left(\dfrac{0 + 8}{2}, \dfrac{0 + 8}{2}\right) = (4, 4)$ .

2. Doğrunun denklemi. $(4, 4)$ noktasından geçen ve eğimi $-\dfrac{1}{4}$ olan doğru:

$y - 4 = -\dfrac{1}{4}(x - 4)$

3. $x$ eksenini kestiği nokta. $y = 0$ yazılır: $-4 = -\dfrac{1}{4}(x - 4)$ , $x - 4 = 16$ , $x = 20$ .

$a = 20$

Sağlama: merkezden $16$ birim sağa gidince doğru $16 \cdot \dfrac{1}{4} = 4$ birim alçalır ve $x$ eksenine iner.

Cevap: E

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Uzaklık ve orta nokta

Dik koordinat düzleminde $A(-3, 2)$ ve $B(5, 8)$ noktaları veriliyor.

$[AB]$ doğru parçasının orta noktasının orijine uzaklığı kaç birimdir?

Çözüm

1. Orta nokta. Uçların ortalaması: $M\left(\dfrac{-3 + 5}{2}, \dfrac{2 + 8}{2}\right) = (1, 5)$ .

2. Orijine uzaklık. $|OM| = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{26}$ .

Çeldiriciler: $10$ , $|AB|$ uzunluğudur; $5$ bunun yarısıdır (orta noktanın $A$ 'ya uzaklığı). $6$ , koordinatların toplamıdır. $2\sqrt{26}$ , koordinatları ikiye bölmeyi unutunca çıkar.

Cevap: B

Özgün soru2

Kolay

Eğim açısı

Dik koordinat düzleminde $A(2, k)$ ve $B(5, 1)$ noktalarından geçen doğrunun eğim açısı $135^\circ$ 'dir.

Buna göre, $k$ kaçtır?

Çözüm

1. Eğim. $m = \tan 135^\circ = -1$ .

2. İki noktadan eğim.

$\dfrac{1 - k}{5 - 2} = -1 \quad\Rightarrow\quad 1 - k = -3 \quad\Rightarrow\quad k = 4$

Sağlama: $A(2, 4)$ 'ten $B(5, 1)$ 'e giderken apsis $3$ artar, ordinat $3$ azalır; doğru sağa doğru alçalır, eğim $-1$ 'dir.

Çeldirici: $-2$ , eğim $\tan 45^\circ = 1$ alınınca çıkar. Geniş açının tanjantı negatiftir.

Cevap: C

Özgün soru3

Orta

Oranla bölme

Dik koordinat düzleminde $A(1, -2)$ ve $B(5, 6)$ noktaları veriliyor. $C$ noktası $AB$ doğrusu üzerindedir, $[AB]$ doğru parçasının dışındadır ve

$|AC| = 3 \cdot |BC|$

eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, $C$ noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

İpucu

$C$ noktası $A$ 'ya mı yoksa $B$ 'ye mi daha yakın? Buna göre $C$ 'nin hangi ucun ötesinde olduğuna karar ver, sonra $|AB|$ ile $|BC|$ arasındaki ilişkiyi yaz.

Çözüm

1. $C$ hangi yanda? $|AC| > |BC|$ olduğundan $C$ , $B$ 'ye daha yakındır; parçanın dışında olduğuna göre $B$ 'nin ötesindedir. Sıra: $A$ , $B$ , $C$ .

2. Adımı bul. $|AC| = |AB| + |BC|$ ve $|AC| = 3 \cdot |BC|$ olduğundan $|AB| = 2 \cdot |BC|$ , yani $|BC| = \dfrac{|AB|}{2}$ .

3. $B$ 'den yarım adım daha ilerle. $A$ 'dan $B$ 'ye apsis $4$ , ordinat $8$ artar. Yarısı: $2$ ve $4$ .

$C(5 + 2,\ 6 + 4) = (7, 10) \quad\Rightarrow\quad 7 + 10 = 17$

Sağlama (dıştan bölme formülü, $k = 3$ ): $\dfrac{1 - 3 \cdot 5}{1 - 3} = 7$ ve $\dfrac{-2 - 3 \cdot 6}{1 - 3} = 10$ .

Çeldiriciler: $8$ , içten bölen $(4, 4)$ noktasının toplamıdır; $11$ , $B$ noktasının toplamıdır; $23$ , $B$ 'den tam bir adım ilerleyince bulunan $(9, 14)$ noktasından gelir.

Cevap: D

Özgün soru4

Orta

Noktanın doğruya uzaklığı

$k$ bir gerçel sayıdır. Dik koordinat düzleminde $A(k, 2)$ noktasının

$4x - 3y + 1 = 0$

doğrusuna uzaklığı $3$ birimdir.

