Türevle Fonksiyon İncelemesi · Görsel anlatım

Sıfırdan1 / 16

Dağ yolunda bir araba

Araba önce yokuş yukarı tırmanıyor, tepeyi aşıyor, çukura iniyor, sonra yeniden tırmanıyor. Yolun tırmanan ve inen bölümleri iki ayrı renge boyandı.

Sıfırdan2 / 16

Tepede ve çukurda yol bir an düz

Tırmanışın bittiği yer tepe, inişin bittiği yer çukurdur. İkisinde de yol bir an tam düzdür: üstlerine koyduğumuz su terazilerinin kabarcığı tam ortada duruyor.

Sıfırdan3 / 16

Yola yandan bakınca grafik

Yola tam yandan bakınca geriye bir eğri kalır: $y = f(x)$ grafiği. Araba sağa giderken yükseliyorsa $f$ orada artan, alçalıyorsa azalandır.

f(x) = \dfrac{x^3}{3} - x

Sıfırdan4 / 16

Eğim ölçer arabanın burnunu izliyor

Arabanın gövdesi o noktadaki teğet boyunca durur. Teğetin eğimi türevdir: $f'(a)$ . İbre yukarıyı gösteriyorsa $f'(a) > 0$ , aşağıyı gösteriyorsa $f'(a) < 0$ .

Dene: Sürgüyle arabayı gezdir; ibrenin ne zaman yön değiştirdiğine bak.

Temel5 / 16

Türevin işareti yönü söyler

Araba tırmandığı sürece ibre yukarıda, indiği sürece aşağıdadır. Bir aralığın her noktasında $f' > 0$ ise $f$ orada artan, $f' < 0$ ise azalandır.

f' > 0 \Rightarrow f \nearrow \qquad f' < 0 \Rightarrow f \searrow

Hızlı soru

$f'(x) = 2x - 6$ ise $f$ hangi aralıkta artandır?

$2x - 6 > 0 \iff x > 3$ . Bu aralıkta türev pozitif, fonksiyon artan.

Temel6 / 16

Tepede ibre tam ortada

Araba tepeye gelince gövdesi yataydır, ibre tam ortayı gösterir: $f'(-1) = 0$ . Türevin sıfır olduğu noktaya kritik nokta denir. Çukurda da $f'(1) = 0$ .

f'(x) = x^2 - 1 = 0 \ \Rightarrow\ x = \pm 1

Dene: Sürgüyle arabayı çukura, $a = 1$ noktasına götür.

Temel7 / 16

İşaret tablosu: artı, eksi, artı

Türev köklerde sıfırdır, kökler arasında işaretini korur. Panonun altındaki karolar bunu gösteriyor; alttaki oklar yolun yönü. Araba hangi aralıktaysa o karo yanar.

f'(x) = (x - 1)(x + 1)

Temel8 / 16

Artıdan eksiye tepe, eksiden artıya çukur

$x = -1$ 'de işaret artıdan eksiye döner: yerel maksimum, değeri $f(-1) = \tfrac{2}{3}$ . $x = 1$ 'de eksiden artıya döner: yerel minimum, değeri $f(1) = -\tfrac{2}{3}$ .

+ \to - :\ \text{yerel maks.} \qquad - \to + :\ \text{yerel min.}

Hızlı soru

$f(x) = x^3 - 12x$ fonksiyonunun yerel minimum değeri kaçtır?

$f'(x) = 3(x - 2)(x + 2)$ ; $x = 2$ 'de eksiden artıya geçer. Değer $f(2) = 8 - 24 = -16$ .

Orta9 / 16

Üstte f, altta türevi

Alt panoda $f'(x) = x^2 - 1$ . $f'$ eksenin üstündeyken yol tırmanır, altındayken iner. $f'$ ekseni kestiği yerde $f$ tepe ya da çukur yapar; ışıklar bu noktaları birleştiriyor.

Dene: Sürgüyle arabayı $-1$ ve $1$ noktalarına getir.

