Sayma, Permütasyon ve Kombinasyon · Görsel anlatım

Sıfırdan1 / 13

Ya dondurma ya kek: tek bir tatlı

Tezgâhta $3$ çeşit dondurma ve $2$ çeşit kek var; yalnızca bir tatlı alacaksın. İkisi birden olmadığı için seçenekleri yan yana sayarsın: $3 + 2 = 5$ . Buna toplama yöntemi denir.

Dene: Sahneyi yana sürükle, tezgâhı çevresinden gör.

Sıfırdan2 / 13

Bir kap ve bir top: iki seçim birden

Şimdi iki seçim yapıyorsun: bir kap (külah ya da kâse) ve bir çeşit top. Her kabın üstüne $3$ çeşitten biri gelebilir. $2$ sıra, her sırada $3$ dondurma: $2 \cdot 3 = 6$ .

Sıfırdan3 / 13

Üçüncü seçim: kiraz var mı, yok mu?

Üstüne kiraz ister misin? $2$ seçenek daha: altı dondurmanın her biri üst kata bir kez daha çıkar, $2 \cdot 3 \cdot 2 = 12$ . Art arda yapılan seçimlerin sayıları çarpılır: çarpma yöntemi.

Hızlı soru

Bir kafede $4$ çeşit sandviç ve $3$ çeşit içecek var. Bir sandviç ve bir içecek kaç farklı biçimde seçilir?

İki seçim art arda yapılır: $4 \cdot 3 = 12$ . $7$ , ikisinden yalnızca birini alsaydın doğru olurdu.

Temel4 / 13

Üç top üst üste: sıra değişince külah değişir

Külaha $3$ çeşidi üst üste koy. En alta $3$ çeşitten biri, ortaya kalan $2$ 'den biri, en üste son kalan gelir: $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ farklı külah. Sıraya koymanın her biçimi bir diziliştir.

Temel5 / 13

Bütün dizilişler vitrinde: faktöriyel

$4$ farklı topun bütün dizilişleri vitrinde: $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$ külah. $1$ 'den $n$ 'ye kadar sayıların çarpımına $n$ faktöriyel denir, $n!$ yazılır.

\begin{aligned} n! &= n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1 \\ 0! &= 1 \end{aligned}

Dene: $n$ sürgüsünü $1$ 'den $4$ 'e çıkar: külah sayısı $1, 2, 6, 24$ .

Temel6 / 13

Beş çeşitten üç toplu külah: permütasyon

$5$ çeşit var ama külaha $3$ top sığıyor. Alt top için $5$ , orta için kalan $4$ , üst için kalan $3$ seçenek: $5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ . $n$ nesneden $r$ tanesinin sıralı dizilişine permütasyon denir.

P(n, r) = \dfrac{n!}{(n-r)!}

Dene: Top sayısını değiştir: çarpımda hep o kadar çarpan var.

Temel7 / 13

Aynı çeşitten iki top: tekrarlı permütasyon

Dört toptan ikisi aynı çeşit olsun. İki çilek yer değiştirince külah değişmez; $24$ külah ikişer ikişer aynı görünür: $\dfrac{4!}{2!} = 12$ farklı külah. Buna tekrarlı permütasyon denir.

\dfrac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdots n_k!}

Dene: Düğmelerle topları değiştir: her öbekte kaç aynı külah var?

Orta8 / 13

Kâsede sıra yok: altı külah tek kâse

Aynı üç çeşidi bu kez kâseye koy. Külahta $3! = 6$ ayrı diziliş olan toplar kâsede yan yana durur: tek seçim. Sıranın önemsiz olduğu seçime kombinasyon denir.

Dene: Düğmelerle topları külahlara dizip yeniden kâseye koy.

Orta9 / 13

Beş çeşitten üçünü seçmek: on kâse

$5$ çeşitten $3$ 'ünü seçmenin bütün yolları tezgâhta: $10$ kâse. Sıralı sayarsan $5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ çıkar, ama her kâseyi $3! = 6$ kez saymış olursun: $\dfrac{60}{6} = 10$ .

C(n, r) = \dfrac{P(n, r)}{r!} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}

Dene: $r$ sürgüsüyle kâsedeki top sayısını değiştir.

Hızlı soru

$7$ kişilik bir gruptan $2$ kişilik bir ekip kaç farklı biçimde seçilir?

Ekipte sıra yok: $C(7, 2) = \dfrac{7 \cdot 6}{2!} = 21$ . $42$ , biri başkan öbürü yardımcı olsaydı doğru olurdu.

Orta10 / 13

Seçmek, geri kalanı dışarıda bırakmaktır

Her kâsenin arkasında, o kâseye girmeyen çeşitler duruyor. $5$ çeşitten $2$ 'sini seçmek, $3$ 'ünü dışarıda bırakmakla aynı iştir: $C(5, 2) = C(5, 3) = 10$ .

C(n, r) = C(n, n - r)

Dene: $r$ 'yi önce $2$ , sonra $3$ yap: kâse sayısı değişiyor mu?

Orta11 / 13

Bütün kâseler: her çeşit ya var ya yok

$4$ çeşitle kurulabilecek bütün kâseler, top sayısına göre sütunlarda: $1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16$ . Kısa yol: her çeşit ya alınır ya alınmaz, $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$ . Her kâse bir alt kümedir.

\begin{aligned} C(n, 0) + C(n, 1) &+ \cdots + C(n, n) \\ &= 2^n \end{aligned}

Dene: $n$ 'yi bir artır: toplam kâse sayısı ikiye katlanır.

Sınav12 / 13

En az bir: istenmeyeni say, tümünden çıkar

$2$ toplu $10$ kâseden, içinde çilek ya da limondan en az biri olanlar isteniyor. İstenmeyeni say: ikisi de yoksa toplar kalan $3$ çeşitten seçilir, $C(3, 2) = 3$ . Geriye $10 - 3 = 7$ kâse kalır.

\text{en az bir} = \text{tümü} - \text{hiç}

Hızlı soru

$4$ kız ve $3$ erkekten $2$ kişi seçilecek. İçinde en az bir kız bulunan kaç seçim vardır?

Tüm seçimler $C(7, 2) = 21$ , hiç kız olmayanlar $C(3, 2) = 3$ : $21 - 3 = 18$ .

Sınav13 / 13

Hepsi bir arada: önce sırayı sor

Ya da görürsen topla, ve görürsen çarp. Sonra sor: sıra önemli mi? Önemliyse permütasyon (külah), önemsizse kombinasyon (kâse); özdeş nesne varsa onların faktöriyeline böl.

C(n, r) = \dfrac{P(n, r)}{r!} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}

Görsel anlatım bitti

Örnekler ve çıkmış sorular Sıradaki: Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı