Sinüs ve Kosinüs Teoremleri · Görsel anlatım

Sıfırdan1 / 15

Göletin iki ucu arasına halat

Göletin iki yakasındaki $A$ ve $B$ iskeleleri arasına halat çekilecek, ama suyun üstünden ölçüm yapılamıyor. Kıyıdaki $C$ noktasından iki uzaklık ve aradaki açı ölçüldü: $80$ m, $50$ m ve $60^\circ$ .

Sıfırdan2 / 15

Menteşe açıldıkça lastik uzar

İki çıtanın boyu sabit: $5$ ve $8$ . Menteşeyi açtıkça uçlarını birleştiren lastik uzar. İki kenar sabitken üçüncü kenarı yalnızca aradaki açı belirler.

Dene: Açıyı $15^\circ$ 'den $150^\circ$ 'ye götür; lastiğin boyunu izle.

Sıfırdan3 / 15

Dik açıda iki sütun eşit

Yanına iki sütun koyduk: biri lastiğin karesi $a^2$ , öteki $b^2 + c^2$ . Açı $90^\circ$ iken ikisi tam eşit: $89 = 25 + 64$ . Bu, Pisagor bağıntısıdır.

a^2 = b^2 + c^2

Temel4 / 15

Dar açıda eksik, geniş açıda fazla

$60^\circ$ 'de $a^2$ sütunu $40$ birim kısa kalır, $120^\circ$ 'de $40$ birim fazla gelir. Fark rastgele değil: $2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ = 40$ . Pisagor'a bu terim eklenir.

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A

Dene: Açıyı $60^\circ$ ve $120^\circ$ yap; yeşil kutuyu karşılaştır.

Hızlı soru

Kolları $3$ ve $5$ , aradaki açısı $120^\circ$ olan üçgende üçüncü kenar kaçtır?

$a^2 = 9 + 25 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \left(-\tfrac{1}{2}\right) = 49$ , yani $a = 7$ . Geniş açıda kosinüs negatif, terim toplanır.

Temel5 / 15

C’den sarkan çekül üçgeni ikiye böler

$C$ 'den bir çekül sarkıttık. Yüksekliği $b\sin A$ , ayağı $A$ 'dan $b\cos A$ uzakta. $a$ sağdaki dik üçgenin hipotenüsü; Pisagor yazıp sadeleştirince kosinüs teoremi çıkar.

a^2 = (b\sin A)^2 + (c - b\cos A)^2

Dene: Açıyı $90^\circ$ 'nin ötesine geçir: $H$ ayağı $A$ 'nın soluna düşer.

Temel6 / 15

Gölette halat 70 metre

Gölete dönelim: $C$ açısının kolları $80$ ve $50$ m, aradaki açı $60^\circ$ . Kosinüs teoremi: $c^2 = 6400 + 2500 - 2 \cdot 80 \cdot 50 \cdot \tfrac{1}{2} = 4900$ . Halat $70$ m.

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

Temel7 / 15

Üç çubuk tek bir açıya kilitlenir

Boyları $7$ , $8$ ve $13$ olan çubuklar tek bir üçgen kurar. $13^2 = 169$ , öteki iki karenin toplamından ( $113$ ) büyük: kosinüs negatif, açı geniş, tam $120^\circ$ .

\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

Dene: $a$ kenarını küçült: açı önce dik, sonra dar olur.

Hızlı soru

Kenarları $4$ , $5$ ve $6$ olan üçgenin en büyük açısı nasıldır?

En uzun kenar $6$ : $6^2 = 36$ , öteki karelerin toplamı $41$ . Pay pozitif, kosinüs pozitif; en büyük açı bile dar.

Orta8 / 15

Tepe yükseldikçe alan büyür

Taban $c = 8$ , tepenin yüksekliği $h = b\sin A$ . Alan, taban ile yüksekliğin çarpımının yarısı. Açı $90^\circ$ olunca sinüs $1$ olur; alan en büyük değerine, $20$ 'ye ulaşır.

\text{Alan} = \tfrac{1}{2}\, bc \sin A

Dene: Açıyı değiştir; silindir en çok nereye kadar doluyor?