Orta10 / 16

Yüksekliğe değil işarete bak

Türev grafiği verilirse yüksekliğine değil, eksenin hangi yanında olduğuna bak. Ekseni yukarıdan aşağı keserse yerel maksimum, aşağıdan yukarı keserse yerel minimum vardır.

Orta11 / 16

Yatay teğet her zaman ekstremum değil

Yol şimdi $f(x) = \tfrac{x^3}{3} - kx$ . $k$ küçülürken tepe ile çukur yaklaşır, $k = 0$ 'da birleşir. Orijindeki terazi düzdür, $f'(0) = 0$ ; ama yol iki yanda da tırmanır: ekstremum yok.

Dene: Sürgüyle $k$ 'yi artır: tepe ve çukur yeniden ayrılır.

Hızlı soru

$f'(x) = (x - 1)^2 (x + 3)$ ise $f$ fonksiyonunun kaç yerel ekstremum noktası vardır?

$(x - 1)^2 \geq 0$ işaret değiştirmez; işaret yalnızca $x = -3$ 'te değişir.

Orta12 / 16

Kapalı aralıkta en yüksek ve en alçak

$[-1{,}5;\ b]$ aralığının uçlarına direk diktik. Adaylar iki uç ile içerideki kritik noktalardır. En yüksek adaya mutlak maksimum, en alçak adaya mutlak minimum bayrağı dikilir.

Dene: Sağ direği sürgüyle kaydır; bayrakları izle.

Orta13 / 16

Uç nokta da yarışı kazanabilir

$b$ sayısı $2$ 'yi geçince sağ uç tepeden yükseğe çıkar, bayrak oraya atlar: $f(2{,}3) \approx 1{,}76 > \tfrac{2}{3}$ . Yalnızca $f' = 0$ noktalarına bakan bunu kaçırır.

Hızlı soru

$h(t) = 2t^3 - 9t^2 + 12t + 3$ , $0 \leq t \leq 3$ . $h$ en çok kaçtır?

Adaylar: $h(0) = 3$ , $h(1) = 8$ , $h(2) = 7$ , $h(3) = 12$ . En büyüğü sağ uçta: $12$ .

Sınav14 / 16

Bilgilerden grafiği kur

$f(x) = x^4 - 2x^2$ için işaretler eksi, artı, eksi, artı. Önce tablo, sonra $(-1, -1)$ , $(0, 0)$ , $(1, -1)$ yatay teğetleri ve $\pm\sqrt{2}$ kesişimleri yerine oturur; en son araba yolu çizer.

f'(x) = 4x(x - 1)(x + 1)

Dene: Çizim sürgüsünü baştan sona ilerlet.

Sınav15 / 16

Türev hiç eksi olmazsa daima artan

$f(x) = \tfrac{x^3}{3} - kx$ için $f'(x) = x^2 - k$ . $k \leq 0$ iken türev hiç negatif olmaz: karolar hep artı, yol hiç inmez. İkinci dereceden türev için bu, $a > 0$ ve $\Delta \leq 0$ demektir.

f \text{ daima artan} \iff a > 0,\ \Delta \leq 0

Hızlı soru

$f(x) = x^3 + 3x^2 + mx$ daima artan ise $m$ en az kaçtır?

$f'(x) = 3x^2 + 6x + m$ için $\Delta = 36 - 12m \leq 0$ , yani $m \geq 3$ .

Sınav16 / 16

Yolun eğimi türevdir

Artı türev tırmanış, eksi türev iniş demektir. İşaret artıdan eksiye dönerse tepe, eksiden artıya dönerse çukur; dönmezse ekstremum yoktur. Kapalı aralıkta uçlar da yarışa katılır.

f' : + \to - \ \text{tepe} \qquad - \to + \ \text{çukur}

Görsel anlatım bitti

Örnekler ve çıkmış sorular Sıradaki: Maksimum ve Minimum Problemlerigörsel