Trigonometrik Denklemler

Yarıçapı $10$ m olan dolap $12$ dakikada bir tur atıyor; kabine yerden $2$ m yükseklikte biniliyor. Turuncu düzlem $17$ metrede: kabin onu her turda iki kez kesiyor.

Pano, kabinin yüksekliğini dakikaya göre çiziyor. Düzlemi kestiği anlar: $4$. ve $8$. dakika, sonra her $12$ dakikada bir. Yanıt tek sayı değil.

Yarıçapı $1$ alalım: noktanın yüksekliği, açısının sinüsüdür. $17$ m düzlemi merkezden yarım yarıçap yukarıda, yani $y = \tfrac{1}{2}$. Soru bir denkleme dönüştü.

Kesişim noktaları $y$ eksenine göre simetrik: biri $\alpha$, öteki $\pi - \alpha$ açısında. $|a| > 1$ olursa düzlem çemberi ıskalar, kök yoktur.

Açı $2\pi$ artınca nokta aynı yere döner ama merdivende bir kat çıkar. Düzlem artık düşey bir duvar ve sarmalı her katta iki kez kesiyor: kökler sonsuz tane.

Mavi kökler $\alpha + 2k\pi$, kırmızılar $\pi - \alpha + 2k\pi$. Her kat bir $k$ tam sayısıdır; aynı ailede komşu kökler arasında tam bir tur vardır.

Kamera merdivenin tepesinde. Bütün katların kökleri üst üste biner, yalnızca iki nokta kalır: genel çözüm bu iki noktaya tam turlar eklemektir.

Kosinüs apsistir: bu kez $x = a$ düşey düzlemi çemberi keser. Noktalar $x$ eksenine göre simetrik: $\alpha$ ve $-\alpha$.

$x = 1$ rayındaki $T(1, a)$ ile merkezden geçen ışın çemberi karşılıklı iki noktada keser: $\alpha$ ve $\alpha + \pi$. Hiçbir $a$ için ıskalamaz; kökler yarım turda bir gelir.

Bu kez $x$ yalnızca $[0, 2\pi)$ aralığında. $\sin 2x$'te açı iki kat hızlı döner: aynı aralığa iki tur sığar. Duvar her turu iki kez keser: $n$ tur, $2n$ kök.

$\sin 3x = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ ve $0 \le x \le \pi$. Açı $3x$, $0$'dan $3\pi$'ye bir buçuk tur döner; duvar sarmalı dört kez keser. Kökler $\tfrac{\pi}{9}$, $\tfrac{2\pi}{9}$, $\tfrac{7\pi}{9}$, $\tfrac{8\pi}{9}$.

$a\sin x + b\cos x$ toplamını birlikte dönen iki dik ok gibi düşün: boyları $a$ ve $b$. Bileşkenin boyu $R = \sqrt{a^2 + b^2}$; ucunun yüksekliği panoda tek bir dalga çiziyor.

$c$ düzlemi, bileşkenin ucunun gezdiği $R$ yarıçaplı çemberi ancak $|c| \le R$ iken keser. $c = R$ iken teğettir; daha yukarıda kök yoktur.

$12 - 10\cos\tfrac{\pi t}{6} = 17$ ise $\cos\tfrac{\pi t}{6} = -\tfrac{1}{2}$. Açı $\tfrac{2\pi}{3}$ ya da $\tfrac{4\pi}{3}$, yani $t = 4$ ya da $t = 8$. Her tur $12$ dakika sürdüğü için yanıt iki ailedir.

$\sin x = a$ yatay, $\cos x = a$ düşey düzlem; $\tan x = a$ merkezden geçen ışın. Kesişimler kökleri verir, tur eklemek genel çözümü. Aralık sorusunda turları say.