Orta9 / 15

Bütünler açılar aynı yüksekliği verir

$A$ ile $180^\circ - A$ tepeyi aynı yüksekliğe taşır, çünkü $\sin(180^\circ - A) = \sin A$ . Açı $30^\circ$ da olsa $150^\circ$ da olsa alan $10$ birimkaredir.

\sin(180^\circ - A) = \sin A

Hızlı soru

İki kenarı $12$ m ve $10$ m, aradaki açısı $150^\circ$ olan üçgen çiçekliğin alanı kaç m² dir?

$\tfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 \cdot \sin 150^\circ = 60 \cdot \tfrac{1}{2} = 30$ . $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ$ .

Orta10 / 15

Kenar ortalarında üç eşit sütun

Her kenarın ortasına, boyu kenar ÷ karşı açının sinüsü olan bir sütun diktik. Üçgen nasıl değişirse değişsin üçü eşit kalır; üstlerindeki levha hep düz durur.

\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}

Dene: $C$ köşesini sürükle ya da açıları değiştir.

Orta11 / 15

Kıyıdan tekneye uzaklık

$A$ ile $B$ arası $600$ m. İki teodolit tekneyi $60^\circ$ ve $75^\circ$ açıyla görüyor; üçüncü açı $45^\circ$ . Sinüs teoremi: $|BT| = 600 \cdot \tfrac{\sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} \approx 735$ m.

Dene: Tekneyi sürükle; uzaklıklar canlı hesaplanır.

Hızlı soru

$|AB| = 600$ m, $A = 90^\circ$ ve $T = 30^\circ$ ise $|BT|$ kaç metredir?

$\tfrac{|BT|}{\sin 90^\circ} = \tfrac{600}{\sin 30^\circ} = 1200$ . $|BT|$ , $90^\circ$ 'nin karşısındaki en uzun kenardır.

Sınav12 / 15

Sallanan çubuk ışına iki yerde değer

$A = 30^\circ$ ve $|AC| = 8$ ; $C$ 'nin ışına uzaklığı $8 \sin 30^\circ = 4$ . Boyu $5$ olan çubuk ışına iki noktada değer: aynı verilere iki üçgen uyar.

|AB| = 4\sqrt{3} \pm 3

Sınav13 / 15

Çubuğun boyu üçgen sayısını belirler

Çubuk $4$ 'ten kısaysa ışına yetişmez: üçgen yok. Tam $4$ ise tek dik üçgen. $4$ ile $8$ arasında iki üçgen; $8$ ve üstünde ikinci nokta $A$ 'nın arkasına düşer, tek üçgen kalır.

Dene: $|BC|$ 'yi $3$ , $4$ , $6$ ve $9$ yap.

Hızlı soru

$A = 30^\circ$ , $|AC| = 8$ ve $|BC| = 10$ ise bu verilere uyan kaç üçgen vardır?

$10 > 8$ olduğundan ikinci kesişim $A$ 'nın arkasında, ışının dışında kalır; tek üçgen oluşur.

Sınav14 / 15

Pergelin tepesi kâğıttan ne kadar yüksekte?

Kollar $13$ ve $15$ cm, açıklık $14$ cm. Kosinüs teoremi $\cos\theta = \tfrac{5}{13}$ verir; buradan $\sin\theta = \tfrac{12}{13}$ ve tepenin yüksekliği $13 \cdot \tfrac{12}{13} = 12$ cm.

h = 13\sin\theta

Dene: Açıklığı değiştir: tepe en yüksekte hangi açıklıkta?

Sınav15 / 15

Hangi veriyle hangi teorem?

İki kenar ve aradaki açı ya da üç kenar varsa kosinüs teoremi. Bir kenarla karşısındaki açı çift olarak biliniyorsa sinüs teoremi. Alan için iki kenar ve aradaki açının sinüsü yeter.

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A

Görsel anlatım bitti

Örnekler ve çıkmış sorular Sıradaki: Trigonometrik Fonksiyon Grafikleri ve Ters Trigonometrik Fonksiyonlargörsel