Basit Olayların Olasılığı

Bir zar atıyorsun. Hangi yüzün geleceğini önceden bilemezsin ama gelebilecekleri bilirsin. Sonucu önceden kestirilemeyen bu işe deney, deneyin her bir sonucuna çıktı denir.

Zarın gelebilecek altı yüzünü rafa dizdik. Bütün çıktıların kümesine örnek uzay denir ve $E$ ile gösterilir. Burada $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ve eleman sayısı $s(E) = 6$.

"Çift sayı gelmesi" dediğinde altı çıktıdan üçünü seçmiş olursun: $A = \{2, 4, 6\}$. Örnek uzayın böyle bir alt kümesine olay denir. Olay bir cümleyle söylenir, ama aslında bir kümedir.

Zarın altı yüzünün gelme şansı eşittir: çıktılar eş olasıdır. Şerit altı eşit parçaya bölündü, olayın çıktıları yanıyor. Çift gelme olasılığı $\dfrac{3}{6}$: istenen çıktı sayısı bölü tüm çıktı sayısı.

Olay "gelen sayı $k$'den küçük" olsun. $k = 1$ iken hiçbir çıktı uymaz: imkânsız olay, olasılık $0$. $k = 7$ iken hepsi uyar: kesin olay, olasılık $1$. Her olay bu ikisinin arasındadır.

$A$: "$3$'ün katı gelmesi", yani $\{3, 6\}$. Geri kalan $\{1, 2, 4, 5\}$ çıktıları $A$'nın tümleyenidir: $A'$. İkisi birlikte şeridi tam doldurur, bu yüzden olasılıklarının toplamı $1$'dir.

İki zar atınca bir çıktı sıralı ikilidir: (birinci zar, ikinci zar). Birinci zar $6$, ikinci zar $6$ değer alır: $6 \cdot 6 = 36$ çıktı, her biri bir küp. $(1, 2)$ ile $(2, 1)$ ayrı küplerdir.

Toplamı $7$ olan çıktılar bir köşegen boyunca diziliyor: $(1, 6), (2, 5), \ldots, (6, 1)$. Altı küp yanıyor, öyleyse $P(\text{toplam } 7) = \dfrac{6}{36}$. Payı da paydayı da küplerle say.

Küpleri toplamlarına göre üst üste dizdik. On bir farklı toplam var ama sütunlar eşit değil: $7$ altı küple en uzun, $2$ ile $12$ birer küp. Toplamlar eş olası değildir; her birinin olasılığı $\dfrac{1}{11}$ olamaz.

$A$: toplam $5$ ($4$ küp, mavi). $B$: toplam $10$ ($3$ küp, sarı). Hiçbir küp iki renge birden boyanmıyor: bunlar ayrık olaylardır. Ayrık olaylarda olasılıklar doğrudan toplanır.

$A$: toplam $8$ ($5$ küp). $B$: iki zar aynı ($6$ küp). $(4, 4)$ ikisinde de var ve mor yanıyor: olaylar ayrık değil. $5 + 6$ derken ortak küpü iki kez saydın; bir kez çıkar: $\dfrac{10}{36}$.

Torbada $5$ mavi, $3$ sarı, $2$ mor top var. Çekilen topun rengi üç çıktıdan biri ama renkler eş olası değil; eş olası olan tek tek toplardır. $P(\text{mavi}) = \dfrac{5}{10}$ ve olasılıkların toplamı yine $1$.

Bu zarda her yüzün olasılığı üstündeki sayıyla orantılı: $p, 2p, \ldots, 6p$. Çubuklar eşit değil ama toplamları $1$: $21p = 1$. Bir olayın olasılığı, içindeki çıktıların olasılıklarının toplamıdır.

Torbada $3$ mavi, $2$ sarı top var; aynı anda iki top çekiliyor. Çıktılar ikililerdir: $\dbinom{5}{2} = 10$. Aynı renkli ikililer $3 + 1 = 4$ tane, olasılık $\dfrac{4}{10}$. Pay ile paydayı aynı yöntemle say.

Para üç kez atılıyor: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ çıktı; her karodaki üç para bir çıktıdır (sarı: tura). "En az bir tura" yedi çıktıyı kapsar, tümleyeni tek çıktıdır: hiç tura yok. Tek durumu say, $1$'den çıkar.

Önce sor: çıktı ne, eş olası mı? Sonra $P(A) = \dfrac{s(A)}{s(E)}$ ve her zaman $0 \leq P(A) \leq 1$. Tümleyen $1 - P(A)$'dır. "Veya" sorusunda ortak çıktıları bir kez çıkar.