İçeriğe geç
TYT-AYT-KPSS Hazırlık
Dersler

Görsel anlatımKonu sayfası

Yönlü Açılar, Birim Çember ve Trigonometrik Fonksiyonlar

Sıfırdan1 / 16

Dönme dolap ve yükseklik dalgası

Kabin döndükçe yüksekliği bir artar, bir azalır. Yandaki pano bu yüksekliği dönüş açısına göre işaretliyor: bir tur, bir dalga.

Sıfırdan2 / 16

Önden bakınca bir çember

Kamerayı dolabın önüne aldık; geriye bir çember ve dönen bir nokta kaldı. Yarıçap 11 birim olunca noktanın merkezden yüksekliği bir sayıdır: sinüs.

yu¨kseklik=sin⁡θ\text{yükseklik} = \sin\theta

Sıfırdan3 / 16

Üçgen büyür, oran aynı kalır

Aynı açılı dik üçgenler birbirinin büyütülmüş kopyasıdır. Kenarlar büyür ama karşı kenar ÷ hipotenüs hep aynı sayıdır; bu sayı yalnızca açıya bağlıdır.

sin⁡α=kars¸ıhipotenu¨s\sin\alpha = \dfrac{\text{karşı}}{\text{hipotenüs}}

Dene: Ölçeği değiştir: kesirler değişiyor mu, değerleri?

Temel4 / 16

Birim çember: P’nin iki gölgesi

Yarıçapı 11 olan çemberde PP'nin zemine düşen gölgesi kosinüs, duvara düşen gölgesi sinüstür. Hipotenüs 11 olduğu için kenarlar oranların kendisidir.

P(cos⁡θ, sin⁡θ)P(\cos\theta,\ \sin\theta)

Dene: θ\theta sürgüsüyle PP'yi döndür; iki gölgeyi izle.

Temel5 / 16

Sarmal merdiven: yönlü açı

Kol saat yönünün tersine dönerse açı pozitif, merdiven yukarı çıkar; saat yönünde dönerse negatif, aşağı iner. Her tam tur bir kat demektir.

Dene: θ\theta'yı −720∘-720^\circ ile 720∘720^\circ arasında gezdir.

Temel6 / 16

Tepeden bakınca bütün katlar üst üste

495∘495^\circ, 135∘135^\circ ve −225∘-225^\circ aynı kenarda biter; aralarında tam turlar var. Kadrandaki ortak açıya esas ölçü denir, 0∘0^\circ ile 360∘360^\circ arasındadır.

θ=α+k⋅360∘,k∈Z\theta = \alpha + k \cdot 360^\circ, \quad k \in \mathbb{Z}

Hızlı soru

750∘750^\circ'nin esas ölçüsü kaçtır?

750∘=2⋅360∘+30∘750^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 30^\circ: iki tam tur atılır, kol 30∘30^\circ'de durur.

Temel7 / 16

Yarıçap boyu ip: bir radyan

Yarıçap uzunluğundaki ipi çemberin üstüne sar. İpin gördüğü merkez açı 1 radyandır, yaklaşık 57,3∘57{,}3^\circ.

1 rad=180∘π≈57,3∘1\ \text{rad} = \dfrac{180^\circ}{\pi} \approx 57{,}3^\circ

Dene: Sürgüyle ipi çöz ve yeniden sar.

Temel8 / 16

Tam tura altı ip ve biraz artık

Altı ip yan yana dizilince çember kapanmaz; yaklaşık 0,280{,}28'lik bir boşluk kalır. Tam tur 2π≈6,282\pi \approx 6{,}28 radyan, yarım tur π\pi radyandır.

2π rad=360∘,π rad=180∘2\pi\ \text{rad} = 360^\circ, \quad \pi\ \text{rad} = 180^\circ

Dene: İp sayısını 33 yap: yarım turda ne kadar boşluk kalıyor?

Orta9 / 16

Özel açılarda tam değerler

30∘30^\circ, 45∘45^\circ, 60∘60^\circ ve bunların bölgelerdeki eşleri çemberde tam değerli noktalardır. 30∘30^\circ'de PP'nin yüksekliği tam yarıçapın yarısıdır.

