Toplam, Fark ve İki Kat Açı Formülleri · Görsel anlatım

Sıfırdan1 / 15

Rampa kalkınca top yükseliyor

Mavi takozun eğimi $30^\circ$ , üstündeki tahtanın boyu $1$ metre. Top tahtanın ucuna tırmanınca yerden $\sin 30^\circ = 0{,}5$ metre yükselir. Uç yüksekliği, eğimin sinüsüdür.

h = 1 \cdot \sin\alpha

Sıfırdan2 / 15

Tahta menteşesinden β kadar daha kalkıyor

Tahtayı $\beta = 30^\circ$ daha kaldırıp bir krikoyla tuttuk; artık yerle $60^\circ$ yapıyor. Açı iki katına çıktı, ama uç $1$ metreye değil, yalnızca $\sin 60^\circ \approx 0{,}87$ metreye çıktı.

\sin 60^\circ \ne \sin 30^\circ + \sin 30^\circ

Sıfırdan3 / 15

Sinüs toplamaya dağılmaz

Öndeki sütun gerçek yüksekliktir: $\sin(\alpha + \beta)$ . Yanındaki $\sin\alpha + \sin\beta$ sütunu hep daha uzun. Parantez dağılmaz; gerçek bağı tahtanın altındaki üçgenler verecek.

Dene: $\alpha$ ve $\beta$ sürgülerini oynat: kırmızı boşluk hiç kapanıyor mu?

Hızlı soru

$\sin(30^\circ + 60^\circ)$ kaçtır?

$\sin 90^\circ = 1$ . Parantezi dağıtsaydık $\tfrac{1}{2} + \tfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 1{,}37$ bulurduk; sinüs $1$ 'i geçemez.

Temel4 / 15

Tahta ve kriko mor bir dik üçgen oluyor

Takozu ince bir levhaya, tahtayla krikoyu mor bir levhaya çevirdik; açılara artık $a$ ve $b$ diyoruz. Mor üçgenin hipotenüsü $1$ , açısı $b$ : dik kenarları $\cos b$ ve $\sin b$ .

Temel5 / 15

Mavi ve camgöbeği üçgenler kenarları böler

Mavi üçgenin hipotenüsü $\cos b$ , açısı $a$ : kenarları $\cos a\cos b$ ve $\sin a\cos b$ . Üstteki camgöbeği üçgenin hipotenüsü $\sin b$ , açısı yine $a$ : kenarları $\cos a\sin b$ ve $\sin a\sin b$ .

Temel6 / 15

Sol kenar, sağdaki iki parçanın toplamı

Dördüncü üçgen dikdörtgeni tamamladı: hipotenüsü $1$ , açısı $a + b$ . Sol kenar $\sin(a + b)$ ; sağ kenar mavi ve camgöbeği iki parça. Dikdörtgenin karşılıklı kenarları eşittir.

\sin(a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b

Dene: $b$ 'yi değiştir: sol çubuk sağdaki iki parçaya hep eşit.

Temel7 / 15

Yatay kenarlar: kosinüste işaret eksi

Bu kez yatay kenarlara bak. Alt kenar $\cos a\cos b$ ; üst kenar $\cos(a + b)$ ile $\sin a\sin b$ parçalarının toplamı. $\cos(a + b)$ 'yi yalnız bırakınca araya eksi gelir.

\cos(a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b

Hızlı soru

$\cos 75^\circ$ kaçtır?

$\cos(45^\circ + 30^\circ) = \tfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} - \tfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Temel8 / 15

Mor levha aşağı katlanınca fark

Mor levhayı takoz yüzü çevresinde aşağı katladık; açı artık $a - b$ . Camgöbeği parça yükseklikten çıkarılıyor, yatayda ise ekleniyor. Sinüste işaret korunur, kosinüste ters döner.

\sin(a - b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b

Dene: Anahtarla katla ve geri aç; soldaki çubuğu izle.