Buna göre, $k$ 'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

İpucu

Uzaklık formülünün payında mutlak değer vardır. Mutlak değerli denklem iki ayrı denklem verir.

Çözüm

1. Formülü yaz.

$\dfrac{|4k - 3 \cdot 2 + 1|}{\sqrt{16 + 9}} = 3 \quad\Rightarrow\quad |4k - 5| = 15$

2. İki durum.

$4k - 5 = 15$ ise $k = 5$ .
$4k - 5 = -15$ ise $k = -\dfrac{5}{2}$ .

3. Toplam. $5 + \left(-\dfrac{5}{2}\right) = \dfrac{5}{2}$ .

Yorum: $y = 2$ yatay doğrusu üzerinde, verilen doğrunun iki yanında birer nokta vardır; bu yüzden iki değer çıkar.

Çeldirici: $5$ , mutlak değerin yalnızca pozitif durumunu alınca bulunur.

Cevap: A

Özgün soru5

Zor

Orta dikme

Dik koordinat düzleminde $A(1, 7)$ ve $B(7, 5)$ noktaları veriliyor. $P$ noktası $y = 2x$ doğrusunun üzerindedir ve $A$ ile $B$ noktalarına eşit uzaklıktadır.

Buna göre, $PAB$ üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

İpucu

İki noktaya eşit uzaklıktaki noktalar orta dikmenin üzerindedir. $P$ , orta dikme ile $y = 2x$ doğrusunun kesişimidir; üçgenin $[AB]$ tabanına ait yüksekliği de aynı orta dikmenin üzerindedir.

Çözüm

1. Orta dikme. $[AB]$ 'nin orta noktası $M\left(\dfrac{1 + 7}{2}, \dfrac{7 + 5}{2}\right) = (4, 6)$ . $AB$ 'nin eğimi $\dfrac{5 - 7}{7 - 1} = -\dfrac{1}{3}$ ; orta dikmenin eğimi $3$ 'tür.

$y - 6 = 3(x - 4) \quad\Rightarrow\quad y = 3x - 6$

2. $P$ noktası. $y = 2x$ ile kesişim: $2x = 3x - 6$ , $x = 6$ , $y = 12$ . $P(6, 12)$ .

3. Alan. $PM \perp AB$ olduğundan $[PM]$ , $[AB]$ tabanına ait yüksekliktir.

$|AB| = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{40} \qquad |PM| = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{40}$

$\text{Alan} = \dfrac{\sqrt{40} \cdot \sqrt{40}}{2} = 20$

Sağlama: $|PA|^2 = 5^2 + 5^2 = 50$ ve $|PB|^2 = 1^2 + 7^2 = 50$ ; uzaklıklar eşit.

Çeldirici: $40$ , alanı bulurken ikiye bölmeyi unutunca çıkar.

Cevap: B

Özgün soru6

Zor

Doğru denklemi ve uzaklık

Bir bahçenin planı dik koordinat düzleminde köşeleri $O(0, 0)$ , $A(12, 0)$ , $B(12, 8)$ ve $C(0, 8)$ olan dikdörtgendir. $M(2, 0)$ noktasındaki musluktan başlayan düz bir sulama hattı bahçeyi alanları eşit iki bölgeye ayırmaktadır.

$C$ köşesindeki çardağın sulama hattına en kısa uzaklığı kaç birimdir?

İpucu

Bir dikdörtgeni eşit alanlı iki bölgeye ayıran doğru, dikdörtgenin merkezinden (köşegenlerin kesişim noktasından) geçer.

Çözüm

1. Hat merkezden geçer. Dikdörtgen merkezine göre simetriktir; alanı ikiye bölen doğru merkezden geçmek zorundadır. Merkez, köşegenin orta noktasıdır: $\left(\dfrac{0 + 12}{2}, \dfrac{0 + 8}{2}\right) = (6, 4)$ .

2. Hattın denklemi. $M(2, 0)$ ve $(6, 4)$ noktalarından geçen doğrunun eğimi $\dfrac{4 - 0}{6 - 2} = 1$ 'dir: $y = x - 2$ , genel biçimde $x - y - 2 = 0$ . (Hat üst kenara $y = 8$ için $x = 10$ noktasında ulaşır; bu nokta kenarın üzerindedir.)

3. Noktanın doğruya uzaklığı. $C(0, 8)$ için:

$\dfrac{|0 - 8 - 2|}{\sqrt{1 + 1}} = \dfrac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$

Dikme ayağı $(5, 3)$ noktasıdır ve hattın bahçe içindeki parçasının üzerindedir; yani en kısa uzaklık gerçekten bu dikmedir.

Sağlama: $C(0, 8)$ ile $(5, 3)$ arası $\sqrt{25 + 25} = 5\sqrt{2}$ .

Cevap: E