Koşullu Olasılık, Bağımsız Olaylar ve Deneysel Olasılık

Bir zar attın ve üstüne bardağı kapattın. Hangi yüz geldi, bilmiyorsun. Öndeki altı zar olası sonuçlar: mavi olanın, yani $6$'nın gelmiş olma olasılığı $\dfrac{1}{6}$.

Arkadaşın bardağın altına baktı ve yalnızca «çift geldi» dedi. Tek sayılar artık olamaz; küçülüp grileşen zarlar onlar. Geriye üç zar kaldı ve biri $6$: olasılık $\dfrac{1}{6}$'dan $\dfrac{1}{3}$'e çıktı.

Olabilecek sonuçların tümüne örnek uzay denir. Bilgi gelince örnek uzay daralır: sarı zemindeki zarlar yeni örnek uzaydır. Bir bilgiye göre hesaplanan olasılığa koşullu olasılık denir; $P(A \mid B)$ yazılır, «$B$ bilindiğine göre $A$» diye okunur.

Sınıfta $24$ kız (mor), $16$ erkek (mavi) var; kızların $12$'si, erkeklerin $4$'ü gözlüklü. Seçilenin kız olduğu bilinirse yeni örnek uzay $24$ kızdır: gözlüklü olma olasılığı $\dfrac{12}{24}$. Bilinen grup hep paydaya yazılır.

Torbada $3$ kırmızı, $2$ mavi top var. İlk çekilen top kırmızı çıktı ve geri konmadı. Torbada $4$ top kaldı, $2$'si kırmızı: ikinci topun da kırmızı olma olasılığı artık $\dfrac{2}{4}$.

İki topun da kırmızı gelmesi için önce birinci, sonra ikinci çekiliş tutmalı. İki kesir çarpılır: $\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{10}$. Bunun adı çarpma kuralı.

Çekilen topu geri koyarsan torba yine aynıdır; ikinci çekilişte kırmızı olasılığı $\dfrac{3}{5}$ kalır. Biri ötekinin olasılığını değiştirmiyorsa olaylar bağımsız, değiştiriyorsa bağımlıdır.

Torba deneyini (geri koymadan iki çekiliş) $20$ kez yaptığını düşün; her bilye bir deneme. İlk çatalda $12$'si kırmızıya, $8$'i maviye gider, sonra yeniden ayrılırlar. Bu resme ağaç şeması denir; dalın yanında o adımın olasılığı yazar.

Bir uca giden yol «ve» demektir: dallardaki kesirler çarpılır. İstenen olay birkaç uçtan oluşuyorsa uçlar toplanır. «Farklı renk» iki uçtur: KM ve MK.

Ali atışlarının $\dfrac{3}{5}$'ini, Berk $\dfrac{2}{3}$'ünü sokuyor; atışlar bağımsız. $15$ eş kareden yükselenler seçtiğin olay. «En az biri» için kısa yol: ikisinin de kaçırdığı $2$ kareyi bütünden çıkar.

Buraya kadar hesapladıkların teorik olasılıktı. Zarı gerçekten atıp sayarsan deneysel olasılığı bulursun: gelme sayısı bölü atış sayısı. Az atışta sütunlar eşit değildir; atış arttıkça hepsi $\dfrac{1}{6}$ çizgisine yaklaşır.

Bir oyuncu her atışı $\dfrac{2}{3}$ olasılıkla sokuyor ve üç atış yapıyor: $27$ bilye, $8$ uç. «Tam iki isabet» üç ayrı uçtur, her biri $\dfrac{4}{27}$: toplam $\dfrac{12}{27} = \dfrac{4}{9}$. Tek bir yolu hesaplayıp bırakma.

Bilgi gelince örnek uzay daralır: bilinen olay paydaya gider. Ağaçta yol boyunca çarp, uçları topla. Bağımsız olaylarda $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Çok denemede deneysel olasılık teorik olasılığa yaklaşır.