Polinomlar · Görsel anlatım · TYT-AYT-KPSS Hazırlık

Sıfırdan1 / 13

234 sayısını bloklarla kur

İlkokuldaki onluk taban bloklarını hatırla: 2 yüzlük levha, 3 onluk çubuk, 4 birlik küp. Her basamağın kendi blok türü var.

234 = 2 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10 + 4

Dene: Düğmeyle blokları yeniden düşür.

Sıfırdan2 / 13

Kenar 10 olmak zorunda değil

Çubuğun boyuna $x$ diyelim. Sürgüyü çek: bloklar büyüyüp küçülür ama sayıları değişmez: 2 levha, 3 çubuk, 4 küp. Bu tarife polinom denir.

P(x) = 2x^2 + 3x + 4

Dene: Sürgüyle $x$ 'i değiştir.

Sıfırdan3 / 13

x yerine sayı yaz, küpleri say

$x = 3$ olsun: her levha $9$ , her çubuk $3$ küp eder. Toplam küp sayısı, polinomun o $x$ 'teki değeridir.

P(3) = 2 \cdot 9 + 3 \cdot 3 + 4 = 31

Dene: Sürgüyle başka bir $x$ seç, toplamı izle.

Hızlı soru

$P(x) = 2x^2 + 3x + 4$ için $P(2)$ kaçtır?

$2 \cdot 4 + 3 \cdot 2 + 4 = 8 + 6 + 4 = 18$ .

Temel4 / 13

En büyük blok dereceyi belirler

Kenarı $x$ olan büyük küp $x^3$ eder. En büyük üs derece, onun katsayısı baş katsayı, $x$ 'siz terim sabit terimdir. Yalnızca küpler varsa sabit polinom, hiç blok yoksa sıfır polinomu denir.

P(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 4

Temel5 / 13

x = 1 ve x = 0 ne söyler

$x = 1$ olunca her blok tek küpe iner: toplam, katsayıların toplamıdır. $x = 0$ olunca $x$ 'li bloklar yok olur, geriye sabit terim kalır.

P(1) = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 \qquad P(0) = 4

Dene: Düğmelerle $x = 0$ , $x = 1$ , $x = 2$ yap.

Temel6 / 13

İki polinom ne zaman eşit

İki polinom her $x$ için aynı değeri veriyorsa eşittir. Bunun tek yolu her blok türünden aynı sayıda olmasıdır: katsayılar tek tek eşit.

Dene: Sürgüyle $Q$ 'nun çubuk sayısını $3$ yap.

Temel7 / 13

Toplama: aynı tür bloklar birleşir

Toplarken levhalar levhalarla, çubuklar çubuklarla, küpler küplerle birleşir. Çıkarmada aynı türden blok eksilir.

P(x) + Q(x) = 2x^2 + 4x + 5

Dene: Ayır ve Topla düğmeleriyle yeniden izle.

Orta8 / 13

Çarpma: blokları dikdörtgene diz

Kenarları $x + 2$ ve $x + 3$ olan dikdörtgeni döşemek için 1 levha, 5 çubuk, 6 küp gerekir. Çarpmada her terim her terimle çarpılır; dereceler toplanır.

(x + 2)(x + 3) = x^2 + 5x + 6

Dene: Parçaları ayır: dört bölge dört çarpımdır.

Orta9 / 13

Bölme: dikdörtgen ve artan küpler

$x^2 + 5x + 8$ bloklarını bir kenarı $x + 2$ olan dikdörtgene diz: öbür kenar $x + 3$ olur, $2$ küp açıkta kalır. Bölüm $x + 3$ , kalan $2$ .

x^2 + 5x + 8 = (x + 2)(x + 3) + 2

Orta10 / 13

Kalan teoremi: dikdörtgen yok olunca

Şimdi bölen $x - 2$ . $x$ 'i $2$ 'ye çek: kenar sıfırlanır, dikdörtgen yok olur, geriye yalnızca kalan kalır. Yani $x - a$ ile bölümünden kalan $P(a)$ 'dır.

P(2) = (2 - 2)(2 + 1) + 3 = 3

Dene: Sürgüyle $x$ 'i $2$ 'ye indir.

Hızlı soru

$P(x) = x^2 + 4x + 1$ polinomunun $x + 3$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Böleni sıfır yapan değer $x = -3$ 'tür: $P(-3) = 9 - 12 + 1 = -2$ . $P(3)$ değil!

Orta11 / 13

Kalan sütunları, grafik ve kökler

$P(x) = x^2 - 6x + 8$ polinomunu $x - 1, \dots, x - 5$ ile böl, kalanları küp sütunu yap: uçlarından geçen eğri grafiktir. Kalanın $0$ olduğu $a$ köktür ve $x - a$ bir çarpandır.

P(a) = 0 \iff (x - a)\ \text{çarpan}

Dene: Sürgüyle $a$ 'yı gezdir; $2$ ve $4$ 'te kalan sıfır.

Sınav12 / 13

Köklerden polinomu kurmak

Her kök bir çarpan verir. Kökler belliyse geriye tek bilinmeyen kalır: baş katsayı $a$ . Sürgüyü oynat: kökler yerinde durur, eğri esner ya da ters döner.

P(x) = a(x + 1)(x - 1)(x - 2)

Dene: Baş katsayıyı değiştir.

Hızlı soru

Üçüncü dereceden $P(x)$ polinomunun kökleri $-1$ , $1$ , $2$ ve $P(0) = -2$ ise $P(3)$ kaçtır?

$P(x) = a(x+1)(x-1)(x-2)$ . $P(0) = 2a = -2$ , yani $a = -1$ . $P(3) = -1 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 1 = -8$ .

Sınav13 / 13

Hepsi bir arada

Polinom: $x$ 'in kuvvetlerinden bloklar; en büyük üs derecedir. $x - a$ ile bölümünden kalan $P(a)$ 'dır. Kalan $0$ ise $a$ kök, $x - a$ çarpandır; kökleri bilirsen polinomu çarpanlarından kurarsın.

Görsel anlatım bitti

Örnekler ve çıkmış sorular Sıradaki: Çarpanlara Ayırma ve Rasyonel İfadeler