Trigonometrik Fonksiyon Grafikleri ve Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

Direkteki su düzeyi gün boyunca inip çıkıyor. Yandaki pano, derinliği saate göre işaretliyor: su $3$ ile $7$ metre arasında gidip geliyor, aynı dalga her $12$ saatte bir yineleniyor.

Birim çemberde dönen $P$ noktasının yüksekliği $\sin x$'tir. Bu yüksekliği açının hizasına taşıyınca, nokta bir tur atarken panoda bir tam dalga çizilir.

Bu kez $P$'nin apsisini pergelle dikip taşıyoruz. Çıkan dalga aynı biçimdedir, yalnızca çeyrek tur önden, tepeden başlar.

Sarı karo, $0$ ile $2\pi$ arasındaki tek bir dalgadır. Öndeki kopyayı $2\pi$ kaydırınca panoya iner ve eğrinin üstüne tam oturur: grafik bu karonun tekrarıdır. En küçük kayma periyottur.

Grafiğin sağ yarısı $y$ ekseni çevresinde kapı gibi dönüp sol yarının üstüne oturuyor. $x$ ve $-x$ noktaları hep aynı yükseklikte.

Bu kez sağ yarı, orijinden geçen bir mil çevresinde yarım tur dönüp sol yarıya oturuyor. $x$'teki nokta ne kadar yukarıdaysa $-x$'teki o kadar aşağıda.

$a$ ile çarpmak tepeyi ve çukuru orta çizgiden uzaklaştırır; eğrinin orta çizgiyi kestiği yerler kımıldamaz. $a$ negatifse dalga ters döner. $|a|$ sayısına genlik denir.

$k$ eklemek orta çizgiyi, onunla birlikte bütün dalgayı taşır. En büyük değer $k + |a|$, en küçük değer $k - |a|$ olur.

$\sin 2x$'te içerideki açı iki kat hızlı döner: bir dalga $\pi$ uzunlukta biter. Alttaki cetvel bir periyodu ölçüyor. $b$ büyüdükçe dalgalar sıkışır.

$c$ dalganın biçimine dokunmaz, yalnızca başlangıcını taşır. Dalga, içerisi sıfır olduğunda başlar: $bx + c = 0$, yani $x = -\tfrac{c}{b}$. Yeşil ok bu kaymayı gösteriyor.

Açının ışını $x = 1$ rayını $\tan x$ yüksekliğinde keser. $x \to \tfrac{\pi}{2}$ iken kesişim sınırsız yükselir; panoda eğri asimptot duvarına tırmanır, duvarın öbür yanından aşağıdan geri gelir. Periyot $\pi$.

Şimdi soruyu tersine çeviriyoruz: sinüsü $\tfrac{1}{2}$ olan açı hangisi? $y = \tfrac{1}{2}$ düzlemi dalgayı her periyotta iki kez keser; yanıt tek değil. Sinüs bu hâliyle bire bir değildir.

Tanım kümesini $\left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]$ ile kısıtladık. Bu kalın parçada sinüs her değeri bir kez alır; düzlem onu tek noktada keser. O noktanın apsisi $\arcsin k$'dir.

Kosinüs $[0, \pi]$ aralığında bire birdir: $\arccos$ bu aralıkta bir açı verir. Tanjantın kalın parçası $\left(-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right)$; uçlar açıktır, çünkü orada asimptot var.

Kalın sinüs parçasını $y = x$ doğrusu çevresinde yarım tur döndürdük: $x$ ile $y$ yer değiştirdi ve parça $\arcsin$ eğrisine oturdu. Programda bu grafik sorulmaz; tersin ne yaptığını gösterir.

$x$ kalın parçanın dışındaysa ok aynı yükseklikteki kalın parçaya geri döner. $\tfrac{5\pi}{6}$'nın sinüsü $\tfrac{1}{2}$; arcsin ise $\tfrac{\pi}{6}$ verir.

Eşik $4$ m: $2\sin\tfrac{\pi t}{6} + 5 = 4$ için $\sin\tfrac{\pi t}{6} = -\tfrac{1}{2}$, buradan $t = 7$ ve $t = 11$. Periyot $12$ saat: aynı aralık $19$–$23$'te yinelenir. Tekne toplam $8$ saat giremez.

$k$ orta çizgi, $|a|$ genlik, $b$ periyot ($\tfrac{2\pi}{|b|}$), $c$ yatay kayma. Değerden açıya dönmek için tanım kümesi kısıtlanır: $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$. Gelgit sorusu ikisini birlikte kullandı.