Türev Alma Kuralları ve Zincir Kuralı · Görsel anlatım

Sıfırdan1 / 17

Halı büyüyor: eni ve boyu uzuyor

Bir halının eni saniyede $1$ cm, boyu saniyede $2$ cm uzuyor; camgöbeği ve mor oklar bu iki hızı gösteriyor. Halı büyüdükçe alanı da büyüyor. Peki alan saniyede kaç cm² büyüyor?

Sıfırdan2 / 17

Hızları çarpmak alanın hızını vermiyor

$t = 1$ anında halı $3 \times 3$ cm. Kenar hızlarını çarparsak $1 \cdot 2 = 2$ buluruz: gri sütun. Turuncu sütun alanın gerçek büyüme hızı: saniyede $9$ cm². Aradaki pembe boşluk büyük.

\text{alanın hızı} \ne 1 \cdot 2

Dene: $t$ sürgüsünü oynat: turuncu sütun büyüyor, gri sütun yerinde kalıyor.

Sıfırdan3 / 17

İki rampa yan yana, ikisinde de eğim ölçer

Düz $g$ rampasının eğimi her yerde $0{,}5$ : bir birim sağa, yarım birim yukarı. Kavisli $f$ rampasının eğimi yerine göre değişir; $x = 1$ 'de tam $1$ . Eğim ölçerin dik çubuğu eğimin kendisi.

Dene: $a$ sürgüsüyle eğim ölçerleri gezdir: düz rampadaki hiç değişmiyor.

Temel4 / 17

Rampalar üst üste: eğimler toplanıyor

Kavisli rampayı düz rampanın üstüne koyduk; her noktada yükseklikler toplandı. Üstteki eğim ölçerin dik çubuğu iki parça: camgöbeği $0{,}5$ ve mavi $1$ . Toplamın türevi, türevlerin toplamıdır.

(f + g)' = f' + g'

Dene: $a = -0{,}5$ yap: iki parça birbirini götürür, teğet yatay olur.

Hızlı soru

$f'(2) = 3$ ve $g'(2) = -1$ olduğuna göre $(f - g)'(2)$ kaçtır?

$(f - g)'(2) = f'(2) - g'(2) = 3 - (-1) = 4$ .

Temel5 / 17

Rampayı c kat yükseltince eğim de c kat

Kavisli rampanın her yüksekliğini $c$ ile çarptık. Eğim ölçerin dik çubuğu da $c$ katına çıktı: $c = 2$ için $x = 1$ 'de eğim $2$ . Sabit çarpan türevde aynen kalır.

(c \cdot f)' = c \cdot f'

Dene: $c$ sürgüsünü oynat: mavi çubuk rampa ile birlikte uzayıp kısalıyor.

Temel6 / 17

Halıya iki şerit ve bir köşe ekleniyor

$t = 1$ anındaki $3 \times 3$ halıya dönelim. $h$ saniye sonra en $3 + h$ , boy $3 + 2h$ olur. Eklenen alan: camgöbeği şerit $3h$ , mor şerit $6h$ , kırmızı köşe $2h^2$ .

\Delta A = 3h + 6h + 2h^2

Dene: $h$ sürgüsünü oynat: şeritler incelip kalınlaşıyor.

Temel7 / 17

Süre kısalınca köşe kayboluyor

Artışı süreye bölünce $\frac{\Delta A}{h} = 3 + 6 + 2h$ ; yandaki sütun bu. $h$ sıfıra yaklaşırken köşe yok olur, sütun $9$ 'daki cam kılıfa iner. Geriye iki şerit kalır: birinin türevi çarpı öteki, artı tersi.

(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'

Dene: $h \to 0$ düğmesine bas: sütunun kılıftan taşan kırmızı ucu kayboluyor.

Hızlı soru

$f(1) = 2$ , $f'(1) = 3$ , $g(1) = 5$ , $g'(1) = -1$ olduğuna göre $(f \cdot g)'(1)$ kaçtır?

$f'(1) \cdot g(1) + f(1) \cdot g'(1) = 3 \cdot 5 + 2 \cdot (-1) = 13$ . Türevleri çarpan $-3$ bulur.

Orta8 / 17

Birinci büyüteç aralığı iki katına çıkarıyor

$u = 2x + 1$ işlemi $x$ 'teki her küçük değişimi $2$ ile çarpar. Büyüteç, $x$ direğindeki küçük mavi $\Delta x$ aralığını $u$ direğine $2$ kat büyük düşürüyor.

\Delta u = 2 \cdot \Delta x

Orta9 / 17

İkinci büyüteç: u’daki değişim 2u katına

$y = u^2$ işleminin büyütmesi $2u$ ; $u = 3$ iken $6$ . Art arda iki büyüteç $2 \cdot 6 = 12$ kat büyütür. İkinci büyütecin gücü, $u$ 'nun nerede olduğuna bağlı.

\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}

Dene: $x$ 'i küçült: ikinci büyüteç zayıflıyor; $x = -0{,}5$ 'te $u = 0$ ve turuncu aralık sönüyor.