Orta9 / 15

Kesişen iki rayın arasındaki açı

Eğim, doğrunun $x$ ekseniyle yaptığı açının tanjantıdır: mavi ray için $\tan\alpha = 2$ , mor ray için $\tan\beta = m_2$ . Raylar arasındaki açı $\theta = \alpha - \beta$ ; tanjantın fark formülü onu verir.

\tan(\alpha - \beta) = \dfrac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}

Dene: $m_2$ 'yi $-\tfrac{1}{2}$ yap: payda sıfırlanınca raylar dik kesişir.

Hızlı soru

Eğimleri $3$ ve $1$ olan iki doğru arasındaki dar açının tanjantı kaçtır?

$\dfrac{3 - 1}{1 + 3 \cdot 1} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ . Tanjantları çıkarıp bırakırsan $2$ bulursun; payda unutulmuş olur.

Orta10 / 15

Merkez açı, çevre açının iki katı

$A$ 'dan çıkan kiriş çapla $x$ açısı yapıyor; aynı yayı gören merkez açı $2x$ . Mor ikizkenar üçgende kiriş $|AP| = 2\cos x$ . $P$ 'nin yüksekliği $O$ 'dan bakınca $\sin 2x$ , $A$ 'dan bakınca $2\cos x \cdot \sin x$ .

\sin 2x = 2\sin x\cos x

Dene: $x$ 'i değiştir: iki yoldan bulunan yükseklik hep aynı.

Orta11 / 15

Çaptaki parça: kosinüsün iki katı

Çaptaki camgöbeği parça $O$ 'dan bakınca $1 + \cos 2x$ , $A$ 'dan bakınca $2\cos x \cdot \cos x$ . Buradan $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ ; $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ ile öteki iki yüzü de gelir.

\cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x

Hızlı soru

$\cos x = \tfrac{1}{3}$ olduğuna göre $\cos 2x$ kaçtır?

$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = \tfrac{2}{9} - 1 = -\tfrac{7}{9}$ . Kosinüsü $2$ ile çarpmak iki kat açıyı vermez.

Orta12 / 15

Kesikli dalga dönüşüp yeni eğriye oturuyor

Kesikli $\cos 2x$ dalgası önce ters dönüyor, sonra yarıya iniyor, en son $\tfrac{1}{2}$ yükseliyor. Vardığı kalın eğri tam olarak $\sin^2 x$ : kare kalktı, açı iki katına çıktı.

\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}

Sınav13 / 15

Kosinüsün karesi ½ düzlemi çevresinde

$\cos^2 x$ de $\tfrac{1}{2}$ orta düzleminin çevresinde, genliği $\tfrac{1}{2}$ olarak salınır; $\cos x$ 'ten iki kat hızlı, periyodu $\pi$ . Kareli ifadeyi tek kosinüse indirmek en büyük–en küçük değer sorularını kolaylaştırır.

\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}

Dene: Dönüşüm sürgüsünü sıfıra çek, sonra adım adım yürüt.

Sınav14 / 15

Tünele sığan en büyük kutu

Yarıçapı $1$ olan yarım daire tünele sığan kutunun ön yüzü: genişlik $2\cos\theta$ , yükseklik $\sin\theta$ . Alan $2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$ ; sütun tavana tam $\theta = 45^\circ$ 'de değer.

\text{Alan} = \sin 2\theta \le 1

Hızlı soru

Yarıçapı $6$ olan yarım çembere, bir kenarı çapta olacak biçimde yerleşen dikdörtgenin alanı en çok kaçtır?

Alan $12\cos\theta \cdot 6\sin\theta = 36\sin 2\theta$ ; en büyük değeri $\theta = 45^\circ$ 'de $36$ .

Sınav15 / 15

Dört formül, bir dikdörtgen

Sinüs karışık çarpar ve işareti korur; kosinüs aynı türleri çarpar ve işareti çevirir. $b = a$ yazınca iki kat açı gelir; $\cos 2x$ tersten okununca kare kalkar.

\sin(a \pm b) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b

Görsel anlatım bitti

Örnekler ve çıkmış sorular Sıradaki: Trigonometrik Denklemlergörsel