30∘=π6:sin⁡=12,cos⁡=3230^\circ = \tfrac{\pi}{6}: \quad \sin = \tfrac{1}{2}, \quad \cos = \tfrac{\sqrt{3}}{2}

Hızlı soru

θ=60∘\theta = 60^\circ iken cos⁡θ\cos\theta kaçtır?

60∘60^\circ'de P=(12; 32)P = \left(\tfrac{1}{2};\ \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right); apsis 12\tfrac{1}{2} olduğundan cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \tfrac{1}{2}.

Orta10 / 16

Dört bölge, dört işaret düzeni

Çemberi yere yatırdık. Sinüs sütunu pozitifse yukarı, negatifse aşağı uzanır; kosinüs sütunu da öyle. İşaretleri PP'nin bölgesi belirler.

II. bo¨lge: cos⁡θ<0<sin⁡θ\text{II. bölge: } \cos\theta < 0 < \sin\theta

Hızlı soru

III. bölgede tan⁡θ\tan\theta'nın işareti nedir?

III. bölgede sin⁡\sin ve cos⁡\cos ikisi de negatiftir; bölümleri tan⁡θ\tan\theta pozitif olur.

Orta11 / 16

Işın tanjant rayına çarpar

x=1x = 1 doğrusuna bir ray dikildi. Bitim kenarını ışın gibi uzat: raya çarptığı yerin yüksekliği tan⁡θ\tan\theta, ışının boyu sec⁡θ\sec\theta'dır. 90∘90^\circ'ye yaklaştıkça tanjant sınırsız büyür.

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}

Dene: θ\theta'yı 90∘90^\circ'ye yaklaştır.

Orta12 / 16

İkinci ray: kotanjant

y=1y = 1 doğrusundaki ikinci raya çarpan ışın cot⁡θ\cot\theta'yı verir. Tanjant ile kotanjant birbirinin çarpmaya göre tersidir.

cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=1tan⁡θ\cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} = \dfrac{1}{\tan\theta}

Sınav13 / 16

Aynalarda üç yansıma

Eksenler birer ayna. PP'nin dikey aynadaki yansıması π−θ\pi - \theta, yatay aynadaki 2π−θ2\pi - \theta, ikisindeki π+θ\pi + \theta açısıdır. Sayılar aynı kalır, yalnızca işaretler değişir.

sin⁡(π−θ)=sin⁡θ\sin(\pi - \theta) = \sin\theta

Hızlı soru

sin⁡210∘\sin 210^\circ kaçtır?

210∘=180∘+30∘210^\circ = 180^\circ + 30^\circ, III. bölgededir; sinüs negatiftir: −sin⁡30∘=−12-\sin 30^\circ = -\tfrac{1}{2}.

Sınav14 / 16

Çapraz ayna: sinüs ile kosinüs yer değiştirir

y=xy = x doğrusundaki ayna PP'yi (sin⁡θ; cos⁡θ)(\sin\theta;\ \cos\theta) noktasına taşır. Bu nokta π2−θ\tfrac{\pi}{2} - \theta açısıdır: sinüs ile kosinüsün adları yer değiştirir.

sin⁡(π2−θ)=cos⁡θ\sin\left(\tfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta

Sınav15 / 16

Değer sütunlarıyla sıralama

Değerler yan yana sütun oldu; kesik çizgiler onları çemberdeki uzunluklara bağlar. 45∘45^\circ'de sin⁡=cos⁡\sin = \cos olur; 45∘45^\circ ile 90∘90^\circ arasında sıra hep aşağıdaki gibidir.

cos⁡θ<sin⁡θ<1<tan⁡θ\cos\theta < \sin\theta < 1 < \tan\theta

Hızlı soru

θ=50∘\theta = 50^\circ için doğru sıralama hangisi?

50∘>45∘50^\circ > 45^\circ olduğundan sin⁡50∘>cos⁡50∘\sin 50^\circ > \cos 50^\circ; üstelik tan⁡50∘>1\tan 50^\circ > 1.