Orta10 / 17

Zincir kuralı: dıştaki çarpı içteki

Dıştakinin türevi, içtekinin değerinde hesaplanır ( $2u$ , $u = 3$ 'te), sonra içtekinin türeviyle çarpılır. Parantezin içi yalnızca $x$ değilse zincir kuralı vardır.

(f \circ g)'(x) = f'\bigl(g(x)\bigr) \cdot g'(x)

Hızlı soru

$h(x) = (3x + 1)^4$ için $h'(0)$ kaçtır?

İç $u = 3x + 1$ , $x = 0$ 'da $u = 1$ . Dış türev $4u^3 = 4$ , iç türev $3$ : $4 \cdot 3 = 12$ . İç türevi unutan $4$ bulur.

Orta11 / 17

Ece kıyıda yürüyor, gemiye uzaklık değişiyor

Gemi kıyıdan $3$ km açıkta. Ece $x$ km yürüyünce gemiye uzaklığı $d = \sqrt{x^2 + 9}$ ; mor ip, panoya dikilen mor çubukla aynı boyda. Teğetin eğimi, uzaklığın kilometre başına değişimi.

d'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x^2 + 9}} \cdot 2x

Dene: $x$ sürgüsüyle Ece'yi yürüt: $x = 0$ 'da teğet yatay, uzaklaştıkça eğim $1$ 'e yaklaşıyor.

Orta12 / 17

İç türev unutulunca doğru teğet olmuyor

$x = 4$ 'te dış türev $\frac{1}{2 \cdot 5} = 0{,}1$ , iç türev $2x = 8$ . Yalnız $0{,}1$ eğimli kırmızı doğru eğriyi keser; $0{,}1 \cdot 8 = 0{,}8$ eğimli turuncu doğru teğettir.

Dene: Anahtarla kırmızı doğruyu aç, kapat.

Hızlı soru

$f(x) = \sqrt{4x + 1}$ için $f'(2)$ kaçtır?

$f'(x) = \dfrac{4}{2\sqrt{4x + 1}}$ , $x = 2$ 'de $\dfrac{4}{2 \cdot 3} = \dfrac{2}{3}$ . İç türev $4$ unutulursa $\tfrac{1}{6}$ çıkar.

Sınav13 / 17

İki panodan değer ve eğim okunuyor

Sol panoda $f(x) = x^2 - 1$ , sağ panoda $g'$ doğrusu. Soldan $f(2) = 3$ ve eğim $f'(2) = 4$ okunur. Yeşil yay $3$ değerini sağ panonun yatay eksenine taşır; orada $g'(3) = 1$ .

(g \circ f)'(2) = g'(3) \cdot f'(2) = 1 \cdot 4 = 4

Dene: $a$ sürgüsünü oynat: yay hep $f(a)$ değerine iniyor.

Sınav14 / 17

g′ nerede okunur: a’da değil, f(a)’da

Sık hata: $g'$ 'yü $2$ 'de okumak. Kırmızı halka $g'(2) = 2$ ; çarpım $8$ çıkar ve yanlıştır. $g'$ her zaman içtekinin değerinde, yani $f(2) = 3$ 'te okunur.

Hızlı soru

$f(1) = 2$ , $f'(1) = 3$ , $g'(1) = 4$ , $g'(2) = 5$ olduğuna göre $(g \circ f)'(1)$ kaçtır?

$g'\bigl(f(1)\bigr) \cdot f'(1) = g'(2) \cdot 3 = 15$ . $g'(1)$ kullanan $12$ bulur.

Sınav15 / 17

Eğri altındaki üçgen: alan iki etkiyle değişiyor

Üçgenin alanı $A = \frac{x \cdot f(x)}{2}$ : taban $x$ , yükseklik $f(x)$ . Camgöbeği şerit tabanın uzamasını, mor şerit yüksekliğin değişimini gösterir. $x = 4$ 'te $A' = \frac{2 + 4 \cdot 1}{2} = 3$ .

A'(x) = \dfrac{f(x) + x \cdot f'(x)}{2}

Dene: $x$ sürgüsünü oynat: $x < 2$ iken mor şerit eksiye düşüyor.

Sınav16 / 17

Teğet yatayken bile alan büyüyor

$x = 2$ 'de teğet yatay: yükseklik o an değişmiyor, mor şerit yok. Taban yine uzadığı için alan büyür: $A'(2) = \frac{f(2)}{2} = \frac{1}{2}$ .

A'(2) = \dfrac{1 + 2 \cdot 0}{2} = \dfrac{1}{2}

Sınav17 / 17

Toplamda eğimler, çarpımda şeritler, bileşkede büyüteçler

Toplamda eğimler toplanır, sabit çarpan kalır. Çarpımda iki şerit kalır, köşe kaybolur. Bileşkede büyütmeler çarpılır; dıştaki, içtekinin değerinde okunur.

(f \cdot g)' = f'g + fg' \qquad (f \circ g)' = f'(g) \cdot g'

Görsel anlatım bitti

Örnekler ve çıkmış sorular Sıradaki: Türevle Fonksiyon İncelemesi: Artanlık, Ekstremum ve Grafikgörsel